第四讲 椭圆与双曲线（解析版）

第四讲椭圆与双曲线【知识梳理】一、椭圆的定义平面上到两定点的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.三、椭圆的图形及其简单几何性质标准方程图形焦点位置几何性质范围顶点焦点对称性离心率在轴上，对称轴：轴，轴，对称中心：原点，在轴上，注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.必记结论：1．设椭圆上任意一点，则当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．2．已知过焦点F1的弦AB，则的周长为四、双曲线的定义和标准方程1．双曲线的定义（1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（2）符号语言：.（3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；当时，轨迹为分别以为端点的两条射线；当时，动点轨迹不存在．2．双曲线的标准方程双曲线的标准方程有两种形式：（1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示；（2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示．图1 图2注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有．3．必记结论（1）焦点到渐近线的距离为.（2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为．（3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或．（4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为．（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为．（6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为．五、双曲线的几何性质1．双曲线的几何性质标准方程图形范围，，对称性对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点焦点左焦点，右焦点下焦点，上焦点顶点轴线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴；实轴长，虚轴长渐近线离心率2．等轴双曲线的概念和性质实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：（1）方程形式为；（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率．题型01椭圆及双曲线的定义【解题思路】椭圆的定义：平面内动点到两定点的距离的和为常数，即，当时，动点的轨迹是椭圆；当时，动点的轨迹是一条线段；当时，动点的轨迹不存在.双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形：①若点满足，则点在左支上；②若点满足，则点在右支上.【例1】已知，下列命题正确的是（

）A．若到距离之和为，则点的轨迹为椭圆B．若到距离之差为，则点的轨迹为双曲线C．椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积是D．渐近线为且过点的双曲线的焦点是【答案】C【分析】直接利用椭圆定义和双曲线定义，直线的斜率，渐近线的应用逐个判断选项即可.【详解】对于A，若到距离之和为，即，则点的轨迹为线段，A错误；对于B，若到距离之差为，即，又，则点的轨迹为双曲线的一支，故B错误；对于C，椭圆上任意一点（长轴端点除外）与连线斜率之积：，C正确；对于D，渐近线为且过点的双曲线方程为，双曲线过点，则，故双曲线方程为，故焦点坐标为和，故D错误.故选：C【例2】已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】充分、必要条件的判断，一方面需要判断充分性，另一方面要判断必要性，结合双曲线的定义，只有“为定值”且“”时才成立，即可做出判断．【详解】充分性：当“为定值”，但“”时，“动点的轨迹不是双曲线”，不满足充分性；必要性：双曲线上的动点满足“为定值”，满足必要性；因此“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件．故选：B.【变式1-1】（多选）已知、，下列说法中正确的是（

）A．平面内到、两点的距离相等的点的轨迹是直线B．平面内到、两点的距离之差等于的点的轨迹是双曲线的一支C．平面内到、两点的距离之和等于的点的轨迹是椭圆D．平面内到、两点距离的平方和为的点的轨迹是圆【答案】AB【分析】根据中垂线的定义可判断A选项；利用双曲线的定义可判断B选项；根据椭圆的定义可判断C选项；求出动点的轨迹方程可判断D选项.【详解】设所求动点为，由题意可得.对于A选项，由题意可知，，则点的轨迹为线段的垂直平分线，A对；对于B选项，由题意可知，，所以，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的一支，B对；对于C选项，，所以，点的轨迹为线段，C错；对于D选项，设点，则，可得，满足条件的点不存在，D错.故选：AB.【变式1-2】设满足：，则的轨迹为（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．不存在【答案】B【分析】设，，即可得到，根据椭圆的定义判断即可.【详解】设，，则，，由，即，又，所以，根据椭圆的定义可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆。故选：B【变式1-3】（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（

）A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线【答案】BC【分析】根据椭圆的定义求解.【详解】由题意知，定点，，可得，因为，可得，当且仅当，即时取得等号，当时，可得的，此时点的轨迹是线段；当时，可得，此时点的轨迹是椭圆.故选：BC.题型02求椭圆、双曲线的方程【解题思路】用待定系数法求椭圆方程：根据焦点位置设方程为或，若焦点位置不确定，则可设椭圆的方程为，，用待定系数法求椭圆方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为；【例3】已知椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，则椭圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由已知条件列方程组求出方程中参数即可.【详解】椭圆的左焦点在抛物线的准线上，且椭圆的短轴长为2，则有，解得，椭圆的方程是.故选：A【例4】求满足下列条件的双曲线的标准方程：(1)双曲线的渐近线方程为，焦点在轴上，两顶点之间的距离为2；(2)与双曲线有共同的渐近线，并且经过点．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，且，由此即可得解.（2）由题意设满足题意的双曲线的标准方程为，将点代入即可得解.【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，故设满足题意的双曲线的标准方程为，又因为双曲线的渐近线方程为，两顶点之间的距离为2，所以，解得，所以满足题意的双曲线的标准方程为.（2）因为所求双曲线方程与双曲线有共同的渐近线，故设满足题意的双曲线的标准方程为，又因为所求双曲线经过点，所以，解得，所以满足题意的双曲线的标准方程为.【变式2-1】焦点在轴上的椭圆过点，且点到两焦点的距离之和为8，则该椭圆标准方程为.【答案】【分析】由椭圆的定义得到，再把点代入椭圆标准方程，求出即可.【详解】设椭圆方程为，因为点到两焦点的距离之和为8，所以，又焦点在轴上的椭圆过点，所以，所以该椭圆标准方程为：.故答案为：.【变式2-2】与椭圆：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】首先设出双曲线方程，求出的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出的值即可求解.【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为，则，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为，由双曲线的定义可知，所以，所以所求双曲线的标准方程为.故选：C.【变式2-3】求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点；(2)渐近线方程为，且经过点．【答案】(1)(2)【分析】（1）设双曲线方程为，代入双曲线方程结合，求出，即得双曲线方程；（2）法一：分焦点在x轴和y轴设双曲线方程，结合渐近线方程为，且经过点，列方程得到双曲线方程；法二：结合渐近线方程设双曲线为，代入点，得到的值，进而得到双曲线方程.【详解】（1）设所求双曲线方程为．∵，∴，∴.由题意得解得，∴所求的双曲线方程为．（2）法一：∵双曲线的渐近线方程为．当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为，则①．∵点在双曲线上，∴②．①②联立，无解．当焦点在y轴上时，设所求方程为，则③．∵点在双曲线上，∴④．联立③④，解得，．∴所求双曲线的标准方程为．法二：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，∵点在双曲线上，∴，即．∴所求双曲线的标准方程为．题型03根据椭圆、双曲线的方程求参数范围【解题思路】给出方程，①当时，方程表示圆；②当时，方程表示椭圆.若，则焦点在轴上；若，则焦点在轴上.①当时，方程表示双曲线.若，则焦点在轴上；若，则焦点在轴上.【例5】已知方程对应的图形是双曲线，那么的取值范围是（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】根据双曲线定义求的取值范围.【详解】因为方程对应的图形是双曲线，则，即或，解得或．故选：B【例6】若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由方程表示椭圆得系数满足的不等式组，解不等式组可得.【详解】因为方程表示椭圆，则，解得，则实数的取值范围是.故选：B.【变式3-1】（多选）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】由双曲线定义求出，的不等关系，由焦距可以求出，由此可确定的取值范围.【详解】因为方程表示双曲线，所以，解得，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得，即，所以．故选：AB【变式3-2】（多选）若方程所表示的曲线为，则下列说法错误的是（

）A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或C．若为椭圆，则焦距为定值D．若为双曲线，则焦距为定值【答案】ACD【分析】根据椭圆以及双曲线的标准方程，即可结合选项逐一求解.【详解】方程，由，解得,,，此时曲线是椭圆，所以A不正确．

由得或，此时表示的曲线是双曲线，所以B正确，当，解得，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故焦距为，不为定值，故C错误，当，解得时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，则焦距为，不为定值，故D错误，故选：ACD．【变式3-3】（多选）若曲线的方程为：，则下列说法不正确的是（

）A．当曲线为直线时， B．当时，曲线为焦点在轴的双曲线C．当时，曲线不存在 D．当曲线表示焦点在轴上的椭圆时，【答案】BD【分析】利用二元二次方程与曲线的关系，分类讨论的取值即可得解.【详解】对于曲线的方程：，当，即或时，则或，此时曲线为直线；当，即或时，则，若，则，，则，又必然成立，此时曲线为焦点在轴上的椭圆；若，则，，显然不成立，此时曲线不存在；当，即时，，，由可知曲线为焦点在轴上的双曲线；综上，AC正确，BD错误.故选：BD.题型04焦点三角形【解题思路】在解焦点三角形的有关问题时，可结合椭圆的定义或双曲线的定义及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解．【例7】已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，则的周长为（

）A．4 B． C．8 D．【答案】B【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出三角形周长即可.【详解】椭圆：的长半轴长，显然，，所以的周长为.故选：B【例8】若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】在使用余弦定理后用椭圆的基本定义化简即可计算出结果.【详解】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆故.根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点有：……①，……②由题知……③在中使用余弦定理有：……④将①②③代入④式得到：……⑤现在我们可以计算三角形的面积：因此，的面积是.故选：B.【变式4-1】已知椭圆的左､右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合椭圆定义，有，即可得各边长与的关系，得到，结合即可求解.【详解】设，则，所以，因为，即，故，所以，所以，故，即，所以.故选：B.【变式4-2】已知，为双曲线的左，右焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，设的内切圆半径为，圆心为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据切线的性质及双曲线的定义，确定M的横坐标，即得出圆心的横坐标，再由勾股定理代入计算，即可求解.【详解】设的内切圆分别与，切于N，B，与切于H，如图，则,又点在双曲线右支上，所以，故，而，设H的坐标为，可得:，解得，设内切圆半径为，则内切圆圆心为，又，即，解得.故选：C【变式4-3】已知双曲线的左、右焦点分别是，．若双曲线上一点P使得，则的面积为．【答案】【分析】在焦点三角形中，由余弦定理与双曲线定义求得，然后代入三角形面积公式求得答案．【详解】由，得．由双曲线的定义和余弦定理，得，，所以，所以，所以,故答案为：.题型05距离之和（差）的最值问题【解题思路】设为椭圆或双曲线上一点，为椭圆的焦点．与的和、差有关的最值问题，一般利用平面几何知识，转化为三点共线问题求解．【例9】已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.【详解】在双曲线中，，，，，设双曲线的右焦点为，则，在双曲线的右支上，，即，由题知，圆心，半径，在圆上，，则，当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为，此时，的最小值为.故选：D.【例10】已知椭圆的左、右焦有分别为，离心率为为C上任意一点，且的周长为6，则椭圆方程为；若直线经过定点N，则的最小值为.【答案】【分析】根据的周长为以及离心率求解出的值，则可求，由此椭圆方程可知；先确定出过的定点为，然后利用椭圆定义将表示为，再根据三点共线求解出结果.【详解】因为的周长等于，又，所以，所以，所以，所以椭圆方程为；因为过定点，且，所以在椭圆内部，如下图：

因为，当且仅当三点共线且时取等号，即与重合时，又因为，所以，所以的最小值为，故答案为：；.【变式5-1】已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（

）A．不存在 B．8 C．7 D．6【答案】A【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案..【详解】依题意，下焦点，设上焦点，双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，所以延长时，与双曲线没有交点，，设延长，交双曲线上支于，依题意，是双曲线上支上的动点，根据双曲线的定义可知，，当在点时等号成立，则，所以，所以，所以，所以的最大值不存在.故选：A【变式5-2】已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为．【答案】【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得．【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，，圆半径为，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，，当且仅当三点共线时取等号，所以，又由双曲线的定义，，所以，即的最小值为，故答案为：．【变式5-3】阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“通近法”得到椭圆的面积，除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知面积为的椭圆，以()的左焦点为，P为椭圆上任意一点，点Q的坐标为，则的最大值为.【答案】7【分析】根据题设且求参数，即得椭圆方程，再根据椭圆定义得，进而求其最大值.【详解】由题意且，又，可得，所以椭圆方程为，而，即Q在椭圆内，如下图，若为右焦点，由，则，所以，而，所以的最大值为7.故答案为：7题型06椭圆、双曲线的简单几何性质【解题思路】由标准方程求有关性质，首先要将方程化为标准形式确定的值，进而求出，再根据几何性质得到相应的答案.【例11】椭圆与椭圆的（

）A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等【答案】D【分析】由椭圆方程即可求得，进而即可求解.【详解】因为第一个椭圆的，则焦距为，所以长轴长为10，短轴长为8,离心率为，第二个椭圆的，则焦距为，所以长轴长为，短轴长为，离心率为，所以A，B，C错误，D正确，故选：D.【例12】（多选）已知曲线，，则（

）A．的长轴长为4 B．的渐近线方程为C．与的焦点坐标相同 D．与的离心率互为倒数【答案】BD【分析】根据椭圆与双曲线的标准方程，结合它们的几何性质逐项判断即可得.【详解】由，即为：，故焦点在轴上，长轴长为，故A错误；焦点坐标为，离心率为，对，渐近线方程为，故B正确；焦点坐标为，与的焦点坐标不相同，故C错误；离心率为，与的离心率互为倒数，故D正确.故选：BD.【变式6-1】焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得到方程组，求出，结合焦点位置，得到椭圆方程.【详解】由题意得，，又，解得，故椭圆方程为.故选：D【变式6-2】（多选）已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（

）A．实轴长为6 B．虚轴长为2 C．焦距为 D．离心率为【答案】AB【分析】对含参数的双曲线方程，一般先考虑焦点位置，再确定的值，利用条件求出各个基本量，再逐一判断选项即可.【详解】由双曲线方程可知，且，由题意，，代入解得：，故实轴长为，虚轴长为，故A项，B项都正确；焦距，故C项错误；离心率为，故D项错误.故选：AB.【变式6-3】若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为，则下列结论正确的是序号是.①的焦点到渐近线的距离为4；②的离心率为；③上的点到距离的最小值为2；④过的最短的弦长为.【答案】①③【分析】根据题意，可知，再根据求得，从而得出双曲线的右焦点为，渐近线方程为，根据点到直线的距离公式即可求出焦点到渐近线的距离，即可判断A选项；直接求出离心率可知B选项错误；当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小，即可判断C选项；过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，可得出过的最短的弦长，即可判断D选项.【详解】由题意知，即，因为，所以，解得，所以右焦点为，双曲线的渐近线方程为，对于①：到渐近线的距离为，故①正确；对于②：因为，所以双曲线的离心率为，故②错误；对于③：当双曲线上的点为其右顶点时，此时双曲线上的点到的距离最小为，故③正确；对于④：过点且斜率为零的直线与双曲线的交点为，此时为过点的最短弦为，故④错误.故选：①③.题型07求离心率【解题思路】求离心率的值，一般先将已知条件转化为关于的方程，再求解：（1）若已知可直接代入求得；（2）若已知则使用椭圆的或双曲线求解.；（3）若已知，则先求，再利用（1）求解；（4）若已知的关系，可转化为关于离心率的方程求值【例13】已知A、F分别为椭圆的左顶点和左焦点，B、C是椭圆上关于原点对称的点，若直线平分线段，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，可得的中点的坐标，由三点共线得，即可求解.【详解】由题意得，设，则的中点，∵三点共线，∴，即，整理得，∴．故选：A.【例14】已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到渐近线距离的3倍，则双曲线的离心率是（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，得到，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由双曲线，可得右焦点，右顶点，其中一条渐近线的方程为，即，则顶点到的距离为，焦点到的距离为，由题可得，即，所以，所以双曲线的离心率为.故选：A.【变式7-1】设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等腰直角三角形的性质得到三条边的长度关于的表达式，再利用椭圆的定义求得的关系式，进而得到离心率.【详解】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为，则，则，，于是，.故选：C.【变式7-2】己知是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P，使得，则椭圆的离心率为．【答案】【分析】求出，由椭圆定义得到，求出离心率.【详解】因为，所以，由椭圆定义得，即，故离心率.故答案为：【变式7-3】已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线上的一点，且，双曲线的离心率是．【答案】【分析】根据求出，进而可得的值，再根据的关系求出，则离心率可求.【详解】，，则，即，，又，，.故答案为：.题型08求离心率的取值范围【例15】设，分别为椭圆与双曲线的公共焦点，它们在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据椭圆以及双曲线的定义可得，.进而在中，由余弦定理变形可得，.根据不等式的性质，结合已知，求解即可得出答案.【详解】根据椭圆及双曲线的定义可得，所以.在中，，由余弦定理可得，整理可得，，两边同时除以可得，.又，，所以有，所以，.因为，所以，所以，所以，，，所以，.则，故.故选：C.【例16】设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，由椭圆定义和勾股定理得到，换元后得到，根据二次函数单调性求出，得到离心率的取值范围.【详解】设，，由椭圆的定义可得，，可设，可得，即有，①由，可得，即为，②由，可得，令，可得，即有，由，可得，即，则时，取得最小值；或4时，取得最大值.即有，得.故选：C【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率或离心率的取值范围，常见有三种方法：①求出，代入公式；②根据条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围；③由题目条件得到离心率关于变量的函数，结合变量的取值范围得到离心率的取值范围.【变式8-1】蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，所以这个圆又被叫做“蒙日圆”，已知点A、B为椭圆（）上任意两个动点，动点P在直线上，若恒为锐角，则根据蒙日圆的相关知识，可知椭圆C的离心率的取值范围为【答案】【分析】求出给定椭圆的蒙日圆方程，由已知可得直线与该蒙日圆相离，建立不等式求出离心率范围即得.【详解】依题意，直线都与椭圆相切，因此直线所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆，由点A、B为椭圆上任意两个动点，动点P满足为锐角，得点在圆外，又动点P在直线上，因此直线与圆相离，于是，解得，则，解得，所以椭圆C的离心率的取值范围为.故答案为：【变式8-2】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存得线段的中垂线恰好经过焦点，则椭圆离心率的取值范围是【答案】【分析】根据数形结合可知椭圆上存在一点，使得，而椭圆中，但，所以，由此即可求得离心率的范围.【详解】如图，线段的中垂线经过，，即椭圆上存在一点，使得．，.故答案为：.【变式8-3】已知双曲线的左､右焦点分别为.(1)该双曲线虚轴的一个端点为，若直线与它的一条渐近线垂直，求双曲线的离心率.(2)若右支上存在点，满足，求双曲线的离心率的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）根据两点表示斜率和两直线的位置关系可得，，建立关于离心率的方程，解之即可；（2）由题意设，根据双曲线的定义可得，利用余弦定理可得，结合建立不等式，解之即可求解.【详解】（1）依题意，则；渐近线斜率：，直线与该双曲线的一条渐近线垂直，，，而，，解得，又，所以；（2）设.依题意，解得，由余弦定理得，即，得.题型09渐近线问题【解题思路】根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的方法中，最简单且实用的是把双曲线标准方程中等号右边的“1”改成“0”，就得到了此双曲线的渐近线方程．与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为；若已知双曲线的渐近线方程或，则双曲线方程可设为.(当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上.)【例17】若双曲线经过点，则此双曲线的渐近线夹角的余弦值为．【答案】【分析】将点代入双曲线，求出，然后求出渐近线方程，根据渐近线的斜率判断【详解】将点代入双曲线得，解得，所以双曲线，所以双曲线的渐近线为，设的倾斜角为且，则，，所以两条渐近线的夹角为，所以，所以由得.故答案为：【例18】已知双曲线：的左、右焦点分别为，点在轴上，点在的渐近线上.若，，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设出所在直线方程，然后与渐近线联立求出点坐标，然后利用，从而可求解.【详解】由题意得，，设所在直线方程，则，与双曲线渐近线联立得：，得，得，由，得，得，由，得，化简得，得，所以，所以，故B项正确.故选：B.【变式9-1】在平面直角坐标系中，双曲线的左、右焦点分别为，，点是左支上一点，且，，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线的定义结合，求得，再在中，利用勾股定理求得之间的关系，从而得解.【详解】因为在双曲线中，因为，所以，则，

在中，，，所以，即，所以，所以，则，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B.【变式9-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M（异于坐标原点O），若线段交双曲线于点P，且，则该双曲线的渐近线方程为．【答案】【分析】联立渐近线与圆的方程求解出点坐标，然后根据中点关系求解出的坐标，将的坐标代入双曲线可求得关系式，由此可求渐近线方程.【详解】设，圆的方程为，由可得，又因为，且为中点，所以为中点，所以，可得，将代入双曲线方程可得，化简可得，所以，即，所以渐近线方程为，故答案为：.【变式9-3】已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为.若，则点的坐标为；双曲线的渐近线方程为.【答案】或【分析】根据抛物线定义求出P点坐标，代入双曲线方程结合求出可得渐近线方程.【详解】抛物线的焦点，准线方程为，设双曲线的方程为，故，设，则，解得，代入抛物线方程可得，解得，所以的坐标为；因为，解得，，所以双曲线的渐近线方程为.故答案为：或；题型10轨迹方程问题【例19】已知点是椭圆上的动点，于点，若，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，根据点在椭圆上可得，继而根据，设，求出，代入中，即可求得答案.【详解】由于点是椭圆上的动点，设，则，又于点，则；设，由，得，则，代入，得，即点的轨迹方程为，故选：A【例20】（多选）已知定圆，点A是圆M所在平面内一定点，点P是圆M上的动点，若线段的中垂线交直线于点Q，则点Q的轨迹可能为（

）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．圆【答案】ABD【分析】是线段的中垂线上的点，可得．对点的位置分类讨论，利用线段垂直平分线的定义与性质、圆锥曲线的定义即可判断出结论．【详解】因为是线段的中垂线上的点，，若在圆内部，且不为圆心，则，，所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，故A正确；

若在圆外部，则，，所以点轨迹是以，为焦点的双曲线，故B正确；

若在圆上，则的中垂线恒过圆心，即的轨迹为点．若为圆的圆心，即与重合时，为半径的中点，所以点轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，故D正确，不存在轨迹为抛物线的可能，故C错误，故选：ABD【变式10-1】已知动点P在曲线上，则点与点P连线的中点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设的中点为，根据中点坐标公式可得，进而将点的坐标代入曲线方程即可求解.【详解】设的中点为，因为，则，因为点P在曲线上，所以将代入曲线，则，即，所以的中点的轨迹方程是.故选：C.【变式10-2】（多选）若A是圆所在平面内的一定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹可能是（

）A．圆 B．椭圆C．双曲线的一支 D．抛物线【答案】ABC【分析】分别从四方面分析：①若点A在圆C内不同于点C处的轨迹；②若点A与C重合时的轨迹；③若点A在圆C上的轨迹；④若点A在圆C外的轨迹.【详解】设圆C的半径为，①若点A在圆C内不同于点C处，如图所示，

则有，故点的轨迹是以A、C为焦点的椭圆，所以B正确；②若点A与C重合，则有，故点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，所以A正确；③若点A在圆C上，如图所示，

则由垂径定理，可知线段的垂直平分线必过点，故点与点重合，故点的轨迹是一个点；④若点A在圆C外，如图所示，

当线段的垂直平分线交的延长线于点时，则，所以，故点的轨迹是以为焦点的双曲线的一支，所以C正确；综上所述，点的轨迹可能是圆，椭圆，双曲线的一支，不可能是抛物线.故选：ABC.【变式10-3】已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若，则动点M的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【答案】D【分析】建立适当的平面直角坐标系，设A，B的坐标，设M的坐标，由题意可得N的坐标，求出3个向量，由向量的关系求出M的轨迹方程.【详解】解：建立以所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴的直角坐标系，设，，，设M的坐标为，由题意可得，则，，，所以，，由，可得，整理可得：，所以，，故动点M的轨迹是双曲线.

故选：D.题型11实际应用【例21】如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道II绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月球飞行，设圆形轨道I的半径为，圆形轨道III的半径为，则下列结论中正确的序号为（

）

①轨道II的焦距为；②若不变，越大，轨道II的短轴长越小；③轨道II的长轴长为；④若不变，越大，轨道II的离心率越大.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】根据椭圆中一个焦点与长轴两顶点的距离分别为，然后结合圆的半径和，分别表示出焦距，短轴，长轴，离心率后逐一分析选项即可.【详解】由已知得圆形轨道I的半径为，设轨道II的方程为，则，又因为圆形轨道III的半径为，则，联立，解得，所以轨道II的焦距为，故①正确；又，所以，所以若不变，越大，轨道II的短轴长越大，故②不正确；长轴，故③正确；所以离心率，若不变，越大，轨道II的离心率越大，故④正确.故选：C.【例22】根据中国地震局发布的最新消息，2023年1月1日至2023年11月10日，全球共发生六级以上地震110次，最大地震是2023年02月06日09时02分37秒在土耳其发生的7.8级地震．地震定位对地震救援具有重要意义，根据双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.已知地震台站A，B在公路l上（l为直线），且A，B相距，地震局以的中点为原点O，直线l为x轴，为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.在一次地震发生后，根据A，B两站收到的信息，并通过计算发现震中P在双曲线的右支上，且，则P到公路l的距离为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可求出a的值，即得的值，利用余弦定理即可求出的值，从而求得的面积，进而结合等面积法求得答案.【详解】设双曲线的焦距为2c，由题意，得，所以，解得，所以，由及余弦定理，得，即，所以，的面积，设P到公路l的距离为h，则，所以，即P到公路l的距离为，故选：D.【变式11-1】（多选）彗星是太阳系中具有明亮尾巴的天体，它们的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．某彗星测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心约4个天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心约6个天文单位，且近日点、远日点及太阳中心同在一条直线上，则轨道方程可以为（以“天文单位”为单位）（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由已知可得，，即可解得椭圆方程.【详解】由已知可得，，则，，，当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为；当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为，即；故选：AC.【变式11-2】双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为．

【答案】【分析】根据双曲线的光学性质结合双曲线的定义利用勾股定理计算即可.【详解】

根据双曲线的光学性质可知与三点共线，故，不妨设，则，由双曲线的定义可知，两式相加可得，所以，由勾股定理可知，故.故答案为：.【变式11-3】某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.(1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）(2)如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.【答案】(1)此隧道设计的拱宽至少是22米(2)当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小【分析】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，根据对称性，将点代入椭圆方程，即可求解；（2）由点在椭圆上或在椭圆内，得，利用基本不等式，即可求出椭圆的面积的最小值，根据体积公式，即可求解.【详解】（1）建立直角坐标系如图所示，则点在椭圆上，将与点代入椭圆方程，得，此时，因此隧道设计的拱宽至少是22米；（2）由椭圆方程，得，因为，即，，由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量，当取得最小值时，有且，得，，此时，，①若，此时，此时，②若，此时，此时，因为，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.【点睛】关键点点睛：由点在椭圆上或在椭圆内，得到，是解决第二问的关键.课后作业一、单选题1．已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则椭圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据椭圆的离心率公式以及利用求出，即可得到椭圆的方程.【详解】依题意，设椭圆方程为，由题知：，解得，．故椭圆的方程为．故选：D.2．已知圆与坐标轴的交点为，点P为椭圆上一点，若，则点P到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，不妨设，得到点恰为椭圆的左右焦点，得出，得到，结合椭圆的定义，得到点在以为焦点的椭圆上，求得点的轨迹方程为，联立方程组，即可求解.【详解】由圆与坐标轴的交点为，不妨设，又由椭圆，可得，则，所以恰为椭圆的左右焦点，可得，因为，可得，所以，所以点在以为焦点的椭圆上，且，可得，则，所以点为椭圆，联立方程组，解得，可得，所以点到轴的距离为.故选：B.3．已知双曲线的两个焦点分别是和，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意写出点的坐标，利用向量的坐标运算以及双曲线方程，建立方程组，可得答案.【详解】由，则，所以，设，则，由，，即，，，，，，点到轴的距离.故选：D.4．已知分别为双曲线的左、右焦点，过且与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知结合双曲线的定义可得，，，进而根据同角三角函数的基本关系式得出.在中，由余弦定理可得出方程，整理化简即可得出的关系式.【详解】如图，不妨设点P为与双曲线渐近线平行的直线与双曲线的交点.由已知结合双曲线的定义可得，所以，，，，且为锐角.又，，所以，.又，在中，由余弦定理可得，整理可得，，所以，.故选：B.5．已知曲线的方程为，下列说法错误的是（

）A．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件B．当时，曲线是半径为2的圆C．存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线D．当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为【答案】C【分析】根据曲线的方程及椭圆、双曲线的性质一一判断即可.【详解】因为曲线的方程为，对于A：若曲线为焦点在轴上的椭圆则，解得，所以“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件，故A正确；对于B：当时曲线方程为，即，表示圆心在坐标原点，半径为的圆，故B正确；对于C：若曲线为离心率为的双曲线，即，所以，则显然不成立，故不存在实数，使得曲线为离心率为的双曲线，即C错误；对于D：当时曲线方程为，则曲线为焦点在轴上的双曲线，其渐近线方程为，故D正确；故选：C6．如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000年前被伟大的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即．那如何计算它的周长呢？这个问题也在约400年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长等于其短半轴长为半径的圆周长加上四倍的该椭圆长半轴长与短半轴长的差．即．若一个椭圆的面积为，那么其周长的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据条件先用表示出并计算出的取值范围，将看成关于的函数，然后结合对勾函数的单调性求解出的取值范围.【详解】椭圆长半轴长为，短半轴长为，因为，所以，，又因为，所以，则，令，由对勾函数性质可知：在上单调递减，在上单调递增，又，所以在上单调递减，所以，所以的取值范围是，故选：C.二、多选题7．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（

）A．离心率为 B．存在使得C．，则的面积为9 D．椭圆的弦被点平分，则【答案】BCD【分析】根据给定的椭圆方程，求出离心率判断A；由半焦距与短半轴长的大小关系判断B；利用勾股定理结合椭圆定义求出面积判断C；利用点差法求出直线斜率判断D.【详解】椭圆：的长半轴长，短轴长，半焦距，离心率，A错误；由，得以线段为直径的圆与椭圆相交，令交点为，则存在使得，B正确；由，得，即，而，于是，的面积为9，C正确；显然点在椭圆内，设，则，两式相减得，而，因此，D正确.故选：BCD8．已知平面内一动点与两定点连线的斜率的乘积为定值时，若该定值为正数，则该动点轨迹是双曲线（两定点除外）；若该定值是负数，则该动点轨迹是圆或椭圆（两定点除外）.如图，给定的矩形中，，，E、F、G、H分别是矩形四条边的中点，M、N分别是直线、的动点，，，其中，且直线与直线交于点P.下列说法正确的是（

）A．若，则P的轨迹是双曲线的一部分B．若，则P的轨迹是椭圆的一部分C．若，则P的轨迹是双曲线的