第十九章《二次根式》全章同步练-2025-2026学年人教版八年级数学下册

第十九章二次根式

19.1二次根式及其性质

课时1二次根式的概念

基础巩固练

知识点1二次板式的概念

1.下列式子中,二次根式的个数为（）

①VT3；②V3；©-V.v2+2；@V8；

⑤J（5）2;⑥W^x-,@y/x2+2x+3

A.2B.3C.4D.5

2.下列式子中，一定是二次根式的是（）

A.GB.VJ+2C.37D.V5

知识点2二次根式有意义的条件

3.若G在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x<lB.x>l

C.x<-1D.x>-1

4.（2025.绵阳安州区期末）使分式盖有意义的x的取值范围在数轴上应表示为（）

5.若式子意义，则点（、'门）在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

6.请写出一个使斥在实数范围内有意义的x的值:—.

7.若式子g+VFT在实数范围内有意义,则x的取值范围是

8.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

（l）V3-2x;（2）V2?M;⑶穹.

知识点3二次根式的实际应用

9.要画一个面积为20cm2的长方形，使它的长与宽之比为5：2,则该长方形的宽为（）

A.lcmB.2y[2cm

C.V3cmD.y/5cm

10电流通过导线时会产生热量，电流1（单位:A）、导线的电阻R（单位幻）、通电时间1（单位：s）与产生的热量Q

（单位：J）满足关系式修尸即，已知导线的电阻为6c,通电时间为1s时，导线产生的热量为30J,求电流1.（结果用

根式表示）

课时2二次根式的性质

基础巩固练

知识点1\^>0（«>0）

1.若g+廓=0,则x,y的值分别是（）

A.L2B.1,-2

C.-l,2D.-l,-2

2.若实数x,y满足斤+炉-8户■16=0,则T.的值为一

知识点2（⑷~=°（介0）

3.（-&）2的相反数是（）

A.-2B.-V2

C.V2D.2

4.计算：

（l）（-VZ5）2=_;

⑵（M；

（3）（3V3）2=_;

⑷囹一

5.计算（（ey+i的结果是

6.计算：

⑴（同;⑵（-囹；

⑶—（5夜）2;⑷住f.

知识点3，?=匚〃口

7.，而化简的结果是()

A.-4B.4C.±4D.8

8.若，(工-2)2=2-工成立,则x的取值范围是()

A.x<2B.x<2

C.x>2D.0<x<2

9.(2025.自贡贡井区校级月考)若Kx*,化简小-、：］-八2-8/16的结果为()

A.3B.2x-5

C.*3O.5-2x

10计算：

(1)唇

⑵后/

(3)/(W^=_.

11计算：

(OV25；(2)7(=4)2；

(3)-J(47；⑷贮

能力提升练

1下列等式：口杰=（；口7^科W□历。.001;口（-灼2=25.其中正确的有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

2.（1）当a为一时,岳行+1的值最小，为

⑵当a为一时,j4-Q+2）2的值最大为

3.已知0〈av1,化简-4+Jd)+4=_.

4.计算:

⑵(-1)2。27+(3-兀)。-(夕+](6-3)2.

5.(2025.遂宁期中)若a,b是一等腰三角形的两边长，旦满足等式2V5^X+3E=b-4,试求此等腰三角形的周

长.

6.对于式子〃叶不与仄有下列结论:①当m=3时.原式=4;②当m<2时，原式=3.其中说法正确的是()

A.只有①正确B.只有②正确

C.①②都正确D.①②都不正确

微专题1二次根式非负性的运用

类型1利用二次根式的非负性求值

1.若(X-2)2+份=0,则町的雕()

AJOB.-10C.3D.-3

2.若际+庐=0,则x=—,y=—.

3.若4=佑-5+仍-6+4,则a=_,b=____.

4.如果U〃-2n+7/>-3+(c-4)2=0,那么a-b+c=.

5.若5〃?-2()26+口2025f口=/»则m-20252=_.

类型2利用二次根式的非负性化筒

6.实数a,b所对应的点在数轴上的位置如图，化简匚〃+1□-而奇+J西*=

ab

11」」■」」■」1」.

-4-3-2-101234

6题图

19.2二次根式的乘法与除法

课时1二次根式的乘法

基础巩固练

知识点1二次根式的乘法法则

1.计算J5x/的结果是（）

A.：B.2C.V2D.y

2.计算6x0的结果是（）

A.6B.x/6C.V5D.I

3.（2025.绵阳游仙区期末）计算2百x3a的结果是（）

A.5%/5B.5瓜

C.66D.6V6

4.计算：

（l）V8x/T8;

(2)V1.2X102XV3X105;

⑶夜x6X标;

(4)^712^x375^.

知识点2积的算术平方根的性质

5.化简二次根式斤而得()

A.-5V3B.5V3

C.±5VJD.30

6若a=Z,则()

A.2aB.4a

C.8aD.16a

7.下列各式计算正确的是()

A.V(-25)x(-36)=VZ25xx(-6)=30

B.河石=46

C.石。=5+4=9

D.V9?=V9□Vx23.r=3.v\^

8.计算：

⑴师x(-3网；

⑵服X^x何;

⑶一5Mxmx(-3旧);

(4)47?yx17^.

知识点3二次根式乘法的应用

9.若一个直角三角形的两条直角边的长分别为4表切和V6cm,则这个直角三角形的面积是一cnR

10一个长方体的长为宽为2仞.高为!闹…求这个长方体的体积.

能力提升练

1下列各数中，与我相乘后结果仍为无理数的是()

A.JiB.V8C.\<l8D.

2.下列各式中，化简正确的是()

A.V(-16)x(-25)=VH6x7^25=20

B.VT2^27=A/4XV8T=18

C.J16^=A/T6+J=4+|=^

D.然=〃x导x河

3.化简：

(1)7(-2)2X8X3=；

(2)-V3XV(-24)X(-2)=_.

4.若a=v5,b=v5,则用含a,b的代数式表示是__.

5.计算：

⑴“自

(2)6A/2X1V6.

6.一个长方体的塑料容器中装满水，该塑料容器的长、宽分别是，15&力?,7517小现将一部分水倒入一个高为5

cm的圆柱形玻璃容器中，当玻璃容器装满水时，塑料容器中的水面下降了V5cm.

（1）求玻璃容器的容积；

⑵求玻璃容器的底面半径（兀取3）.

7.（2025.广安期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程.

J等十导但•

⑵嘘=序月导

J鲁+导网.

（I股照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4卡=_;5聆=—;

⑵通过上述探究你能猜测出：，点r—g。）,并验证你的结论・

课时2二次根式的除法

基础巩固练

知识点1二次根式的除法法则

1.计算府+际的结果是（）

A.4B.2C<D

4Z

2.计算痴，则口中的数是（）

A.4B.\<T0C.2D.V2

3.（2025・泸州江阳区期末）若等式寻=耳成立，则x的取值范围在数轴上可表示为（）

:□一一匚

-1003-1033

ABCD

4.计算:

(l)/10^/5=V10^5=_;

:V4=.

5.计算:

⑴续

⑵-亚+岛

(3)6质+3卡

知识点2商的算术平方根

6.等式后=*成立的条件是

7.化简：

（1）聆=_；（2）后:；

⑶阳⑷

8.化简：

⑴麻；⑵解⑶点⑷°力＞°）・

知识点3最简二次根式

9.（2025•南充顺庆区校级月考）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.\B.V5C.V4D.V0?8

10若G是最简二次根式，则x的值可能是（）

A.I1B.13C.21D.27

II把下列二次根式化为最简二次根式：

⑴E⑵居;⑶器.

能力提升练

1.计算V45-3V2XJ的结果正确的是（）

A.IB.2.5C.5D.6

2.现有一个体积为120VJc/的长方体，它的高为长为3y/T6c/n..则这个长方体的宽为cm.

3.若瓜司是最简二次根式，且£为整数，则a的最小值是—.

4.（2025・广元利州区期中）对于任意两个和为正数的实数a,b,定义运算"※"如下：aX4易，例如，3+1=

.计算：8※侬—.

5.计算：

（1）775^5V2x£；

⑵:

(3)4信+3

6.若+(b+l)2=0,求的值.

7.老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题目作为练习.

已知迎=〃,夕5=力,用含a,b的代数式表示月..小豪、小麦两名同学板书了下面两种解法：

'49x10VT^TO_V7xV7O_ab

小豪：7^9=

10*10101010

小麦：V^9=V49^0J=7A/0J.

⑸吟=舟品、，

□\/49=7V0?T=T-

b

老师看完后，提出以下问题：

(1)两名同学的解法都正确吗？

⑵请你再给出一种不同于这两名司学的解法.

19.1-19.2阶段性评价（一）

一、选择题

1下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.V3B.V3C.爪D.-3

2.计算我xa的结果是（）

A.\4T0B.4C.8D.±4

3.下列二次根式是最简二次根式的是（）

A./B.V8C.V6D.5^2

4.下列计算正确的是（）

A.7（-3）2=-3B.V3X^=VT5

C.（夜）’=4D.714-77=2

5.（2025・遂宁安居区月考）若mn>0,m+n〈0,则化简历+口的结果是（）

A.mB.-mC.nD.-n

6若2,5,m是某三角形三边的长，则标界+倔可=（）

A.2m-10

C.10D.4

二、填空题

7.若式子券在实数范围内有意义，则x的取值范围是

8.若，〃?-3+（〃+1）2=0,则m-n的值为.

9.如果两个最简二次根式后与倔口的被开方数相同，那么a=

1（）观察并分析下列各数，寻找规律：0,V2,2,V6,2V2,71O,2V3，…,第10个数是

三、解答题

"计算:

八、VT2XV6

（i）b；

（2）何x同m；

（3）日+后邛1；

（4）2x412x^-572.

12如图，已知实数a的位置，化简：疝奇+疝木.

一1一」」■，.

-101«2

12题图

13.⑵心.南充高坪区月考）已知居=焉，且x为奇数，求（1+x）□后季的值

14.⑴填空:4+3_2A/^,1+、2J1x3,5+5_2V5芯;（填或"=”）

（2）由（1）中各式.猜想m+n与2场（m0,吟0）出勺大小关系，直接写出结论；

（3）请利用上述结论解决下面问题：

某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围出一个矩形的花圃.如图所示，若围花圃

恰好可以借用一段墙体，则为了围出一个面积为200m2的花圃，所用的篱笆至少需要多少米？

14题图

19.3二次根式的加法与减法

课时1二次根式的加法与减法

基础巩固练

知识点1可以合并的二次根式

1.下列各组二次根式中，不能合并的是（）

A.俪和V5B.g和历

c•/和J和

2.下列二次根式中，能与日合并的是（）

A.V4B.V6C.VSD.

3.下列二次根式：V8,A/T2,^|,,Vo?2.

⑴能与您合并的是一；

（2）能与何合并的是—.

4.若两个最简二次根式岳与际可以合并，则a=

知识点②二次根式的加法与减法

5.下列计算正确的是)

A.3+2衣=5&

B.V2+V3=V5

c.475-36=75

D.2M=A/6-V5

6.若一个三角形的三边长分别是y[\2cm,X/48C/M,V75CW,则此三角形的周长为（）

A.96cmB.\0y/3eni

C.1\y/3cmD.\2®m

7.计算:

⑴百+VH=_;

⑵g-3VI=_.

8.已知755_通=40_2\/5=/)五，贝ab=

9.计算:

(1)原+3月21;

(2)2V3-3T12+5V27;

(3)/18-4J^-2(V2-1)

(4)V27-15E+：闻;

N34

能力提升练

1.已知+x/\^a=10,则a的值为（）

A.2B.±2C.4D.±4

2.若6的整数部分是a，小数部分是b,则的值为（）

A.-lB.lC.OD.2

3.《千里江山图》是中国十大传世名画之一.如图是某画家临摹的部分内容，已知画的长为（却宽为36

6cm,若要装裱这幅画,装裱后的长和宽两端均增加了何“〃,，则装裱后的长为—cm,宽为—cm.

赣

爰

亚

薰

郑

4.（2025•绵阳安州区期中）若最简二次根式与-衍^可以合并,则m+n=

5.计算：

（I）V5+（V20-V45）;

(2)V8-2V3-VT8+A/27;

⑸酒十62小

6.小明在计算（1|-5加）-（伍-；何）的值时，发现t”处的数字印刷不清楚，请回答下列问题.

（1）小明猜“■”处的数字是6,请你计算此时卜5g）-（岳-；何）的结果；

（2亦明的妈妈说「你猜错了，我看到题目的正确答案是当J请你通过计算说明原题中处的数字是什么.

课时2二次根式的混合运算

基础巩固练

知识点3二次根式的混合运算

1.计算（5、-2/5）+（-逐）的结果为（）

A.5B.-5C.7D.-7

2.计算（（2百+口）xa的结果是（）

A.4V3B.6V3

C.2V3+2V6D.4V3+2V6

3.现将一个面积为3（）0cm?的正方形的一组对边缩短86cm,就成为一个长方形，这个长方形的面积为一c

4.计算：

（1）^-V6x±；

⑵病75-悯xa.

知识点2乘法公式在二次根式混合运算中的运用

5.下列计算中，正确的是（）

A.26+3&=56

B.（V3+V7）x7io='/ToxVTo=io

C.（3+2V3）（3-2V3）=-3

D.（y/la+y[b）（V2a+V^）=2a+h

6.计算（（HG+n）（g-n）的结果是（）

A.2B.4C.6D.8

7.（2025.绵阳安州区期末）已知y/x--^=y/3,则爪+9的解为（）

A.士逐B.±V7C.V5D.V7

8.计算（舟0）2的结果为一.

9.计算：

⑴（2a-3）（3+2a）;

⑵3)2；

⑶G（V5+1）2.

10已知。=/-2力=v5+2,分别求下列代数式的值：

（1）»2；

⑵ab（a+b）.

能力提升练

1.计算我的结果是（）

A』B.OC.1D.-1

2.按如图所示的程序计算，若开始输入的n的值为V2,则最后输出的结果是（）

/输入/T计算

2题图

A.I4B.16

C.8+5V2D.14+0

3.如图，长方形内有两个相邻的正方形（正方形ABCD和正方形EFGH）,它们的面积分别为3和9.则图中阴

影部分的面积为—.

3题图

4.已知x=l-丙则代数式（6+26卜2+（］+6）.丫+6的值是

5.若3-a的整数部分为a，小数部分为b,则代数式（2+近〃）匚5的值是

6.（2025・广元朝天区月考）已知a=0+2,6=0-2,求下列代数式的值：

（1）〃2-2〃6+62；

⑵〃2一户；

（3）2tz2+2/>2-«2/H-tz/?2.

.贝）_L—式—且.况」二】）_五一1

7/.I从祭G逐63'夜+1（e）（戊-1）”「

【感悟】在二次根式的运算中，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是分母有理化.像上述

解题过程中6与、瓜6+1与夜-1相乘的积都不含二次根式,我们可以将每组中的两个式子称作互为有理化因

式.

【运用】

⑴O的有理化因式是一，6-2的有理化因式是—〃名写一个即可）

（2席下列各式分母有理化:

□73+2-'

2_.

□6一器一一'

（3计算:（看+看+看+□+谢/x（而衣1）

专题1二次根式的运算

类型1二次根式的乘除运算

1.计算：

（1）3A/5X2V3;

类型2二次根式的加减运算

2.计算：

(l)V27->/T2+V3;

(2)3720-

(3)732何4

类型3二次根式的混合运算

3.计算:

⑴(3+2V5)(3-2&)-舟-倔

(2)V24W3-(应+1)2;

⑶岳⑼力等;

(4)V5(V5-\<T5)+(7154-2V3)(N<T5-2V3);

(5)(3g：衍90S

专题2二次根式化简求值的技巧

类型1先化简，再求值

1.先化简，再求值：（5M-V5）,其中a=y^-\.

2.先化简，再求值：*侪-仲V5%LV5）,其中-济-历

类型2利用二次根式的非负性化简求值

3.已知y=v^-v+14-8+2.

⑴求代数式后的值；

（2）求代数式卜+】+2-六+，2的值.

ylyXy/yX

类型3利用二次根式性质（（启=口心）化简求值

4.已知-3vxv2,化简:Ex-23-V（x-3）2+V4x2-20x+25.

5.已知4=1^求=-叵乏的值

2+V3a+la2-a

类型4用乘法公式和整体代入法求值.

64核心素养]在解决问题“已知所看，求242-4a+l的值”时，小明是这样分析与解答的：

解□〃=_!_=—---=V5+]

瞬•.ua(01)(6】)V5"

□a-l=V2,

□(a-l)2=2,«2-2a+l=2,

口『-2。=1,

匚2。2-4。=2,2。2-4。+1=3.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1化简:总；

(2)若a=二贵，求3a2T8。-1的值.

第十九章二次根式易错疑难集训一

易借疑难点1求使二次根式有意义的条件时，考虑不全面而出错

1.(2025.凉山州中考)若式子要在实数范围内有意义，则m的取值范围是

m12

2.若代数式后+(厂2025)。有意义，则实数x的取值范围是—.

易借疑难点2化简二次根式时忽略题中的隐含条件

3.将艮号外的因式移到根号内为()

A.\[-aB.-yf-ci

C.->faD."a

4.当xvO时，化简二次根式尸石的结果是

5化简图.

易错疑难点3忽略"^=代成立的条件

6.下列各式成立的是()

A.V«2-16=V^+4□y/a-4

B.\[ab=\[a'\y[b

C.J(〃什>2=Vm+〃

D.V(-3)X(-5)=>/3XV5

7.给出下面三个解答过程：□J(-25)x(-16)=7^乂7^=(-5)*(-4)=20;D^4^=V4X^=2XJ=J；V52-42=5-4=l.

其中错误的是—.(请填写序号)

易错疑难点4忽视二次根式的被升方数为非负数

8.小东在学习了身，后，认为』=决也成立，因此他认为一个化简过程店=等=宏^眄=3是正确的.

你认为这个化简过程正确吗?若不正确，请指出错误，并给出正确的解答过程.

易借疑难点5错用运算法则或运算律_

9.计算:0+（6-&）x春.

10小明计算（3-，）时，想起分配律，于是他按分配律解答过程如下：

解：原式=际心-旧+日=30-477=一夕他的解法正确吗?若不正确，请写出正确的解答过程.

734

第十九章二次根式本章重点训练

知识体系梳理

概念：一般地，我们把形如n（aN0）的式子叫作二次根式

rJa>0（a>0）

性质-函）2=®_（=0）

「a(a>0)

二

"=|Q|=-)-0(a=0)

次

-②____(a<0)

根

式乘法Ja*Jb=^(aNO,6NO)

法则

匚而二④_____(a>0,b>Q)

(a>0,6>0)

运算.除法

法则法则

(aMO,6>0)

一加减法：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并

,混合运算：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的

高频重点精练

重点1二次根式的概念及性质

1.在式子a,75,•日位r+p中，二次根式有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

2.若VFT在实数范围内有意义，则实数X的值可以是（）

A.-2B.-lC.OD.2

3下列式子中，属于最简二次根式的是（）

A.V02B.V24D.VT5

4.若式子与在实数范围内有意义，则x的取值范围是—.

X

5.当x=时,>/〃-6的值最小.

6.已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示,则化简匚。-4□-疝的结果是—•

,，？，一

045

6题图

7.（2025•自贡沿滩区校级月考）若|x-5|+25=0,厕x-y的值是—.

重点2二次根式的运算

8.下列计算正确的是（）

A.V2XV3=V5

B.V2（V2-1）=2-V2

C.V6+V7=V13

D.（V2-1）2=3-A/2

9.下列二次根式中，与加可以合并的是（）

A.JiB.V4C.V12D.V24

10计算:\flci>/6a=_.

11计算：

(1)V3XV6+QV2-1D+(3-^)°;

⑵等/g

(3)(x/J+4)(V5-4)+J(l-64

12下面是小美同学进行二次根式运算的过程,请认真阅读，完成相应的任务.

.XA/24+V12-2(V2+V3)

-2412K2您12万口第一步

=75+275+26-2后第二步

=575-2近.□.第三步

任务:

⑴原式中的二次根式：，旧,E,V2,V3,是最简二次根式的是一

⑵从第一步开始出错，错误的原因是________________；

⑶请写出正确的计算过程.

重点3二次根式的实际应用

13.如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方

形的长为V27,宽为下列是四位同学对大长方形的判断,其中不正确的是（）

A.大长方形的长为6V3

B.大长方形的宽为5V3

C.大长方形的周长为1iV3

D.大长方形的面积为9013题图

14某居民小区有一块长方形绿地ABCD,长8C=灰丽?，宽力8=同〃八，现在要在长方形绿地中修建两个形状

大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分）,每个长方形花坛的长为（g+l）〃?.宽为

⑴求长方形ABCD的周长（结果化为最简二次根式）；

（2）除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道,通道上要铺上造价为6元第2的地砖，要铺完整个通道，则

购买地残需要花费多少元?

AD

B'---------------------lC

14题图

重点4二次根式中的规律问题

15观察下列等式：

口口=居户=2*;

□R=3后