第九章 §9.1 9.1.1　简单随机抽样

第九章统计

§9.1随机抽样

9.1.1简单随机抽样

【学习目标】I.了解随机抽样的必要性和重要性2理解随机抽样的目的和基本要求.3.理解简

单随机抽样中的抽签法、随机数法.4.掌握用样本的平均数估计总体的平均数.

【导语】

在现实生活中，我们经常会接触到各种统计数据，例如，人口总量、经济增长率、就业

状况、物价指数、产品的合格率、商品的销售额、农作物的产量、人均水资源、居民人均年

收入、电视台节目的收视率、学生的平均身高等.要正确阅读并理解这些数据，需要具备一

些统计学的知识.

在初中我们已学习过一些统计与概率的知识，那么，对于具体的统计问题，应当如何收

集数据呢？如何从收集的数据中提取信息来认识未知现象呢？

一、全面调查和抽样调查

问题1一天，爸爸叫儿子去买一包糖.临出门前，爸爸嘱咐儿子要买甜的.儿子拿着钱出

门了，过了好一会儿，儿子才回到家.

“糖都甜吗？”爸爸问.

“都甜.”

“你这么肯定？”

儿子把糖递过来，兴奋地说：“我每颗都尝过啦.”

在这则笑话中，儿子采用的是什么调查方式？这种调查方式好不好？适宜采用什么方法调

查？

提示普查；不好；抽样调杳.

【知识梳理】

调查方式全面调查抽样调查

定义对每一个调查对象都进行调查的根据一定目的，从总体中抽取一部

方法，称为全面调查，又称普查分个体进行调查，并以此为依据对

总体的情况作出估计和推断的调

查方法

总体：在一个调查中，把调查对象样本：把从总体中抽取的那部会个

的全体称为总体体称为样本，

相关概念

个体：组成总体的每i个调查对象样本量：样本中包含的蚀数称为

称为个体样本最

（1）全面调查的优点是精确,缺点是不宜操作，需要耗费巨大的人力、物力.

⑵抽样调查的优点是花费少，效率高，易操作，缺点是不够精确.

例1在一次数学课堂上，陈老师请四位同学举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子.

小凉：为了了解玉米种子的发芽情况，采用抽样调查.

小爽：为了了解全班同学是否给父母洗过脚，来用仝面调查.

小夏：为了了解某批东风导弹的射程，采用全面调杳.

小天：为了了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，采用抽样调查.

你认为以上四位同学所列举的事例的调查方式错误的是（）

A.小凉B.小爽C.小夏D.小天

答案C

解析了解玉米种子的发芽情况，是具有破坏性的调查，因而适合抽样调查；了解全班同学

是否给父母洗过脚，调查的对象比较少，容易调查，因而适合全面调查；了解某批东风导弹

的射程是具有破坏性的调查，因而适合抽样调查；了解全国中学生安全自救知识的掌握情况,

人数太多，不适合全面调查，应用抽样调查.故四位同学所列举的事例的调查方式错误的是

小夏.

反思感悟一般地，如果调查的对象比较少，容易调查，适合普查，如果调查的对象较多或

者具有破坏性，适合于抽样调查.

跟踪训练1下列调查方式，你认为最合适的是（）

A.了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查方式

B.旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式

C.了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，采用全面调查方式

D.日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用全面调查方式

答案A

解析A选项，了解北京每天的流动人口数，采用抽样调查方式，故正确；

B选项，旅客上飞机前的安检，应采用全面调查方式，故错误；

C选项，了解北京居民“建党百年庆祝大会”期间的出行方式，应采用抽样调查方式，故错

误；

D选项，日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，由于调查带有破坏性，故应采用抽样调查

方式，故错误.

二、简单随机抽样

问题2假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同.你

能通过抽样调查的方式估计袋中红球所占的比例吗？

提示我们可以从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重

复，即可用红球出现的频率估计出红球的比例.也可以采用不放回的摸球去估计红球的比例.

【知识梳理】

放回简单随机抽样不放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有MN为正整数）个个创从中逐个抽取个个体

作为样本

如果抽取是不放回的，且每次抽取

如果抽取是放回的，目.每次抽取时总体内的

时总体内未进入样本的各个个体

各个个体被抽到的概率都相等,把这样的抽

被拍到的概率都相等，把这样的抽

样方法叫做放回简单随机抽样

样方法叫做不放回简单随机抽样

简单随机抽样：放回简单随机抽样和丕放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通

过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本

例2（1）（多选）下列抽样中，不是简单随机抽样的是（）

A.从无数个个体中抽取50个个体作为样本

B.仓库中有1万个玩具，从中一次性抽取100个进行质量检查

C.一彩民选号，从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中不放回地逐个抽出6个号签

D.箱子里共有100个零件，从中选出10个零件进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取

出1个零件进行质量检验后，再把它放回箱子里

答案AB

解析根据简单随机抽样的特点逐个判断.A项不是简凿随机抽样，因为简单随机抽样要求

被抽取的样本总体的个数是有限的；B项不是简单随机抽样，虽然“一次性抽取”和“逐个

抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”；C项是简单随

机抽样，因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体口逐个进行抽取的，是不放回、等可

能的抽样；D项是简单随机抽样，因为它是有放回抽样.

（2）在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性（）

A.与第几次抽样有关，第一次抽到的可能性大一些

B.与第几次抽样无关，每次抽到的可能性都相等

c.与第几次抽样有关，最后•一次抽到的可能性要大些

D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一定

答案B

解析在简单随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性都相等，与第几次抽样无关，故A,

C,D不正确，B正确.

反思感悟简单随机抽样必须具备下列特点

(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的.

(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的.

(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样.

如果3个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样.

跟踪训练2(1)从某年级的500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，卜.列说法正确

的是()

A.500名学生是总体

B.每个学生是个体

C.抽取的60名学生的体重是一个样本

D.抽取的60名学生的体重是样本量

答案C

解析由题意可知在此简单随机抽样中，总体是500名学生的体重，A错误；个体是每个学

生的体重，B错误；样本量为60,D错误.

⑵从总体容量为N的一批零件中，通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本，若每个零

件被抽到的可能性为0.25,则N的值为()

A.120B.200C.150D.100

答案A

解析因为从含有N个个体的总体中通过简单随机抽样抽取一个容量为30的样本时，每个

个体被抽到的可能性为子，所以忘=0.25,从而有N=120.

三、简单随机抽样的方法

问题3学校要从我班选取5人参加某项活动，如何选取？要从全校学生中选5人，还可以

采用上述方法吗？

提示抽签.不可以，人数太多.

【知识梳理】

1.抽签法具体的操作步骤：

⑴确定总体容量N并编号；

⑵制签并放入不透明容器中；

⑶充分搅拌均匀：

(4)不放回地逐个抽取〃次，得到容量为〃的样本.

2.随机数法：把总体的N个个体依次编号，例如按0,1,2,…，N-I编号，然后利用随机数

工具产生0〜N—1范围内的整数随机数，产生的随机数是几就是选几号个体，直到抽足样本

所需的数量•.

注意点：(1)当总体个数较少时采用抽签法；

(2)产生随机数的方式有多种：①用随机试验生成随机数；②用信息技术生成随机数：(i)用

计算器生成随机数，(ii)用电子表格软件生成随机数，(百)用R统计软件生成随机数.

⑶如果生成的随机数有重复，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号

个数等于样本所需要的数量.

例3为迎接2022年北京冬奥会，奥委会在网上公开招募志愿者.某高校共有50名志愿者

被选中，暑假期间，该校欲从这50名志愿者中选取8人组成志愿服务小组，请用抽签法设计

抽样方案.

解(1)将50名志愿者编号,号码分别是1,2,…，50.

(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为专签.

(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀.

(4)从盒中不放回地逐个抽取8个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本，组成志愿服

务小组.

反思感悟(I)一个抽样试脸能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间

差异不明显.一般地，当样本容量和总体容量较小时，可用抽签法.

(2)当总体容量较大、样本农量不大时，用随机数法抽取样本较好.

跟踪训练3(1)抽签法确保样本具有代表性的关键是()

A.制签B.搅拌均匀

C.逐一抽取D.抽取不放回

答案B

解析若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀.

(2)使用简单随机抽样从1000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是()

A.抽签法B.随机数法

C.随机抽样法D.以上都不对

答案B

解析由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适.

四、用样本的平均数估计总体的平均数

【知识梳理】

--匕+力+…+丫＞

一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为H，五，…，八，则称Y=~F——"

1V

匕为总体均值，乂称总体平均数•如果从总体中抽取一个容量为〃的样本，它们的变

量值分别为“，)，2,…，以，则称丁=出咛;土&为样本均值，又称样本平均数.我

r=l

们常用样本平均数去估计总体平均数.

例4为了调查某校高一学生每天午餐消费情况，从该校高一学生中抽查了20名学生，通过

调查这20名学生每天午餐消费数据如下(单位：元)：

81066812156861088156

8108810

试估计该校高一学生每天午餐的平均费用，以及午餐费月不低TTO元的比例.

6X5+8X8+10X4+I2X1+15X2

解样本的平均数为)，==8.8

20

样本中消费不低于10元的比例为20=。35,

所以估计该校高一全体学生每天午餐的平均费用为8.8元，在全体学生中，午餐费用不低于

10元的比例约为0.35.

反思感悟样本均值与总体均值的关系

(1)在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体均值；

(2)总体均值是一个确定的数，样本均值具有随机性；

(3)一般情况下，样本容量越大，估计值越准确.

跟踪训练4为了了解某校高三学生每天的作业量，通过简单随机抽样从该校高三学生中抽

取了60名学生，通过调查发现这60名学生每天完成作业平均用时2小时，则可以推测该校

高三学生每天完成作业所需时间的平均数()

A.一定为2小时B.高于2小时

C.低于2小时D.约为2小时

答案D

-课堂小结・

1.知识清单：

(1)全面调查和抽样调查.

(2)简单随机抽样.

(3)抽釜法、随机数法.

（4）用样本平均数估计总体平均数.

2.方法归纳：数据分析.

3.常见误区：在简单随机抽样中，每个个体被抽取的可能性是相等的.

3随堂演练

1.下列抽样方法是简单随机抽样的是（）

A.从平面.直角坐标系中拍取5个点作为样本

B.某饮料公司从仓库中的1000箱饮料中一次性抽取20箱进行质量检杳

C.某连队从20（）名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动

D.从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验（假设10个手机已编好号，对编

号随机抽取）

答案D

解析选项A中，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故

错误；选项B中，一次性抽取不符合简单随机抽样逐个抽取的特点，故错误；选项C中，50

名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故错误.

2.下列抽样试验中，适合用抽签法的是（）

A.从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验

B,从某厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

C.从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验

D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验

答案B

解析个体数和样本容量较小时适合用抽签法，排除A,D；C中，甲、乙两厂生产的两箱

产品质量可能差别较大，也不适合，故选B.

3.一个总体中含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本,

则指定的某个个体被抽到的可能性为.

答案土

解析因为是简单随机抽样，故每个个体被抽到的机会相等，所以指定的某个个体被拍到的

可能性为点.

4.从一个篮球训练营中推取10名学员进行投篮比赛，每人投10次，统计出该10名学员投

篮投中的次数，4个投中5次，3个投中6次，2个投中7次，1个投中8次.试估计该训练

营投篮投中的比例为.

答案0.6

4X5+3X6+2X7+1X8所以投中的比例约为亲

解析名学员投中的平均次数为=6,

1010

0.6.

课时对点练

L基础巩固

1.（多选）下列调查中，适合采用抽样调查的是（）

A.每隔5年进行一次人口普查

B.调查某商品的质量优劣

C.某网站对某个事情进行舆论调查

D.高考考生的体检

答案BC

解析人口普杳和高考考生的体检都属于全面调杳,调杳某商品的质量优劣和对某个事情进

行舆论调查只能用抽样调查.

2.为了了解全校24（）名高一学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量.下列说法正确

的是（）

A.总体是240名B.个体是每一个学生

C.样本是40名学生D.样本量是40

答案D

解析在这个问题中，总体是240名学生的身高，个体是每个学生的身高，样本是40名学生

的身高，样本量是40.

3.使用简单随机抽样从2000名学生中抽出1（）0人进行某项检查，合适的抽样方法是（）

A.抽签法B.随机数法

C.随机抽样法D.以上都不对

答案B

解析由于总体相对较大，样本量较小，故采用随机数法较为合适.

4.某中学高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，若每人被抽到的可能

性都为0.2,用随机数法在该中学抽取容量为〃的样本，则〃等于（）

A.80B.160C.200D.280

答案C

解析由题意可知，I=0.2,解得/?=200.

4UUIIZoU

5.从某批零件中抽取50个，然后再从50个中抽出40个进行合格检查，发现合格品有36

个，则该批产品的合格率为（）

A.36%B.72%C.90%D.25%

答案C

解析55XIOO%=90%.

6.某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数法抽取样本时，先将70名同学按01,02,03,…，

70进行编号,然后通过电子表格软件生成如下随机数，则依次选出的第7个个体编号是（）

29,78,64,56,07,82,52,42,07,44,38/5,51

A.07B.44C.15D.51

答案B

解析符合条件的是29,64,56,07,52,42,44,故选出的第7个个体的编号是44.

7.某乡镇有居民20000户，从中随机抽取20（）户调查是否安装宽带网线，调查的结果如下

表所示，则该乡镇已安装盅带网线的居民大约有户.

网线动迁户原住户

已安装6530

未安装4065

答案9500

…「65+30

解析20000X久）（）=9500（尸）.

8.在某次测量中，甲工厂生产的某产品的4样本数据如下：43,50,45,55,60.若乙工厂生产的

该产品的B样本数据恰好是由A样本数据中每个数都增加5后得到的，则B样本的均值为

，据此，可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为.

答案55.655.6

解析A样本数据为43,50,45,55.60,

所以B样本数据为48,55,50,60,65,

所以B样本数据的均值为$（48+55+50+60+65）=55.6,

据此，可以估计乙工厂生产的该产品的总体均值为55.6.

9.学校举办元旦晚会，需要从每班选10名男生，8名女生参加合唱节目，某班有男生32名，

女生28名，试用抽签法确定该班参加合唱的同学.

解第一步，将32名男生从。到31进行编号.

第二步，用相同的纸条制成32个号签，在每个号签上写上这些编号.

第三步，将写好的号签放在一个不透明的容器内摇匀，式放回地从中逐个抽出10个号签.

第四步，相应编号的男生参加合唱.

第五步，用相同的办法从28名女生中选出8名，则此8名女生参加合唱.

10.某校从高一全体男生中用简单随机抽样抽取了20人测量出体重情况如下：（单位：kg）

6556708266725486706258726460767280685866

试估计该校高一男生的平均体重，以及体重在60〜75kg之间的人数所占比例.

65+56+70+…+68+58+66

解这20名男生的平均体重为=67.85(kg).

20

20名男生中体重在60〜75kg之间的人数为12,

12

故这20名男生体重在60〜75kg之间的人数所占比例为而=0.6.

所以估计该校高一男生的平均体重约为67.85kg,体重在60〜75kg之间的人数所占比例约为

0.6.

L综合运用

11.（多选）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（）

A.调查某市中小学生每天的运动时间

B.某幼儿园中有位小朋友得了手足口病，对此幼儿园中的小朋友进行检查

C.农业科技人员调查今年麦穗的单穗平均质量

D.调查某快餐店中8位店员的生活质量情况

答案AC

解析选项B要普查；选项D容量小可以普查；选项A,C总体容量大，用抽样调查.

12.用简单随机抽样法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体

〃“第一次被抽到”的可能性，“第二次被抽到”的可能性分别是（）

.11D31

A而10B而5

-13h33

田K）D而布

答案A

解析简单陵机抽样中每个个体被抽取的机会相等，都为七.

13.已知总体容量为108,若用随机数法抽取一个容量为