版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领
文档简介
专题2.1函数的解析式与定义域、值域(举一反三复习讲义)
【全国通用】
1、函数的解析式与定义域、值域
函数的解析式与定义域、值域问题是历年高考数学的重点、热点内容。
函数问题定义域优先,在解答函数问题时首先要考虑定义域;函数的解析式
命题规律在高考中较少单独考查,多在解答题中出现;函数的值域在整个高考范畴应
用的非常广泛,例如恒成立问题、有解问题、实际应用问题、基本不等式问
分析
题、向量的最值问题、解析几何的函数性研究问题等;常常需要转化为求最
值问题。在高考二轮复习过程中,在熟练掌握函数的基础知识和基本解题方
法的同时,也要加强训练综合性较强的题目。
高考真题考点2023年2024年2025年
函数的概新课标I卷:第8题,5
统计北京卷:第11题,5分北京卷:第7题,4分
念分
预测在年全国卷高考数学中,对函数的概念的考查不会有大的变
年2026
2026化;函数的概念依旧以单选题或填空题的形式考查,分值为5分,主要考查
求函数值、函数的定义域与值域问题,或与基础知识点(如:集合、常用逻
命题预测辑用语等)相结合考查,难度不大。
知识点1函数的定义域的求法
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域,其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不
等式组求解;对于实际问题,定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域.
知识点2函数的值域的求法
1.求函数值域的一般方法
(1)分离常数法;
(2)反解法;
(3)配方法;
(4)不等式法;
(5)单调性法;
(6)换元法;
(7)数形结合法;
(8)导数法.
知识点3函数解析式的四种求法
1.函数解析式的四种求法
(1)配凑法:由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表
达式.
(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.
(3)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.
(4)解方程组法:已知关于f(x)与或f(-x)等的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
组,通过解方程组求出f(x).
【题型1具体函数的定义域的求解】
【例1】(2025·陕西商洛·模拟预测)函数的定义域是()
1
��=�−1+�+5
A.且B.且
C.{�|�>−5�≠1}D.{�|�≥−5�≠1}
【答案】{�B|�≥−5}{�|�≠1}
【解题思路】求出使式子有意义的自变量的范围即得.
【解答过程】由题意,解得且,
�−1≠0
�≥−5�≠1
故选:B.�+5≥0
【变式1-1】(2025·陕西西安·模拟预测)函数的定义域为()
lg�+1
�−1
A.�B.=
C.��>−1D.��≠1且.
【答案】�D�>1{�|�>−1�≠1
【解题思路】根据真数大于零,分母不为零求解.
【解答过程】由题意得,且,则且,
�+1>0�−1≠0�>−1�≠1
则函数的定义域为且.
lg�+1
�−1
故选:D�.=�|�>−1�≠1
【变式1-2】(2025·安徽安庆·模拟预测)已知,,则
2
()�=��=−4�+16�−12�=�0≤�≤2�∩�=
A.B.C.D.
【答案】C0,21,31,20,3
【解题思路】由偶次方根的被开方数非负得到一元二次不等式,解得即可求出集合,再根据交集的定义计
算可得.�
【解答过程】由,即,解得,
2
所以−4�+16�−12≥0�−3�−,1≤01≤�≤3
2
又�=��=−4�,+16�−12=�|1≤�≤3
所以�=�0≤�≤2.
故选:�∩C.�=�1≤�≤2=1,2
【变式1-3】(2025·广东·一模)函数的定义域为()
�−4
A.��=�−B5.
C.4,+∞D.4,5∪5,+∞
【答案】B4,5∪5,+∞−∞,−5∪4,5
【解题思路】根据函数的解析式,列出使函数解析式有意义的不等式组,求出解集即可.
【解答过程】要使函数有意义,
�−4
��=�−5
则,解得且,
�−4≥0
�≥4�≠5
故函�数−5≠的0定义域为.
故选:B�.�4,5∪5,+∞
【题型2抽象函数、复合函数的定义域的求解】
【例2】(2025·安徽合肥·一模)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()
�2−�
�=�2�−1,2��=lg�−1
A.B.C.D.
1,21,41,2∪2,42,4
【答案】C
【解题思路】求出的定义域,根据函数有意义,结合抽象函数定义域的求法和对数函数的定义域,可得
出关于的不等式�组�,解不等式组即可求出答案.
【解答过�程】由的定义域为,得的定义域为.
�=�2�−1,2�=��−2,4
所以或,
−2≤2−�≤4
�−1>0⇒1<�<22<�≤4
综上,lg�−的1定义≠域0为.
故选:C�.�1,2∪2,4
【变式2-1】(25-26高一上·黑龙江哈尔滨·月考)已知函数的定义域为,则函数的定义
�(2�)
域是()�(�)[2,16]�(�)=�−5
A.B.C.D.
【答案】B[4,32](5,8](5,16](5,32]
【解题思路】根据分式的分母不为0,偶次根式的被开方数非负,复合函数的定义域求法可求解.
【解答过程】因为函数的定义域为,
�(�)[2,16]
所以若有意义,需满足,解得.
�(2�)
2≤2�≤16
�−55<�≤8
故选:B.�−5>0
【变式2-2】(2025·贵州铜仁·模拟预测)已知函数的定义域为.记的定义域为集合
�
的定义域为集合.则“”是“”的()��0,3���,�2−1
A.充要条件��∈��∈�B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解题思路】先利用函数的定义域求得集合,再利用充分条件、必要条件的定义判断.
【解答过程】∵函数的定义域为,�,�
所以,��0,3
令�=0,3,解得,即,即,
��
∵0≤2,−1≤31≤2≤40≤�≤2�=0,2
∴“�⊇�”是“”的必要不充分条件,
故选�:∈C�.�∈�
【变式2-3】(25-26高一上·全国·期末)已知函数的定义域为,则函数的定义域为()
��+1
2�
A.B.��C.−2,2��D=.
【答案】C−2,0∪0,2−1,3−3,0∪0,1−1,0∪0,3
【解题思路】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法,即可列式求解.
【解答过程】函数的定义域需满足不等式,解得:且,
−2<�+1<2
−3<�<1�≠0
所以函数的定义域是.2�≠0
故选:C.−3,0∪0,1
【题型3函数值域的求解】
【例3】(2025·重庆·模拟预测)函数的值域为()
�
A.B.��=2C.+�D.
【答案】D0,1[0,+∞)1,+∞[1,+∞)
【解题思路】求出函数定义域,再利用单调性求出值域.
【解答过程】函数的定义域为,
�
又与�在�=2+上均�单调递增,0,+∞
�
所以�=2在�=�上0单,+调∞递增,
��0,+∞,故的值域为.
∴故�选�:D≥.�0=1��1,+∞
【变式3-1】(2025·河南许昌·三模)下列函数中,值域为且为奇函数的是()
A.B.C.�D.
�21
�=e−1�=�sin��=��=�−�
【答案】D
【解题思路】根据奇偶性的定义,判断各函数的奇偶性,再判断值域即可.
【解答过程】对于函数,定义域为,而,∴该函数不是奇函数.故A错误.
�
对于函数,定�义=域e为−1,R�−�≠−��,∴该函数是偶
函数,不是�=奇�函si数n�.故B错误.R�−�=−�sin−�=−�×−sin�=�sin�=��
对于函数,定义域为,,∴该函数是奇函数.对于值域,其值域为
222
�=���≠0�−�=−�=−�=−��
,不是.故C错误.
−∞,0∪0,+∞R
对于函数,定义域为,,∴该函数是奇函数.当趋
111
�=�−���≠0�−�=−�−−�=−�−�=−���
于正无穷时,趋于正无穷;当趋于负无穷时,趋于负无穷;并且函数在定义域内是连续
11
�=�−���=�−�
的,值域为.故D正确.
故选:∴D.R
【变式3-2】(2025·安徽·一模)函数的值域为.
11
�2
�=2+�(�>1)
【答案】
3
0,2
【解题思路】由函数的单调性即可求解.
【解答过程】因为与在上均为减函数,
11
�2
��=2��=�1,+∞
且当时,,所以,
1113
�2
�→+∞2→0,�→00<�<2+1=2
故的值域为.
113
�2
�=2+�(�>1)0,2
故答案为:.
3
0,2
【变式】(上海松江三模)已知函数,则的值域为
3-32025··2.
4�,�≥1
�(�)=��
【答案】�+�−5,0<�<1
【解题思路0,】+根∞据二次函数性质求出时的值域,再根据对勾函数的单调性求出时的值域,然
后利用分段函数的性质即可求解.�≥10<�<1
【解答过程】因为,
2
�,�≥1
�(�)=4
当时,�,+�−5,0<�<1
2
当�≥1�时(�,)函=数�≥1单调递减,故,
4
综上0,<函�<数1的值域�为(�)=�+.�−5�(�)>�(1)=0
故答案为:�(�).0,+∞
0,+∞
【题型4求函数值】
【例4】(2025·黑龙江大庆·模拟预测)已知定义在上函数满足,若,
1
1212
则()�����+�=�����−1=4
�A4.=1B.16C.128D.256
【答案】D
【解题思路】由题设可得或,结合已知排除,再由
�(0)=0�(0)=1�(0)=0�(0)=�(1−1)=�(1)�(−1)
得,结合即可得.
24
【解�答(1过)=程4】由题设�4=[�(2)]=[�(1)],则或,
2
若,令�(0)=�(0,+则0对)=于[任�(意0)]有�(0)=0�(0)=,1而,不符;
1
�(0)=0�1=�,�2=0��(�)=�(�)�(0)=0�−1=4
所以,则,故,
1
�(0)=1�(0)=�(1−1)=�(1)�(−1)=1�(1)=�(−1)=4
由.
244
故选�4:D=.�(2+2)=[�(2)]=[�(1)]=4=256
【变式4-1】(2025·江苏南通·模拟预测)设是定义在上的函数,对,有
,且,则�(�)()�∀�,�∈��(�+�)−�(�−�)=
�(�+A.1)2�(�−1)�B(2.)=-2−2�(�(2025C)).=1D.-1
【答案】A
【解题思路】根据给定条件,利用赋值法探讨函数的周期,再求出函数值.
【解答过程】函数,对,有,
取,得�(�)∀�,�∈��,(�而+�)−�(�−,�则)=�(�+,1)�(�−1)
对�=�=,1令�(2,)得−�(0)=�(2)�(0)�(2)=−2�(0)=2,
即∀�∈��=1,�(因�+此1)−�(�−1)=�(�+1)�(0)=2�(�+1),函数周期为4,
令�(�+1)=,−得�(�−1)�(,�+而4)=−�(�+2)=−[−,�则(�)]=�(�)�(�),
所以�=�=0�(1)�(−1)=0�.(�+1)=−�(�−1)�(1)=−�(−1)=0
故选:�(�A(.2025))=�(�(1))=�(0)=2
【变式4-2】(2025·广西河池·三模)已知函数,则.
【答案】��=1−log4��4=
【解题思路0】直接代入即可求解.
【解答过程】因为,
则��=1−log4�,
故答�4案为=:1−log44=1−1=0
【变式4-3】0(.2025·贵州黔东南·一模)若函数满足,则
32
.��2��+�1−�=�+6�−5�+2
【�答1案=】2
【解题思路】分别令,,得到,,进而解方程组即可.
�=0�=12�0+�1=22�1+�0=4
【解答过程】由,
32
令,得2��+�1−,�=�+6�−5�+2
令�=0,得2�0+�1=2,
两式�=联1立,解2得�1+�0.=4
故答案为:2.�1=2
【题型5已知函数类型求解析式】
【例5】(2025·江西·模拟预测)已知对任意的,都有,则一次函数
的解析式为()�,�∈��(�+�+�(�))=6�+2�+3�=
�(�)A.B.
C.�=�+1D.�=2�
【答案】�C=2�+1�=�
【解题思路】利用待定系数法,设,根据题意运算求解即可.
【解答过程】设�(�,)=��+��≠0
则�(�)=��+��≠0,
2
因为�(�+�+�(�))=�(�+�+��+,�即)=�(�+�+��+�)+�=(�+�)�+,��+��+�
2
�(�+�+�(�))=6�+2�+3(�+�)�+��+��+�=6�+2�+3
则2,解得,所以.
�+�=6
�=2
�=2�=2�+1
�=1
故选��:+C.�=3
【变式5-1】(25-26高一上·山东枣庄·月考)若函数是一次函数,并且满足
,则的解析式为�((�))
�(�(A�.))=9�+1,�(�)=B3.�+1�(�)C.D.
1
�(�)=3��(�)=3�(�)=3�−2�(�)=3�+3
【答案】C
【解题思路】利用换元法可求答案.
【解答过程】令,则,
�−1
�=3�+1�=3
即为,
�−1
�(�(�))=9�+1��=9×3+1=3�−2
所以.
故选:��C.=3�−2
【变式5-2】(24-25高一上·福建福州·期中)若函数是二次函数,满足,,
���0=2��+2−��=4�
则=()
�A�.B.C.D.
2222
【答案】B�+�+2�−2�+2�−�+2�+2�+2
【解题思路】利用待定系数法,由题意建立方程组,可得答案.
【解答过程】设(),由,则,
2
由��=�,�则+��+��≠0�0=2�=2,
22
整理��可+得2−��=4��,�+则2+��+2,+解2得−��+�,�+2=4�
4�=4�=1
4��+4�+2�=4�
所以.4�+2�=0�=−2
2
故选:��B.=�−2�+2
【变式5-3】(25-26高一上·陕西·期末)已知是一次函数,,且,函数
满足,则()�����=9�−4�0>0��
2
A�.��=9�B.
C.��=−3�+2D.��=3�+1
22
【答案】�A�=�−4�+2��=�−2�+1
【解题思路】利用待定系数法设解方程组可得,再由换元法代入计算可得
,可得出结论.��=��+���=−3�+2��=
2
【�解−答4过�+程4】依题意可设,
由可得��=��+�,
2
因此��可�得=9�−4,�解�得�+�+�或=��+��;+�=9�−4
2
�=9�=3�=−3
又因为��+�=−,4所以�=−,1即�=2,即A正确,B错误;
�=−3
�0=�>0��=−3�+2
又可得�=2,
22
令���=9�,所以�−3�+,2因此=9�,
2
2−�2−�2
所以−3�+2=��=,可3得C错�误�,D=错9×误.3=�−4�+4
2
故选:�A�.=�−4�+4
【题型6已知f(g(x))求解析式】
【例6】(2025·辽宁沈阳·二模)已知,则()
�
A.B.��−1C=.e�2=D.
23
e2eee
【答案】D
【解题思路】先由换元法求得函数的解析式,然后代入计算,即可得到结果.
【解答过程】令,则��,所以,即,
�+1�+1
则�−1=�∈��=�+1��=e��=e
3
故选�2:D=.e
【变式】(高一湖南专题练习)已知函数,则()
6-12025··2
1−�
2
�(1−�)=�(�≠0)�(�)=
A.B.
11
22
(�−1)−1(�≠0)(�−1)−1(�≠1)
C.D.
44
22
(�−1)−1(�≠0)(�−1)−1(�≠1)
【答案】B
【解题思路】根据给定条件,用换元法求出函数解析式即可.
【解答过程】令,则,因此,,
2
1−(1−�)1
22
�=1−�,�≠1�=1−��(�)=(1−�)=(1−�)−1�≠1
所以.
1
2
�(�)=(�−1)−1(�≠1)
故选:B.
【变式6-2】(2025·四川遂宁·模拟预测)下列函数满足的是()
23
A.B.�log3=−�log2
1
�(�)=1+ln���=�+�
C.D.
1
��=�−���=1−�
【答案】C
【解题思路】令,则,结合各选项代入验证,即可判断答案.
1
�=log23>1�=log32
【解答过程】令,,则,由可得,
11
�=log23�>1�=log32∈(0,1)�log23=−�log32�(�)=−��
对于A,,故A错误;
11
�(�)=1+ln�=1−ln�≠−�(�)
对于B,,不满足,B错误;
111
�(�)=�+�=�(�)�(�)=−��
对于C,,即,即,C正确;
111
��=�−�=−���(�)=−�(�)�(log23)=−�(log32)
对于D,,即不成立,D错误.
11
�(�)=1−�≠−�(�)�(log23)=−�(log32)
故选:C.
【变式6-3】(25-26高一上·浙江·期中)已知,则函数的解析式为()
��+1=�−1��
A.B.()
22
C.��=�−2�()D.��=�−1(�≥1)
22
【答案】�D�=�−2�+2�≥1��=�−2��≥1
【解题思路】通过配凑,得,进而求得函数的解析式,要注
意的影响.��+1=�−1=�+1�+1−2��
【解�答=过�程+】1因≥为1,
设,�则�+1=�−1=�+1�−1=�+1�+1−2
所以�=�+1≥1��=.��−2,�≥1
所以函��数=�的�解−2析,式�为≥1().
2
故选:D.����=�−2��≥1
【题型7分段函数及其应用】
,
【例7】(2025·贵州·模拟预测)已知函数则()
,
log2��≥2
�(�)=2�(�(1))=
A.1B.2C.3�+�+2�<2D.4
【答案】B
【解题思路】根据分段函数解析式即可求得函数值.
【解答过程】因为,
2
所以�(1)=1+1+.2=4
故选:�(�B(.1))=�(4)=log24=2
【变式7-1】(2025·山东·一模)若函数(且)的值域是,则实
−�+6,�≤2
�(�)=�>0�≠14,+∞
数取值范围为()3+log��,�>2
�A.B.C.D.
【答案】A1,21,22,+∞2,+∞
【解题思路】根据函数的单调性求解函数的值域,结合分类讨论对数函数的单调性即可求解.
【解答过程】当时,单调递减,此时,
当时,�≤2��,=若−�+6,则在��单∈调递4,增+,∞此时,
因此�>要2使�的�值=域3是+log��,故�>1��,2解,+得∞,��∈3+log�2,+∞
当��,则在4,+∞单调3递+减lo,g�此2≥时41<�≤2,
0<�<1��2,+∞��∈−∞,3+log�2
此时无法满足的值域是,故不符合题意,舍去,
综上可得��,4,+∞
故选:A.1<�≤2
【变式7-2】(2025·广西·模拟预测)已知函数,则的值为()
−�+1,�≤1
��=��2
A.1B.0C.ln�−1,�>1D.2
【答案】Ae
【解题思路】根据分段函数性质代入求出,再代入计算即可求得结果.
【解答过程】由函数�2可=知0,
−�+1,�≤1
��=�2=0
所以.ln�−1,�>1
故选:�A�.2=�0=1
【变式】(陕西咸阳模拟预测)已知函数在上单调递减,则实数的
7-32025··2
�−2��+1,�<1,
��=1���
取值范围是()�−2,�≥1
A.B.C.D.
3
−∞,21,21,22,+∞
【答案】B
【解题思路】根据分段函数的单调性,可知每段函数的单调性,以及分界点处的函数的大小关系,即可列式
求解.
【解答过程】因为时,单调递减,
1�
又在上单调�递≥减1,��=�−2
���
所以时,单调递减,则只需满足解得.
3
2�≥1,
�<1��=�−2��+11≤�≤2
故选:B.2−2�≥−1,
考点一函数的解析式与定义域、值域
一、单选题
1.(2025·北京·高考真题)已知函数的定义域为D,则“的值域为”是“对任意,存在,
0
使得”的()�(�)�(�)R�∈R�∈�
A.�充�0分不>必�要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解题思路】由函数值域的概念结合特例,再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【解答过程】若函数的值域为,则对任意,一定存在,使得,
取,则�(�)R,充分性成�立∈;R�1∈���1=�+1
取�0=�1,��0,=则对�任+意1>�,一定存在,使得,
�
取�(�)=2,则�=R�∈R,但此时函数�1∈�的值域为��1=�,必+要1性不成立;
所以�0“=�1的值域�为�0”=是“�对任+意1>�,存在�(,�)使得0,+∞”的充分不必要条件.
故选:�(A�.)R�∈R�0∈���0>�
2.(2024·新课标Ⅰ卷·高考真题)已知函数的定义域为R,,且当时
,则下列结论中一定正确的是()�(�)�(�)>�(�−1)+�(�−2)�<3�(�)=
�A.B.
C.�(10)>100D.�(20)>1000
【答案】�B(10)<1000�(20)<10000
【解题思路】代入得到,再利用函数性质和不等式的性质,逐渐递推即可判断.
【解答过程】因为当�(1)时=1,�(2)=,所2以,
又因为�<3�(�)
温馨提示
- 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
- 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
- 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
- 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
- 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
- 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
- 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。
最新文档
- 2026新疆得仁水务发展有限公司市场化选聘公司及子公司管理人员6人备考题库带答案详解(基础题)
- 2026江苏食品药品职业技术学院招聘专职辅导员3人备考题库附答案详解(完整版)
- 2026广东深圳市南山区松坪文理幼儿园招聘1人备考题库及参考答案详解(研优卷)
- 2026贵州毕节黔西市第一批面向社会招募青年就业见习人员46人备考题库及参考答案详解(满分必刷)
- 《牦牛肉干》牦牛肉干
- 2025-2026学年度江西乐平市第一中学高一上学期期末考试历史试题(含答案)
- 2026天津市肿瘤医院秦皇岛医院选聘31人备考题库(河北)带答案详解ab卷
- 2026西藏阿里地区城乡环境综合提升办公室招聘1人备考题库及答案详解【夺冠】
- 2026山东济南市妇幼保健院招聘卫生高级人才和博士(控制总量)26人备考题库及一套完整答案详解
- 2026广东汕头大学医学院第一批招聘6人备考题库含答案详解(轻巧夺冠)
- 2026国家核应急响应技术支持中心招聘3人笔试参考题库及答案解析
- 2026年春江酒城嘉苑“楼上养老 楼下医疗”CCRC社区运营模式解析
- GB/T 13967-2026全宗管理规则
- 雇佣关系培训
- 2025年水利工程质量检测与管理规范
- 储罐检验测试施工方案
- 2025年知识产权公司英语笔试及答案
- 2025云南沧源佤族自治县国有资本投资运营集团有限责任公司招聘1人笔试考试参考试题及答案解析
- 道路硬化安全协议书
- 内衣设计培训教材
- (2026年)老年患者出院准备服务专家共识课件
评论
0/150
提交评论