高中数学同步讲义（人教A版选择性必修一）：第02讲 1.1.2空间向量的数量积运算（教师版）

第02讲L1.2空间向量的数量积运算

学习目标

课程标准学习目标

1、掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心

素养.

2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提

①会进行空间向量的线性运算，空间向量的升数学抽象的核心素养.

数量积，空间向量的夹角的相关运算.3、了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培

养直观想象的核心素养.

4、能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹

角、长度等问题，强化数学运算的核心素养.

思维导图

定义：两个拿零向量；，财；II亩，刈做〉，的散■机记作；小

①向量的投射：入6上的授彩一。、＜；.，＞=7

敷

量②敷立权的几内章义：4,=卜|Aco、＜a,，＞

机

空间向量数■枳的性质：0a-i-b^a*b=®②a，a=laF=a：

@l?b»allbl瓯；）+=〃；•，）⑤；+=，；（交换律）

知识清单

知识点01：空间两个向量的夹角

1、定义：如图已知两个非零向量〃,8,在空间任取一点。，作04=〃，OB=b，则么NAO8U做向量

的夹角，记＜〃/＞.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角）

a

a

2、范围：<a,b>e[O.^].

特别地，(1)如果<〃力>=',那么向量〃,〃互相垂直，记作”_L〃.

(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为乃，故<〃为>=0(或

<a,b>=7r)o£//>(〃,5为非零向量).

(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0与任何向量〃都是共线的，即0两非零向量的夹角是

唯一确定的.

3、拓展(异面直线所成角与向量夹角联系与区别)

若两个向量。力所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为6,

71

(1)向量夹角的范围是0<<4,〃》<万，异面直线的夹角。的范围是0<。<一，

--71

(2)当两向量的夹角为锐角时，0=<a,b>；当两向量的夹角为万时，两异面直线垂直；当两向量的夹角

为钝角时，0=7T-<a,b>.

【即学即练1](2023秋•高二课时练习)已知同=2a,忖=率则«，〃)=

【答案】T

【详解】根据向量的夹角公式,由于向量夹角的范围是自兀],故

故答案为：v

知识点02：空间向量的数量积

1、定义：已知两个非零向量〃，b，则I〃||b|cos<4,b〉叫做〃，〃的数量积，记作夕/小即

a-h=\a\\b\cos<a,h>.规定：零向量与任何向量的数量积都为0.

特别提醒：两个空间向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零;

2、空间向量数量积的应用

(1)利用公式I〃|=，荔可以解决空间中有关距离或长度的问题；

a•b

(2)利用公式cosv4/>=--------可以解决两向量夹角，特别是两异面直线夹角的问题；

|。|网

3、向量〃的投影

3.1.如图(1),在空间，向量“向向量〃投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面

。内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量〃共线的向量c，c=fa|cos<a,/?>2向量c称为向量〃

1切

在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线/投影(如图⑵).

3.2.如图(3),向量〃向平面夕投影，就是分别由向量〃的起点A和终点8作平面。的垂线，垂是分别为4，

B，，得到ATT，向量48'称为向晟。在平面夕上的投影向量•这时，向最。，ATT的夹角就是向最。所

在直线与平面夕所成的角.

4、空间向量数量积的几何意义：向量〃，b的数量积等于a的长度|。|与匕在a方向上的投影

|b|cos<a,b>的乘积或等于b的长度161与〃在上方向上的投影>|cos<a,b>的乘积.

5、数量积的运算：

(1)(2a)•b=Ma•b),AwR.

(2)a./?=〃.〃(交换律).

(3)a，(/?+c)=+(分配律).

【即学即练2】(2023春•福建宇德•高二校联考期中)已知在标淮正交基｛"/｝下，向量〃=4i+3J-83

b=2i-3j+7k,c=—i+2j—4k，则向量〃?=a—b+c在k上的投影为.

【答案】-19

【详解】因为向量。=4i+3./—8hb=2i-3j+7k,c=-i+2j-4k,

因此勿=(4，+3/-8&)-(2，-3/+7女)+(—，+2，-4Q=，+8)-19&,

mk=(i+8J-19k)k=ik+Sjk-l9k2=-19

所以向量加在攵上的投影为*=-19.

RI

故答案为：T9

知识点03：空间向量数量积的性质

（1）。_LZ?<=>。•力=0

（2）若a与人同向，则。•"=a〃；若a与〃反向，则。/=一。b.特别地，a•〃=忖或卜卜.

(3)ab<ab

题型精讲

题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积）

【典例1】（2023秋•福建福州•高二福建省福州铜盘中学校考期末）如图所示，平行六面体A8CO-AAG。

中，以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60。，求BRAC的值是（）

【答案】B

【详解】由题意得5A=3A+AO+OA=AO-A3+M，AC=AB+AD，

贝iJBAACjAD-AB+MXAB+AOXA。-AB+AA.AB+AA.AD

=1-1+lxlxcos6（）+1x1xcos60=1,

故选:B

【典例2】（2023•全国•高二专题练习）正四面体ABC。的棱长为1,点E、尸分别是43、AO的中点,

则E尸.OC=•

【答案】-"。.25

4

【详解】如图所示，正四面体ABC。的棱长为1,点E、/分别是A8、A。的中点，

所以稗=：8。，

A

故E尸.OC=18O.OC=gB£>Hoqcosl200=-gx；=-；

故答案为：-!

4

【变式1］（2023秋•浙江绍兴•高二统考期末）己知正四面体A-8C。的棱长为LM为棱CD的中点，则

ABAM=（）

A.qB.十C.D.3

【答案】D

【详解】因为M是棱C。的中点，所以AM=g（AC+A。）

人力）=：°4Ml.ck（）s60+,用人4cos60

122/2

故选：D.

【变式2］（2023春•高二课时练习）已知空间向量出。满足|。|=2,引=1,且a与/?的夹角为?，则〃山

【答案】1

【详解】由空间向量数量积的定义，a山坪”I小os,力）=2?

故答案为：1

题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围）

【典例1】（2023春•高二课时练习）如图，已知正方体ABCO-AMGA的棱长为1,七为棱4G上的动

点，则向量AE在向量AC方向上的投影数量的取值范围为

【详解】由已知E为棱8c上的动点，设4石=义用G（0W；lWl），

lawiiuuuuuuuulauiiuuummuuiw

因为AE=44+Sf=AB.+AB©=AB+BB.+ZB©，

maim«iuuuinniIRIIBIIILOUUUUuuuiiuuimuulimaIR«I

所以4EAC=(A8+8q+/t4G)AC=AB.4C+B4AC+/l8CAC

=lx>/2xcos45+2xlxV2xcos45=1+2»

1+2

所以向量AE在向量AC方向上投影数量为F'

又0W义Wl,.-.1<1+/1<2,

・李展△

所以向量八E在向量AC方向上投影的数量的取值范围为

故答案为:,72.

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）如图，在三棱锥P—4BC中，AB1BC,Q4_L平面ABC,AELPB

于点E,M是AC的中点，PB=\＞则的最小值为.

【答案】-J/-0.125

O

【详解】连接国，如图,

B

因PAL平面ABC,8Cu平面44C,则PA_L8C,而AB人BC,PA^AB=A,PA48u平面/MB,

则BC/平面PAB,又依u平面P4B,即有BCJ.P8,

因M是AC的中点，EM=^(EA+EC)=^-EA+^(EB+BC),又AELPB，

222

EPEM=EP[-EA+-(EB+BC)]=-EPEA+-EPEB+-EPBC

22222

」“"8」|律||£例之」产1+|£叫」,当且仅当|EP|=|E例取"="，

1

22"2282

所以EP.EM的最小值为-"

O

故答案为：

0

【变式1](2023秋•湖北黄石•高二校联考期末)已知正三棱锥P-AAC的底面AAC的边长为2,材是空

间中任意一点，则MA.(M8+M。的最小值为()

A.——B.—1C.D.——

222

【答案】A

【详解】解：设BC中点为O,连接MO,设MO中点为，，则==/=*

+=M4(2MO)=2(MH+HA^MH+HO)

1

2[MH+4A*A//2-HA)=MH(A/4，-：

3

当历与“重合时，MH?取最小值0此时+MC)有最小值-2,

故选：A

题型03利用数量积求夹角

【典例1】(2023春•高二课时练习)空间四边形。48c中，OB=OC,乙4OB=NAOC=q,则cos(Q4,BC)

的值是()

【答案】D

【详解】解：OB=OC,

所以。4-4C=04（00—04）=04OC—0403

=|叫。4cosg-网叫osg=；WKD=0

同〒以cos（Q4BC）=0,

故选:D.

【典例2】（2023春•高二课时练习）如图，在平行六面体ABC。-AKG仅中，以顶点A为端点的三条边

的长度都为1,且两两夹角为60。.求"R与4c所成角的余弦值.

【答案】亚

6

【详解】记4B=a，AD=b^A4,=c,则卜卜忖=忖=1,〈4〃〉="=《,（?）=60,

：.ab=bc=ac=

BD1=b+c-a,AC=a+b»

|BD]|=|/?|+|c|+|«|+2（/?・。一。・/?一〃・c）=3-1=2,|AC|=p/|+|/?|+2a/=3,

.•・M卜及，,q=G

8S（叫/"崩瑞=7T%=?

印BQ；与AC夹角的余弦值为逅.

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）如图，正四面体A8CD（所有棱长均相等）的棱长为1,E,F,

G，”分别是正四面体48co中各棱的中点，设A3=”，A。"，花=1试采用向量法解决下列问题:

(1)求E尸的模长；

(2)求七/，GH的夹角.

【答案】(1)孝；

(2)90°.

【详解】(1)因为EF,G是中点，所以

EF=EB+BA+AF=-CB+BA+-AD=-(AB+CA)+BA+-AD=-(c-b-a),

22222

因此归尸=；(c-b-af=(c+b+a-2cb+2ba-2c-a),

因为正四面体所有棱长为1,

所•以EF=—(l+l+l-2xlxlx--2xlxlx--2xlxlx—)=—,

42222

所以怛F卜当；

(2)由(1)可知：EF^c-b-a).\EF\=^-

同理GH=gs+c—|丽卜岑.

FF.GHa)?一方~]122-)1i

cos〈EF,GH〉=[——nr=------------------=—(c"+a"=—(l+l-2xlxlx—

|EF|-|G/7|1222

的夹角为90。.

【变式1](2023•全国•高二专题练习)如图，平行六面体ABC。-中，AB=AD=1,AA.=2f

ZBAD=60fAA与A3、AO的夹角都为60,求：

B

(1)人G的长;

（2）与AC所成的角的余弦，直.

【答案】（1）而；（2）名叵.

15

【if解】（1）izAB=ci»AD=b»=c>

所以〃•/?=，/，/?cos60°=g,£7-c=|fl|-|c|cos600=1,/?-c=|/?|-|c|cos60°=1

因为AC=a+b

所以平行四边形4ACG中AG=4C+A4,=。+"c

国2=（同2=（£+5+4

=（。）+（〃）+卜）+2ab+2ac+2bc

=p|+|/?|+|c|+2p/|•|/?|cos600+2p/|•|c|cos600+21/?|•|cjcos600

=14-l+4+2x-4-2xl+2xl

2

=11

・・・图卜而

所以对角线AG的长为：Vn.

（2）由AC=a+〃，可得忸。2=3+初2=,『+仅力=]+[+[=3,

所以|AC|=J5

由BD、=AD1—AB=b+c—d,

21

PTW|BD1|=（b+c-a）=（«）+仅）+卜）-2ab-2ac+2bc

=14-1+4-1-2+2=5.

所以18nl=6,

cos/AC心一AC.明一（"〃）•他+。-。）

8sl，叫一国网.6后

6-c-（«y+（/?）+bc

=乖

1-1+14-12V15

-V15-15,

题型04空间向量的投影（投影向量）

【典例1】（2023春•安徽合肥•高二校考开学考试）已知空间向量卜卜至，忖=5,且。与人夹角的余

弦值为-豆叵，贝儿在〃上的投影向量为（）

65

A9x/13,R9>/13,r_9_,n

A.------bB-----bC.D.一工7。

13132525

【答案】D

【详解】卜A,忖=5,〃与。夹角的余弦值为一需，

•.4在。上的投影向量为

abb而'"I-孽b9b9

WW=5r-5,i=-^,

故选:D.

【典例2】（2023•全国•高二专题练习）在棱长为1的正方体ABCD-ABCR中，向量AB在向量

AG方向上的投影向量的模是.

【答案】且

2

【详解】棱长为1的正方体中向量八6与向量AG夹角为COS45，

所以^^±=卜4际（4°"6=,小°,卜。1，44）=以8$45=#

向量AB在向量AG方向上的投影向量是

■AGA/_五*AG

而f国一丁问

号AG_拉

向量AB在向量AG方向上的投影向量的模是FM-T，

故答案为：也

2

【变式1】（2023•全国•高二专题练习）如图，已知E4_L平面A8C,aWC=120,PA=AB=BC=6,

则向量PC在BC上的投影向量等于.

3

【答案】-BC

【详解】・・R4_L平面ABC,

则%_L8C,

PCBC=（PA+AB+BC）BC=PABC+ABBC+BCBC=0+（）X6X^+62=54

向量PC在8。上的投影向量为生”—=^BC=^BC.

\BC\\BC\362

故答案为：|3«—C.

题型05空间向量中的模（距离，长度）

【典例1】（2023春•四川成都♦高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知正四面体A-8CQ的棱长

为2,若M、N分别是AB、。。的中点，则线段MN的长为（）

A.2B.41

C.V3D.—

2

【答案】B

【详解】

MN=MA+AN=--AB+-AC+-AD,

222

又,AC、A6、AO两两的夹角均为，目」叫-卜4-卜4-2,

:.MN--AB+-AC+-AD]

222)

=#/+AC2+AD2-2AI3-AC-2AB-AD+2AD-AC

+|ACj2+\ALJ^-2\A^•|/4C|cosj-2|•|AD|COS^+2|/AZ?|-|/\c|cos^|=2

3

故选：B.

【典例2】（2023春•福建宁德•高二校联考期中）已知单位向量〃，b,c中，a_L〃，,。=，。=60。,

则卜一"24=（）

A.x/5B.5C.6D.R

【答案】D

【详解】因为〃_L〃，GQ=（硝=60。,且0,b，c为单位向量，

贝山一〃+2c|=J(q_/?+2c)-=+吊+4中-2a•b+4a•c•-4/rc

=.l+l+4-0+4xlxlx—4xlxlx-=\/b.

\22

故选：D

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）已知长方体ABC。-44GA的底面是边长为2夜的正方形，若

cos〈AB,AC）=*,则该长方体的外接球的表面积为;记［J分别是A&AZ）方向上的单位向量，

且|〃1=2后，a-el=a-e2=2x/2，则『-机〃为常数）的最小值为________

【答案】24TI2及

.【详解】在Rt.ABG中,AB=2五,cqA最同）=与,所以、。产西"？6

3

所以该长方体的外接球的半径为;AG=#，所以该长方体的外接球的表面积为4冗（卡了=24几由1:1=2卡

->->TTTT2\^6

及〃・e1=ae2=2V2可得cos〈a,e；=cos〈a,e2〉==—，

所以「与4匕的方向相同或与小的方向相同,

不妨取：与急的方向相同，

由平面向最基本定理可得g+ne,必4et,e2共面，

在平面A8CD上取一点E»故可设Hiq+ne2=AE,

则_〃司=|AC.-AEKEC.|,所以其最小值为点G到平面48co的最小值，即最小值为

|CC；|=7（2>/6）2-42=2X/2.

故答案为：24兀；2x/2

【变式1】（2023春•高一课时练习）已知〃，〃均为空间单位向量，它们的夹角为60°,那么卜+3司等

于（）

A.x/7B.VlOC.Vl3D.4

【答案】C

【详解】由题意可得“仍=|dWcos60o=lxlxg=g,

k+3Z?卜&+3b丫=\la2+9b2+6ab=Jl+9+3=x/13.

故选：C

【变式2】（2023•江苏•高二专题练习）四棱柱A8CO-AMCR的底面A8CD是边长为1的菱形，侧棱

长为2,且NGCB=NCCO=/8CQ=60。，则线段的长度是（）

A.屈B.叵C.3D.VH

2

【答案】D

【详解】因为NGC3=/CCO=N4CO=60,|c/）|=|CB|=[\CC\=2,

所以C7>CB=|C4X|CQXCOS60°=；,CDCCX=\,CBCCf

因为C4,=6+A4,=C4+Cq=CD+C8+CC,

所以C/V=（CQ+C8+Ccj

=|CD|2+|CB|2+|cc,|2+2CDCB+2CD-CC.+2CBCC,

=l+l+4+2x'+2xl+2xl=ll,

2

所以|CA|二E,即线段AC的长度是Jil.

故选：D.

题型06利用数量积证明垂直问题

【典例1】（2023•江苏•高二专题练习）已知正四面体。48。的棱长为2,点G是△O8C的重心，点M是

线段AG的中点.

o

⑴用。4。&。。表示OM,并求出|OM|；

（2）求证：OM工BC.

【答案】（l）0M=4QA+405+,0C,\（）M\=42

26611

⑵证明见解析

2（11>11

【详解】（1）因为点G是△08。的重心，所以。G=±-OB+-OC=-OB+-OC

因为点〃是线段AG的中点，所以0M=：0A+：0G=：0A+：（!05+!0C[=<0A+：08+：0C.

2222133/266

因为正四面体OABC的棱长为2,

所以OAO8=O8OC=O4OC=2x2xcos60=2,

,_-.o1-21—21・21-1—.—.1—.

所以=-OA-+—OB+-OC+-OAOB+-OAOC+—OBOC

436366618

=-1x,4+——1x/4+—1x,4+-x2+-x2+—x2=2,

436366618

所以|。必=四.

（2）OMBC=[-0A^-0B^-0C\（0C-0B\

（266）''

=-OAOC--OAOB--OB2+-OC2

2266

=-1x2c——1x2c——1x44+-1x4…=0,

2266

所以OM_L8C.

【典例2】（2023春•高一课时练习）如图，棱长为。的正方体A8CO-A8cA中，E，〃分别为棱A8

和8C的中点，用为棱的中点.求证：

(1)律_1_平面842。；

⑵平面以4，平面CQM.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【详解】(1)正方体/WCQ-AMC"中，四边形ABC。是正方形，所以ACqBD.

又B/_L平面ABC。，ACu平面A8CD,所以，

又因为&8cBD=8,,BDu平面BBRD,所以，47_1平面84。。.

.ABC中，E,尸分别为A从3c中点，

所以，EF//AC,所以，EF工平面

(2)正方体ABCQ-AMCA中，四边形8用。0是正方形，

又F、M分别为8C、中点，

所以，B\F=B\B+、BC,GM=(G4+；48]=(-BC+：旦31，

所以，RFC\M=(同8+3区。).(_氏？43片区)

121211,1,

=-B,BBC一一BC+-B,B+—8C•旦8=-0——a2+-«2+0=0.

'22*4122

即々尸1QM.①

正方体ABC。-A8cA中，力。平面B片CO,B/u平面BBC6,所以。②

由①②及G"cRG=G，且GM，AGU平面GA",所以，与尸,平面弓已用，

又B/u平面E/百，所以，平面E/耳平面GAM.

【变式1](2022秋通庆九龙坡稿二重庆实验外国语学校校考期末)如图，己知平行六面体ABCD-ABGR

中，底面A8c。是边长为1的菱形，CC,=2,NCQB=NBCD="CD=6()

（1）求线段的长；

（2）求证：CA1BR.

【答案】（1）而

⑵证明见解析

【详解】⑴设CO-C8=b,CG=c,则,卜W=1，W=2,

I/GCB=NBCD=/GCD=60,贝I］。?。b?c2创cos60?1,a?b1创cos60?

CA—CD+CB+CC、—a十Z?十c,•二

|o\|=|a+Z?+c=J（a+b+c）=Jc/+b+c+2^a-b+a-c+b-cj=J1+1+4+2x（；+1+1）=VH.

故线段CA的长为JFL

（2）证明：/BR=BD=-CB+CD=a-b,：.

CA•BQ、=（a+力+（?）•（〃-力）=〃一％-Z7c+ac=1-1-g+；=0.

故CAIBQ-

【变式2］（2022秋•河南周口・高二校考阶段练习）如图，正方体ABC。-AB'CD的棱长为。.

(1)求A3和的夹角；

(2)求证：A13±AC.

【答案】⑴60。

(2)证明见解析

【详解】(1)AB=a♦AD=b»AAf=c•

由「正方体”8—A'&CD的棱长为小

.•.同=忖=匕|=。，且«冉=9。。，，0=90。，,,c)=90。.

vAfB=AB-AA,=a-c，BrC=AfD=AD-AAf=b-c，

/.A'B-B'C=(a-c)(b-c)=db-ac-bc+c2=0-0-0+a2=a2-

又卜叫二亿，陷=伍，

,、A08，c_fl2_1

•.cos(AB,BC)—]------；--------—产—十———

'',0忖。|V2fl-V2f/2-

又(48,8'0式0。,180。],

.♦.(A8,8'C)=60。，

.•.A8与&C的夹角为60。.

(2)证明：由(1)知A'8=a—c，AC^AB+BC+CC^AB+AD+AA^a+b+c^

A'B-AC'=(a-c)-(a+b+c)=a2+ab+ac-ca-cb-c2=a2+O+O-O-O-«2=Ot

/.A!B_LAC'，

：.AfB±AC.

题型07重点方法篇(利用极化恒等式求数量积最值)

【典例1】(2023春•高二课时练习)已知正四棱柱A88-ABCA中，底面边长的=1,=>/2,P

是长方体表面上一点，则EA/G的取值范围是()

।1「3-r1~\r3

A.--,0B.--,0C.--JD.--,1

1_2」L41_2」1.4」

【答案】B

【详解】取4cl中点O,

}1

贝IJP4PG=[PO+OA)\PO+OCi)=(PO+OA)\PO-OAj=P(y-()At

•・•当P为侧面中点时，忸a=2；P0的最大值为体对角线的一半1，

IImin2

又画二斗《卜gjl+l+2=l,_；0,

HPPA-PC,的取值范围为,*o]

故选：B.

【典例2】（2023秋•江西萍乡•高三统考期末）已知球。是棱长为1的正四面体的内切球，A8为球。的

一条直径，点尸为正四面体表面上的一个动点，则m的取值范围为.

【答案】

如图所示，在边长为1的正四面体瓦■中，设四面体内切球球心为。,

内切球半径为广，取E尸中点为G,

因为VJDEF=^O-CDE+^O-CDF+^O-C£F+^O-DF.F»

所以:S/xCa=4x；S△诋X。所以0«〜=4,

因为点，为正四面体表面上的一个动点，

所以7WPOWCO,即逅wpo«2ca=如，

1244

因为A3为球。的一条直径，所以。4=-0瓦

所以P（f+POOA-POOA-O^=PO2,

24

因为逅4P04"，所以上00*：,

124248

所以OKPO?--!-«!，

243

故答案为：卜，!.

【变式1】（2023秋•重庆•高二校联考期末）已知EF是棱长为8的正方体外接球的一条直径，点M在

正方体的棱上运动，则•,的最小值为（）

A.-48B.-32C.-16D.0

【答案】C

【详解】如图，所是棱长为8的正方体外接球的一条直径，即正方体的一条体对角线,

由正方体的特征可得其外接球半径为丹+8y=46,

设外接球球心为O,则MF=(MO+OE)(MO+OF)=(M()-OE)(MO-OE)

22

=|MOF-1OEF=|MO|-(4如2=|OM|-48,

由「•点M在正方体的棱上运动，故IOM『的最小值为球心。和棱的中点连线的长,

即为正方体面对角线的一半，为巫=4丘,

2

所以MEMF的最小值为(40)：-48=-16.

故选:C

强化训练

A夯实基础B能力提升C综合素养

A夯实基础

一、单选题

1.(2023春•高二课时练习)在正四面体4BCD中，BC与CO的夹角等于()

A.30°B.60°C.150°D.120°

【答案】D

【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知，

<BC、CD>=\80°-<CB.CD>=180。-60°=120°

故选：D

2.(2023春•高二课时练习)平行六面体ABCD-AB'C'D中，A8=4,AD=3,AA=5,NBAD=90。，

N3AA=NA4A=60°,则AC的长为()

A.10B.785C.向D.>/70

【答案】B

【详解】如图，

Df

C

由题知，AB~=\6,AD2=9,AA,2=25,

ABAD=4x3xcos90°=0,AB-AA=4x5xcos60°=10»

AOW3x5xcos600=".

2

•：AC=AB+AD+AA\

人c"=（A3+AD+A/V『=而+AD2+江+2AB4。+2AB.京+2AD•A4'

=16+9+25+2x0+2x10+2x”=85,

2

〔AC'卜屈即AC的长为785.

故选：B

3.（2023春•江苏盐城•高二盐城;大丰区南阳中学校考阶段练习）在正四面体尸-ABC中，棱长为1,且。

为棱43的中点，则PQ.PC的值为（）.

【答案】D

如图，因为。为棱A8的中点，所以叨=3例+尸8)，

PDPC=1(PA+PB)PC=i(/>APC4-PB/?C),

由正四面体得性质，%与PC的夹角为60。，同理蹬与PC的夹角为60。，网二网=附卜1,

P/\PC=PZ?PC=lxlxcos60°=-,

2

故PCPO=X；+£|=；,

故选:D.

4.（2023秋广东揭阳高二统考期末）在空间四边形A8。。中，44・。。+/1。・。4+49小。等于（）

A.-1B.0C.1D.不确定

【答案】B

【分析】令AB=a,4C=〃,AZ）=c，利用空间向量的数量积运算律求解.

【详解】令AB=〃,4C="AO=c，

则AB-CD+AC-DB+AD-BC，

=«•（€*-/?）+4-,

=a»c-a・b+b・a-b*c+c»b-c»a=0•

故选：B

5.（2023春•高二课时练习）己知空间向量两两夹角均为60,其模均为1,则卜+〃-21=（）

A.V2B.行C.2D.6

【答案】B

【详解】卜+匕-2c|=yl（a+b-2c）2=\]a2+b2+4c2+2ab-4a-c—4b-c

=l+l+4+2xlxlx--4xlxlx--4xlxlx—

'A1222

=3.

故选：B

6.（2023秋•河南新乡•高二统考期末）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体

体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵A8C-A8C中，AB±AC*M,N分

A.4B.5C.6D.8

【答案】C

连接AMAM,由棱柱性质，侧棱AAJ_平面ABC,ACU平面ABC,则AALAG,

故AM=y）AA^+/\M2="+1=75，又AN=\lAB2+BN2==V17，

AG.MN=g（AN+AM）・（AN—AM）=#N（一|阿）=%17-5）=6.

故迄C

7.（2023春•福建莆田•高二莆田第二十五中学校考期中）在空间，已知百，g为单位向量，且q_!_/，若

a=2et+3e2,a=kel-4e2,a上b，则实数女的值为（）

A.-6B.6

C.3D.-3

【答案】B

【详解】由题意可得a〃=0.ete2=0,|e）|=|e2|=l,

所以（20+3/）•（攵4-4/）=0，即2氏一12=0,得左=6.

故选：B.

8.（2023春•安徽合肥•高二校考开学考试）已知空间向量,卜J万，忖=5,且。与人夹角的余弦值为—鬻,

则。在〃上的投影向量为（）

A9®9拒〃「9

A.---------bRB.--------bC.-uD.-2〃

13132525

【答案】D

【详解】=J万，忖=5,”与6夹角的余弦值为-粤,

d{EbI'.的投影向量为

■,5/i3x5x（-^!^）,Q,Q

at）b'6589b9,

-TT'Ti=-------------------------=--------=------b-

WM555525

故选：D.

二、多选题

9.（2023秋•河北邢台•高二邢台一中校考期木）如图，在三棱柱ABC-A4G中，“，'分别是为瓦用6上

的点，且BM=2A”，GN=281N.设===。，若

ZBAC=90=ZCA\=60=AC=AA.=\,则下列说法中正确的是（）

A.MN=-a+-b+—cB.\MN\=—

3333

D.cos〈AB「BC〉」

c.AB“G

【答案】BD

【详解】因为期0-2A",C\N=2R\N,

所以AM=-\B=-^AB-AA^fAyN=AyBl+BiN=AB+-B]C]=AB+-^AC-AB)=-AB+-ACf

333333

所以“八，=4汽-4加=248+，40_工(/\8_的)=』48+，4。+！4^=!a+，〃+」c,故A错误；

333333333

因为|d=M=H=L。力=0,ac=bc=；,

—21/••・\2J/-2-2-2

所以MN=—(a+b+cj=3(。+b+c+2zib+2ac+2bc

9V

所以MN=—,故B正确；

3

因为A3=A13—AAi=a—c,AG=b，

所以=^a-cyb=ab-bc=0-\x\x-=--^0f故c错误；

因为AB】=A8+AAy=a+c,BC\=BC+BB1=AC—AB+AAy=b+c—a,

所以AB.BCi=-c)•伍+c-a^=ab+bc-a+c

2

因为=(a+c)=(a+J+24C)=3,

所以A@=石，BC[=(-a+〃+c)=(a+/?+c-2a-b-2a-c+2b-cj=3,

所以WG]=G,

所以cos（A仇BC）=JT=L故D正确.

\/V3xV36

故选：BD.

10.（2023春•高二课时练习）己知ABC。-A4C。为正方体，则下列说法正确的有（