新高考数学解答题核心考点预测：不等式的证明（原卷版）

第19讲不等式的证明

高考预测一：一元不等式的证明

1.证明：

(1)翘J〃(x+1)X；

X+1

(2)e\.x+\.

2.设函数/(x)=(x+l)/〃(x+l)-or在x=0处取得极值.

(I)求。的值及函数/(幻的单调区间；

(2)证明对任意的正整数不等式〃加〃..(一】)加(〃+1).

3.设函数/(幻=/+/?加(x+1)，其中。工0

(1)若方=一12,求/(x)在［1,3］的极小值;

(2)如果/(X)在定义域内既有极大值又有极小值，求实数〃的取值范围;

(3)证明不等式:XW-M(A+1)U0)

4.当Ovx<"时，求证：xsinx<x3.

26

高考预测二：函数不等式证明中的变形原理

5.已知函数，(%)=加・奴2+(〃-2)x.

⑺讨论函数/(x)的单调性；

(〃)若人划在点(1,7(1))处的切线斜率为-2.

⑴求/(X)的解析式；

(〃•)求证：当x>0且rw1时,"*+x+4>.

x+1xx-1

6.己知函数f(x)=(x+\)lnx-x+1

(/)求曲线在(1,f(1))处的切线方程：

(II)若xf\x\,x2+cix+1,求°的取值范围;

(III)证明：(x-l)/(x)..O.

7.已知函数/。)=色竺+2,曲线y=/(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2v—3=0.

x+\X

(1)求a,〃的值：

(2)如果当戈>1时，/(x)>—+-,求2的取值范围.

x-1X

8.已知函数/(幻=吧=，(e=2.71828…是自然对数的底数).

(I)求/(幻的单调区间；

(2)设g(x)=4'(x),其中r(x)为/(x)的导函数.证明：对任意%>0,g(x)<\+e~2.

9.已知函数/(x)=(x+1)e，-。(2机r+x),g(x)=e»r+(/??+-)x4-1.(a,〃?wR且为常数，e为自然对数的

底数).

(1)讨论函数/*)的极值点的个数；

(2)当时，/(x)..g(x)对任意的xw(0,+oo)恒成立，求实数机的取值范围.

10.已知函数/(x)=e'+a(x+l)(其中aeR,e是自然对数的底数).

(1)若对任意人匕尺，都有了。)..0，求。的取值范围：

II」

(2)设g(x)=x3lnx+w(x3-l)(/weR)的最小值为以加)，当〃?v0时，证明：-(e0.

高考预测三：函数不等式证明中的隐零点问题

11.已知函数/⑴=加-ai-xlnx,且f(x)..0.

(1)求a；

(2)证明：/(x)存在唯一的极大值点看,且e-2</*0)<2-2.

12.已知函数/(x)=―V+ar,g(x)=/.

(1)设F(x)=3,

g(x)

①当〃=一1时，求曲线y=F(x)在点(1,F(1))处的切线方程;

②当〃>0时、求证：F{x}>——对任意X£(0,+oo)恒成立.

e

(2)讨论G(x)=/(x)・ga)的极值点个数.

13.设函数=其中e为自然对数的底数.

(1)若a=1,求/(A)的单调区间；

(2)若8。)=/。)7+/“，藤山e,求证：g(x)无零点.

14.已知函数f(x)=x*.(其中常数e=2.71828…，是自然对数的底数)

⑴求函数/(%)的极值;

(2)当4=1时，若“V)-欣-辰/恒成立，求实数〃的取值范围.

15.已知函数/<(%)=〃e+(比X-K)(其中。e火且。为常数，e为自然对数的底数，e=2.71828…).

x

(I)若函数的极值点只有一个，求实数。的取值范围；

(II)当a=0时,若/(戏，2+加(其中小>0)恒成立，求(k+I)〃?的最小值〃(M的最大值.

16.已知函数/(1)=〃sinx/，g(x)=",其中〃，b(=R,“=2/7182g…为自然对数的底数.

(1)当。=0时，讨论函数尸(x)=f(x)g(x)的单调性;

(2)求证：对任意1],存在〃6(-00,1],使得/(X)在区间[0,+8)上恒有/(X)V0.

17.已知函数/(x)=e*-sinx-cos.r,g(x)=e'+sinx+cosx.

(1)证明：当时，f(x).A)；

4

(2)若g(x)..2+ax,求a.

18.已知函数/(x)=3%+包竺一cos.r.

2x

(I)当4=2时，证明：/(x)>x对X£(0,乃)恒成立；

(II)若函数g(x)=MXx)在)£(0,万)存在极大值点%,求acos?%-sin%的最小值.

19.已知函数/(x)=sinx-at,力e[0,?y]»其中a为常数.

(1)若/⑴在xw[0,3上是增函数，求〃的取值范围；

(2)证明：当4,1时，/(x)...--x\

高考预测四：双零点问题

20.已知函数/(幻=—+加(〃是常数)在工=1处切线的斜率等于1.

x

(1)求函数/(幻的单调区间并比较/(2),f(3),f(4)的大小；

(2)若方程加x=(°为自然对数的底数)有且只有一个实根，求实数机的取值;

(3)如果方程/(x)=/nx-履有两个不同的零点不，々，求证西匹＞〃.

21.已知函数/(x)=*i-依-2Z(其中e是自然对数的底数，keR)

(1)讨论函数/(外的单调性；

(2)当函数/(幻有两个零点内，电时.证明：N+~＞-2.

22.己知函数/。)=--奴+〃(〃£/?),其中e为自然对数的底数.

(1)讨论函数y=/(x)的单调性:

(2)若函数/'(X)有两个零点%,x2,证明：用+工＜2/,也.

23.已知函数/(x)-x+Mir,awR.

(1)若/(x)在其定义域.L:单调递减，求。的取值范围.

(2)若/(x)存在两个不同极值点％,X,,且占＞玲，求证与二二＞2〃.

24.已知函数=m+2-1,其中左eR,ZwO.

(1)讨论函数"X)的单调性；

(II)设函数/(x)的导函数为g(x).若函数/(幻恰有两个零点再，W(%<々)，证明：g(土卢)>0.

25.已知函数8*)=九¥+2%+色(“£/?).

(I)讨论g(x)的单调性;

(II)当0<。<4时，函数/。)=必。)-(0+2)/一”在其定义域内有两个不同的极值点，记作％,达，且

e2

玉〈马，若机•1，证明：％・苗">.

26.已知函数/(x)=x/nr,e为自然对数的底数.

(1)求曲线)，=/(刈在x=e”处的切线方程；

(2)关于x的不等式在(0,y)上恒成立，求实数4的值；

(3)关于x的方程八幻=。有两个实根七，占，求证：|%-电1<24+1+夕2.

高考预测五：多元函数不等式的证明

27.已知函数/@)=,7+4加:.

X

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若/'(幻存在两个极值点%，占，证明：/(""上)〈a—2.

28.已知函数/(x)=--x+alnx.

x

(1)讨论/3)的单调性；

2

(2)已知f(x)存在两个极侑点％,X，，令g(x)=/(JT)+—x-(rz-l)x--,Br/e)+g(x,)>+x)»

2x2

求/的取值范围.

29.已知函数/(k)一/一%十“心十1),其中a匕尺.

(1)求函数〃x)的单调区间.

(2)若函数有两个极值点不、再，且玉〈修，证明:山总绰±生J.

424Q2

30.设函数/(x)=xlnx.

(I)求f(x)的极值;

(H)设g(x)=/(x+l),若对任意的x.O,都有g(x)..〃式成立，求实数〃1的取值范围;

(HI)若0v。。，证明：0</(a)+f(b)—2/(.：.)<(b-a)ln2.

31.已知函数/*)=工-4一/2丫(々£/?).

(1)若/(x)..O恒成立，求实数。的取值范围：

(1)证明：若。<%〈与，则‘卬一"~)<一!一

x2-%)

32.己知函数/(x)=x-a-/，zx(aeR).

(1)若/*)..0恒成立，求实数a的取值范围；

(2)证明：若0〈人］<勺，则4］。巧一41〃%>X］-%2•

33.己知函数f(x)=Inx.

(1)g(x)=/(x)—^(aeR),且x=2是函数g(x)的极值点，求曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的

x+1

切线方程；

(2)若任怠工>0,不等式/(X)-再，。恒成立，求实数a的取值范围；

(3)若%>苍>0,求证：•/区)二/5)>A,.

x}-x2+x2

34.(1)已知函数“丫)二,1-田，3L%w&，使f(-G，O，求实数，的取值范围：

(2)证明：———</«—<-―-»其中Ova</?；

baa

(3)设［x］表示不超过x的最大整数，证明：［/〃(1+〃)掇［1+■!•+...+」］\+［lnn］(neN*)

2n

35.