广东省汕头市2026届高三一模数学试题（学生版+解析版）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知M={x14x²-4x-15>0},N={-2,-1,0,1,2,33,则(QM)∩N=()A.{-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1,2}2.在复平面内，复数对应的点位于()A.实轴B.虚轴C.第二象限D.第四象限3.圆锥表面积为π,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为()4.溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为pH=-1g[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是()A.已知纯净水的pH=7,则纯净水中[H+]=10摩尔/升B.已知胃酸中[H+]=2.5×10⁻²摩尔/升，则胃酸的pH≥2C.溶液中[H+]>10⁻⁷摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强D.溶液中[H+]<10-摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大5.双曲线的渐近线方程是y=±2x,则双曲线的离心率为()B.2√5DD7.一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为()8.设且a=cosa,b=sin(cosb),c=cos(sinc),则它们大小关系为(),Ab<a<CB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则()C.若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车D.若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车A.直线AC与BF所成的角为45°B.MN//平面DAFC.当时，MN的长最小，且最小值为D.当MN的长最小时，点F到平面AMN的距离为11.如图所示，一个玻璃杯的内壁是由曲线段C绕它的对称轴旋转所得的曲面.现把一个小球放进杯内，欲使小球能接触杯底.下列结论正确的是()A.若曲线段C的方程为x²+y²=4(-2≤y≤0),则小球半径可以是2.01B.若曲线段C的方程为则小球半径可以是0.99C.若曲线段C的方程为x²=2y(0≤y≤2),则小球半径至多是1D.若曲线段C的方程为y²-x²=1(1≤y≤2),则小球半径至多是1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.AB为圆O的一条弦，且|AB=2,则AB·AO的值为13.已知函数f(x)满足f(x)=x-e·f'(1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1)处切线方程是14.VABC中，AB=AC,延长AB到点D,使A四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E、F分别在BB₁,DD₁上，且AE⊥A₁B,AF⊥A₁D.(2)当AB=4,AD=3,AA₁=5时，求平面AEF与平面D₁B₁BD的夹角的余弦值.□不低于170cm性别身高女7男8有关联，解释它们之间如何相互影响；联，并解释所得结论的实际含义；(参考公式及数据：(1)求证：x=1不是函数f(x)的极值点；(2)设8(x)=f'(x),x∈(0,e),是否存在a,使得函数8(x)的最小值为2?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.18.已知椭圆点M为动直线被椭圆截得的弦AB的中点.(1)求证：动点M在定直线上，并求此定直线I的方程；(2)设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆.(3)请举出一个满足n=2k-¹的例子.广东省汕头市2026届高三一模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知M={x14x²-4x-15>0},N={-2,-1,0,1,2,3,则(QM)∩N=()A.B.{-2,-1,0,1,2}C.{-1,0,1}【解析】【分析】解二次不等式得M的补集区间，再与给定集合N取交集即得结果.【详解】解不等式4x²-4x-15>0,得或,则(*2.在复平面内，复数对应的点位于()A.实轴B.虚轴C.第二象限D.第四象限【答案】B【解析】【详解】在复平面内对应的点为(0,1),3.圆锥的表面积为π,且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为()【解析】【分析】设底面半径为r,母线长为1,根据侧面展开图是一个半圆，可得l=2r,代入表面积公式，结合条件，即可得答案.【详解】设底面半径为r,母线长为1,由侧面展开图是一个半圆，得l·π=2πr,解得l=2r,则侧面展开图的面积所以圆锥的表面积S=πr²+2πr²=3πr²=π,解得4.溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为pH=-1g[H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是()A.已知纯净水的pH=7,则纯净水中[H+]=10⁷摩尔/升B.已知胃酸中[H+]=2.5×10⁻²摩尔/升，则胃酸的pH≥2C.溶液中[H+]>10⁻7摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强D.溶液中[H+]<10-7摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大【解析】【详解】对于A,令7=-1g[H+],则[H+]=10⁻⁷摩尔/升，故A错误；对于B,胃酸pH=-1g(2.5×10-²)=2-1g2.5<2-1g1=2,故B错误；对于C,当[H+]>10⁻7摩尔/升时，根据IpH=-1g[H+]可得当[H+]越大时，pH越小，故酸性越大，故C正确；对于D,当[H+]<10⁻⁷摩尔/升时，根据可得若溶液的碱性越大，则pH越大，故[H+]越小，故D错误.5.双曲线的渐近线方程是y=±2x,则双曲线的离心率为()A【解析】【分析】分别讨论双曲线焦点在x轴和y轴的情况，由可求得结果.【详解】因为双曲线的渐近线方程是y=±2x,【答案】D【解析】【分析】利用三角恒等变换将原式化简为只含tanθ的形式，再代入已知条件计算.【详解】7.一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为()【答案】D【解析】高的位置.【详解】设质点向正方向移动的次数为k(k=0,1,2,…,7),则向负方向移动的次数为7-k,质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：x=k×1+(7-k)×(-1)=2k-7,大时的x,综上，组合数C₇在k=3和k=4时取得最大值35,当k=4时，代入x=2k-7得：x=2×4-7=1,质点最可能移动到的位置坐标为1或-1.8.设a,b,,且a=cosa,b=sin(cosb),c=cos(sinc),则它们的大小关系为(),A.b<a<CB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c【答案】A【解析】【分析】本题可通过构造函数，利用函数的单调性比较大小，关键在于分析y=x-cosx以及【详解】首先比较a,b的大小，所以f(x)在上单调递增.因为a=cosa,所以f(a)=0.所以b=sin(cosb)<cosb,所以b-cosb<0即f(b)<0=f(a).,求导得h'(x)=-sin(sinx)cosx-1,所以h(x)=-sin(sinx)cosx-1<0,所以h(c)=0又因为在上恒成立，所以sina<a,即h(a)=cos(sina)-a>0=h(c),由单调性可知a<c.综合b<a以及a<c,所以b<a<c合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某同学上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30min,样本方差为36;骑自行车平均用时34min,样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.则()C.若某天只有34min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择坐公交车D.若某天只有38min可用，该同学为了尽可能不迟到，应选择骑自行车【答案】ACD【解析】【分析】根据正态分布的性质和相关公式逐项计算即可.【详解】对于A,因为坐公交车平均用时30min,样本方差为36,坐公交车用时X都服从正态分布，所以X～N(30,6²),所以P(X≤30)=0.5,A正确；对于B,因为骑自行车平均用时34min,样本方差为4,骑自行车用时Y都服从正态分布，所以Y～N(34,2²),,其分布关于均值34对称.由于40-34=6而34-30=4,40和30并不关于34对故P(Y≤40)≠P(Y≥30),B对于C,计算34分钟内不迟到概率为P(X≤34)>0.5,P(Y≤34)=0.5,因为P(X≤34)>P(Y≤34),所以坐公交车不迟到的概率更高，C正确；对于D,计算38分钟内不迟到的概率因为P(Y≤38)>P(X≤38),所以骑自行车不迟到的概率更高，D正确；A.直线AC与BF所成的角为45°B.MN//平面DAFD.当MN的长最小时，点F到平面AMN的距离为【答案】BC【解析】【分析】由题意可建立适当空间直角坐标系，则可表示出各点坐标；对A:表示出向量AC,BF后，利用向量夹角的余弦公式计算即可得；对B:求出平面DAF的法向量及向量MN后，计算即可得；对C:借助向量与模长的关系计算即可得；对D:结合C中所得，可得到向量MN,再计算出平面AMN的法向量后，利用点到平面距离公式计算即可得.则B(0,0,0)、A(1,0,0)、E(0,1,0)、F(1,1,0)、C故直线AC与BF所成的角为60°,故A错误；设平面DAF的法向量为m=(x,y,z),则有,可取x=1,则z=y=0,则m=(1,0,0),故MN⊥m,又MN女平面DAF,故MN//平面DAF,故B正确；MNMN对D:由C知，当MN的长最小时，,此时则设平面AMN的法向量为n=(x,y,z'),则有,可取x'=1,则z′=y=1,则n=(1,1,1),又AF=(0,1,0),则点F到平面AMN的距离,故D错误.11.如图所示，一个玻璃杯的内壁是由曲线段C绕它的对称轴旋转所得的曲面.现把一个小球放进杯内，欲使小球能接触杯底.下列结论正确的是()A.若曲线段C的方程为x²+y²=4(-2≤y≤0),B.若曲线段C的方程为(-2≤y≤0),,则小球半径可以是0.99C.若曲线段C的方程为x²=2y(0≤y≤2),则小球半径至多是1D.若曲线段C的方程为y²-x²=1(1≤y≤2),则小球半径至多是1【答案】BCD【解析】【分析】由题意确定小球球心在对称轴y轴上，通过小球接触杯底时，需满足曲线C上所有点到球心的距离不小于小球半径R,逐项判断即可.【详解】设小球半径为R,由题意小球球心在对称轴y轴上，对于A,曲线C:x²+y²=4(-2≤y≤0),杯底为(0,-2),则球心坐标为(0,-2+R),d²=x²+(y+2-R)²=8-4R+R代入,得：二次函数开口向上，对称轴y=4(R-2),当R≤1时，对称轴y=4(R-2)≤-2,区间[-2,0]上最小值为f(-2)=0,满足条件，0.99<1,符合要求，B正确；对于C,曲线C:x²=2y(0≤y≤2),杯底(0,0),球心(0,R),代入x²=2y,得d²=2y+(y-R)²等价于y+2(1-R)≥0对所有y∈[0,2]成立，最小值在y=0处，得2(1-R)≥0→R≤1,即半径至多为1,C正确；对于D,曲线C:y²-x²=1(1≤y≤2),杯底(0,1),球心(0,1+R),代入x²=y²-1,得d²=y²-1+(y-1-R)²,整理得(y-1)(y-R)≥0,因y≥1,等价于y-R≥0对所有y∈[1,2]成立，最小值在y=1处，得1-R≥0→R≤1,即半径至多为1,D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【解析】ABAO=AO·AB=|AM|AB|=1×2=2【答案】x-(e+1)y=0【解析】【详解】f'(x)=1-e·f'(1),则f'(1)=1-e¹·f'(1)=1-f'(1)·e,即,故 即,故14.VABC中，AB=AC,延长AB到点D,使AD=BC,连接CD.若【解析】其中,根据该函数单调性可求【详解】不妨设AB=2,因为A=100°,故∠ABC=40°,所以BC=4cos40°,在△BCD中，由正弦定理有四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)求证：A₁C⊥平面AEF;【解析】【小问1详解】因为BC⊥平面ABB₁A₁,AEc平面ABB₁A₁,所以AE⊥BC.因为A₁Cc平面A₁CD,所以AF⊥A₁C又因为AE⊥A₁C,AE∩AF=A,所以A₁C⊥平面AEF【小问2详解】则A(0,0,0),A₁(0,0,5),B(4,0,0),B₁(4,0,5),D(0,3,0),C(4,3,0).所以AC=(4,3,-5),且A₁C是平面AEF的一个法向量.则所以z=0,令x=3,得y=4.所以n·A₁C=12+12=24.女□不低于170cm性别身高女7男8有关联，解释它们之间如何相互影响；联，并解释所得结论的实际含义；(3)请比较(1)和(2)的统计结论是否一致，说明原因.【答案】(1)有关联，女生更倾向于身高低于170cm,男生更倾向于身高不低于170cm.【解析】生，则判断两者有关联；(3)通过对比基于总体的描述性分析与基于样本的推断性检验的结论，指出因样本容量较小产生的抽样误差可能导致两种结论不一致.【小问1详解】有关联，根据等高堆积条形图可知，女生中身高低于170cm的比例明显高于男生，而男生中身高不低于170cm的比例明显高于女生，故该中学高三年级学生的性别与身高有关联.具体表现为女生更倾向于身高低于170cm,男生更倾向于身高不低于170cm.小问2详解】根据小概率值α=0.05的x²独立性检验，没有充分证据推断H₀不成立，因此可以认为H₀成立，即认为该中学高三年级学生的性别和身高没有关联，实际意义是根据该样本数据，不能认为性别对身高是否大于170cm有显著影响，二者可视为相互独立.【小问3详解】(1)与(2)的结论不一致，B同学仅从所有高三学生中获取容量为40的有放回简单随机样本，当样本量较少时，独立性检验可能导致检验功效不足，未能检测出总体中实际存在的关联性.(1)求证：x=1不是函数f(x)的极(2)设g(x)=f'(x),x∈(0,e),是否存在a,使得函数g(x)的最小值为2?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明过程见解析(2)存在，当a=e²时，函数g(x)的最小值为2【解析】【小问1详解】方法一：函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=ax-Inx-1,则h(x)在(0,+∞)上单调递减，即f'(x即a≠1,和和所以x=1不是极值点.【小问2详解】所以g(x).n=g(e)=ae-lne-1=ae-2<0,不符合题意.若即所以g(x)m.n=8(e)=ae-Ine-1=ae-2<0,不符合题意.令lna=2,解得a=e²,符合题意.综上，存在a=e²,使得函数g(x)的最小值为2.18.已知椭圆点M为动直线被椭圆截得的弦AB的中点.(1)求证：动点M在定直线上，并求此定直线l的方程；(2)设直线l与该椭圆相交于C、D两点，求证：A、B、C、D四点共圆.【答案】(1)证明见解析，直线l的方程为3x+2y=0;(2)证明见解析【解析】【分析】(1)直接由点差法证明点在定直线上，并可得直线方程；(2)根据直线AB的方程，直线l的方程及椭圆方程构造曲线系方程，再判断曲线系方程是否是一个圆的方