考研数学练习题及答案

考研数学练习题及答案考研数学（一）练习题一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，f’(0)=2，则limₓ→0[f(x)-f(-x)]/x=（）A.0B.2C.4D.不存在2.曲线y=x³-3x²+2x的拐点坐标为（）A.(1,0)B.(0,2)C.(2,-2)D.(1,-1)3.设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且∫₀¹f(x)dx=2，则∫₀¹xf(x²)dx=（）A.1B.2C.4D.04.已知向量组α₁=(1,2,3)ᵀ，α₂=(2,4,k)ᵀ，α₃=(3,6,9)ᵀ线性相关，则k的值为（）A.6B.3C.0D.任意实数5.设A为3阶方阵，且|A|=2，则|2A⁻¹|=（）A.1B.2C.4D.86.设随机变量X~N(1,4)，则P(X≤3)=（）（已知Φ(1)=0.8413）A.0.8413B.0.1587C.0.9772D.0.02287.设函数z=ln(x+y²)，则∂z/∂x+∂z/∂y在点(1,1)处的值为（）A.1/2B.3/2C.2D.38.微分方程y’+2y=e⁻ˣ的通解为（）A.y=e⁻ˣ+Ce⁻²ˣB.y=eˣ+Ce⁻²ˣC.y=e⁻²ˣ+CeˣD.y=e²ˣ+Ce⁻ˣ9.设L为从点A(0,0)到点B(1,1)的直线段，则曲线积分∫_L(x+y)ds=（）A.√2B.2√2C.1D.210.设事件A与B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A∪B)=（）A.0.2B.0.7C.0.9D.0.8二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）11.limₓ→∞(1+2/x)ˣ=__________12.设函数f(x)=x³-3x+1，则f(x)在区间[0,2]上的最大值为__________13.∫₋₁¹(x³+√(1-x²))dx=__________14.设矩阵A=[[1,2],[3,4]]，B=[[2,1],[0,1]]，则AB=__________15.设随机变量X的期望E(X)=2，方差D(X)=1，则E(X²)=__________16.曲面z=x²+y²在点(1,1,2)处的切平面方程为__________三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题10分）求函数f(x)=x²e⁻ˣ的单调区间和极值。18.（本题12分）计算二重积分∬_D(x+y)dσ，其中D是由曲线y=x²和直线y=x所围成的闭区域。19.（本题12分）求微分方程y''-2y'+y=xeˣ的通解。20.（本题12分）设向量组α₁=(1,1,1)ᵀ，α₂=(1,2,3)ᵀ，α₃=(1,3,t)ᵀ，问t为何值时，该向量组线性无关？当线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。21.（本题12分）设矩阵A=[[2,1,1],[1,2,1],[1,1,2]]，求A的特征值和对应的特征向量。22.（本题12分）设随机变量X的概率密度为f(x)=[[ax+1,0≤x≤2],[0,其他]]，求：（1）常数a的值；（2）X的分布函数F(x)；（3）P(1<X≤3)。考研数学（二）练习题一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设函数f(x)在x=1处连续，且limₓ→1[f(x)-2]/(x-1)=3，则f(1)=（）A.1B.2C.3D.42.设y=xsinx，则y''=（）A.-xsinx+2cosxB.xsinx+2cosxC.-xsinxD.xsinx3.设函数f(x)的一个原函数为lnx，则f(x)=（）A.1/xB.-1/x²C.xlnx-xD.1/x+C4.反常积分∫₁^+∞1/x²dx=（）A.0B.1C.-1D.发散5.曲线y=1/x+ln(1+eˣ)的水平渐近线的条数为（）A.0B.1C.2D.36.设函数z=x²y+xy²，则∂²z/∂x∂y=（）A.2x+2yB.2xC.2yD.x+y7.设矩阵A=[[1,0],[2,1]]，则Aⁿ=（）A.[[1,0],[2ⁿ,1]]B.[[1,0],[2n,1]]C.[[1,0],[n,1]]D.[[n,0],[2n,1]]8.设A为2阶方阵，且|A|=3，则|A*|=（）（A*为A的伴随矩阵）A.3B.6C.9D.19.微分方程y’=y/x+tan(y/x)的通解为（）A.sin(y/x)=CxB.cos(y/x)=CxC.sin(y/x)=C/xD.cos(y/x)=C/x10.设函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=0，f(1)=1，则存在ξ∈(0,1)，使得f’(ξ)=（）A.0B.1C.-1D.2二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）11.limₓ→0(sin2x)/x=__________12.设函数f(x)=eˣ-x，则f(x)的极小值为__________13.∫₀^πsin²xdx=__________14.设参数方程x=t²，y=2t，则dy/dx在t=1处的值为__________15.设矩阵A=[[1,1],[0,1]]，B=A²-2A+E，则B=__________16.曲线y=x²-2x+3在点(2,3)处的切线方程为__________三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本题10分）求limₓ→0(eˣ-1-x-x²/2)/x³18.（本题12分）设函数y=y(x)由方程x²+y²-xy=1确定，求dy/dx和d²y/dx²。19.（本题12分）计算定积分∫₀^1√(1-x²)dx，并说明其几何意义。20.（本题12分）求由曲线y=x²和直线y=2x所围成的平面图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。21.（本题12分）解微分方程y''+3y'+2y=3e⁻ˣ22.（本题12分）设矩阵A=[[1,2,3],[2,2,1],[3,4,3]]，求A的逆矩阵A⁻¹。参考答案考研数学（一）练习题答案一、选择题（50分）1.C2.A3.A4.A5.C6.A7.B8.A9.A10.B二、填空题（30分）11.e²12.313.π/214.[[2,3],[6,7]]15.516.2x+2y-z-2=0三、解答题（70分）17.解：f(x)=x²e⁻ˣ，定义域为Rf’(x)=2xe⁻ˣ-x²e⁻ˣ=xe⁻ˣ(2-x)令f’(x)=0，得驻点x=0，x=2当x∈(-∞,0)时，f’(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0,2)时，f’(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(2,+∞)时，f’(x)<0，f(x)单调递减；极小值f(0)=0，极大值f(2)=4e⁻²18.解：联立y=x²与y=x，得交点(0,0)，(1,1)积分区域D：0≤x≤1，x²≤y≤x∬_D(x+y)dσ=∫₀¹dx∫_x²^x(x+y)dy=∫₀¹[xy+(1/2)y²]从x²到xdx=∫₀¹[x²+(1/2)x²-x³-(1/2)x⁴]dx=∫₀¹[(3/2)x²-x³-(1/2)x⁴]dx=[(1/2)x³-(1/4)x⁴-(1/10)x⁵]从0到1=1/2-1/4-1/10=3/2019.解：对应的齐次微分方程为y''-2y'+y=0特征方程：r²-2r+1=0，解得r₁=r₂=1（二重根）齐次方程通解：Y=(C₁+C₂x)eˣ设特解y*=x²(ax+b)eˣ，代入原方程，解得a=1/6，b=0故特解y*=(1/6)x³eˣ原方程通解：y=(C₁+C₂x)eˣ+(1/6)x³eˣ（C₁,C₂为任意常数）20.解：构造矩阵A=(α₁,α₂,α₃)=[[1,1,1],[1,2,3],[1,3,t]]初等行变换得：[[1,1,1],[0,1,2],[0,0,t-5]]当t≠5时，r(A)=3，向量组线性无关；当t=5时，r(A)=2，向量组线性相关，极大线性无关组为α₁,α₂，且α₃=2α₂-α₁21.解：|A-λE|=|2-λ,1,1;1,2-λ,1;1,1,2-λ|=(4-λ)(1-λ)²特征值λ₁=4，λ₂=λ₃=1当λ₁=4时，对应的特征向量为k(1,1,1)ᵀ（k≠0）；当λ₂=λ₃=1时，对应的特征向量为k₁(-1,1,0)ᵀ+k₂(-1,0,1)ᵀ（k₁,k₂不同时为0）22.解：（1）由∫₋∞^+∞f(x)dx=1，得∫₀²(ax+1)dx=1即[(1/2)ax²+x]从0到2=2a+2=1，解得a=-1/2（2）当x<0时，F(x)=0；当0≤x≤2时，F(x)=∫₀ˣ(-1/2t+1)dt=-1/4x²+x；当x>2时，F(x)=1；故F(x)=[[0,x<0],[-1/4x²+x,0≤x≤2],[1,x>2]]（3）P(1<X≤3)=F(3)-F(1)=1-(-1/4+1)=1/4考研数学（二）练习题答案一、选择题（50分）1.B2.A3.A4.B5.C6.A7.B8.A9.A10.B二、填空题（30分）11.212.113.π/214.115.[[0,0],[0,0]]16.y=2x-1三、解答题（70分）17.解：由泰勒公式eˣ=1+x+x²/2+x³/6+o(x³)原式=limₓ→0(1+x+x²/2+x³/6+o(x³)-1-x-x²/2)/x³=limₓ→0(x³/6+o(x³))/x³=1/618.解：方程两边对x求导：2x+2yy’-(y+xy’)=0整理得：(2y-x)y’=y-2x，故dy/dx=(y-2x)/(2y-x)再对x求导，代入dy/dx，得d²y/dx²=6(x²-xy+y²)/(2y-x)³19.解：令x=sinθ，dx=cosθdθ，当x=0时θ=0，x=1时θ=π/2∫₀¹√(1-x²)dx=∫₀^(π/2)cos²θdθ=∫₀^(π/2)(1+cos2θ)/2dθ=π/4几何意义：该积分表示单位圆在第一象限部分的面积。20.解：联立y=x²与y=2x，得交点(0,0)，(2,4)面积S=∫₀²(2x-x²)dx=[x²-(1/3)x³]从0到2=4-8/3=4/3体积V=π∫₀²[(2x)²-(x²)²]dx=π∫₀²(4x²-x⁴)dx=64π/1521.解：对应的齐次微分方程为y''+3y'+2y=0特征方程：r²+3r+2=