平面向量、概率、统计、计数原理（原卷版）

专题08平面对量、概率、统计、计数原理

1.(2025•辽宁沈阳•统考一模)已知单位向量3万满足门伍-25)，则他5)=()

27c7T7T71

A.—B.-C.-D.一

3346

2.(2025•重庆•统考一模)已知向量0万满足|同=2帆=3西-2母=5,则小坂=.

3.(2025•福建厦门•统考一模)已知d,B为单位向量，^t\a+b\=\a-b\,则4+〃与的夹角为

()

itit2兀3兀

A.-B.-C.—D.—

3234

4.(2025・云南曲靖•统考一模)若向量1=(4,0),〃=则向量£在向量5上的投影向量坐标

为.

5.[2025•山东济南山东省试验中学校考一模)若衿石卜归一即=(1,2),5=(恤3),则实数/〃=()

A.6B.-6C.3D.-3

6.(2025•新疆乌鲁木齐•统考一模)已知向量d=(1，2),5=(1,-3),则()

A.a//(a+b)B.a!/{a-b)

C.aA.(a-b)D.aL(a+b)

7.(2025•广西南宁•南宁三中校联考一模)已知向量4=(1,〃。石=(3,-1).若侬")〃(〃+,),则

实数次的值为.

8.（2025•山西晋城•统考一模）已知两个单位向量的夹角为70。，则-〃与〃+B的夹角为

9.（2025•河北•校联考一模）已知单位向量期满足恢+司=6则卜.

10.（2025・广东深圳•校考一模）已知向量及二。,m），5=（3,-2）,且（〃+B）_L5,则〃片

A.-8B.-6

C.6D.8

11.（2025•浙江•校联考一模）已知平面对量海满足：忖=2同=24与囚的夹角为120。，若

（2tf+5）l（«-£）（ZeR）,贝1」4=（）

35

A.0B.1C.-D.—

22

12.（2025・江西吉安・吉安一中校考一模）已知向量7/；满足同=1,6=&2一）方"与〃垂直,则卜-可

的最小值为（）

A.V2B.4C.1D.3

I

题型02|概率

13.（2025•广东深圳•校考一模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6）,

则这6个点数的中位数为4的概率为（）

11八I2

A.-B.—C."D.—

6323

14.（2025•辽宁沈阳•统考•模）下图是离散型随机变量X的概率分布直观图，其中3〃=542/”3°,

A.a=().5B.E(X)=2.3

C.O(X)=0.61D.£>(2X)=1.22

15.（2025・重庆•统考一模）已知某社区居民每周运动总时间为随机变量X（单位：小时），且

X〜N（5.5,b2）,P（.r>6）=0.2,现从该社区中随机抽取3名居民，则至少有两名居民每周运动总

时间为5至6小时的概率为（）

A.0.642B.0.648C.0.722D.0.748

16.（2025•河北•校联考一模）在党的二十大报告中，习近平总书记提出要进展〃高质量教育“，促进

城乡教育均衡进展.某地区教育行政部门乐观响应党中心号召，近期将支配甲、乙、丙、「4名教育专

家前往某省教育相对落后的三个地区指导教育教学工作，则每个地区至少支配1名专家的概率为

（）

1418

A•—B.-C•—D.—

99327

17.（2025・湖南长沙•雅礼中学校考一模）甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个

黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以4，为分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从

乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（）

c।1Q

A.A，4互斥B.P（B|A）=yC.P（AB）=-D.P（B）=^j-

18.（2025•河南郑州•郑州市宇华试验学校校考--模）已知某人每次投篮的命中率为投

进一球得1分，投不进得。分，记投篮一次的得分为X,则Y巴丁的最大值为.

19.（2025•黑龙江齐齐哈尔•统考一模）某饮料厂生产4B两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产

比例分别为40%,60%,且这两种次料中的碳酸饮料的比例分别为20%,80%,若从该厂生产的饮料

中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（）

A.0.12B.0.20C.0.44D.0.32

20.（2025•河南郑州•郑州市宇华试验学校校考一模）关于下列命题中，说法正确的是（）

A.已知X〜若E（X）=30,D（X）=20,则

B.数据91,72,75,85,92,76,78,86,79的45%分位数为78

C.已知岁〜N（0,l）,若P《>1）=P，则P（-14jW0）=g-〃

D.某校三个班级，高一有.400人，高二有360人.现用分层抽样的方法从全校抽取57人，已知

从高一抽取了20人，则应从高三抽取19人.

21.（2025•江西吉安•吉安一中校考一模）为落实中心“坚持五育并举，全面进展素养教育，强化体育

熬煤”的精神，某高中学校鼓舞同学自发组织各项体育竞赛活动，甲、乙两名同学利用课余时间进行

乒乓球竞赛，规定：每一局竞赛中获胜方记1分，失败方记。分，没有平局，首先获得5分者获胜,

竞赛结束.假设每局竞赛甲获胜的概率都是|.

（1）求竞赛结束时恰好打了6局的概率：

（2）若甲以3：1的比分领先时，记X表示到结束竞赛时还需要竞赛的局数，求X的分布列及期望.

22.（2025•广东深圳•校考一模）某6人小组利用假期参与志愿者活动，已知参与志愿者活动次数为

2,3,4的人数分别为1,3,2,现从这6人中随机选出2人作为该组的代表参与表彰会.

⑴求选出的2人参与志愿者活动次数相同的概率；

⑵记选出的2人参与志愿者活动次数之和为X,求X的分布列和期望.

23.（2025•辽宁沈阳•统考一模）某城市有甲、乙两个网约车公司，相关部门为了更好地监管和服务,

通过问卷调查的方式，统计当地网约车用户（后面简称用户，并假设每位用户只选择其中一家公司

的网约车出行）对甲，乙两个公司的乘车费用，等待时间，乘车舒适度等因素的评价，得到如下统

计结果：

①用户选择甲公司的频率为0.32,选择乙公司的频率为0.68：

②选择甲公司的用户对等待时间满足的频率为0.62,选择乙公司的用户对等待时间满足的频率为

0.78；

③选择甲公司的用户对乘车舒适度满足的频率为0.68,选择乙公司的用户对乘车舒适度满足他频率

为0.61；

④选择甲公司的用户对乘车费用满足的频率为0.21,选择乙公司的用户对乘车费用满足的频率为

0.32.

将上述随机大事发生的频率视为其发生的概率.

⑴分别求出网约车用户对等待时间满足、乘车舒适度满足、乘车费用满足的概率，并比较用户对哪

个因素满足的概率最大，对哪个因素满足的概率最小.

（2）若已知某位用户对乘车舒适度满足，则该用户更可能选择哪个公司的网约车出行？并说明理由.

24.（2025•云南曲靖•统考一模）2025年9月23日至10月8日、第19届亚运会在中国杭州进行.树

人中学高一班级举办了“亚运在我心”乒乓球竞赛活动.竞赛接受2〃-1局〃胜制的竞赛规章，

即先赢下〃局竞赛者最终获胜，已知每局竞赛甲获胜的概率为〃，乙获胜的概率为1-〃，竞赛结束

时，甲最终获胜的概率匕.

⑴若〃=/〃=2,结束竞赛时，竞赛的局数为X,求X的分布列与数学期望；

⑵芳接受5局3胜制比接受3局2胜制对甲更有利，即求〃的取值范围.

25.（2025•山东济南•山东省试验中学校考一模）一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智

能程序把握每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有g的概率闪黄

31

光；若某次闪黄光，则下次有一的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有:的概率闪红光.已幻第1

次闪光为红光.

⑴求第4次闪光为红光的概率；

⑵求第〃次闪光为红光的概率.

26.（2025•山东济南•山东省试验中学校考一模）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,

从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示大事“第一次取出的球的数字是乙表示大事“其

次次取出的球的数字是2”，丙表示大事“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示大事”两次取出的球

的数字之和是7〃，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙不相互独立D.丙与丁不相互独立

27.（2025•新疆乌鲁木齐•统考一模）在工业生产中轴承的直径听从N（3.0,（）.（X）25）,购买者要求直径

为3.0土£,不在这个范围的将被拒绝，要使拒绝的概率把握在4.55%之内，则2至少为：（若

X〜N",吟,则?（|X-“<2a）=0.9545）

28.（2025•江西吉安•吉安一中校考一模）高一（1）班有8名身高都不相同的同学去参与红歌合唱，

他们站成前后对齐的2排，每排4人，则前排的同学都比后排对应的同学矮的概率为（）

A.-B.-C.1D.—

3844816

29.（2025•广西南宁•南宁三中校联考一模）某同学参与学校组织的数学学问竞赛，在5道四选一的

单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有思路的题目每道做对的概率为没有思路的题

目只好任意猜一个答案.若从这5道题目中任选2题，则该同学2道题目都做对的概率为（）

Ic7C3〜5

A.-B.—C.—D.—

4321632

30.（2025•山西晋城•统考一模）某果园种植了一种水果，现随机抽取这种水果的成熟果实200个，

统计了这200个果实的果籽数量，得到下列频数分布表：

果籽数量1234

水果数100504010

⑴求这200个果实的果籽数量的第75百分位数与平均数.

⑵已知这种水果的成熟果实的果籽数量会影响其市场售价，每个果实的果籽数量与果实的价格如下

表所示：

果籽数量1234

价格/元201286

以这200个果实的果籽数量各自对应的频率作为该果园这种成熟果实的果籽数量各自对应的概率，

从该果园的这种成熟果实中任选2个，在被选的成熟果实中至少有1个的果籽数量为1的前提下，

设这2个果实的市场售价总和为X元，求X的分布列与数学期望.

31.（2025•山西晋城♦统考一模）某羽毛球超市俏售4种品牌（品牌A,B,C,D）的羽毛球，该

超市品牌A,B,C,。的羽毛球的个数的比例为4:3:2:3,品牌A,B,C,。的羽毛球的优品

率分别为0.8,0.9,0.7,0.6.若日不买这4个品牌中的1个品牌的羽毛球，他从其他3个品牌的羽

毛球中随机选取1个购买，已知他买到的羽毛球为优品的概率大于08则可推想他不买的羽毛球

的品牌为（填入A,B,C,。中的1个）.

32.（2025•河北•校联考一模）最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且每次试验的成功

概率为〃（0<〃<1）.现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，则试验结束；若试验不成4,则

连续试验，且最多试验8次.记X为试验结束时加进行的试验次数，X的数学期望为《（X）.

⑴证明：

⑵某公司意向投资该产品，若P=0.2,每次试验的成本为&。>0）元，若试验成功则获利8。元，则

该公司应如何决策投资？请说明理由.

33.（2025•安徽合肥・合肥•六八中学校考•模）某地政府为推动旅游业高质量进展、加快旅游产'也

化建设，提出要优化传统业态，创新产品和服务方式，培育新业态新产品、新模式，促进康养旅游

快速进展.某景区为了进一步优化旅游服务环境，强化服务意识，全面提升景区服务质最，预备从加

个跟团游团队和6个私家游团队中随机抽取几个团队开放满足度调查.若一次抽取2个团队，全是私

家游团队的概率为非.

⑴若一次抽取3个团队，在抽取的3个团队是同类型团队的条件下，求这3个团队全是跟团游团队

的概率；

（2）若一次抽取4个团队，设这4个团队中私家游团队的个数为《，求g的分布列和数学期望.

34.（2025•吉林延边•统考一模）“斯诺克（5〃。心“）”是台球竞赛的一种，意思是“阻碍、障碍”，随着

生活水平的提高，“斯诺克”也成为人们宠爱的运动之一.现甲、乙两人进行竞赛接受5局3胜制，各

局竞赛双方轮番开球（例如：若第一局甲开球，则其次局乙开球，第三局甲开球......），没有平局，

已知在甲的“开球局〃，甲获得该局竞赛成功的概率为:，在乙的“开球局〃，甲获得该局竞赛成功的

概率为井且通过“猜硬币"，卬获得了第一局竞赛的开球权.

⑴求甲以3团1赢得竞赛的概率；

⑵设竞赛的总局数为△写出随机变量4的分布列并求其数学期望反。）.

35.（2025・湖南长沙•雅礼中学校考一模）一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3

个每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放风

⑴求第2次摸到红球的概率；

⑵设第1,2,3次都摸到红球的概率为片；第1次摸到红球的概率为乙；在第1次摸到红球的条件下，

第2次摸到红球的概率为A；在第1,2次都摸到红球的条件卜，第3次摸到红球的概率为名,求

⑶对于大事A8,C,当。（"）＞0时，写出P（4）,P（HA）d（C|A8）,P（/WC）的等量关系式，并加

以注明.

36.（2025・福建厦门•统考一模）已知甲、乙两支登山队均有〃名队员，现有新增的4名登山爱好者

“友c,4将依次通过摸出小球的颜色来打算其加入哪支登山队，规章如下：在一个不透亮的箱

中放有红球和黑球各2个，小球除颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中

不放回地摸出1个小球，再另取完全相同的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱

好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和黑球各1个，如此重复，直至全部新增登山爱好者

均摸球和放球完毕.新增登山爱好者若摸出红球，则被分至甲队，否则被分至乙队.

⑴求"Ac三人均被分至同一队的概率；

⑵记甲，乙两队的最终人数分别为〃-%，设随机变量X=H-，U，求E（X）.

I题型03

37.（2025•安徽合肥•合肥一六八中学校考一模）在“秀丽乡村”评比活动中，某乡镇7个村的得分如

下：10,7,6,9,8,9,5,这组数据的中位数和众数分别是（）

A.7,9B.9,9C.9,8D.8,9

38.（2025•江西吉安•吉安一中校考一模）某校高一班级15个班参与朗诵竞赛的得分如下：

858788898990919192939393949698

则这组数据的40%分位数为（）

A.90B.91C.90.5D.92

39.（2025•河北•校联考一模）现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平

均数为3,方差为5,乙组数据的平均数为5,方差为3.若将这两组数据混合成一组，则新的一组

数据的方差为（）

A.3.5B.4C.4.5D.5

40.（2025•湖南长沙•雅礼中学校考一模）已知一组数据：12,31,24,33,22,35,45,25,16,若去掉12和

45,则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是（）

A.中位数不变B.平均数不变

C.方差不变D.第40百分位数不变

41.（2025・重庆•统考一模）2025年10月31日，神舟十六号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆,

激发了同学对航天的宠爱.某校组织高中同学参与航天学问竞赛，现从中随机抽取100名同学成果的

C.x=83,），=85D.x=88,y=85

42.（2025・福建厦门•统考一模）已知甲、乙两组数据分别为：20,21,22,23,24,25和小23,

24,25,26,27,若乙组数据的平均数比甲组数据的平均数大3,则（）

A.甲组数据的第70百分位数为23B.甲、乙两组数据的极差相同

C.乙组数据的中位数为24.5D.甲、乙两组数据的方差相同

43.（2025•广东深圳♦校考一模）某服装公司对1-5月份的服装销量进行了统计，结果如下:

月份编号X12345

销量），（万件）5096142185227

若y与x线性相关，其线性回归方程为丁=纵+7.1,则下列说法正确的是（）

A.线性回归方程必过（3,140）B.5=44.3

C.相关系数r<0D.6月份的服装销量肯定为272.9万件

44.（2025•浙江•校联考一-模）为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时

间F（单位：min）的5组数据为：（10,52）,（20,67）,（30,70）,（40,75）,（50,86）,依据以上数据可得阅

历回归方程为：y=0.76x4-6/,则（）

A.。=47.3

B.回归直线），=0.76x+a必过点（30,70）

C.加工60个零件的时间大约为92.8min

D.若去掉（30,70）,剩下4组数据的阅历回归方程会有变化

45.（2025•云南曲靖•统考一模）已知变量〉关于汇的回归方程为），=e赢"，若对丁二心小两边取自

然对数，可以发觉ln），与x线性相关.现有一组数据如下表所示；

Ai2345

yee3e4e6e7

则当x=6时，猜测的值为（）

A.9B.8C.e9D./

46.（2025•黑龙江齐齐哈尔•统考一模）睡眠是生命健康不行缺少的源泉，然而很多人被睡眠时长过

短、质量不高等问题所困扰.2025年3月21日是第23个世界睡眠日，这一天某争辩小组随机调查了

某高校100名同学在某一天内的睡眠状况，将所得数据依据

[5.75,6.25）,[6.25,6.75）,[6.75,7.25）,[7.25,7.75）,[7.75,8.25）,[8.25,8.75]分成6组，制成如图所示的频率

分布直方图：

⑴求a的值，并由频率分布直方图估量该校全部同学每一天的平均睡眠时长（同一组的数据用该组

区间的中点值作代表）；

⑵每•天睡眠时长不低于7.75小时认定为睡眠充分，以频率代替概率，样本估量总体，在该高校同

学中随机抽查3人，求至少有两人每一天睡眠时长充分的概率.

47.（2025•重庆•统考一模）实现“双碳目标”是党中心作出的重大战略决策，新能源汽车、电动汽车

是重要的战略新兴产业，对于实现"双碳目标”具有重要的作用.为了解某市电动汽车的销售状况，

调查了该市某电动汽车企业近6年产值状况，数据如下表所示：

年份201820192020202520252025

编号X123456

产值W百万辆91830515980

（1）若用模型y="•*拟合y与x的关系，依据供⑻的数据，求出），与x的阅历回归方程（精确到001）；

⑵为了进一步了解车主对电动汽车的看法，从某品牌汽车4s店当日5位购买电动汽车和3位购买

燃油汽车的车主中随机选取4位车主进行采访，记选取的4位车主中购买电动汽车的车仆人数为X,

求随机变量X的分布列与数学期望，

参考数据：£>,=20.88,次七凹=80.58,其中勺=Iny.

/-Ir-l

参考公式；对于一组数据a，y）G=123,…,〃），其阅历回归直线方的斜率截距的最小二乘

a__

估量分别为〃=胃---------，&=y-bx.

和：-加

1-1

48.（2025•广西南宁•南宁三中校联考一模）某校为了丰富同学课余生活，体育节组织定点投篮竞

赛.为了解同学宠爱篮球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如

表所示:

宠爱篮球不宠爱篮球合计

男生40

女生30

合计

⑴依据所给数据完成上表，依据小概率值a=0.001的/独立性检验，能否据此推断该校同学宠爱

篮球与性别有关？

⑵篮球指导老师从宠爱篮球的同学中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范.已知这两名男生投

进的概率均为:，这名女生投进的概率为:，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进

43

总次数X的分布列和数学期望.

附“二______〃(…。)2_____

/(a+A)(c+d)(a+c)(〃+d)

a0.10.050.010.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910.828

49.（2025•辽宁沈阳•统考一模）如图，小明从街道的E处动身，处处产的老年公寓参与志愿者活动,

若中途共转向3次，则小明到老年公寓可以选择的不同的最短路径的条数是（）

A.8B.12C.16D.24

50.（2025・福建厦门•统考一模）《九章算术》、《数书九章》、《周髀算经》是中国古代数学著作，甲、

乙、丙三名同学方案每人从中选择一种来阅读，若三人选择的书不全相同，则不同的选法有

种.

51.（2025•重庆•统考一模）2025年杭州亚运会吉利物组合为"江南忆”,出自白居易的“江南忆,最

忆是杭州〃，名为“踪琮"、"莲莲〃、"宸宸”的三个吉利物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人为了宣

扬杭州亚运会，某校打算派5名志愿者将这三个吉利物安装在学校