2026年押题全国乙卷新高考数学平面向量压轴题易错卷含解析

2026年押题全国乙卷新高考数学平面向量压轴题易错卷含解析考试时间：______分钟总分：______分姓名：______注意事项：1.本试卷共4道大题，满分100分。2.所有解答必须写在答题卡上，写在试卷上无效。3.解答题应写明文字说明、证明过程或演算步骤。一、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知向量a=(1,k)，b=(-2,4)，若a⊥b，则实数k的值为（）A.-2B.-8C.2D.82.设向量u=2a-3b，v=a+λb，其中a=(1,0)，b=(0,1)，若u与v共线，则实数λ的值为（）A.-2B.-1/2C.2D.1/23.已知向量p=(x,y)，q=(1,2)，且p与q的夹角为钝角，则x与y满足的关系式为（）A.x+2y<0B.x+2y>0C.x²+y²<1D.x²+y²>14.在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)，点B(n,0)，向量AB=(2,-1)。若向量OP=3AB+a，其中点P在直线l:x+2y-k=0上，则实数k的值为（）A.-4B.-1C.7D.10二、多选题（本大题共4小题，每小题6分，共24分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分）5.已知向量a=(m,1)，b=(4,n)。若存在实数t，使得a+tb与a-tb垂直，则下列结论正确的有（）A.m=4B.n=-1C.m²+n²=5D.mn=-16.在平面直角坐标系xOy中，点M(1,2)，点N(a,b)，向量u=(1,1)，v=(b-a,a-2)。若u⊥v，且向量MN与向量u的夹角为锐角，则实数a的取值范围是（）A.a<1B.a>3C.a∈(-∞,1)∪(3,+∞)D.a∈(1,3)7.已知向量a=(cosα,sinα)，b=(cosβ,sinβ)，且α∈(0,π/2)，β∈(π/2,π)，若a+b=(1/3,√5/3)，则tan(α+β)的值可能为（）A.1B.2C.-2D.-38.在平面直角坐标系xOy中，设点A(0,1)，点B在直线l:x=1上运动，点P是线段AB的中点。若向量OP=(m,n)，且m²+n²≤1，则点B的横坐标的取值范围是（）A.[0,1]B.[1/2,3/2]C.[1/2,2]D.[0,2]三、解答题（本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9.（本小题满分18分）已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，λ为实数。（1）若|a+λb|=√10，求λ的值；（2）若存在实数λ，使得a+λb与a-2b垂直，求|b|的值。10.（本小题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0)，点B(n,0)，且n>0，点C在直线x=1上。向量AC=(2,1)，向量BC=(m-n,2)。（1）求向量AB的坐标表达式，并求|AB|；（2）若向量AC与向量BC垂直，求n的值；（3）若点C在直线x=1上运动，记向量u=AC-AB，求向量u与向量BC所成角的余弦值的取值范围。11.（本小题满分18分）已知向量a=(1,k)，b=(k+1,1)，函数f(x)=x²+2kx+1。（1）若a⊥b，求函数f(x)的单调递增区间；（2）若存在向量u=(x,x²)，使得u与a+b平行，且f(x)在x=1处的切线与直线2y-x+4=0平行，求实数k的值。试卷答案1.B2.C3.A4.C5.A,C6.C7.B,D8.B,C9.（1）解：由题意，|a+λb|=√((1+λx)²+(2+λ)²)=√10。化简得(1+λx)²+(2+λ)²=10。展开得1+2λx+λ²x²+4+4λ+λ²=10。整理得λ²x²+2λx+4λ-5=0。当x=0时，4λ-5=0，解得λ=5/4。当x≠0时，需判别式Δ=(2λ)²-4(λ²)(4λ-5)=4λ²-16λ³+20λ²=24λ²-16λ³≥0。解得λ(3-2λ)²≥0，即λ≥0且λ≤3/2。将λ=5/4代入0≤5/4≤3/2，成立。故λ=5/4。（2）解：由题意，(a+λb)⋅(a-2b)=0。展开(1+λx)(1-2x)+(2+λ)(-2)=0。得1+λx-2x-2λx²-4-2λ=0。整理得-2λx²+(λ-2)x-(3+2λ)=0。因为λ为实数，所以关于x的一元二次方程(-2λ)x²+(λ-2)x-(3+2λ)=0有实根。判别式Δ=(λ-2)²-4(-2λ)(-3-2λ)≥0。化简得λ²-4λ+4+8λ(3+2λ)≥0。得λ²-4λ+4+24λ+16λ²≥0。得17λ²+20λ+4≥0。判别式Δ'=20²-4*17*4=400-272=128>0。解17λ²+20λ+4=0，得λ=(-20±√128)/(2*17)=(-10±2√2)/17。两根为λ₁=(-10-2√2)/17，λ₂=(-10+2√2)/17。由于Δ'>0，不等式17λ²+20λ+4≥0的解集为(-∞,λ₂]∪[λ₁,+∞)。即λ∈(-∞,(-10+2√2)/17]∪[(-10-2√2)/17,+∞)。需要求|b|的值。|b|=√((k+1)²+1)=√(k²+2k+2)。由于k=-λ/2∈(-∞,-5/(17*2)]∪[(-5-2√2)/(17*2),+∞)。当k=-5/(17*2)=-5/34时，|b|=√((-5/34)²+2*(-5/34)+2)=√(25/1156-10/34+2)=√(25/1156-340/1156+2312/1156)=√(1977/1156)=√(1977)/34。当k=(-5-2√2)/(17*2)时，|b|=√(((-5-2√2)/34)²+2*(-5-2√2)/34+2)=√((25+20√2+8)/1156-(10+4√2)/34+2)=√((33+20√2)/1156-(340+136√2)/1156+2312/1156)=√((1995-116√2)/1156)=√(1995-116√2)/34。故|b|的值在上述k的取值范围内取遍所有满足17λ²+20λ+4≥0的λ对应的|b|值。此题求具体值有误，应求|b|的定值。由a+λb与a-2b垂直，得a⋅a-2a⋅b+λb⋅a-2λb⋅b=0。即|a|²-2a⋅b+λa⋅b-2λ|b|²=0。即1-2(k+1)+λ(k+1)-2λ=0。即1-2k-2+λk+λ-2λ=0。即λk-λ-2k-1=0。即(k-1)λ=2k+1。若k≠1，则λ=(2k+1)/(k-1)。代入-2λx²+(λ-2)x-(3+2λ)=0，得-2((2k+1)/(k-1))x²+(((2k+1)/(k-1))-2)x-(3+2((2k+1)/(k-1)))=0。整理得-2(2k+1)x²+(2k+1-2(k-1))x-(3(k-1)+6k+3)/(k-1)=0。得-2(2k+1)x²+(2k+1-2k+2)x-(3k-3+6k+3)/(k-1)=0。得-2(2k+1)x²+(3)x-(9k)/(k-1)=0。判别式Δ=3²-4(-2(2k+1))(-9k/(k-1))=9+72(2k+1)k/(k-1)=9+144k(k+1)/(k-1)。需要Δ≥0，即9+144k(k+1)/(k-1)≥0。由于k>0，分母k-1>0。所以9+144k(k+1)/(k-1)≥0恒成立。因此，只要存在λ满足垂直条件，|b|就有对应值。由a⊥b可得k=-1。此时λ=(2*(-1)+1)/((-1)-1)=-1/2。代入方程-2(-1/2)x²+(-1/2-2)x-(3+2*(-1/2))=0，得x²-(5/2)x-2=0。Δ=(5/2)²-4*1*(-2)=25/4+8=57/4>0。方程有实根。此时|b|=√((-1+1)²+1)=√1=1。综上，|b|的值为1。10.（1）解：向量AB=(n-1,0)。|AB|=√((n-1)²+0²)=|n-1|=n-1(因为n>0)。（2）解：由题意，AC⋅BC=0。(2,1)⋅(m-n,2)=2(m-n)+1*2=0。2m-2n+2=0。解得m=n-1。又点C在直线x=1上，设C(1,y)。则AC=(1-1,y-0)=(0,y)。BC=(1-n,y-0)=(1-n,y)。由AC=(2,1)，得(0,y)=(2,1)，所以y=1。因此C(1,1)。代入BC=(1-n,1)，得(1-n,1)=(m-n,2)。解得1-n=m-n且1=2。显然1=2不成立。因此不存在实数n>0满足向量AC与向量BC垂直。（3）解：点C在直线x=1上运动，设C(1,t)。AC=(1-1,t-0)=(0,t)。AB=(n-1,0)。u=AC-AB=(0,t)-(n-1,0)=(-n+1,t)。BC=(1-n,t)。设向量u与向量BC所成角为θ，则cosθ=|u|/|BC|*(u⋅BC)/(|u|*|BC|)=(u⋅BC)/|u||BC|。u⋅BC=(-n+1)(1-n)+t*t=n²-2n+1+t²。|u|=√((-n+1)²+t²)=√(n²-2n+1+t²)。|BC|=√((1-n)²+t²)。cosθ=(n²-2n+1+t²)/(√(n²-2n+1+t²)*√(n²-2n+1+t²))=1。因此，向量u与向量BC所成角的余弦值为1，与n,t的取值无关。11.（1）解：由题意，a⊥b，则a⋅b=0。(1,k)⋅(k+1,1)=1*(k+1)+k*1=k+1+k=2k+1=0。解得k=-1/2。函数f(x)=x²+2kx+1=x²+2*(-1/2)x+1=x²-x+1。其导数f'(x)=2x-1。令f'(x)>0，得2x-1>0，解得x>1/2。故函数f(x)的单调递增区间为(1/2,+∞)。（2）解：由题意，存在向量u=(x,x²)，使得u与a+b平行。a+b=(1,k)+(k+1,1)=(1+k+1,k+1)=(k+2,k+1)。向量u与a+b平行，则存在实数μ，使得