2026年高考数学复习系列(全国)专题2.1 函数的解析式与定义域、值域(讲义)(解析版)_第1页
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文档简介

专题2.1函数的解析式与定义域、值域(举一反三复习讲义)

【全国通用】

1、函数的解析式与定义域、值域

函数的解析式与定义域、值域问题是历年高考数学的重点、热点内容。

函数问题定义域优先,在解答函数问题时首先要考虑定义域;函数的解析式

命题规律在高考中较少单独考查,多在解答题中出现;函数的值域在整个高考范畴应

用的非常广泛,例如恒成立问题、有解问题、实际应用问题、基本不等式问

分析

题、向量的最值问题、解析几何的函数性研究问题等;常常需要转化为求最

值问题。在高考二轮复习过程中,在熟练掌握函数的基础知识和基本解题方

法的同时,也要加强训练综合性较强的题目。

高考真题考点2023年2024年2025年

函数的概新课标I卷:第8题,5

统计北京卷:第11题,5分北京卷:第7题,4分

念分

预测在年全国卷高考数学中,对函数的概念的考查不会有大的变

年2026

2026化;函数的概念依旧以单选题或填空题的形式考查,分值为5分,主要考查

求函数值、函数的定义域与值域问题,或与基础知识点(如:集合、常用逻

命题预测辑用语等)相结合考查,难度不大。

知识点1函数的定义域的求法

1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不

等式组求解;对于实际问题,定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.

(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.

知识点2函数的值域的求法

1.求函数值域的一般方法

(1)分离常数法;

(2)反解法;

(3)配方法;

(4)不等式法;

(5)单调性法;

(6)换元法;

(7)数形结合法;

(8)导数法.

知识点3函数解析式的四种求法

1.函数解析式的四种求法

(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表

达式.

(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.

(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.

(4)解方程组法:已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程

组,通过解方程组求出f(x).

【题型1具体函数的定义域的求解】

【例1】(2025·陕西商洛·模拟预测)函数的定义域是()

1

��=�−1+�+5

A.且B.且

C.{�|�>−5�≠1}D.{�|�≥−5�≠1}

【答案】{�B|�≥−5}{�|�≠1}

【解题思路】求出使式子有意义的自变量的范围即得.

【解答过程】由题意,解得且,

�−1≠0

�≥−5�≠1

故选:B.�+5≥0

【变式1-1】(2025·陕西西安·模拟预测)函数的定义域为()

lg�+1

�−1

A.�B.=

C.��>−1D.��≠1且.

【答案】�D�>1{�|�>−1�≠1

【解题思路】根据真数大于零,分母不为零求解.

【解答过程】由题意得,且,则且,

�+1>0�−1≠0�>−1�≠1

则函数的定义域为且.

lg�+1

�−1

故选:D�.=�|�>−1�≠1

【变式1-2】(2025·安徽安庆·模拟预测)已知,,则

2

()�=��=−4�+16�−12�=�0≤�≤2�∩�=

A.B.C.D.

【答案】C0,21,31,20,3

【解题思路】由偶次方根的被开方数非负得到一元二次不等式,解得即可求出集合,再根据交集的定义计

算可得.�

【解答过程】由,即,解得,

2

所以−4�+16�−12≥0�−3�−,1≤01≤�≤3

2

又�=��=−4�,+16�−12=�|1≤�≤3

所以�=�0≤�≤2.

故选:�∩C.�=�1≤�≤2=1,2

【变式1-3】(2025·广东·一模)函数的定义域为()

�−4

A.��=�−B5.

C.4,+∞D.4,5∪5,+∞

【答案】B4,5∪5,+∞−∞,−5∪4,5

【解题思路】根据函数的解析式,列出使函数解析式有意义的不等式组,求出解集即可.

【解答过程】要使函数有意义,

�−4

��=�−5

则,解得且,

�−4≥0

�≥4�≠5

故函�数−5≠的0定义域为.

故选:B�.�4,5∪5,+∞

【题型2抽象函数、复合函数的定义域的求解】

【例2】(2025·安徽合肥·一模)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()

�2−�

�=�2�−1,2��=lg�−1

A.B.C.D.

1,21,41,2∪2,42,4

【答案】C

【解题思路】求出的定义域,根据函数有意义,结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域,可得

出关于的不等式�组�,解不等式组即可求出答案.

【解答过�程】由的定义域为,得的定义域为.

�=�2�−1,2�=��−2,4

所以或,

−2≤2−�≤4

�−1>0⇒1<�<22<�≤4

综上,lg�−的1定义≠域0为.

故选:C�.�1,2∪2,4

【变式2-1】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考)已知函数的定义域为,则函数的定义

�(2�)

域是()�(�)[2,16]�(�)=�−5

A.B.C.D.

【答案】B[4,32](5,8](5,16](5,32]

【解题思路】根据分式的分母不为0,偶次根式的被开方数非负,复合函数的定义域求法可求解.

【解答过程】因为函数的定义域为,

�(�)[2,16]

所以若有意义,需满足,解得.

�(2�)

2≤2�≤16

�−55<�≤8

故选:B.�−5>0

【变式2-2】(2025·贵州铜仁·模拟预测)已知函数的定义域为.记的定义域为集合

的定义域为集合.则“”是“”的()��0,3���,�2−1

A.充要条件��∈��∈�B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】先利用函数的定义域求得集合,再利用充分条件、必要条件的定义判断.

【解答过程】∵函数的定义域为,�,�

所以,��0,3

令�=0,3,解得,即,即,

��

∵0≤2,−1≤31≤2≤40≤�≤2�=0,2

∴“�⊇�”是“”的必要不充分条件,

故选�:∈C�.�∈�

【变式2-3】(25-26高一上·全国·期末)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()

��+1

2�

A.B.��C.−2,2��D=.

【答案】C−2,0∪0,2−1,3−3,0∪0,1−1,0∪0,3

【解题思路】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法,即可列式求解.

【解答过程】函数的定义域需满足不等式,解得:且,

−2<�+1<2

−3<�<1�≠0

所以函数的定义域是.2�≠0

故选:C.−3,0∪0,1

【题型3函数值域的求解】

【例3】(2025·重庆·模拟预测)函数的值域为()

A.B.��=2C.+�D.

【答案】D0,1[0,+∞)1,+∞[1,+∞)

【解题思路】求出函数定义域,再利用单调性求出值域.

【解答过程】函数的定义域为,

又与�在�=2+上均�单调递增,0,+∞

所以�=2在�=�上0单,+调∞递增,

��0,+∞,故的值域为.

∴故�选�:D≥.�0=1��1,+∞

【变式3-1】(2025·河南许昌·三模)下列函数中,值域为且为奇函数的是()

A.B.C.�D.

�21

�=e−1�=�sin��=��=�−�

【答案】D

【解题思路】根据奇偶性的定义,判断各函数的奇偶性,再判断值域即可.

【解答过程】对于函数,定义域为,而,∴该函数不是奇函数.故A错误.

对于函数,定�义=域e为−1,R�−�≠−��,∴该函数是偶

函数,不是�=奇�函si数n�.故B错误.R�−�=−�sin−�=−�×−sin�=�sin�=��

对于函数,定义域为,,∴该函数是奇函数.对于值域,其值域为

222

�=���≠0�−�=−�=−�=−��

,不是.故C错误.

−∞,0∪0,+∞R

对于函数,定义域为,,∴该函数是奇函数.当趋

111

�=�−���≠0�−�=−�−−�=−�−�=−���

于正无穷时,趋于正无穷;当趋于负无穷时,趋于负无穷;并且函数在定义域内是连续

11

�=�−���=�−�

的,值域为.故D正确.

故选:∴D.R

【变式3-2】(2025·安徽·一模)函数的值域为.

11

�2

�=2+�(�>1)

【答案】

3

0,2

【解题思路】由函数的单调性即可求解.

【解答过程】因为与在上均为减函数,

11

�2

��=2��=�1,+∞

且当时,,所以,

1113

�2

�→+∞2→0,�→00<�<2+1=2

故的值域为.

113

�2

�=2+�(�>1)0,2

故答案为:.

3

0,2

【变式】(上海松江三模)已知函数,则的值域为

3-32025··2.

4�,�≥1

�(�)=��

【答案】�+�−5,0<�<1

【解题思路0,】+根∞据二次函数性质求出时的值域,再根据对勾函数的单调性求出时的值域,然

后利用分段函数的性质即可求解.�≥10<�<1

【解答过程】因为,

2

�,�≥1

�(�)=4

当时,�,+�−5,0<�<1

2

当�≥1�时(�,)函=数�≥1单调递减,故,

4

综上0,<函�<数1的值域�为(�)=�+.�−5�(�)>�(1)=0

故答案为:�(�).0,+∞

0,+∞

【题型4求函数值】

【例4】(2025·黑龙江大庆·模拟预测)已知定义在上函数满足,若,

1

1212

则()�����+�=�����−1=4

�A4.=1B.16C.128D.256

【答案】D

【解题思路】由题设可得或,结合已知排除,再由

�(0)=0�(0)=1�(0)=0�(0)=�(1−1)=�(1)�(−1)

得,结合即可得.

24

【解�答(1过)=程4】由题设�4=[�(2)]=[�(1)],则或,

2

若,令�(0)=�(0,+则0对)=于[任�(意0)]有�(0)=0�(0)=,1而,不符;

1

�(0)=0�1=�,�2=0��(�)=�(�)�(0)=0�−1=4

所以,则,故,

1

�(0)=1�(0)=�(1−1)=�(1)�(−1)=1�(1)=�(−1)=4

由.

244

故选�4:D=.�(2+2)=[�(2)]=[�(1)]=4=256

【变式4-1】(2025·江苏南通·模拟预测)设是定义在上的函数,对,有

,且,则�(�)()�∀�,�∈��(�+�)−�(�−�)=

�(�+A.1)2�(�−1)�B(2.)=-2−2�(�(2025C)).=1D.-1

【答案】A

【解题思路】根据给定条件,利用赋值法探讨函数的周期,再求出函数值.

【解答过程】函数,对,有,

取,得�(�)∀�,�∈��,(�而+�)−�(�−,�则)=�(�+,1)�(�−1)

对�=�=,1令�(2,)得−�(0)=�(2)�(0)�(2)=−2�(0)=2,

即∀�∈��=1,�(因�+此1)−�(�−1)=�(�+1)�(0)=2�(�+1),函数周期为4,

令�(�+1)=,−得�(�−1)�(,�+而4)=−�(�+2)=−[−,�则(�)]=�(�)�(�),

所以�=�=0�(1)�(−1)=0�.(�+1)=−�(�−1)�(1)=−�(−1)=0

故选:�(�A(.2025))=�(�(1))=�(0)=2

【变式4-2】(2025·广西河池·三模)已知函数,则.

【答案】��=1−log4��4=

【解题思路0】直接代入即可求解.

【解答过程】因为,

则��=1−log4�,

故答�4案为=:1−log44=1−1=0

【变式4-3】0(.2025·贵州黔东南·一模)若函数满足,则

32

.��2��+�1−�=�+6�−5�+2

【�答1案=】2

【解题思路】分别令,,得到,,进而解方程组即可.

�=0�=12�0+�1=22�1+�0=4

【解答过程】由,

32

令,得2��+�1−,�=�+6�−5�+2

令�=0,得2�0+�1=2,

两式�=联1立,解2得�1+�0.=4

故答案为:2.�1=2

【题型5已知函数类型求解析式】

【例5】(2025·江西·模拟预测)已知对任意的,都有,则一次函数

的解析式为()�,�∈��(�+�+�(�))=6�+2�+3�=

�(�)A.B.

C.�=�+1D.�=2�

【答案】�C=2�+1�=�

【解题思路】利用待定系数法,设,根据题意运算求解即可.

【解答过程】设�(�,)=��+��≠0

则�(�)=��+��≠0,

2

因为�(�+�+�(�))=�(�+�+��+,�即)=�(�+�+��+�)+�=(�+�)�+,��+��+�

2

�(�+�+�(�))=6�+2�+3(�+�)�+��+��+�=6�+2�+3

则2,解得,所以.

�+�=6

�=2

�=2�=2�+1

�=1

故选��:+C.�=3

【变式5-1】(25-26高一上·山东枣庄·月考)若函数是一次函数,并且满足

,则的解析式为�((�))

�(�(A�.))=9�+1,�(�)=B3.�+1�(�)C.D.

1

�(�)=3��(�)=3�(�)=3�−2�(�)=3�+3

【答案】C

【解题思路】利用换元法可求答案.

【解答过程】令,则,

�−1

�=3�+1�=3

即为,

�−1

�(�(�))=9�+1��=9×3+1=3�−2

所以.

故选:��C.=3�−2

【变式5-2】(24-25高一上·福建福州·期中)若函数是二次函数,满足,,

���0=2��+2−��=4�

则=()

�A�.B.C.D.

2222

【答案】B�+�+2�−2�+2�−�+2�+2�+2

【解题思路】利用待定系数法,由题意建立方程组,可得答案.

【解答过程】设(),由,则,

2

由��=�,�则+��+��≠0�0=2�=2,

22

整理��可+得2−��=4��,�+则2+��+2,+解2得−��+�,�+2=4�

4�=4�=1

4��+4�+2�=4�

所以.4�+2�=0�=−2

2

故选:��B.=�−2�+2

【变式5-3】(25-26高一上·陕西·期末)已知是一次函数,,且,函数

满足,则()�����=9�−4�0>0��

2

A�.��=9�B.

C.��=−3�+2D.��=3�+1

22

【答案】�A�=�−4�+2��=�−2�+1

【解题思路】利用待定系数法设解方程组可得,再由换元法代入计算可得

,可得出结论.��=��+���=−3�+2��=

2

【�解−答4过�+程4】依题意可设,

由可得��=��+�,

2

因此��可�得=9�−4,�解�得�+�+�或=��+��;+�=9�−4

2

�=9�=3�=−3

又因为��+�=−,4所以�=−,1即�=2,即A正确,B错误;

�=−3

�0=�>0��=−3�+2

又可得�=2,

22

令���=9�,所以�−3�+,2因此=9�,

2

2−�2−�2

所以−3�+2=��=,可3得C错�误�,D=错9×误.3=�−4�+4

2

故选:�A�.=�−4�+4

【题型6已知f(g(x))求解析式】

【例6】(2025·辽宁沈阳·二模)已知,则()

A.B.��−1C=.e�2=D.

23

e2eee

【答案】D

【解题思路】先由换元法求得函数的解析式,然后代入计算,即可得到结果.

【解答过程】令,则��,所以,即,

�+1�+1

则�−1=�∈��=�+1��=e��=e

3

故选�2:D=.e

【变式】(高一湖南专题练习)已知函数,则()

6-12025··2

1−�

2

�(1−�)=�(�≠0)�(�)=

A.B.

11

22

(�−1)−1(�≠0)(�−1)−1(�≠1)

C.D.

44

22

(�−1)−1(�≠0)(�−1)−1(�≠1)

【答案】B

【解题思路】根据给定条件,用换元法求出函数解析式即可.

【解答过程】令,则,因此,,

2

1−(1−�)1

22

�=1−�,�≠1�=1−��(�)=(1−�)=(1−�)−1�≠1

所以.

1

2

�(�)=(�−1)−1(�≠1)

故选:B.

【变式6-2】(2025·四川遂宁·模拟预测)下列函数满足的是()

23

A.B.�log3=−�log2

1

�(�)=1+ln���=�+�

C.D.

1

��=�−���=1−�

【答案】C

【解题思路】令,则,结合各选项代入验证,即可判断答案.

1

�=log23>1�=log32

【解答过程】令,,则,由可得,

11

�=log23�>1�=log32∈(0,1)�log23=−�log32�(�)=−��

对于A,,故A错误;

11

�(�)=1+ln�=1−ln�≠−�(�)

对于B,,不满足,B错误;

111

�(�)=�+�=�(�)�(�)=−��

对于C,,即,即,C正确;

111

��=�−�=−���(�)=−�(�)�(log23)=−�(log32)

对于D,,即不成立,D错误.

11

�(�)=1−�≠−�(�)�(log23)=−�(log32)

故选:C.

【变式6-3】(25-26高一上·浙江·期中)已知,则函数的解析式为()

��+1=�−1��

A.B.()

22

C.��=�−2�()D.��=�−1(�≥1)

22

【答案】�D�=�−2�+2�≥1��=�−2��≥1

【解题思路】通过配凑,得,进而求得函数的解析式,要注

意的影响.��+1=�−1=�+1�+1−2��

【解�答=过�程+】1因≥为1,

设,�则�+1=�−1=�+1�−1=�+1�+1−2

所以�=�+1≥1��=.��−2,�≥1

所以函��数=�的�解−2析,式�为≥1().

2

故选:D.����=�−2��≥1

【题型7分段函数及其应用】

【例7】(2025·贵州·模拟预测)已知函数则()

log2��≥2

�(�)=2�(�(1))=

A.1B.2C.3�+�+2�<2D.4

【答案】B

【解题思路】根据分段函数解析式即可求得函数值.

【解答过程】因为,

2

所以�(1)=1+1+.2=4

故选:�(�B(.1))=�(4)=log24=2

【变式7-1】(2025·山东·一模)若函数(且)的值域是,则实

−�+6,�≤2

�(�)=�>0�≠14,+∞

数取值范围为()3+log��,�>2

�A.B.C.D.

【答案】A1,21,22,+∞2,+∞

【解题思路】根据函数的单调性求解函数的值域,结合分类讨论对数函数的单调性即可求解.

【解答过程】当时,单调递减,此时,

当时,�≤2��,=若−�+6,则在��单∈调递4,增+,∞此时,

因此�>要2使�的�值=域3是+log��,故�>1��,2解,+得∞,��∈3+log�2,+∞

当��,则在4,+∞单调3递+减lo,g�此2≥时41<�≤2,

0<�<1��2,+∞��∈−∞,3+log�2

此时无法满足的值域是,故不符合题意,舍去,

综上可得��,4,+∞

故选:A.1<�≤2

【变式7-2】(2025·广西·模拟预测)已知函数,则的值为()

−�+1,�≤1

��=��2

A.1B.0C.ln�−1,�>1D.2

【答案】Ae

【解题思路】根据分段函数性质代入求出,再代入计算即可求得结果.

【解答过程】由函数�2可=知0,

−�+1,�≤1

��=�2=0

所以.ln�−1,�>1

故选:�A�.2=�0=1

【变式】(陕西咸阳模拟预测)已知函数在上单调递减,则实数的

7-32025··2

�−2��+1,�<1,

��=1���

取值范围是()�−2,�≥1

A.B.C.D.

3

−∞,21,21,22,+∞

【答案】B

【解题思路】根据分段函数的单调性,可知每段函数的单调性,以及分界点处的函数的大小关系,即可列式

求解.

【解答过程】因为时,单调递减,

1�

又在上单调�递≥减1,��=�−2

���

所以时,单调递减,则只需满足解得.

3

2�≥1,

�<1��=�−2��+11≤�≤2

故选:B.2−2�≥−1,

考点一函数的解析式与定义域、值域

一、单选题

1.(2025·北京·高考真题)已知函数的定义域为D,则“的值域为”是“对任意,存在,

0

使得”的()�(�)�(�)R�∈R�∈�

A.�充�0分不>必�要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】由函数值域的概念结合特例,再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.

【解答过程】若函数的值域为,则对任意,一定存在,使得,

取,则�(�)R,充分性成�立∈;R�1∈���1=�+1

取�0=�1,��0,=则对�任+意1>�,一定存在,使得,

取�(�)=2,则�=R�∈R,但此时函数�1∈�的值域为��1=�,必+要1性不成立;

所以�0“=�1的值域�为�0”=是“�对任+意1>�,存在�(,�)使得0,+∞”的充分不必要条件.

故选:�(A�.)R�∈R�0∈���0>�

2.(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数的定义域为R,,且当时

,则下列结论中一定正确的是()�(�)�(�)>�(�−1)+�(�−2)�<3�(�)=

�A.B.

C.�(10)>100D.�(20)>1000

【答案】�B(10)<1000�(20)<10000

【解题思路】代入得到,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断.

【解答过程】因为当�(1)时=1,�(2)=,所2以,

又因为�<3�(�)

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