广东河源2025-2026学年下学期高三数学3月质量检测（含答案）

2025-2026学年高三数学3月份质量检测一、本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足i−iz=1，则zA.-1B.1C.−iD.i2.已知直线l1:x+ay−a=0和直线lA.1或-3B.1C.-3D.不存在3.为了研究物理成绩y与数学成绩x之间的关系,随机抽取100名学生的成绩,用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为y=0.8x+12.5,则样本点A.2.5B.-3.5C.3.5D.-2.54.粽子又称粽粒,俗称“粽子”,古称“角黍”,是端午节大家都会品尝的食品,因各地风俗不同,粽子的形状和味道也不同,某地流行的“五角粽子”,其形状可以看成正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5−14B.5−5.函数fx=xA.−∞,ln2B.ln2,+∞C.6.过点M2,1作斜率为-3的直线与椭圆C:x2m2+y2n2=1相交于AA.13B.33C.17.已知fx=AtanωxA.2+3c.33D.8.已知函数fx=−x2−4x−3,x≤0A.[−9,c.−9,二、多选题:本题共3小题,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.9.某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况,对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题1:你的编号是否为奇数?问题2:你是否吸烟?被调查者从设计好的随机装置(内有除颜色外完全相同的白球50个,红球50个)中摸出一个小球(摸完放回):摸到白球则如实回答问题1，摸到红球则如实回答问题2，回答“是”的人在一张白纸上画一个“√”，回答“否”的人什么都不用做，由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾忌的给出真实的答案.最后统计得出，这1000人中，共有265人回答“是”，则下列表述正确的是()A.估计被调查者中约有15人吸烟B.估计约有15人对问题2的回答为“是”C.估计该地区约有3%的中学生吸烟D.估计该地区约有1.5%的中学生吸烟10.已知抛物线M:y2=4x,焦点为F,过F的直线交M于点A,B,其中Ax1,y1在第一象限,Bx2,A.AB的最小值是4B.1C.直线AC平行于x轴D.△ABC的面积的最大值为11.已知非常数函数fx及其导函数f′x的定义域均为R,若f2−x为奇函数,A.f2=C.f′−三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知向量a=5,2,b在a上的投影向量的坐标为1013.2x−114.如图,河流的一侧是以O为圆心的扇形区域OCD,河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面,假设扇形OCD与B处于同一水平面上,记OB交CD⏜于E.若在C,O,E处看A的仰角分别为45∘,30∘四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(13分)在公差不为0的等差数列an中,a4=5,且(1)求an的通项公式和前n项和Sn；(2)设bn=1anan+1，求数列16.(15分)如图，空间几何体ABCDE中，BD和平面ABC所成角为∠DBC，直线AE⊥平面ABC，且△EAC和(1)求证:AE//平面BCD(2)若AB⊥AC，DE⊥平面BCD，求直线BD与平面17.(15分)已知函数fx=ex+ax(1)求实数a；(2)证明:当x≥1时，18.(17分)湘绣，是中国优秀的民族传统工艺之一，有着两千多年的历史.湘绣的制作工艺繁杂，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，两个环节相互独立.只有同时通过这两个环节才能成为成品.某绣坊准备制作A,B,C三幅不同的湘绣作品,已知A,B,C(1)求A,B(2)若已知A,B,C三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，求通过的作品为(3)经过设计图案和刺绣两个环节后，A,B,C三幅作品成为成品作品的件数为X.求随机变量X19.(17分)已知双曲线C:x2−y2b2=1b>0的两条渐近线分别为l1:y=3x,l2:y=−3x,若点A，B分别在l1,l2上(A,B不同于原点(1)写出C的一个“渐切三角形”的顶点A,B的坐标及切线AB(2)已知点Ax1,y1,Bx2,y2x1x2>0分别在l1,(3)若△OAB是C的“渐切三角形”，AB与C相切的切点M的横坐标大于0，F为C的左焦点，证明:∠AFB2026届高三年级3月份调研考试数学1234567891011ACDCBBDABCACBCD6.设Ax1,y1,Bx2,y2,因为M2,1为线段AB的中点,所以x1+x2=4,y1+y2=2,由x12m2+y12n2=1x27.由图可知T=23π8−π8=π2,所以ω=πT=2,所以fx=Atan2x+φ,因为函数过3π8,0所以0=Atan3π8.画出函数fx函数hx=6f等价于6fx2−2m+3fx+m=0等价于y=fx的图像与直线y=12和直线由图得y=fx的图像与直线y=12有4个交点,所以y=fx的图像与直线y=m3有2个交点,所以−3≤m3<0或9.随机抽出的1000名学生中,回答第一个问题的概率是12,其编号是奇数的概率也是12,所以回答问题1且回答的“是”的学生人数为回答问题2且回答的“是”的人数为265−250=15，从而估计该地区中学生吸烟人数的百分比为15500=3%10.抛物线M:y2=4x的焦点为F1,0,准线方程为x=−1,设过F1,0的直线为x=my+1,将其与抛物线联立可得y2=4xx=my+1,消去x对于B:1AF+1BF对于C:设C点坐标为−1,y3因为y1y2=−4,故y3=y1,故直线AC对于D:S设函数fx=12x24+1⋅x+4x,x>0,则f′x=x2+4432−2x2,所以当故fx的最小值为f23=1639，即△ABC11.因为非常数函数fx及其导函数f′x的定义域均为若f2−x为奇函数,则f2+x=−f2−x,则fx因为f2x+4为偶函数,所以f2x+则fx=f8−x,又所以f8−x=−f4−x故fx的周期为8,所以f2024=f0,f2020=f4,在fx+4=−f对fx+8=f所以导函数f′x的周期为8,所以f′−1=由f′x周期T=8,得f′−2021=f′3,f′2025=f所以f′−2021=f′202512【答案】5813.【答案】-16014.【答案】5由题意,可得∠ACB=45∘,∠AOB=30∘设扇形所在圆的半径为R,可得AE=OE=R,且在直角△ABE中，可得BE=所以OB=32R在△OBC中,可得cos∠15.【答案】(1)an=(1)公差d不为零的等差数列an中，a4=5，又所以a4=a1+3d解得a1=−1,d=2,则(2)由(1)可知,bn=1anan+1=12nTn=16.(1)过点D作DH⊥BC于点H，连接AH，∵BD与面ABC所成角为∠DBC，∴平面BCD⊥平面ABC∵平面BCD∩平面ABC=BC，DH⊂平面BCD，∴DH⊥平面又∵AE⊥平面ABC，∴DH//AE，又∵AE⊄平面BCD，DH⊂平面BCD，∴(2)由(1)知DH//AE，故A,E,D,H四点共面，而DH⊥平面ABC∴DH⊥AH，又∵DE⊥平面BCD，DH⊂平面∴DH⊥DE，∴在平面AEDH中，AH//DE，即AEDH∴AH⊥平面BCD，而BC⊂平面BCD，∴AH∵△AEC和ceABC为全等的等腰三角形,∴AB=AC,∴H以A为原点，AC,AB,AE所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，∴B0,2,0,D1设直线BD与平面ACE所成角为θ,∴sin∴直线BD与平面ACE所成角的正弦值为66.(1517.(1)∵f0=0,∴fx≥f∵f′当a=−1时,∴x≤0时,f′x≤0,fx单调递减,∴fxmin=f0(2)由(1)知对任意实数t有et≥t+1则elnx≥lnx+1,即x要证明fx>2xlnx由lnx≤x−1,可得x+1+2xlnx≤令函数hx=2x2当1≤x<2时,h′x>0;当函数hx在[1,2)上单调递增,在2所以当x≥1时,ex>2x2−x+18.(1)记A,B,C三幅作品通过设计图案环节分别为事件A,B,C,记则PD=(2)PA∣(3)记A,B,C三幅作品成为成品的事件分别为则PE=由X可取0,1,2,3,则PX=PX=PX=PX=则X的分布列为X0123P131001950371003则数学期望EX=19(1)由题意可得，双曲线的渐近线方程为y=±bx,b>0则C:x2−y23=1，且C不妨取切点为1,0，则切线方程为x=1，此时A1,(2)若直线AB斜率不存在，不妨设AB:x=m，则Am,3m,Bm,−3m，则S△OAB=12×m×23m=3m2若直线AB斜率存在,设AB:y=kx+m,联立y=kx+mx2−yy又点O到直线AB的距离d=则S△OAB=12联立y=kx+mx则直线AB与曲线C相切,即△OAB是C的“渐切三角形”综上可得,若