2026高考数学复习培优练：三角函数与解三角形（选填题）原卷版

专题05三角函数与解三角形（选填题）

目录

第一部分题型解码微观解剖，精细教学

臼典例剖析切方法提炼£］变式

题型01三角恒等变换问题

题型02三角函数问题

题型03解三角形问题

题型04新定义问题

第二部分强化实训整合应用，模拟实战

＞第一部分题型解码

题型。1三角恒等变换问题

典例剖析

842

【例1・1】（2025•辽宁葫芦岛•二模：已知a，P满足sin((6az+/7)=—,tan«cos/7=《sin夕，贝l]sin^8sa=()

512

AYB.—D.—

171717

a_75则sin(a-?卜()

【例1・2】（2025•全国二卷・高考真题）已知0<tz<;r,cos—

2"5'

B夜3拒

rJ------D.辿

51010

方法提炼

I.两角和与差的正余弦与正切

©sinCcrl/?)=sin6zcos/?±cos«sin0；

@cos(a±p)=cosacosp.sinasinp；

③tan(a±/?)=0土出“'.变形tana±tanp-tan(a±/?)(1+tan«tan/7)

11tanatan/?

2.二倍角公式

®sin2cz=2sintzcoscr:

②cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin%;

gc2lana

③lan%=--------

1-tan-a

4.降次（幕）公式

.1._.->1-cos2a，1+cos2a

sinacoscr=—sm2cr;sin-a=---------;cos~a----------;

222

5.辅助角公式

i------bab

22

asina+bcosa=yla+bsin(a+(其中।/，出⑴二,产,tan/=/).

6.万能公式（弦化切）

ca12a

2tan—1-tan~一2ctan—a

①sina=---------②cosa=---------③।tana=------

i、a-.2ct,7a

1+tan—1+tan"—l-tan~—

222

7.三角恒等式技巧

（1）当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;

（2）当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角的和或差的形式，或者应用诱导

公式把“所求角”变成“已知角”；

（3）常见的角的变换：

a=(a+/?)-/?=(a-£)+,,fl=a-(a-fl)=(a+fi)-a,2a=(a+fl)+(a-fi),a=^-^-^-+———

【变式1・1】（2025•广东肇庆一模）已知sin6-a）=:，且0<a<^，则sin2a=（）

JJ4

6x/2+l6^-1「23N/3-4X/623&4瓜

--------D.---------------------Un.----------

10105050

（2025.甘肃武威•模拟预测）已知aw（。弓，sina+cosof=

【变式1-2]—,则tan^=()

172

4

ABcD.-

-i-1-43

3

【变式1-3]（2025・浙江丽水・一模）(多选题)在VA8C中，若C>B,_@.sin2B+cos2C-sinBcosC=-,

4

则（)

A.B.siiiA=—

2

C.sirvA=cosCD.2sin8-cosC的最大值是6

题型02三角函数问题

典例剖析

【例2・1】（2025•北京・高考真题）设函数/（x）=sin5+cos刃x（a＞0）,若/（%+兀）=/（x）恒成立，且/⑴在

。怖]上存在零点，则①的最小值为（）

4

A.8B.6C.4D.3

【例2・2】（2025・上海・三模）已知函数/（%）=瓜in2x+cos2x.若存在，“目一兀区可，使得/«）/（%）=4,

则I-L的最大值为.

方法提煤

1.三角函数的周期：

①公式法；②不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.

2.三角函数的值域求解技巧：

①利用有界性；②换元法；③配方法；④单调性法.

3.三角函数单调性的求法：

①形如y=Asin（35。）的函数的单调性问题，一般是将勿氏+0看成一个整体，再结合图象利用＞=$inx的

单调性求解：

②如果函数中自变量的系数为负值，要根据诱导公式把自变量系数化为正值，再确定其单调性

4.三角函数的奇偶性：

若y=Asin（＜yx+0）为奇函数，则0=k;r（kwZ）；若）=Asin（ox+0）为偶函数，则夕=（攵wZ）.

5.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数0的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单

调区间的了集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解.

【变式2・1】（2025•云南•模拟预测）函数/（x）=sin3+2（1</<2）满足/£与=0,则①的取

值集合为.

【变式2・2】（2025•安徽•模拟预测）（多选题）已知函数/（x）=cosx+6|sinx|,则（）

A.函数/*）的最小正周期为几

B.函数/（为的值域为［7,2］

C.直线X=兀是函数/。）图象的一条对称轴

D.函数g（x）=/（x）-1在区间（-2兀2兀）上有且仅有5个零点

【变式2・3】（2025•湖南湘潭一模）函数/（x）=sin2x+；sin4x的值域为.

题型03解三角形问题

【例3・1］（25-26高三上•重庆・月考）在八A8C中，三个内角A,B,C所对的边分别为。，4c,S为..A8C的面

积，若/+2/;2+/=4&S，则sinC=（）

A.叵

6

【例3・2】（2025・广东•模拟预测）VA3c的内角A的对边分别为aAc,若48边上的高为3c,4，

则cosNAC8=(

rV135x/26

t・------

1326

1.正弦定理

=2R.（其中R为AABC外接圆的半径）

sinAsinBsinC

2.余弦定理:

.2，9

Ab-+er_cr

cosA=-----------------

2bc

ner+c--b-

cosB=---------------

2ac

「er+b--c~

cosC=----------------

lab

=—absinC=—besinA=LesinB；

3.三角形面积公式：（两边及夹角）S

M£fC222

4.三角形中的边角关系:

A+8CA+BC

sin（A+5）=sinC,cos（A+5）=-cosC；sin=cos—,cos=sin7：

~2~2~2~

5三.角形中线问题

如图在/SBC中，D为CB的中点，2AO=AC+AB，然后再两边平方，转化

成数量关系求解（常用）

6.三角形角平分线问题

如图，在A43C中，A。平分NBAC,角A,B,C所对的边分别为。，b,c

①等面积法

MDC

—八5xACxsinA=—ABxAOxsin——b—ACxAQxsin—（常用）

22222

②内角平分线定理:

ABAC或空=处③边与面积的比值:ABJSABD

~AC=q

~BD~~DCACDCJADC

【变式3・1】（2025•河南•模拟预测）在VAB3中,角ARC的对边分别为“Ac,已知a=6,〃=4ccosA,

则当VABC的面积取最大值时，c=（）

A.372B.26C.2"D.4近

【变式3・2】（2025•甘肃武威・模拟预测）在V4BC中，ZfiAC=y,是NB4C的平分线，BD=2CD,

AB=3,RiJsinZABC=（）

A.叵B.叵C.2D.叵

14744

【变式3・3】（25-26高三上•云南玉溪•期中）（多选题）在VA3C中，角ARC的对边分别是。力,c下列说

法正确的是（）

A.若A>3,则sinA>sinB

B.在锐角三角形ABC中，不等式sinA>8s8恒成立

C.若a=5,A=60。力=26,则三角形有2解

D.若8=2,4=V/WC是钝角三角形，则边长c的取值范围为（04）=（4,+e）

题型。4新定义问题

典例剖析

【例4・1】（2025•安徽合肥•模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，Na的终边OP与正方形A8C。交

A.对任意的a€R,(Lcosa)2+(Lsina)2=I

B.对仔意的aeR.Lcosa+Lsina4正

C./(x)=Lcosx在区间E,=］上单调递增

4

D.对任意的awR，Lcos(--a)=Lsina

2

【例4・2】（2025•陕西咸阳・模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线〃.它的性

质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为

(

田=I2［冗"|0<X<2TT),其中［v］表示不超过X的最大整数，如［―25=-3,1v<3且Z旦

经过点兀则该条葫芦曲线与直线x=g兀交点的纵坐标为（

)

DO

方法提嫌

注重审题，提取题干信息解决问题.

【变式4-1］（202个浙江.二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、

正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线淇中余切函数正割函数sec0=£'

余割函数CSC0=一二，正矢函数ucrsine=l-cose,余矢函数wrcos，=l一sin。.如图角，始边为x轴的非

sin”

负半轴，其终边与单位圆交点?，A、3分别是单位圆与x轴和）:轴正半轴的交点，过点尸作PM垂直x轴,

作PN垂直V轴，垂足分别为何、N,过点A作4轴的垂线，过点力作V轴的垂线分别交。的终边于T、S,

其中AW、PS、BS、N8为有向线段，下列表示正确的是（）

A.v^rsin0=AMB.csc6=PS

C.cot0=BSD.secO=NB

【变式4・2】（2025•上海浦东新•三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如，，Msins-的正弦

型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音.研究表明，所有泛音的频率都是基本

音频率的整数倍，称为基本音的谐波.若对应于k"1+小+"1-〃卜的泛音是时应于尸si吟的

基本音的一个谐波，则正整数〃的所有可能取值之和为

【变式4・3】（2025•河南许昌•三模）（多选题）如图，点P（。/）是以（1,。）,（0,1）,（-1,。）,（0,-1）为顶点的正方

形边上的动点，角。以Ox为始边，OP为终边，定义5（。）=「占7?。（。）=|则（）

|。|+丁|\a\+\b\

B.s（e+?=c（e）

C.函数），=S（x）,xe„的图象关于点O对称

D.函数），=S（x）,xw［0,2冗］的图象与x轴围成封闭图形的面积为兀

A第二部分强化实训

1.12025•四川成都•二模）已知见夕满足sin£=；2ana=tan（a+［）,则sin（2a+/?）的值为.

2.12025•吉林•模拟预测）已知函数/（x）=cosx+gcos2x+；cos3x,则/（幻的最小值与最大值之积

为•

3.12025・湖南•一模）设若"+cos（a+巨）-2/=0,4〃3+sin〃cos〃+f=0,贝］

144」I2）

cos（a+2/?）=.

4.124-25高三下•河南•月考）已知〃为正整数，关于x的方程|cosx|=sin］在区间（0,所）内恰有2026个根,

则"的值为.

5.125-26高三上•四川南充•月考）已知VA8C三个内角A&C所对的边分别为a也c,N8AC==,点。是线

段BC上一点，且人。平分N8AC,若4。=1,则,+』二（）

bc

A.2B.73C.!D.—

23

sin2A〃2+r2—/>**

6.（2025・河南•模拟预测）在VA8C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若~^=,,…则VA8C

sin-Bb~+c~-a~

是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

7.（2025•全国•模拟预测）（多选题）已知VA4C的内角人，8,C的对边分别为若&sinA=sin3sinC，

a=l,则（）

A.VAAC的面积为弓B.8c边上的高为2&

C.tan8的最小值为叫D./最大值为6

8.12025•广西•模拟预测）（多选题）定义：8-sin2（、q）+sin2（aq）++「!？（4—q）为一组数据