集合与常用逻辑用语（易错专练）-2026年高考数学二轮复习解析版

专题01集合与常用逻辑用语

i目录

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|第一部分易错点剖析

19易错典题9避错攻略9举一反三

；易错点1忽略集合中元素的互异性

!易错点2集合运算中忽略空集

I易错点3集合区间端点混淆

；易错点4充要条件判定颠倒逻辑

；易错点5命题否定中量词与结论漏改

!易错点6由命题的真假求参时不能正确转化

!第二部分易错题闯关

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01易错点剖析

易错点1忽略集合中元素的互异性

9易错典题

【例1】（25-26高三上•湖北孝感高级中学期中）已知集合力={1,3,/}，4={1M+2},若=

则实数〃的值为（）

A.1B.2C.2或一1D.I或T

【答案】B

【解析】若4口8=8,则集合8是集合A的子集，所以。+2=3或4+2=/.

当"2=3时，”1,则A=",3},不满足集合中元素的互异性，不合题意（易错点）；

求得。=1后，容易忽视回代检脸，从而致错

当“+2=/时，。2_4-2=0,即（。+1）（。-2）=0,解得：。=-1或。=2（易错点），

注意将参数值回代到集合中去，检验集合中元素的互异性

若。=-1,则4={1,3},3={1},不满足集合中元素的互异性，不合题意；

若a=2,则A={1,3,4},8={1,4},符合题意.

故实数。的值为2.

故选：B.

【错因分析】本题易忽略集合元素的互异性而错选C或D.

知识混淆：对“集合”概念理解不全面，忽略“集合中的元素具有互异性”这〜特性，从而未将求得。的值

回代到集合中去检验.

概念模糊：对“元素与集合间的关系”的逻辑推导不清晰，未系统分析“集合A或B中元素不满足互异性”

的可能性，导致思维存在漏洞.

望文生义：利用集合的运算求得〃的值后，就想当然认为所求得的〃值即为最终结果，未结合参数〃的取

值对•集合A.B中元素是否满足互异性进行全面分析.

9避错攻略

【方法总结】建立“先求参数的值，再回代集合检验”的思维流程，牢记”集合中的元素具有互异性”.

【知识链接】1.集合中元素的三大特性

(1)确定性：判断对象能否构成集合的依据.

(2)互异性：常用于检验解的介理性，如求解集合中元素含有参数的问题，先根据其确定性列方程，求出值

后，再根据其互异性检验.

(3)无序性：常用于判断集合相等.

2.根据元素与集合以及集合间关系求参数的三大步骤

第一步：求解，根据集合中元素的确定性，解出字母的所有取值；

第二步：检验，根据集合中元素的互异性，对解出的值进行检验；

第三步：作答，此处所有符合题意的字母取值(范围).

9举一反三

【变式1・1】(25-26高三上•浙江宁波六校期中)已知集合4={12,〃+4“。-2},-3£4，贝匹=

()

A.-1B.-3或1C.3D.-3

【答案】D

【解析】由一3eA可得/+4〃=-3或。一2=-3.

①当/+4q=-3时，解得4=-1或4=-3,

若。=7,则。―2=-3,与集合元素互异性矛盾，

若。=一3,则。一2=-5,此时A={12,-3,-5},符合题意，故。=一3：

②当〃-2=-3时，a=-[,由上分析可知不合题意.

故〃=一3.

故选：D.

【变式1・2】（25-26高三上•山东青岛•开学考试）已知A={l,2,1},8={2,a—l},若A|j8=A,则

a=（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】由A|JB=4,得

根据集合中元素的互异性可得CL1H2,所以。-1=/或=解得4=2.

此时A={1，2,4},4={2」},满足题意.

故选：C

【变式1・3】（25-26高三上•湖北•阶段练习）已知实数集合4={1,。力},B=若4=8,

则（。+力产=（）

A.-IB.0C.1D.2

【答案】A

【解析】因为A=8,所以集合A与集合8中的元素完全相同，

已知A=B={/,a,ab）,由于•。在两个集合中都有，那么就有两种情况：

M=i

情况一：,

ab=b

a1=b

情况二:

ab=1

求解情况一：

由/=],可得々=1或4=一1,

当〃=1时，集合A={l,l,b},不满足集合中元素的互异性，所以舍去。=1,

当〃=一1时，将。=一1代入。心=。，得到一方=〃，即％=0,解得6=0,

此时人=11,7,0},3=优-1,0）,椭足A=8;

求解情况二：

由/=/?和他=1,将6=/代入疝=1中，得到axa'l,即，=1,解得。=1，

当4=1时，集合A={1,1,/“，不满足集合中元素的互异性，所以舍去这种情况；

所以〃=一1,6=0,所以（〃+〃产=（_]+（）严5=（_1严5=_]

故选:A.

易错点2集合运算中忽略空集

9易错典题

【例2】（2024•全国卷）已知集合A={八|3八+2-0},5-{AIUA-\},若6GA,则〃的取值集合是

A.{0,1,3}B.{1,1}C.{0,1}D.{0,1}

【答案】A

【解析】解方程/-3x+2=0,因式分解得（尸1）（尸2尸0,解得％=1或42,因此A={1,2}.

集合8:{戈|ami},需分8=0和3W0两种情况讨论（易错点）：

不要忽视考虑生0这一种情况

情况1：B=0方程av=l无解，此时於0（因为当。=0时，0-x=l无实数解）.空集是任何集合的子集，故

。=0符合条件.

情况2：BW0此时方程av=l的解为尸L因为8GA,所以,必须是A中的元素，即4=1或,

aaaa

=2：

若，=1,解得FI；若，=2,解得

aa2

综上，〃的取值为0、1、g,因此a的取值集合为{0,1,^}.

【错因分析】求解“B1A”类问题时，漏算8=0的情况.

知识混淆：对“子集”概念理解不全面，忽略“空集是任何集合的子集”这一特殊性质，仅关注8为非空集

合的情况.

概念模糊：对“集合包含关系”的逻辑推导不清晰，未系统分析“8为空集”的可能性，导致思维存在漏洞.

望文生义：看到％尸1”就默认方程有解，想当然认为8一定非空，未结合参数。的取值对集合8存在性

的影响进行全面分析.

9避错攻略

【方法总结】建立“先判空集，再分析非空”的思维流程，牢记“空集是任何集合的子集”.

【知识链接】1.集合与元素关系的判断方法

（1）直接法：集合中的元素是直接给出的.

（2）推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.

【提醒】若集合是有限集，可将集合中的元素化简并一一列出，再与有限集内的元素进行逐人对照，确定

是否存在与其相等的元素，进而判断集合与元素的关系：若集合是无限集，可将元素变形,看能否化为集

合中元素的形式，也可以代入集合的约束条件，判断是否满足，若满足则属于该集合，否则不满足.

2.对于集合之间的关系常用到的结论：

（1）子集的传递性：AQB,BQC^AQC.

（3）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故当4勿时，应分8=。和8超两种情况讨论.

3.破解集合间基本关系的方法：数轴法、Venn图法.

9举一反三

【变式1“】（25-26高三上•安徽合肥•期中）已知集合尸=[,=1},若PcQ=Q,

则。的值是（）

A.1B.-1C.1或一1D.0」或一1

【答案】D

【解析】由夕门。=（?得。1夕、

又户=卜,2=]}={_]』},

当4=0时，e={x|av=l）=0,符合题意，

当"0时，Q={x\ax='}="»

则1=1或，=-1,解得a=l或〃=-1,

aa

所以〃的值是。/或T,

故选：D

【变式1・2]（24-25高三上•河北定州中学•阶段测试）设集合

A={x,-34+2=（）},8=卜,2+2（a+l）.v+«2-5=o1.

⑴若4nB={2},求实数4的值：

（2）若A|J8=A,求实数。的取值范围.

【答案】（l）a=1或3；（2）a<3

【解析】（1）依题意，A={X|X2-3X+2=0}={1,2},

由An“={2},得2e8,则4+4（4+1）+/-5=0,解得。=一1或〃=一3,

当〃=—1时，贝iJB={4r2—4=。}={-2,2},满足Ap|B={2}；

当〃=一3时，则8=卜,一4.1+4=0}={2},满足AD8={2},

所以4=-1或a=-3.

（2）由（1）可知，A={i,2},A\JB=A<=>B^A,

若3=0,则△=4（。+1）2-4（/-5）<0,解得〃<一3：

-2(«+1)=2

若8=0}则45无解;

若B={2},由(1)知a=-3：

若8={1,2},则,无解，

所以实数。的取值范围是

易错点3集合区间端点混淆

。易错典题

［例3］（25-26高三上•河南•开学考试）已知集合4={乂（尤+2）（17）20}1={也〃一3。<。+1}.

（1）若AnB=A,求实数。的取值范围；

（2）若八U8=八，求实数。的取值范围.

【答案】（l）］o$］；（2）［4,+a））

【解析】⑴A={M（x+2）（17）N（）}={小1},B={x\2a-3<x<a+\］,

因为AC|8=A等价于

-2>2a-3

所以“<“+1（易错点），

2«-3<<7+1

注意各端点值处的等号是否取得到

解得0<"；,

所以实数〃的取值范围为（（）£.

（2）因为A|J8=A等价于BqA,

若R=0,则2〃一4>〃+1（易错点），

注意此处需取等号

即。之4时，符合题意；

2。-32-2

若3W0,则〃+1WI,无解（易错点）；

2a-3<a+\

列式时要考虑4工0自身满足的条件：2a—3之一2,同时要注意端点值是否取等号

综上，实数〃的取值范围为巴…）.

【错因分析】

由集合间的关系或运算求参数的值或取值范围时，容易因在区间端点处取不取等号而致错.

知识混淆：对两集合间“包含和真包含”概念理解不全面，从而导致列式时端点值该取等号时不取等号，

不能取等号时取等号.

概念模糊：对“集合包含关系”的逻辑推导不清晰，未系统分析”区间端点处是否能取等号”，导致思维存

在漏洞.

望文生义：分析两集合间关系时，对区间端点值想当然认为能取等号，或者想当然认为不能取等号，未结合

数轴或Venn图进行全面分析.

9避错攻略

【方法总结】结合数轴或Venn图，将集合表示出来，数形结合确定区间端点的取舍.

【知识链接】集合运算的常见运算性质：

I.AnB=8n4；AC\BQA；AC\BQB；AC\A=A；ACl0=0.

2.AUB=BUA;AQAUB;BQAUB;AUA=A,AU0=A

3.4U(「M)=U,An(1M=0

9举一反三

【变式3・1】(25-26高三上•河南•阶段练习)设全集U=R,已知集合4=[,2<]},集合

B={x|2avxv3-a}.

⑴当a=0时，求(Q4)UA；

(2)若4口8=0,求实数a的取值范围.

【答案】⑴&A)U4=(­，fU(O，”)

Q)；，+8)

【解析】(I)由A={x|-1vx<l},^^A=(-OO,-1]|J[1,-H»),

又由B={x\0<x<3],有(今A)UB=(F,-“U(0,3)

(2)由4口8=0,

则①当8=0时,由2〃之3—〃，解得aNl；

2a<3-a\2a<3-a

②当4H。时,或1

3-a<-\2a>\

解得gwavl.

由上知，若人。3=0,则实数a的取值范围为

【变式3・2】(25-26高三上•北京•期中联考)已知全集。=1<，集合4={4；2-4%+3工。},

B={x||x-3|<1},C={x\2a<x<a+2,aER\

(1)分别求Ac"和AD4.8:

(2)若8uC=B,求。的取值范围;

(3)若AcCw0,求。的取值范围.

【答案】⑴ACB={X|2<XW3},={X|X<3»£X>4}

(2)1<a<2或。>2,

3

(3)-l<«<-

【解析】(1)由4=卜,2-布+340}=卜"-1)(43)工0}二314%«3},

B={x||x-3|<1}={x|-1<x-3<l1={x|2<x<4},

故AC8={X|2<KW3},

Q,,8={上工2或x24},故Au,,8={小《3或工"}

(2)由得CqB,

当C=0时，2a>a+2,则。>2满足题意，

2a<a+2

当。工0时，则<2a>2,解得lv〃v2,

a+2<4

综上可得1<av2或a>2,

2a<t/+2

3

(3)由AcC/0得,解得一IKaK],

a+2>\

易错点4充要条件颠倒逻辑

9易错典题

【例4】(25-26高三上•浙江宁波•阶段测试)命题“上«-2,1],产一1_〃>0，，为假命题的一个充分不

必要条件是()

A.B.a<0C.a>6D.«>8

4

【答案】D

【解析】若命题“土耳一2』，f—x—々>0”为假命题，

则命题的否定“心«-25，x27-aWO”为真命题，

即〃之/_工，式«-2,1]恒成立，

)'=f-不二1一；)-L,xe[-2,l],当x=-2,取得最大值y=6,

所以“6,选项中只有{小28}是{斗之6}的真子集，

所以命题“玄《-2』，/7_。>0，，为假命题的..个充分不必要条件为(易错点)，

要注意“/!是8的充分条件”和“力的充分条件是8”的区别.

故选D

【错因分析】在判断充分性和必要性时，易错的地方是颠倒逻辑，混淆充分条件与必要条件.

知识混淆：不能区分”A的条件是B”和“A是B的条件”，将两者混为一谈.

概念模糊：对“充分性和必要性”的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞.

望文生义：判断或者探求充分性或必要性时，受思维定势的影响，认为“A的条件是B”等价于“A是B的

条件”，而未从逻辑上去分析两者的区别.

H避错攻略

【方法总结】在判断充分条件、必要条件、充要条件时，要特别注意哪一个是“条件”，哪一人是“结论”，

否则将犯“张冠李戴”的错误.需注意：若p是q的…，则P是条件，q是结论;若P的…条件是q,则P是结

论,q是条件.

【知识链接】1掌握充分、必要条件的概念及类型

⑴如果p=>q,则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；

(2)如果p=>q,但q#p,则p是q的充分不必要条件；

⑶如果p=>q»且q=>p»则p是q的充要条件；

(4)如果q=p,且p#q,则p是q的必要不充分条件；

(5)如果p#q,且q#p,则p是q1勺既不充分又不必要条件.

2.灵活运用判断充分、必要条件的方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断；

(2)图示法：多个条件间关系的判断时，可以用用“O"、"="、"u”将条件彼此相连，然后再判断它们之间

的关系.

(3)利用集合间的包含关系进行判断：

设满足条件P的对象组成的集合为A,满足条件q的对象组成的集合为B,则由集合间的包含关系易得如

下图表：

记法

（4）举反例：要说明p是q的不充分条件，只要找到XoW｛小｝，但兑任｛巾｝即可.

9举一反三

【变式4・1】（24-25高三上•青海西宁•期中〉已知”>0，）>0,则使〃十沙之2成立的一个充分条件

是（）

A.a2+b1=1B.a+b=ab

C.2“+2〃=4D.a+b2=2

【答案】B

【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断.

【解析】对于A,取a=！，b=2,显然有〃+〃2=1成立，但不成立，不符合题意.

22

对干B,由〃+〃=.〃，得，+?=1,所以〃+人=（4+〃）（，+？]=2+2+：之4,可推出〃+822,符合题

abb）ab

意.

又寸干C,_2a4.262,2*=，川得a+〃<2,不符合题意.

对于D,由a+〃=2,得a=2-/,因为。>0,b>0,所以0<〃v上,所以

a+b=-b~+b+'2=-/?--1+—€V5,—,不能推出〃+匕22,不符合题怠.

I2）4I4]

故选:B.

【变式4・2】（25-26高三上•安徽马鞍山•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.AABw。是AqB的充要条件

B.使不等式1+，>0成立的一个充分条件是-1。<0

x

C.若“人一2|<1"的一个必要不充分条件是“〃7-2<X<〃7+2”，则实数加的取值范围是1《心工3

D.若关于x的不等式d—2小+3W0在R上的解集是空集，则实数。的取值范围是-1<。<3

【答案】C

【解析】对于A,若AqB,当片=0时，4(18=0,故由AqB不能推出从03/0；

若,珀8工0,例如A={1,3},8={2,3},此时Ac8不成立，

故由4口〃工0也不能推出八18.

即从口4/0是Aq8的既不充分也不必要条件，故A错误；

对于B,当一lvx<0时，则l+i<0,

xx

所以-IvxvO不是不等式1+工>0成立的充分条件，故B错误；

x

对于C,由卜一2|<1解得l<x<3,记集合A=(l,3),

设"2-2〈工〈"7+2为集合8=()〃-2,"7+2),

若平-2卜1”的一个必要不充分条件是2c<〃叶2",

即5是A的必要不允分条件，则A是5的真子集，

m-2<1\m-2<\

故需满足o」或八,，解得Y，〃W3,

〃?+2>3〃？+223

经检验，当1W〃?W3时，A是3的真f-集，符合题意，

故实数〃，的取值范围是1W〃?W3,故C正确；

对于D,关于x的不等式d一2仆+3«0在R上的解集是空集，

贝|JA=(—2a)2—4xlx3=4/-12<0,解得—

即实数。的取值范围是-G<av6，故D错误.

故选:C.

【变式4・3】(25-26高三上•广东东莞•阶段练习)已知集合

A={R-3<x<4},8={jdl-〃?<x43"?-2,〃7>l}.

(1)是否存在实数加，使得xw4是xw8成立的充要条件，若存在，求出实数”的值，若不存在，请说明理

由；

(2)若xcA是xe4成立的必要不充分条件，求出机的取值范围.

【答案】(1)不存在，理由见解析

(2)l<w<2

【解析】(I)若存在实数用，使得xwA是xeB成立的充要条件，则A=3.

11—〃？=—3

故，°〃无解，故不存在实数〃?，使得xwA是xeA成立的充要条件.

13m-2=4

(2)因为〃?>1,所以36一2>1>1-/〃，故4W0,

由HeA是xeA成立的必要不充分条件，得3真包含于4,

所以Lc,d且不等式组的两个等号不同时取得，解得〃?42,又〃，1,

所以助的取值范围为1<加42.

易错点5命题否定中量词与结论漏改

H易错典题

【例5】(25-26高三上•河北•期中)设命题〃:玉>0,2、=2025cosx,则P的否定为()

A.Vx>0,2r=2025cosxB.Vx>0,2'>2025cosx

C.Vx>0,2、2025costD.3x>0,2、2025cosx

【答案】C

【解析】先变量词：将m变为V,

再否结论，将结论2、=2025cosx否定为：2、w2025cosx,

从而可得〃的否定为：Vx>(),2'/2025S2(易错点).

既要变量词，又要否结论，缺一不可

故选C.

【错因分析】在写出含有一个量词的命题的否定时，要注意“变量词，否结论”，常见错误是只变量词,

或者只否定结论.

知识混淆：以为命题的否定只需否定结论，或者只需修改显词，错因还是相关知识掌握不够透彻.

概念模糊：未正确理解“命题的否定”的改写方法，从而导致思维受阻.

望文生义：写命题否定时，以为仅变量词或仅否结论即可，从而造成逻辑错误.

9避错攻略

【方法总结】在写出含有一个量词的命题的否定时，只需先变量词，再否定结论即可.

【知识链接】1.全称量词和存在量词

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、每一个、任意、任何、一切等V

存在量词有些、有一个、存在等3

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

命题名称符号表示命题的否定

全称量词命题XfxEM,x具有性质p(x)%不具有性质p(x)

存在量词命题BxEM,x具有性质p(x)VAGA/,x不具有性质p(x)

［微提醒］对没有量词的命题否定时，要结合命题的含义加上量词，再改变量词.

。举一反三

【变式5・1】（25-26高三上•广东梅州•期中）命题\.1>0,/+2X-3>0”的否定是（）

A.3x>0,x2+2x-3<0B.3x<0,x2+2x-3<0

C.Vx<0,x2+2x-3<0D.Vx>0,x2+2x-3<0

【答案】A

【解析】命题“Vx>0,/+2x-3>0”为全称量词命题，

其否定为：3A->0,X2+2X-3<0.

故选:A

【变式5・2】（多选）（25-26高三上•陕西商洛•阶段练习）已知命题〃：平行四边形的对角线相等，

小文£（1,2）,—2'—工+4=0,则（）

A.P是存在量词命题

B.是存在量词命题

C.-P：有些平行四边形的对角线不相等

D.，/是真命题

【答案】BCD

【解析】“平行四边形的对角线相等”的意思为“所有的平行四边形的对角线都相等”，

故命题〃为全称量词命题，其否定为“有些平行四边形的对角线不相等“，故A错，C对；

由存在量词命题的形式可知，4为存在量•词命题，B对■；

记f（力=_2'T+4,因为/⑴=_T_l+4=l>0,/（2）=-22-2+4=-2<0,

由零点存在性定理可知，J。）在区间（L2）内有零点，

gpire（l,2）,-2r-x+4=0,D对.

故选：BCD

易错点6由命题的真假求参时不能正确转化

H易错典题

[例6]（25-26高三上•山西•阶段练习若命题p：3xw[-2,2],使得W-2x-/十？/”之。为假命题，则

实数机的取值范围为（）

A.（9,1）51,+8）B.0）2（2,也）

C.（-x）,-4）u（2,+oo）D.（y,-2）LJ（4,+8）

【答案】D

【解析】因为P为假命题，所以Vxe[-2,2],d-2x—+2〃?<0为真命题，

印"1-2WxW2时,Y一2%一切2+2Mv（Hii成立（易错点）.

本题易错之处是不能将问题转化为不等式恒成立问题求解

因为函数/(X)=f-2x-"+2〃7=(汇-1)2-"+2"L］图象的对称轴为X=1,

所以当一23工2时，=/(-2)=-W2+2/W+8,所以-〃P+2m+8<0，

即〃『一2"，一8>0，解得in<-2或加>4,

即实数制的取值范围为(y,-2)u(4,+e).

故选：D.

【错因分析】由含有一个量词的命题的真假求参数的值或取值范围时，不能正确进行转化，从而导致错解.

知识混淆：混淆“恒成立”与“能成立”.

概念模糊：未正确理解由含有一个量词命题的真假，从而导致无法正确转化.

望文生义：审题不清，从而导致思维混乱.

9避错攻略

【方法总结】1.利用全称量词命题求解参数的范围

全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，这是一类综合性强，且有一定难度的问题，解决这类问题

时，若能分离参数，则尽量利用分离参数法求解.

2.利用存在量词命题求解参数的范围

存在量词命题的常见题型是以满足某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句来表述，解

答此类题目，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后由肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明.

若推出合理的结论，则存在性得以解决；若导致矛盾，则否定了存在性.

【知识链接】1.命题〃和「〃的真假性相反，在判断命题的真假时，可先判断此命题的否定的真假.

2.判断全称量词命题和存在量词命题的否定的真假

弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题否定的关键.

［2)当命题否定的真假不易判断时，可以转化为去判断原命题的真假.当原命题为真时，命题的否定为假；

当原命题为假时，命题的否定为真.

3.不等式的恒成立：

⑴若VX£/,/(工)>0恒成立，则

(2)若VXW/,/(X)<0恒成立，则/(X)max<0・

⑶设/(X)与g(X)的定义域的交集为D若VXWD/(x)>g(x)恒成立则有⑼俏>0.

(4)若对DXG/］、X2el2,/(%))>g(%2)恒成立，则〃X)min>gOOmax-

4.不等式的能成立：

⑴若三/£/,使得/(凡)>0,则/(尤H3>0；

(2)若3x0G7,使得f(xQ)<0,则/(x)min<0.

5.存在性与任意性并存：

（1）若对3X2G/2,使得f（X1）>g（X2），则f（X）min>g（X）min,

（2）若对VX,G/,,三/£,2,使得/（为）<8（%2），则/⑶皿<g（X）max•

（3）若三须/]臼％2£/2,使得则/（%）*<g（R凡

4.子集思想的应用

己知/（x）在区间，上的值域为A„以外在区间乙上值域为B，

若对V玉u4月“2U，2,使得/（玉）=8（%2）成立，则Aq8.

举一反三

【变式6-1]（25-26高三上•江苏扬州•开学考试）若“大叩,2],加two”为真命题，则实数〃的取

值范围是.

【答案】（华』

【解析】设/（©=加一x,xe[l,2],

3xe[l,2],ax2-x<0,即/⑴"，在工«1,2]上有解，

贝|」纸2—x<0,由X变形得

当“小2]时，根据有解，得

【变式6・2】（25-26高三上•福建厦门•期中）已知函数/（<）=x+2,g（x）=2'+a,若四

加w[2,3],使得〃芭），片（々），则实数。的取值范围是.

【答案】g，+8）

【解析】依题意知〃“2«8（力皿.

因为〃x）=x+3在R，l]上单调递减，所以=/（4]=].

又雇x）=2'+。在[2,3]上单调递增，所以双幻心=8+a,

因此£«8+a,则a2g.

【变式6・3】（25-26高三上•陕西商洛•月考）已知p：VxeR,ax2+av+l>0,q：

ars[-lj],2x-«<0.

（1）若〃为假命题，求实数。的取值范围；

（2）若p,夕中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围.

【答案】⑴（口,0）34.收）

(2)0,；)34,+8)

【解析】(l)若p:XZx€R,ar2+<z_r+l>0为真命题，

当a=0时，不等式1>0恒成立；

[a>0

当〃。()时，有L2)八，解得()<。<4,

所以P为真命题。的取值范围是[0,4),故〃为假命题〃的取值范围是(f,0)u[4,+8).

(2)/女目一1』,2"-〃40等价于玉«—1,1],々22、

又2飞|'；,2],故此，即4为真命题的〃的取值范围是+s],

由(1)P为真命题。的取值范围是[0,4),

若p,q中有且仅有•个为真命题，则〃真。假或〃假“真，

f0<«<4

若P真"假，则，1，解得0«公。

\a<—2

[2

a<0或。>4

若P假4真，则｛1，解得。24,

a>—

2

综上，实数〃的取值范围是0,；)U[4,+8).

02易错题闯关

2

1.(25-26高三上•山东聊城•期中)已知命题p：*w(0,+oo),x-x+\=0,则力是()

A.VXG(^O,0),x2-x+1^0B.3xe(f,0),x2-x+\^0

2

C.VXG(O,-KC),x-x+I=0D.VXG(0,-KO),f-x+iwo

【答案】D

【解析】命题〃闩xa(O,y),x2-x+l-0,则f是“Dxu(O,g),/一%+“0”，

故选：D

2.(25-26高三上,江苏连云港•期中)已知集合4={0,力，B=\\-a-2-2a-2\f若AqB,则〃=

()

2

A.1B.――C.—1D.—2

【答案】c

【解析】因为集合4={0,勾,B={i-a-2,-2a-2},

又因为AqB,

当一〃一2=0即〃=一2时，A={0「2}1={1,0,2},不符合题意；

当_加一2=0即a=_[时，A={(),_1},8={1,T,()},符合题意；

贝ijq=-1.

故选：C.

3.(25-26高三上•重庆•阶段练习)己知集合人="4,/},4=[4,]h=则实数。取值的

集合为()

A.{2}B.{0}C.0,1►D.|ol,2-

【答案】C

【解析】•.•4cB=8,「.8qA/.g=l或g=解得。=0,；或2,

由集合互异性知a工2,故

故选：C.

2

4.(25-26高三上,新疆•月考〕已知p：Vxe(0,+co),x+x-l>0；q：Hre[-3,0],x+5=|3x-l|,

贝lj()

A.〃是真命题，9是真命题B.〃是真命题，F是真命题

c.r2是真命题，g是真命题D.r7是真命题，r是真命题

【答案】C

【解析】对于命题P：当x时，x2+x-l=-l<0,

可知〃是假命题，即f是真命题；

对于命题4：当x=-l时,x+5=4=|3x-l|,

可知1是真命题，即F是假命题.

故选：C.

5.(25-26高三上•广西•期中〕“函数/(%)=--2日在(-8,3]上单调”的一个必要不充分条件可以是

()

A.k>3B.k>2C.k>6D.k<3

【答案】B

【解析】/(x)图象的对称轴为直线x=欠,若f3在(YO,3]上单调,则其之3,

对于A,XN3”是"函数/")=/一2履在(F,3]上单调”的一个充要条件，故A错误；

对于B,”之2”是“函数/。）二丁-2履在（YO,3]上单调”的一个必要不充分条件，故B正确；

对于C,“26”是“函数/"）=』-2日在（—,3]上单调”的一个充分不必要条件，故C错误；

对于D,“左<3”是“函数/（x）=f-2丘在（TO,3]上单调”的一个既不充分也不必要条件，故D错误.

故选：B

6.（2025•新强喀什•二模）已知集合A={x|xW2},Z^={x|?-2x-3>o},。={小>力且

AU（Q8）UC=R，则实数。的取值范围为（）

A.（-h+oo）B.（-oo,3）

C.（Y>,T]D.（T\3]

【答案】B

【解析】因为8=卜产一2一3"},所以B={#K—1或壮3},

所以Q8={x[-l<x<3},

所以八3d町={小<3},

因为AU@3）UC=R,所以"3,

所以实数〃的取值范围为（9,3）.

故选：B.

7.（2025•北京•高考真题）已知函数/3）的定义域为。，则“/⑴的值域为R”是“对任意MwR,存

在/e。，使得的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】A

【解析】若函数/a）的值域为R,则对任意MeR,一定存在』e。，使得〃X）=|M|+1,

取％=内，则=M+充分性成立；

取/"）=2',D=R,则对任意McR,一定存在$w。，使得/（xJ=|M|+l,

取而=%，则=M+但此时困数/⑴的值域为（0,十8）,必要性不成立；

所以“/（制的值域为R”是“对任意MeR,存在诙e。,使得|/（%）|>M”的充分不必要条件.

故选:A.

8.（25-26高三上•福建福州•阶段练习）/（x）=2?-3d-12x,已知（v0,若“八力之〃”的充要条件

是则实数〃的最小值为（）

A.—2B.——C.—1D.—

22

【答案】B

【解析】由题意，/z（A-）=6x2-6.r-12=6（x+1）（x-2）,

由r（x）>O=>x<-lBgx>2;由/'（4）<。=>一1<4<2,

所以〃力在（y，T）和（2,”）上单调递增，在（-1,2）上单调递减，

则函数/（X）的极大值为=极小值为〃2）=-20,

当2/一3/—12*=—20，解得x=2或i=—

当人<-|时，/（丈）>〃〃），而/（〃）<—20,〃力没有最小值，/（力之〃不成立，

当一_|。<0时，/^„=/（2）=-20,则〃x）N—20,

所以〃的最小值为-1.

故选：B.

9.（多选）（24-25高三上•广东广州•阶段练习）下列说法正确的有（）

A.不等式界>1的解集是卜-2V

3x-\3

B.命题“Vxw[l,2],丁-“KO”为真命题的一个充分不必要条件是

C.命题P：WxeR,x2>0,则-ip：玉-wR,x2<0

D.M={X|X2-2X+1=0）,N={1}表示同一集合

【答案】BD

【解析】对于A,由衿>1可得三七N>0,故（3x—l）（x—2）<0,解得?<x<2,

3x-\3x-\3

故不等式沁>1的解集是故A错误；

31I3

对于B,命题“Vxe"2],丁一々《0''为真命题，则心―

VA€[1,2],AX2e[l,4],则aN4,

则是命题为真命题的•个充分不必要条件，故B正确；

对于C,命题〃:VxeR,x2>0,则%2^0,故C错误：

对于D,M=卜,2_2x+|=o}={1},故与N={1}表示同一集合，D正确.

故选：BD.

10.（25-26高三上.河南•阶段练习）已知集合人={2,3阎，B={A|（X-«2）（A-^）=0）,则（）

A.%=0”是工0”的充分不必要条件

B.“OeA”是的必耍不充分条件

C.“3中只有一个元素”是的充要条件

D."a+8右。”是的既不充分也不必要条件

【答案】ABD

【解析】对于A：若a=0,A={2,3,0},3={0,1（人*0）或3={0}e=0）,

则AcB至少含有一•个元素，Ac8w0；

若ACBH0,则不一定有〃=0,比如。=1/=2时，A={2,3,1},B={1,2},4c4={1,2}#0；

因此“〃=0”是“AC3H0”的充分不必要条件，A止确；

对于B：吕川心研/工〃）或8={研〃=〃），

若BqA,则必有力wA；若bwA,则不一定有8=

比如。=42=2时，A={2,3,4},E={16,2},B不是A的子集，

因此"£4”是"8=A”的必要不充分条件，B正确；

对于C：若5中只有一个元素，则6/=力，当。工0,且。工2时，〃工2a,

即“b中只有一个元素”不是“〃=2a”的充分条件，C错误；

对于D：若a=l,b=五,则〃+人任（2，

此时4={2,3,1},8={1,0},“不是A的子集；

若a=l/=2,则4={2,3,1},8={1,2},BcA,但a+b=3eQ

所以“a+〃任Q”是A”的既不充分也不必要条件，D正确；

故选：ABD.

11.（2526高三上•陕西咸阳•阶段练习）若命题“玉使得/_,住（）“为真命题时，实数,的取

值集合为A,则“A=.

【答案】（4,一8）

【解析】因为命题“上目1,2],使得〃之0”为真命题，

所以〃上工2在彳«1,2]时有解，所以诙，xe[l,2],

因为xe[l,2],所以fWl,4],所以心4,所以A=（YO,4],

所以QA=（4,+"）,

12.（20-21高三上・江苏苏州・阶段练习）已知〃力=f-侬+4,g（x）=k）g/，若"％s[l,4],

叫42,4],使得/（.±）＞屋/）成立“为真命题，则实数出的取值范围是.

【答案】（—,26）

【解析】当W«2,4],有g（w）qi,2],则％e[l,4],玉同刊,使得/&）＞以七）成立，

等价于％u[l,4],/（-,）＞1,即丁—心十3＞0,在x』网上恒成立,

参变分离可得，、+[>用，而当AW[L4],x+^>2^r^=2V3,

3

当且仅当工=一，即工=百时取等号，所以〃?<26.

x

13.（25-26高二上•湖南永州•开学考试）已知p:Vx€R,aP-ar+l>0恒成立，

qHxeR,/+4+。=0如果〃国中有且仅有一个为真命题，则实数。的取值范围为,

【答案】（―8.0）U（；.4）

【解析[若〃为真命题，当。=0时，可得1>0恒成立，满足题意，

«>0

当时，则有L/\2/八，解得0<。<4,

△=（一a）-4a<（）

综上，当〃为真命题时，实数4满足0<。<4；

若4为真命题，则有△=『—4aN0,解得

4

故当“为真命题时，实数〃满足

4

p*q中有口仅有一个为真命题，

0<t?<4

「•当〃为真命题，4为假命题时，实数”满足{1,解得J<a<4；

a>—4

a<0或a>4

当P为假命题，4为真命题时，实数。满足{I,解得。<0.

a<—