勾股定理的逆定理及其应用（知识解读+例题讲义+随堂检测）解析版-2024人教版八年级数学下册

第03讲勾股定理的逆定理及其应用

/识导航

部导航1考点清单

考点1：勾股定理逆定理的定义

考点2:勾股定理逆定理的应用

国导航2重难点

重点：

（1）掌握逆定理的内容，明确“先找最长边，再验证平方和”的核心判定流程，能准确判

断三角形是否为直角三角形。

（2）能将实际场景（如检测垂直）转化为数学问题，用逆定理解决实际问题

难点：

（1）突破“定理是直角三角形的性质（由直角得边的关系），逆定理是直角三角形的判定

（由边的关系得直角）”的逻辑混淆，理解二者的互逆关系

（2）引导学生理解“参数可能为最长边”的情况，掌握分类讨论的思想，避免漏解°

（3）学会结合其他几何知识（如等腰三角形、四边形性质）构造边长关系，再利用逆定理

判定直角，突破“找边长一判直角一求未知量”的综合解题逻辑。

（4）理解并运用数形结合思想（边的数量关系与直角的几何关系）、分类讨论思想（含参

数问题）、建模思想（实际问题转化为数学模型）

知识梳理三力

知识点：勾股定理的逆定理

1.定义：如果三角形的三条边长a,b,C,满足/+尸=。2,那么这个三角形是直角三角

形.

注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.

（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否

为直角三角形.

2.如何判定一个三角形是否是直角三角形

(1)首先确定最大边(如C).

(2)验证c?与/+从是否具有相等关系.若/="+〃，则^ABC是/c=90°的

直角三角形；若///十从，则aABC不是直角三角形.

注意：当/+/72Vd时，此三角形为钝角三角形：当时，此三角形为锐

角三角形，其中c为三角形的最大边.

哲题型精讲

【题型1判断三边能否构成直角三角形】

【典例1］下列四组线段中，可以构成直角三角形的是()

A.4,5,6B.2,3,4C.V2,V5D.夕，6，4

【答案】C

【分析】本题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

通过计算各组线段中两条较小边的平方和是否等于最大边的平方，判断是否能构成直角

三角形.

【详解】解:选项A、由于42+52=16+25=41,6*2=36,则41¥：36,不是百角三

角形；

选项B、由于22+32=4+9=13,4?=16,则13工16,不是直角三角形；

选项C、由于(&)+(V3)=2+3=5,(V5)=5,则5=5,是直角三角形；

2O

选项D、由「(«)+(V3)=7+3=10,42=16,则10W16,不是直角三角形，

故选：C.

【变式1】下列各组数据中，能作为直角三角形的三边长的是()

A.1,2,3B,5,5,3C,6,7,8D,5,12,13

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理的逆定理，即若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边

的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证各选项即可，熟练掌握勾股定理逆定理是

解此题的关键.

【详解】解：A、#+22=1+4=5^32,故不能咋为直角三角形的三边长；

B、32+52=9+25=34=52,故不能作为直角三角形的三边长；

C、62+72=36+49=85x82,故不能作为直角三角形的三边长；

D、52+122=25+144=169=132,能作为直角三角形的三边长；

故选：D.

【变式2】满足下列条件的A/IBC,不是直角三角形的是（）

A.c2=b2—a2B.a:b:c=3:4:5

C.Z.C=Z.A—Z.BD.Z.A:Z.E:Z.C=3:4:5

【答案】D

【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及勾股定理逆定理和三角形内角和定理.通过判

断每个选项是否满足直角三角形条件，通过计算得到选项D的角比例计算后均为锐角，

因此不是直角三角形，从而得到答案.

【详解】解：A、c2=b2-a2

0b2=a2+c2,

由勾股定理逆定理，△/BC是以力为斜边的直角三角形.

B、0a:b:c=3:4:5.I;.324-42=9+16=25=52,

0A4BC是直角三角形.

C、团4C=乙4一乙B、且乙4+Z.B+Z.C=180°,

代入得+NS+Q/-4B）=2/4=180°,

0Z/1=90°,△/18C是直角三角形.

D、设乙A=3k,乙B=4k,4C=5k,则3k+4k+5A=12k=180。，

解得：k=15°,

团乙4=45°,NB=60°,ZC=75°,均小于90。，

0AABC不是直角三角形.

【变式3】若△A8C的三人顶点A、B、C所对的边分别为Q,b,c,则下列条件中能判断△

4BC是直角三角形的是（）

A.Z.A：乙B：Z.C=3：4：5B.Z.A=25°,乙B=75°

C.a=1,b=2,c=3D.a=V2,b=V5»c=V3

【答案】D

【分析】本题考查直角三角形的判定，涉及三角形内角和定理和勾股定理逆定理等知识，

熟记直角二角形的判定相关知识是解决问题的关键.

通过计算角度和或边长平方关系判断是否为直角三角形即可得到答案.

【详解】解：A、设乙4=3k,zB=4A/C=5k,则由三角形内角和定理可得3A+4k+

5k=12k=180°,解得k=15°,从而得到最大角乙C=75°*90°,则^ABC不是直角

三角形，不符合题意；

B、由三角形内角和定理可知4C=180。-25。-75。=80。看90。,则△力8c不是直角三

角形，不符合题意；

222

C、由Q2=I,〃=4,c?=9可知，a+b=5*9=c,则由勾股定理的逆定理得△

4BC不是直角三角形，不符合题意；

D、由小=2,b2=5（02=3可知，a2+c2=〃，则由勾股定理的逆定理得AABC是

直角三角形，符合题意；

故选：D.

【题型2在网格中判断直角三角形】

【典例2】如图，正方形网格的每个小方格边长均为1,A/18C的顶点在格点上，则△ABC的

形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法判断

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆

定理是解题关键.

先利用勾股定理求出力82,力。2,8。2,再根据勾股定理的逆定理即可得.

【详解】解：由图可知，482=62+42=52,

AC2=32+22=13,

BC2=82+I2=65,

^AB2+AC2=BC2,

团△48。是直角三角形,

故选：B.

【变式1】如图，在4x4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,点4B,C均在网格

线的交点上.

⑴直接写出△ABC三边的长度.

（2）判断△[8C的形状，并说明理由.

【答案】（1）4B=2V5.AC=再，BC=5

（22ABC是直角三角形，理由见解析

【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾

股定理的逆定理是解题关犍.

（1）根据网格特点，利用勾股定理求解即可得；

（2）利用勾股定理的逆定理求解即可得.

【详解】（1）解：由网格可知，AB=V22+42=2V5,

AC=V22+I2=场,

BC=V32+42=5.

（2）解；市（1）己得；/〃=2通，71C=V5,BC=S,

EL4B2+4c2=（2伺2+（伺2=20+5=25,BC2=52=25,

幽/+从。2=BC2t

0A48C是直角三角形.

【变式2】如图，每个网格正方形的边长为lcm,△4BC的三个顶点都在小正方形的格点上,

求：

⑴求△ABC的周长.

⑵判断A/IBC的形状，并求其面积.

⑶求边4C上的高.

【答案】⑴（5a+3国）厘米

（2）直角三角形,10cm2

（3）2企厘米

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积，掌握相关知识是解决问题的

关键.

（1）根据勾股定理求出三条边的长度即可；

（2）根据勾股定理的逆定理判断2L48C是直角三角形，利用直角三角形面积公式求出面

积即可；

（3）根据三角形的面积公式求出答案即可.

【详解】（1）解：由勾股定理得：

AC.="2+12=qg匣米.

CB=V224-62=2屈厘米，

BA=V324-I2=g厘米，

•••5&+2m+V10=5V2+3710,

则a4BC的周长为（5或+3J花）厘米；

（2）解：•••AC=5&厘米，CB=2715厘米，84二同厘米，

22

•••AB2+BC2=（2V10）+（9）=40+10=50,

AC2=（5V2）2=50,

.-.AB2+BC2=AC2,

••.△ABC是直角三角形，

S&ABC=1x2^10xVlO=10cm2：

<3）解：设边AC卜的高为兀厘米，

S^ABC=：,4C,%，

-x5\/2-x=10,

2

X=2V2,

则边AC上的高为2VI厘米.

【变式3】如图，在边长为1的正方形网格图中有一个△48C.

⑴画出△4BC关于直线MN的对称图形△DEF(不写画法).

(22ABC是直角三角形吗？请说明理由.

【答案】(1)见解析

(2必ABC不是直角三角形.理由见解析

【分析】本题考查作轴对称图形，勾股定理的逆定理.

(1)分别找出A,B,C关于直线MN的对应点。,E,凡顺次连接即可:

(2)利用勾股定理的逆定理进行判断.

【详解】(1)解：如图，AOE尸即为所求；

（2）解：△力8c不是直角三角形.理由如下：

由勾股定理得力”=I2+42=17,BC2=12+32=10,AC2=524-22=29,

AB24-BC2=17+10=27,

:.AB2+BC2^AC2,

A/IBC不是直角三角形.

【题型3利用勾股定理的逆定理求解】

【典例3】如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,zF=90°,AD=5,CD=572,求四边

形ABCD的面积.

D

【答案】18.5

【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解答的关键.

连接AC,根据勾股定理的逆定理判断出△40C为直角三角形，且404c=90。，然后利

用三角形的面积求解即可.

【详解】解：如图，连接AC.

AD=5,CD=5V2.

•••AC2+AD2=25+25=50=CD2.

••.△4DC为直角三角形，且"Z4c=90。.

§四边形ABC。=S&ABC+SMDC=1X3X4+1X5X5=18.5.

【变式1】已知：如图，匹边形4BCD,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB1BC.求

四边形ABC。的面积.

【答案】14-V5

【分析】

本题考查了勾股定理及具逆定埋，解题关键是作出辅助线构造直角二角形.本题先连接

4c并求出AC，再得出△4CD是直角三角形，利用面积公式即可求解.

【详解】

解：连接力C

团AB1BC.AB=1,BC=2,

P]AC=VAB2+BC2=V12+22=VS,

222

在△4CD中，AC+CD=5+4=9=ADf

总是直角三角形，

【变式2】如图，在AABC中，。为边8c上的一点，/8=13,AD=12,AC=15,80=5.

⑴请说明4。18C.

(2)求△力8C的面枳.

【答案】(1)说明见解析

(2)AABC的面积为84

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，求三角形的面积，

对于(1),根据力史=4。2+8。2,可知△AB。为直角三角形，即可得出答案；

对于(2),先根据勾股定理求出CD,即可得出BC,然后根据AABC的面积

得出答案.

【详解】(1)证明：=13,4。=12,8。=5,

^AD2+BD2=122+52=144+25=169,AB2=132=169,

即力=AD2+BD2.

回△力BD为直角三角形，

BAD1BC；

(2)解：ABD为直角三角形，

^ADC=90°,

回CO=y]AC2-AD2=V152-122=9,

MC=CO+80=9+5=14,

0A/BC的面积=♦40=上x14x12=84.

22

【变式3】如图，一块硬纸板，测得48=12,BC=3,。。=4,04=1318CD=90。.求这

块硬纸板的面积.

【答案】24

【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用：

根据题意，利用勾股定理先求8。，再由勾股定理的逆定理证明ZJ?CD=9O。，再根据

S硬纸板=S^ABD-S.CD进行求解即可•

【详解】解：如图所示，连接8。，

在RtZkBC。中，Z.BCD=90°,BC=3,CD=4,

用BD=y/BC2+CD2=5：

[34B=12,DA=13.BD=5,

团近+BD2=52+122=25+144=169=132=AD2,

团△48。是直角三角形，且乙4BD=90。,

，S硬纸板=S^ABD—S/^BCD=^x5xl2-$x3x4=24.

【题型4勾股定理逆定理的实际应用】

【典例4】口袋公园，也称袖珍公园，是指面向公众开放、规模较小形状多样、具有一定游

憩功能的公园绿化活动场地，包括小游园、小微绿地等，如图，四边形4BC。是某市一

口袋公园的平面示意图.经测量，桃李园B在入口A的正南方向40m处，入口C在桃

李园B的正东方向30m处，玫瑰园。与入口C相距120m,玫瑰园。与入口A相距

130m.求这个口袋公园的面积.

【答案】3600m2

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理.，三角形的面积公式，理解题意是解题的关

键.连接4C，利用勾股定理求WSC的长，利用勾股定理的逆定理推出△ACD是直角三

角形，且，再利用三角形的面积公式即可求解.

【详解】解：如图，连接

由题意，^Z.ABC=90°,AB=40m,BC=30m,CD=120m.AD=130m.

vAC2=AB2+BC2=402+302=2500，

•••AC=50m.

•••AC2+CD2=502+1202=16900=1302=AD2,

△AC。是直角三角形，且々ACO=90°.

S四边形=SAABC+SAACD=-x40x304--x50x120=3600(m2).

答：这个口袋公园的面积为3600m2.

【变式1】如图，CD为某种帐篷支架的立柱，BC和江分别为两侧坡柱.安装时要求A,D,

8三点固定在地面上，CO1AB于点D,且44cB<90°.如果按4C=20m,BC=15m,

CD=12m进行设置，请判断此支架是否合格.

ADB

【答案】合格

【分析】本题考杳勾股定理及其逆定理的应用，根据勾股定理求出AD,BD,得到的

长，根据勾股定理的逆定理证明乙4cB=90。，即可解答.

【详解】解：-CD1AB.

Z-ADC=乙BDC=90°,

.•.在Rt△4CD中，AD=>JAC2-CD2=V202-122=16（m）,

在Rt△8C。中，BD=>]BC2-CD2=V152-122=9（m）,

•••AB=AD+BD=25m.

vAC2+BC2=202+152=625,AB2=252=625,

AC2+BC2=AB2,

回△ABC是直角三角形，LACB=90°,

•・•此支架合格.

【变式2】某公园是人们健身散步的好去处，从小点到。点有两条路线，分别是•力-和

A-C-D.经测量4B=90米，21。=150米，点C在点8的正东方120米处，点。在点C

的正北方50米处.

⑴试判断AB与8c的位置关系，并说明理由；

⑵通过计算，请你求出点。到路线BD的最短距离.

【答案】（1）A8_L8C，理由见解析

⑵詈米

【分析】本题考查了勾股定理逆定理，勾股定理，三角形面积公式，垂线段最短，熟练

掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

（1）由勾股定理逆定理计算即可得出结果；

（2）由勾股定理可得BD=130米，再根据三角形面积公式il算即可得出结果.

【详解】（1）解：埋由如下:

由题意可得：4B=90米，4c=150米，BC=120米，

13A5+BC2=902+1202=22500=AC2,

^ABC=90°,

^AB1BC；

（2）解：由题意可得:CO=50米,-0=90。,

由勾股定理可得：BD=y/BC2+CD2=V1202+502=130米，

由垂线段最短可得，点。到路线8。的最短距离为*=胃詈=*米.

【变式3】为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与"内涵〃并重的生态宜居环境，某市

积极开展“市容环境卫生整治行动•植绿种树〃活动.志愿者在某小区临街的拐角处清理

出一块四边形空地力6C”如图）进行绿化，经测量乙13c=90。,=14米，8C=48米，

CD=40米，4D=30米.

⑴求证：AADC=90°.

⑵求空地4BCD的面积.

【答案】⑴见解析；

（2）空地的面积是936m2.

【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以

上知识是解题的关键.

（1）由勾股定理得4c=50米，再由勾股定理的逆定理得△4CD是直角三角形；

（2）由三角形面积公式即可得出结论.

【详解】（1）解：连接4C,

在中，4B=14米，BC=48米，CO=40米，4。=30米,

:.AC=y/AB2+BC2=50（米），

vAD2+CD2=302-r402=2500,

.-.AD2+CD2=AC2,

•••△4?。是直角三角形；

（2）解：S四边形ABCD=S^ACD+S08C

11

=-AD-CD+~AB-BC

乙乙

11

=-x40x30+-x14x48

22

=600+336

=936（m2）.

答:空地的面枳是936m2.

3随堂检测〜

1.下列各组数中，能够作为直角三角形的三边长的一组是（）

A.1,2,3B.2,3,4C.4,5,6D.3,4,5

【答案】D

【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键.

根据勾股定理的逆定理“三角形三边满足〃+/=/（其中c为最大边），则该三角形

为直角三角形”即可求解.

【详解】解：选项A：17+2?=1+4=5,32=9,

5。9,

故选项A不符合题意；

选项B：•••22+32=4+9=13,42=16,

:.13丰16,

故选项B不符合题意；

选项C：•••42+52=16+25=41,62=36,

:.41丰36,

故选项C不符合题意；

选项D：•••32+42=9+16=25,52=25,

•••25=25,

故选项D符合题意.

故选：D.

2.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,下面的三角形是直角三角形的是()

【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆

定理是解题的关键.

先根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理逐一判断即可.

【详解】解：A、三角形的三边长分别为3,V2^T2^=2V2,小=中二区、

回(Z®2+(伺2=]3工32,

国选项A中的三角形不是直角三角形，故不符合题意；

B、三角形的三边长分别为＞/22+M=芯,V32+I2=V10,Vl2+42=V17.

a(V5)2+(715)2=15H

回选项B中的三角形不是直角三角形，故不符合题意；

C、三角形的三边长分别为，32+M=m，V32+l2=710,742+22=2匾，

团(4/+(V10)2=20=(2V5)2,

(3选项C中的三角形是直角三角形，故符合题意；

D、三角形的三边长分别为＞/32+M=VTU,V32+12=VTOFV22+22=272,

(3(2可+(砸2=18装(V10)2,

13选项D中的三角形不是直角三角形，故不符合题意；

故选：C.

3.如图，学校8前面有一条笔直的公路，学生放学后走848C两条路可到达公路，经测量

BC=60m,BA=80m,AC=100m.现需修建一条小路从学校8到公路，则这条小路

的最短距离为（）

A.24mB.30mD.50m

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角

形，再利用面积法求点到直线的最短距离.先通过勾股定理的逆定理判断△ABC的形状,

再利用三角形面积公式求出点8到AC（公路）的最短距离（即高）.

（详解］解：团BC?+BA2=602+802=3600+6400=10000,AC2=1002=10000,

0FC2+BA2=AC2.

R44BC是直角三角形，48=90°.

点方到公路AC的最短距离是△ABC中AC边上的高山根据三角形面积公式：

11

S^ABC=-><BAxBC=-xACxh

乙乙

11

-x80x60=-x100xh

乙乙

解得：/i=48.

故选：C.

4.在中，三条边长分别是〃、b、c,且a2=/j2-c2,则△ABC的形状是.

【答案】直角三角形

【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关健是熟练掌握，如果一个三角形

的三条边。、b、C满足a2+b2=c2,那么这个三角形为直角三角形.

【详解】解：Ba2=b2-c2,

0a2+匕？=。2,

回△ABC为直角三角形.

故答案为直角三角形.

5.如图，每个小正方形的边长都为1,点A、8、。均在格点上（即小正方形的顶点上），

则图中48。的度数为.

【答案】90790度

【分析】先利用勾股定理求出A4,BC2,AC2,再利用勾股定理的逆定理证明M股是

直角三角形，即可解答.

【详解】解：由题意得:AB2=22+42=20,

CB2=22+12=5,

AC2=32+42=2S,

^AB2+BC2=AC2,

是直角三角形，

的48c=90°,

故答案为：90°.

【点睛】本题考杳了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及

勾股定理是解题的关健.

6.如图，每个小正方形的边长均为1,A,B,C,。均为格点.

⑴直接写出下列线段的长度：AB=_,AD=_：

（2）连接80,判断△48。形状，并证明你的结论.

【答案］⑴5停5

是直角三角形，证明见解析

【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式.

（1）根据勾股定理计算即可；

（2）先计算.80,再利用勾股定埋的逆定理即可证明.

【详解】（1）解：AB=V72+I2=5V2,

AD=V324-42=5；

（2）解：△48。是直角三角形：

证明：国BD=V32+42=5,AB=V724-I2=5VLAD=V32+42=5,

^AD2+BD2=AB2,

是直角三角形.

7.政府计划将如图所示的四边形闲置地修建成市民休闲区.已知z_C=90。，AB=200m,

AD=150m,BC=70m,CD=240m.政府计划投入240万元进行打造，预计每平方

米的费用为100元.通过计算说明政府投入的费用是否够用.

D

匚

AB

【答案】够用，理由见解析

【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用定理及其逆定理是解题的关键.

根据勾股定理的逆定理得到4力=90。，根据三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】

D

口,

AB

解：连接BD.

vZ.C=90°,BC=70m,CD=240m,

BD=y/BC2+CD2=V7024-2402=250m.