重庆黔江区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

数学二

数学共4页，满分150分，时间120分钟.

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号

为A,B,C,D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对

应的方框涂黑.

1.下列四个数中，最大的数是（）

A.yfzB.-2C.0D.1

2.下列计算正确的是（）

A（*=a5B.（2a）~=2a2C.a2a3=a5D.4，+/=/

3.下列事件，适合全面调查的是（）

A.调查长江流域的水质情况

B.调查重庆北站乘客是否携带违禁物品

C.调查重庆市某区八年级学生的视力状况

D.调查一批LEO灯的使用寿命

3

4.下列各数G，—,凡0.1010010001...,/中，无理数的个数是（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

5.如图，3c会△。£尸，AM和DN分别是VABC和从死尸的高，若AM=3,则ON的值是（）

6.若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形

的边长是（）

A.五B.GC.2D.非

7.估计JI6+2的值应在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

8.下列命题中，①。的平方根和立方根都是0；②实数与数轴上的点一一对应；③有一个角为60°的等腰三

角形是等边三角形；④角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题的个数有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

9.河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动

的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为4米，则所列方程正确的是（）

A.（X+0.6）2+1.62=X2B.（X-0.6）2+1.62=X2

C.x2+1.6=（x-0.6）~D.x—0.6=1.6

10.对于两个代数式，记〃=x+l,N=2x+3,下列说法：①若〃2—N=0,则x=贬；②将+N

的结果分解因式为（x+2）\③A1N+3M的最小值为一2.正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中

对应的横线上.

11.4的平方根是____.

12分解因式：X2-4=.

13.把命题“二个内角都相等的二用形是等边二角形”改写成“如果…，那么…”的形式为

14.若2'=3,2V=5，则2r的值为

15.E如图，在RtZVIBC中，NC=9O。，BC=a,AC=3a（a>0）,A8的垂直平分线/交AC于点。,

16.各数位数字均不为0且互不相等的四位正整数〃?，若满足千位数字与百位数字之和为8,十位数字与个

位数字之和为10,则称〃?为巴适数.那么最小的巴适数为：将一个巴适数，〃的千位数字与个位数字对

调、百位数字与十位数字对调后的四位数记为犯，规定/^若尸（加）-110的值是一个完全

平方数，完全平方数指的是能写成一个整数的平方的数，则满足条件的巴适数机的最大值为.

三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过

程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.

17.（1）计算：>/9+y/—S+|>/2-1；

（2）求x的值：8X3-27=0.

18.学习了等边三角形和尺规作图后，小张对等边三角形进行了进一步探究.如图，点。是等边三角形8c

边上一点，连接A3,请帮助小张完成如下作图和填空：

（1）用尺规在VA3C内部以C4为边作NACE=NE4。，CE交AB于点E（不写作法，保留作图痕

迹）；

（2）在（1）所作的图形中利用三角形全等证明3E=CO.

证明：♦「△A3C是等边三角形

AB=CA=BC,①

...在△A3。和△C4E中

NB=NCAB

"AB=CA

[ZBAD=ZACE

:./\ABD^/\CAE（②）

二•③（④）

:.BC-BD=AB-AE

BE=CD.

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算

过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置

上,

19.小万在学校组织的社会实践活动中负责了解他所居住的小区440户居民的家庭收入情况.他从中随机调

查了20户居民家庭的人均月收入(收入用x表示，取整数，单位：元)，将抽取的20户居民家庭的人均月

收入先分成六个组(即600«x<8(X),8()0<x<l(XX).l(XX)<x<1200,1200<x<14(X),

14()0<x<1600,1600<x<1800),再分为三个等级(即低收入600«x<1000,中等收入

10()0<x<1400,高收入14004x<1800).

【收集数据】20户居民家庭的人均月收入统计数据：750,810,920,980,1000,1010,1050,1080,1080,

1100,1100,1120,1190,1250,1250,1300,1320,1430,1500,1790.

【整理数据】按如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图进行整理、描述数据:

根据以上信息，解答下列问题:

小万抽取家庭人均月

9收入扇形统计图

8

7

6

5

4

3

2

1

0

图2

(1)扇形统计图中“高收入”所占扇形的圆心角度数为

(2)请根据已有信息补全频数分布直方图：

(3)请你估计小万所居住的小区440户居民的家庭收入为中等收入的大约有多少户？

20.先化简，再求值：(26一〃+(〃2+〃)(加一〃)+(5〃+其中机=-2,〃=6.

21.如图，点。在VA8C的8C边上，Z1=Z2=Z3,AE=AB.

(1)求证：AADE冬AACB；

(2)AB交DE于点F,若AB上DE，求证：CD=2DF.

22.已知x+y=5,xy=2,求下列各式的值:

(1)x2+y2；

(2)(X2y+2)W+2).

23.如图，VA8C的顶点A，B,。所对的边分别为。，b,c

（1）若（〃-5『+|。-12|+，;-13=0,试说明VA3C是直角三角形;

（2）在（1）的条件下，3C边所在的直线上是否存在一点。，使得△A8O是等腰三角形？若存在，请

直接写出C。的值；若不存在，请说明理由.

24.【呈现旧知】命题两条边和其中一条边所对的角分别相等的两个三角形全等是假命题，即SSA不一定能

判定两个三角形全等.判断它是假命题，小聪同学举出如图I所示的反例：小聪利用尺规作出的角

平分线8E,在座上任取一点。，以。为圆心，适当长为半径画弧交NM8N的两边分别于点A,C,连

接。4,0c.在△A3。和△C3D中，BD=BD，AD=CD,ZABD=/CBD,显然AABD与4CBD

不全等.

图2

【再探新知】（1）小聪同学对图1中的四边形43co进行了深入探究，发现在四边形A3CO中/孙。与

N8C。之间存在特定的数量关系，请用等式直接表示N4AO与NBC。之间的数量关系:

【拓展新知】（2）将小聪的作图痕迹擦除，如图2,若NABC=120。，求证：BD=AB+BC.

25.VA8C中，AB=AC,N84C=a,点。在AC边上.

（I）如图1,过点D垂线经过点B,请用含a的式子表示NDBC；

（2）如图2,过点。的垂线交CB的延长线于点E,交48于点/，若。=45。且OE=AC.求证:

AF=2CD；

(3)如图3,点K在AB边上，满足AK=CD,连接CK,BD,若AB=AC=6,当BD+CK取得

最小值时，直接写出AK的值.

数学二

数学共4页，满分150分，时间120分钟.

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号

为A,B,C,D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对

应的方框涂黑.

1.下列四个数中，最大的数是（）

A.夜B.-2C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的基本法则以及平方比较法是解题的关

键.先依据正数大于0,0大于负数的基本法则，再通过平方比较正数的大小，从而确定所有数的完整大小

关系.

【详解】解：•・•正数大于0,。大于负数，

/--2<0<1,-2<0<x/2»

V（V2）2=2,12=1，且2>1，

・,•收>1，

,•—2<0<1<>/2，

・•・四个数中最大的数是也，

故选：A.

2.下列计算正确的是（）

A.[J）=〃sB.（2a）2=2a2C.a2-a3,=aD.a6-i-a2=a3

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了冢的乘方、积的乘方、同底数辕的乘法与除法.

根据塞的乘方、积的乘方、同底数幕的乘法与除法法则逐一判断即可.

【详解】解：（〃2丫=,产3=〃6工。5,故A错误；

（2。『=22><。2=4。2工2。2,故B错误；

a2*a3=a2+3=a5»故C正确；

a6+a2=ah~2=a4way»故D错误；

故选：C.

3.下列事件，适合全面调查的是（）

A.调查长江流域的水质情况

B.调查重庆北站乘客是否携带违禁物品

C.调查重庆市某区八年级学生的视力状况

D.调查一批灯的使用寿命

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查的区别，熟练掌握两种调查方式的适用条件是解题的关键.

先明确全面调查与抽样调查的适用范围，再结合每个选项的场景特点，判断其适合的调查方式.

【详解】•・•全面调查是对所有考察对象逐一开展调查，适用于范围小、意义重大、无破坏性的场景.

A选项长江流域范围广阔，适合采用抽样调查.

B选项重庆北站乘客携带违禁品事关公共安全，必须对每位乘客进行检查，适合全面调查.

C选项某区八年级学生人数较多，适合采用抽样调查.

D选项测试LED灯使用寿命会对产品造成破坏，适合采用抽样调查.

・•・适合全面调查的是B选项.

故选：B.

3

4.下列各数G，—»巴0.1010010001...,石中，无理数的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查无理数的定义，求算术平方根.

根据无理数定义逐一判断即可.

【详解】解：6是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数：

3

行是分数，属于有理数；

不无限不循环小数，属于无理数；

0.101001000L..是无限不循环小数，属于无理数；

〃=2,是整数，属于有理数；

・••无理数有G、乃、0.1010010（X）1…，共3个.

故选：C.

5.如图，△ABC/尸，AM和£W分别是VA8C和小£尸的高，若海=3,则。%的值是（）

A.4B.3C.2.5D.3.2

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等，以及

利用AAS判定三角形全等是解题的关键.根据全等三角形的性质，对应边相等、对应角相等，结合高的定

义得到直角，再通过AAS证明包含高的两个小三角形全等，从而得出高相等.

【详解】解：••.△ABC也△£）£1/,

：・AB=DE,NB=NE，

•••AM、ON分别是△ABC、△DEF的高,

・•・/AMB=NDNE=90。,

AABM和△DEN中,

ZAMB=/DNE

<NB=NE,

AB=DE

：・AABM—DEN（AAS）,

AM=DN,

•・•AM=3,

・•・DN=3,

故选:B.

6.若将如图所示的方格图中的阴影部分（每一个小方格的边长为1）剪开拼成正方形，那么所拼成的正方形

的边长是（）

A.y/2B.73c.2D.垂）

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了图形的剪拼与算术平方根的应用，熟练掌握剪拼前后图形面积不变，以及利用面积

求正方形边长是解题的关键.

先计算阴影部分的面积，再根据剪拼前后面积不变，得出新正方形的面积，进而求出其边长.

【详解】解：•・•每个小方格边长为1,

，阴影部分面积=lxl+2xt2=5,

2

•・•剪拼后正方形面积与阴影部分面枳相等，

・••新正方形面积为5,

・•・新正方形边长为、石，

故选：D.

7.估计JI6+2的值应在（）

A.5和6之间B.6和7之间C.7和8之间D.8和9之间

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查无理数的估算.

通过确定行的取值范围，再计算J记+2的范围即可求解.

【详解】解：・・・9vl0vl6,

:.如<晒<屈，

即3<痴<4，

••・3+2<屈+2<4+2，

即5<加+2<6，

，厢+2的值在5和6之间.

故选：A.

8.下列命题中，①0的平方根和立方根都是0；②实数与数轴上的点一一对应；③有一个角为60"的等腰三

角形是等边三角形；④角平分线上的点到角两边的距离相等，真命题的个数有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了平方根与立方根的定义、实数与数轴的关系、等边三角形的判定、角平分线的性质

定理，熟练掌握这些基础知以点并准确判断命题真假是解题的关键.

逐一判断每个命题的真假，依据平方根与立方根的定义、实数与数轴的关系、等边三角形的判定定理、角平

分线的性质定理进行分析，最后统计真命题的个数.

【详解】①•・•（）的平方根是0,。的立方根是0,・••该命题是真命题.

②1•实数与数轴上的点一一对应是实数的基本性质，，该命题是真命题.

③分两种情况讨论：

情况一：若等腰三角形的顶角为60。，则底角为（180。-60。）+2=60。，三个内角均为60。，是等边三角

形；

情况二：若等腰三角形的底角为60。，则顶角为180。—60°x2=60。，三个内角均为60。，是等边三角

形；

；•该命题是真命题.

④1•角平分线上的点到角两边的距离相等是角平分线的性质定理，，该命题是真命题.

综上，4个命题均为真命题，即真命题的个数为4个.

故选：D.

9.河中有一根芦苇，直立时高出水面0.6米，微风吹拂，芦苇随风摆，倒向一边，顶端齐至水面，芦苇移动

的水平距离为1.6米，求这根芦苇的长度是多少米？设这根芦苇的长度为工米，则所列方程正确的是（）

A.（工+（16『+1.62=/B.（x-o.6）2+1.62=x2

C.X2+1.6=（X-0.6）2D.X-0.6=1.6

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握从实际问题中抽象出直角三角形模型并运用勾股

定理是解题的关键.先根据题意构建直角三角形模型，再利用勾股定理列出方程.

【详解】解：:设这根芦苇的长度为X米，

・•・水深为（X-0.6）米，

v芦苇倒向水面后，水深、芦苇移动的水平距离与芦苇长度构成直角一:角形，其中芦苇长度为斜边，

・•・根据勾股定理得：。-0.6）2十1.62=/，

故选:B.

10.对于两个代数式，记历=x+l,N=2x+3,下列说法：①若〃2—N=0,则工=夜；②将+N

的结果分解因式为（x+21；③AW+3M的最小值为一2.正确的有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法、因式分解、配方法求二次式的最值，熟练掌握方程求解、因

式分解和配方法是解题的关键.对三个说法逐验证，分别通过代入求解方程、因式分解、配方法求最值来

判断对错，最后统计正确说法的数量.

【详解】解：®VM=x+l,N=2x+3,M?-N=0,

・・・（X+1）2-（2X+3）=0,

:.x~+2x+1—2,x—3=0，

Ax2-2=0，

***x=i>/2，故①错误；

②・.・“+N=（X+1）2+（2X+3）,

・•・1+2x+l+2x+3=f+4X+4=（X+2）2,故②正确：

③・・・MZV+3M=M（N+3）=a+l）（2x+3+3）=（x+l）（2x+6）=2（x+l）（x+3）,

・•・2+4x+3）=2[（x+2尸-1]=20+2了一2,

VU+2）2>0,

A2（X+2）2-2>-2,故③正确；

综上，正确的说法有2个，

故选：C.

二、填空题：(本大题6个小题，每小题4分，共24分)请将每小题的答案直接填在答题卡中

对应的横线上.

11.4的平方根是____.

【答案】±2

【解析】

【分析】本题考查了平方根的定义，如果一个数的平方等于则这个数叫做。的平方根，即/=〃，那么

X叫做，的平方根.

根据平方根的定义，求4的平方根即可

【详解】解：・.•(±2)2=4,

，4的平方根是±2.

故答案为：±2.

2

12.分解因式：X-4=.

【答案】"+2加-2)

【解析】

【分析】本题考查了平方差公式因式分解，能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符

号相反.该题直接利用平方差公式进行因式分解即可.

【详解】解：f-4=(x+2)(x-2).

故答案为:(x+2)(x-2).

13.把命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为

【答案】如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形.

【解析】

【分析】一个命题由题设和结论两部分组成，一般都能写成“如果…，那么…”的形式.如果是条件，那么是

结论.

【详解】因为“三个内角都相等的三角形是等边三角形”中“三个内角都相等的三角形”是条件，“等边三角

形”是结论，则可得如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形.

本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题与定理的写法.

14.若2X=3,2、=5，则2r的值为.

【答案】［3

【解析】

【分析】本题主要考查了同底数'尿的除法.逆用同底数辕的除法法则，可得：把

2、=3,2、=5代入2*+2V计算求值即可.

【详解】解：・・・2户是=212匕

当2*=3,2。=5时，

原式=2、+2V=3+5=3.

5

故答案为：

5

15.E如图，在Ri^ABC中，ZC=90°,BC=a,AC=3a(a>0),48的垂直平分线/交AC于点。,

BC

bHIi——=

4

【解析】

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线，熟练运用勾股定

理解题.

连接8。，则由线段垂直平分线得到。8=D4,然后设CQ=x,在RtZ\8CO中由勾股定理建立方程求解

即可.

【详解】解：连接80，

vAB的垂直平分线/交AC于点。，

・•・DB=DA

设CO=JV,则O3=DA=AC-CD=3a-x,

ZC-90°,

:.BC2+CD2=BD2^

a2+x2=（3，

4

解得x=一。，

3

BC_a_3

•*­CD-4_~4»

一〃

3

3

故答案为：

4

16.各数位数字均不为0且互不相等的四位正整数〃?，若满足千位数字与百位数字之和为8,十位数字与个

位数字之和为10,则称加为巴适数.那么最小的巴适数为:将一个巴适数机的千位数字与个位数字对

调、百位数字与十位数字对调后的四位数记为犯，规定—利）=甯1，若尸的值是一个完全

平方数,完全平方数指的是能写成一个整数的平方的数，则满足条件的巴适数机的最大值为.

【答案】①.1728②.7164

【解析】

【分析】本题主要考查了新定义问题、完全平方数的性质、数字组合与互异性分析，熟练掌握新定义的规则

并结合数的性质进行推导是解题的关键.

先根据巴适数的定义，通过确定最小的千位和H立数字来找到最小数；再对尸（机）-110为完全平方数的条

件进行推导，结合数字互异性和千位最大的要求，找到最大数.

【详解】解；设，〃的千位、百位、十位、个位数字分别为a,则。+〃=8,cid=10,且4氏

为I至9的整数且互不相等，

•・•千位取最小正整数1,

:・b=7,

•・•十位取最小且与a,b不相等的正整数2

・"=8,

・•・最小巴适数为1728,

•・・F（〃?）="鲁，㈣为机千位与个位、百位与十位对调后的数，

99

m=1000。+100〃+10c+4，町=10004+100c+10〃+〃，

又b=8-a,c=10-d,

则〃2+犯=1001(a+d)+110S+c)=10()l(4+d)+U0(18-3+d))=891(a+d)+198()c

・•.F（〃?）=9（a+d）+20,

・・吓（〃?）一110为完全平方数，

・・・9（a+d—10）="a为整数），

2

・・・〃+d-io=£l,即。+〃—io为完全平方数，

9

为1至9的整数，

a+d=10或11或14,

当〃+d=10时,可能的（a,d）为（2,8）,（3,7）,（4为）,

«4-Z?=8,c-\-d=10»

，对应〃=6,5,4,c=2,3,4,

•・•数字互不相等，

・••此时无合适的巴适数，

当a+d=U时,可能的（a,d）为（2,9）,（3,8）,（5,6）,（7,4）,

*.*«+Z?=8,c+d=10,

；・对应匕=6,5,31,c=l,2,4,6,

•・•数字互不相等，

・・.得到“2619,3528,5346,7164,

当〃+d=l4时，可能的（。,"）为（5,9）,（6,8）,

c,d互不相等，

・•・仅根=5319有效，

•・•要找满足条件的最大加，

・••比较得最大数为7164,

故答案为：1728；7164.

三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过

程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在管型卡中对应的位置上.

17.(1)计算：79+O+|V2-l

（2）求x的值：8/—27=0.

3

【答案】（1）及；（2）x=-

2

【解析】

【分析】本题考杳了实数的混合运算，求一个数的立方根.

（1）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再计算加减即可;

（2）先移项，进而得到/=£1,根据立方根求解即可.

8

【详解】（1）解：原式=3-2+五一1

（2）解：8/=27,

327

N二—,

8

3

x=—.

2

18.学习了等边三角形和尺规作图后，小张对等边三角形进行了进一步探究.如图，点。是等边三角形3C

边上一点，连接AO,请帮助小张完成如下作图和填空：

（1）用尺规在VA3C内部以C4为边作NACE=N84D,CE交AB于点E（不写作法，保留作图痕

迹）；

（2）在（1）所作的图形中利用三角形全等证明应：=CD.

...AB=CA=BC,①

•••△A3。和△C4E中

NB=NCAB

，AB=CA

ZBAD=ZACE

.-.zMBZ^ACAE（②）

③（④）

:.BC-BD=AB-AE

BE=CD.

【答案】（1）见解析（2）①N3=NC4B；②ASA；③BD=AE；④全等三角形对应边相等

【解析】

【分析】本题主要考杳了尺规作图，等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质：

（1）根据作一个角等于已知角的作法解答即可；

（2）根据等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质解答即可.

【小问1详解】

解：如图，NACE即为所求；

证明：•.•△A3C是等边三角形

AB=CA=BC,ZB=ZCAB,

...在△A3。和ACAE中

ZB=NCAB

"AB=CA

ZBAD=ZACE

「.△A3Z泾△CAE（ASA）

BD=AE（全等三角形的对应边相等）

:.BC-BD=AB-AE

:.BE=CD.

故答案为：NB=NCAB；ASA；BD=AE；全等三角形的对应边相等

四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算

过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置

上,

19.小万在学校组织的社会实践活动中负责了解他所居住的小区440户居民的家庭收入情况.他从中随机调

查了20户居民家庭的人均月收入(收入用x表示，取整数，单位：元)，将抽取的20户居民家庭的人均月

收入先分成六个组(即600«x<8(X),8()0<x<l(XX).l(XX)<x<1200,1200<x<14(X),

14()0<x<1600,1600<x<1800),再分为三个等级(即低收入600«x<1000,中等收入

10()0<x<1400,高收入14004x<1800).

【收集数据】20户居民家庭的人均月收入统计数据：750,810,920,980,1000,1010,1050,1080,1080,

1100,1100,1120,1190,1250,1250,1300,1320,1430,1500,1790.

【整理数据】按如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图进行整理、描述数据：

根据以上信息，解答下列问题：

小万抽取家庭人均月

9收入扇形统计图

8

7

6

5

4

3

2

1

0

图1图2

(1)扇形统计图中“高收入”所占扇形的圆心角度数为.

(2)请根据已有信息补全频数分布直方图：

(3)请你估计小万所居住的小区440户居民的家庭收入为中等收入的大约有多少户?

【答案】(1)54°;

(2)见解析；(3)286户.

【解析】

【分析】本题考查/频数分布直方图，求圆心角，川样本估计总体.

(1)用“高收入”人数除以众数乘以360。即可；

(2)根据人均月收入统计数据补全频数分布直方图即可•：

(3)用中等收入的比例乘以440即可.

【小问1详解】

解：由人均月收入统计数据可知“高收入”有3户，

3

・•・扇形统计图中“高收入”所占扇形的圆心角度数为二x3600=54。.

20

故答案为：54°：

【小问2详解】

解：由人均月收入统计数据可知，1000«xvl200有9户，1400«x<1600有2户,

补全频数分布直方图如下：

小万抽取家庭人均月收入

户

数频数分布直方图

9

8

7

6

5【小问3详解】

4

3

2

1

0

解：由人均月收入统计数据可知，中等收入的大约有13户，

13

—x440=286p,

20

答：估计小万所居住的小区44（）户居民的家庭收入为中等收入的大约有286户.

20.先化简，再求值：（2〃?一〃）2+（m+〃）（相_〃）+（5〃?3_2析，+m）+（一,〃），其中,〃=-2,n=6.

【答案】23

【解析】

【分析】本题考查了整式的化简求值.先计算乘法公式、多项式除以单项式，再合并同类项，最后将6=-2,

〃=6代入化简结果计算即可.

【详解】解：（2〃?一〃）~+（/〃+〃）（/〃一/?）+（5加

—4〃/-4/7Z/?+n2+m2—n2-5/n2+2mn-1

=-2mn-1,

当加=—2,〃=6时，原式=-2x（—2）x6-l=23.

21.如图，点。在V43c的8c边上，Z1=Z2=Z3,AE=AB.

（1）求证：.ADE知ACB：

（2）AB交DE于点、F,若AB上DE，求证：CD=2DF.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质.

(1)根据N1=N2得到NE4O=NK4C,根据N1=N3,ZAFE=NBFD得到NE=NB,进而根据

ASA即可证明AADE'ACB；

(2)过点A作A”_LCB于点〃，由(1)知NAOE=NC,AD=AC,得到NAOC=NC,CD=2DH,

证明力bg^AOH(AAS),得到D”=DF,即可证明CQ=2OF.

【小问1详解】

证明：・.・N1=N2，

.\ZEAD=ZBAC,

•・"=N3,ZAFE=/BFD，

:"E=/B，

在VAOE和AACB中，

ZEAD=Z.BAC

AE=AB,

NE=NB

.^ADE^ACB(ASA)：

【小问2详解】

证明：过点A作A”_LC8于点，，

ZAHD=90。,

由（1）知ZAO£=NC,AO=AC，

\?ADC?C,CD=2DH,

ZADE=ZADC

又・.・4/_1。£于点厂，

ZAFD=ZAHD,

又AD=AZ），ZADE=ZADC,

.•.△AOF%A0"（AAS）,

:.DH=DF,

:.CD=2DF.

22.已知x+y=5,p=2,求下列各式的值：

（1）x2+y2；

（2）（x2y+2）（A>'2+2）.

【答案】（1）21

（2）32

【解析】

【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，多项式的乘法.

（1）根据完全平方公式得到一+y2=（工+）,）2一2人），，进而计算即可；

（2）先计算多项式乘法，再化为（冷，y+2A>，（x+），）+4,进而计算即可.

【小问1详解】

解：x24-y2

=（工+»—2冲

=52-2x2

=21；

【小问2详解】

解：［2,+2乂町2+2）

=x3y3+2x2y+2xy2+4

=+2x）j（x+y）+4

=23+2x2x5+4

=32.

23.如图，VA3c的顶点A,B,。所对的边分别为。，b,c.

A

CB

（1）若（々-5）2+|〃-12|+无-13=0,试说明VABC是直角三角形；

（2）在（1）的条件下，8c边所在的直线上是否存在一点。，使得△AM是等腰三角形？若存在，请

直接写出CO的值；若不存在，请说明理由.

119

【答案】（1）见解析（2）存在，5或8或18或正

【解析】

【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识点.

（1）先根据非负数性质求解凡〃,。，再由勾股定理逆定理求解即可：

（2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可.

【小问I详解】

解：V（«-5）2+|Z7-12|+VC-13=0,

/.<7—5=0,Z?-12=0,c—13=0

.,.a=5,/?=12»c=13

V52+122=132^

••a+b~=c~»

・•・ZC=90°

.•■ABC是直角三角形

【小问2详解】

解：存在，

①A3=A。时，以A为圆心，48长为半径画弧，交直线C8于点。3

VAC1BD]

・・.3=8C=5；

②射=8。=13时，以3为圆心，B4长为半径画弧，交直线C3于点。2、2,

・•・CO；=映+5C=13+5=18；C£>2=映一BC=13-5=8；

③D4=QB时，作A3的垂直平分线交直线CB于点。4,设CQ=x，则2A=23=C2+3C=x+5

VAC1CD,,

2

AAC+CD^=AD^f

A122+X2=(X+5)2

119119

解得工二丁，即。仅二七

1010

119

综上：CO的值为5或8或18或——.

24.【呈现旧知】命题两条边和其中一条边所对的角分别相等的两个三角形全等是假命题，即SSA不一定能

判定两个三角形全等.判断它是假命题，小聪同学举出如图1所示的反例：小聪利用尺规作出/M8N的角

平分线跳，在8E上任取一点O,以。为圆心，适当长为半径画弧交NM3N的两边分别于点A,C,连

接DA,0c.在△A3。和△«?£＞中，BD=BD，AO=CO,Z/W£）=NC3。，显然△A8D与△C3O

【再探新知】（I）小聪同学对图1中的四边形ABC力进行了深入探究，发现在四边形A8C力中与

/BCD之间存在特定的数量关系，请用等式直接表示ZA4D与/8CQ之间的数量关系：：

【拓展新知】（2）将小聪的作图痕迹擦除，如图2,若NABC=120。，求证：BD=AB+BC.

【答案】（1）ZBAD+ZBCD=180°：（2）见解析

【解析】

【分析】（1）采用截长法，在3c上取一点〃，使得BH=BA,结合角平分线性质证明△A3的△H8O,

得到AO=HO；再由AO=C£＞推出“O=CD,从而得到NDHC=NDCH；最后利用

/BHD+/DHC=18。。,完成角度关系的推导.

(2)采用补短法，延长至E使CE=AB，构造全等三角形aOCE1二△DAB,得到。七=D3；再结合

已知角度推出ADBE为等边三角形,通过线段和差关系完成证明.

【详解】(1)解：在3C上取点〃，使BH=BA，

♦.•BE平分/ABC,

:./ABD=NHBD，

<BA=BH，BD=BD,

.△ABgWBD(SAS),

:.\D=HD，NBAD=NBHD，

vAD=CD,

:.HD=CD,

:./DHC=/BCD,

•/ZBHD+ZDHC=180°,

."84。+/8c0=180。，

故答案为：ZBAD+ZBCD=\Wx

(2)证明：延长3c至七，使CE=A4,连接

rfl(1)得N8AO+N8CD=18(y又N8CO+NOCE=18(y，

:.NDCE=ZA

・・・DC=DA

.•.△DCEJDAB,

:.DE=DB,4CDE=/BDA,

・・・ZABC=120°»

ZADC=60，

...Z.BDE=60'，

AD应:是等边三角形，

BE=DB，

/.BC+CE=BC+BA=DB，

BD=AB+BC.

本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、四边形内角和及邻

补角的性质，熟练掌握截长补短法构造全等三角形，以及全等三角形与等边三角形的判定和性质是解题的

关键.

25.在VA8C中，AB=AC,ZBAC=a,点。在AC边上.

（1）如图1,过点O的垂线经过点“，请用含。的式子表示ND8C；

（2）