概率与统计下的新定义（五大题型）

专题03概率与统计下的新定义

【题型归纳名目】

题型一：二项式定理新定义

题型二：排列组合新定义

题型三：概率新定义

题型四：统计方法新定义

题型五：信息牖问题

【方法技巧与总结】

解概率与统计下的新定义题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“生疏”问题.总

之，解决此类问题，取决于已有学问、技能、数学思想的把握和基本活动阅历的积累，还需要不断的实践

和反思，不然就谈不•上“自然”的、完整的解题.

【典型例题】

题型一：二项式定理新定义

【典例(2025•湖南衡阳•二模)莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用.全部大于I的正整数”都可以

被唯一表示为有限个质数的乘积形式：〃=〃；>”••pf(攵为〃的质因数个数，P,为质数，

=),例如：90=2x32x5,对应攵=3,/人=2,p?=3,p==54==2,今=1.现对任意

1,/?=1

GN+,定义莫比乌斯函数〃(〃)="(T)'=Z2="，=ZA=1

0,存在7；>1

⑴求“(78),4(375)；

(2)若正整数工，>互质，证明：〃E，)=〃(x)〃(y)：

⑶若〃>1且记〃的全部真因数(除了1和〃以外的因数)依次为4，4，…M”，证明：

"⑷+〃(g)+…+〃(/)=-2.

【解析】(1)由于78=2x3x13,易知&=3,〃]=2,/%=3,〃3=13,4=1，G=1，

月亍以,(78)=(_1)3=_]：

乂375=3x5,由于5的指数3>1,所以〃(375)=0；

(2)①若工=1或y=l,由于"(1)=1,所以〃(Ay)=〃(x)4(y)；

②若苍丁工1,且存在质数〃，使得％或丁的质因数分解中包含P'(r>l),则外的质因数分解中肯定也包含

所以〃⑻=〃(x)〃(y)=o，

③若x,"l,且不存在②中的〃，可设K=PI〃2…PQ=%%…%,

其中P|，〃2…0，4，％…%均为质数，则冷'=月〃2…P序%…％，

由于x，y互质,所以〃「〃2…凡4，％…%互不相等，

所以〃3）=（-1广,=（T），（一1）、=4（%）〃"）,

综上可知〃（孙）=〃（x）〃（y）

（3）由于〃（〃）=1,所以可设〃=P1〃2…“，2为偶数，

”的全部因数，除了1之外都是四，〃2,…,P«中的若干个数的乘积，从攵个质数中任选比.=1,2产4）个数的

乘积一共有C：种结果，

所以〃。）+4（4）+〃（电）+…+〃（％）+〃（〃）

=n⑴+[〃（PJ+M〃2）+…+〃（凡）]+[〃（〃也）+〃（0〃3）+—+〃（〃1/〃）]+…+4（〃）

=I+C；（T）+或（-炉+…+c7（-1广+（_球=（1一以=0，

所以〃（4）+〃（令）+…+〃&）=。一〃⑴一〃（〃）=一2.

【典例1・2】（2025•安徽合肥•一模）“4-数”在量子代数争辩中发挥了重要作用.设夕是非零实数，对任意

〃wN"定义“一数"（〃L=l+q+…+/利用“4-数”可定义“4一阶乘”（〃儿=（Dg（2）g…且（0儿=1.和

仅[二（〃儿

“夕一组合数”，即对任意卜[一伙儿（〃一々儿

（5}

（1）计算：;

1力2

⑵证明：对于任意公〃wN*,A+”〃，：=：।〃心

X/q\/q\/

%+m+l)n

(3)证明：对于任意k,m€N,〃eN*,A+1V〃,

kk+\,

\+1/q\♦q

【解析】（1）由定义可知，

pl_（5）%_（1）2（2）2（3）2（4）2（5）2

[31[3）乂2）!2一口）式2从3）2第1）式2）」

_KM，_（1+2+22+2）（1+2+22+23+2。）_^5

-⑴2（2）2-lx（l+2）

（〃儿（〃）/（〃T儿

（2）由儿

伙儿（〃T儿

+"一]-("1儿I♦•(〃T儿

l]U厂(1儿(〃-出(由5-1儿

需尚*厅小iJ

又伏)g+/.(〃_A)g=]+q+・・,+qi+T(i+q+,一+q>J)

=1+什..+/=(〃L，

(八/〃一、

所以J=fIn-h+"我1

⑶山定义得:

D(〃、

对任意4€N,〃CN*MK〃，=

LK.〃K,

\\/q

结合（2）可知

〃+1n1

=/"

氏+1l-UJ,

上述〃2+1个等式两边分别相加得:

n+6+1

k+\

I-UJ,r=O\

【变式7］（2025•高三・江苏苏州,阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为争辩对象，设棱长为

〃，若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，定义随机变

量X的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲争辩的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，定义随机

变量g的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条，定义随机变量”的值

为这两条棱的夹角大小（弧度制）.

⑴比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据

arctan石«0.3661,arctan闺x0.2677,arctan2夜x0.3918)

I\i

（2）现单独争辩棱长〃，记（x+l）xx+-x...xx+—（〃22且〃eN*）,其开放式中含工项的系数为S”,

、乙/n）

含d项的系数为r..

①若二=卬/+加+C,对〃=2,3,4成立，求实数”，h,C的值;

②对①中的实数”，力，。用数字归纳法证明：对任意〃22且〃wN”，于=加+加+c都成立.

【解析】（1）如图所示:

由题意设O”为正四棱锥。-A8CE的高，G为A3中点,

由于正四棱锥的底面边长和高都是2,

所以4C=8E=2&，。产=2,所以人=指，

由对称性以及三线合一可知。G==y/5,

若甲从其中一个底面边长和高都为2的正四棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形,

贝IJX的全部可能取值为;x2x2=2,；x2x6=K,gx2&x2=2五,

且唳=2）=肾=*小=2@=＞丁.=括）=*4

所以E（X）令2+32向|X14+2[+2凡4+2；+2X2=2,

若乙从正四棱锥（和甲争辩的四棱锥一样）的8条棱中任取2条，

则《的全部口J能取值为5，（），arctan瓜arctan,arctan2夜,

_,\n42/r16f加、4n-2

初Zt9=-x——+0x——+arctanV5x——+arctan——x—+arctan2V2x——，

2282828(2J2828

代人参考数据arctan岳工0.3661.arctan—k0.2677,arctan2上工0.3918,得E©=1.0890.

若丙从正三棱柱的9条棱中任取2条,

则3的全部可能取值为弓,*0,

13九.《—“_

£(〃)=二、电+工X"+0x9=——«1.1345,

\)2363363636

所以E(X)>E(〃)>E⑷.

(2)①由于(x+l)xx+；卜…xx+-中x项的系数为5”，

一般地，从(》>1+3卜…X(K+1)中的第2个因式中取一个大，其余因式中取常数即可得到一个人

项，

工、斗yx-v.万物，4,k1+2+・一+〃〃(/2+1)

而这一项的系数为I,S=----------=———->

川nn\2/1!

(iA(iA

由于(x+l)sxX+,X…Xx+—中一项的系数为r.,

一般地，从(x+l)x(x+[x…x(x+，中的第•工力个因式中各取一个X,其余因式中取常数即可得到

一个2.2项,

而这一项的系数为4,从而4=4Zij，

〃！n!14ivj4n

2x333x44x55

从加邑二心=展5广右

-2X4!"T2

1x2sIx2+lx3+2x311_Ix2+lx3+lx4+2x3+2x4+3x4_35

2!=鹏=~一口"24

T2

4a+2b+c=—=—

S23

9a+3b+c=^-=^-,解得〃=:，/?=-]",=一'；

由题意得<

S364126

\()a+4b+c=—=—

S42

②用数学归纳法证明：〃22且〃wN*时，^-=an2+bn+c=—

1212

当〃=2时，S,一3一3-4126，故结论对〃=2成立,

-2

假设结论对〃=kN2«eN.成立，即,=3K；,2=（I）（；&+2）,

“1212

k!Tk/,0

生=1+l）!G=女工+（"1）（1+2+...+2）=4!7；+（女+1）20=叵+（+）

SA二（八1）区「（八1）!%"攵⑸+（k+l）一[+3

祭+（皿）（I）。八明⑺

______12

,&+1一.2

1+----------------1+-

1+2+•••+kk

（左-1）（32+2）+12&+12二3-+1次+10=（〃+2）（32+5）

W+j-*旷12（闻

”+1）-1][3（八1）+2]

12，

所以结论对n=k+\也成立，

故？=加+加+c=（〃-1）]（；〃+2）,对任意〃22,〃cN成立.

题型二：排列组合新定义

【典例2・1】（2025・高三•北京•阶段练习）设"为正整数,集合

A二3a二（KG，…4）}，4e{01},A=1,2,…,〃.对丁集合A中的任意元素。一（小巧，…，怎J和

月=（%，％」.•，%），定义或。，6）=归一%|十|巧一%|+…+|二一”|.

（1）当刀=4时,若a=（0,1,0,1）,6=（1,1,0,1）,直接写出全部使"3力=2/（4y）=3同时成立的A的元素

7;

⑵当〃=3时，设8是A的子集，且满足：对于9中的任意两个不同元素久⑶d（a,0N2.求集合A中元素

个数的最大值；

⑶给定不小丁2的，J设3是A的了集，且满足：对丁6中的任意两个不同的元素生#,4%/?）22,写出

一个集合8,使其元素个数最多，并说明理由.

【解析】（1）•.•。二（0,1,0,1）,"（%力=2

满足条件的/有

a0101

Y0000

0011

0110

1001

1100

1111

又/?=（1,1,0,1）,J（A/）=3

「•满足条件的/有

fl1101

0000

Y0011

0110

re｛（0,0,0,0）,（0,0,1,1）,（0」,1,0）｝（2）列出集合4的元素

000

001

010

011

100

101

110

111

•••B是A的子集，且满足：对于8中的任意两个不同元素a,1d(a,fi)>2

••・满足条件的集合3的元素的个数的最大值为4.

001

010

100

111

(3)vd(a,fl)>2

•••8中的元素应当含有奇数个1

若片2,则含有奇数个1的元素有C；=2个；

若片3,则含有奇数个I的元素有C；+《=4个；

若片4,则含有奇数个1的元素有C；+C；=8个；

若『5,则含有奇数个1的元素有1+1+以=16个；

当后3时，B={(0,0,1),(0,1,0|,(1,0,0),(1,1,1))

【典例2・2】(2025・高三・浙江•开学考试)一般地，〃元有序实数对师生,…M”)称为〃维向量.对于两个〃维

向量4=(4，生,…,4),〃=(4也,…也)，定义：两点间距离d=/一…+('-。”)2，利用

〃维向量的运算可以解决很多统计学问题.其中，依据“距离”分类是一种常用的分类方法：计算向量与每个

标注点的距离应，与哪个标准点F勺距离〃”最近就归为哪类.某公H对应聘员工的不同方面力量进行测试，

得到业务力量分值(％)、管理力量分值®)、计算机力量分值(6)、沟通力量分值3)(分值

《€1</£{1,2,3,4}代表要求度，|分最低，5分最高)并形成测试报告.不同岗位的具体要求见下表：

业务力量分值管理力量分值计算机力量分值沟通力量分值合计分

岗位

⑷3)3)⑷值

会计(1)215412

业务员

523515

(2)

后勤⑶235313

管理员

454417

(4)

对应的者的力量报告进行四维距离计算，可得到其最适合的岗位.设四种力量分值分别对应四维向量

£=(4,%，%，%)的四个坐标.

⑴珞这四个岗位合计分值从小到大排列得到一组数据，直接写出这组数据的第三四分位数；

(2)小刚与小明到该公司应聘，已知：只有四个岗位的拟合距离的平方月均小于20的应聘者才能被招录.

(i)小刚测试报告上的四种力量分值为瓦=(4,3,2,5),将这组数据看成四维向量中的一个点，将四种职业

1234的分值要求看成样本点，分析小刚最适合哪个岗位;

(ii)小明」经被该公司招录，其测试报告经公司计算得到四种职业1、2、3、4的推举率(p)分别为

141391(d2、

”木，・下)=/、，，"，，.，试求小明的各项力量分邕

43434343(4+/+《；+"；)

【解析】(1)将四个岗位合计分值从小到大排列得到数据12,13,15,17,

又/=np=4x0.75=3,所以这组数据的笫三四分位数为生尹=16.

(2)(i)由图表知,会计岗位的样本点为4=(2,1,5,4),则环=(2-4)2+(1-3)2+(5-2)2+(4-5)2=18,

业务员岗位的样本点为A=(5,2,3,5),则片=(5-4)2+Q_犷+(3-2>+(5-5>=3,

后勤岗位的样本点为A=(2,3,5,3),则4=(2-4-+(3-3尸+(5-2尸+(3-5)2=17,

管理员岗位的样本点为氏=(4,5,4,4),则点=(4-4>+(5-3)2+(4-2-+(4-5-=9,

所以出<&<4<4,故小刚最适合业务员岗位.

141297J2

(ii)四种职业1234的推举率(p)分别为GEAR且3

4D-DClI•CI十"彳■<

d;-

14

d;+d;+d;+dj一d；=—(d；+d；+d^+d-)

43

d；-13片=»(1：+%+4+4)

一

d-+d；+d；+d：

43得到

所以9

d；-一d；=Md；+d；+d；+d：)

d[+d；+d；+d：473

一

2

-43d：=—(J1+d；+d；+d：)

又d；(〃G{1,2,3,4))均小于20,所以d；+d；+d；+d：<80,且d；GN*(〃e{1,2,3,4}),

故可得到d；=14,片=13,片=9,d：=7,

设小明业务力量分值、管理力量分值、计算机力量分值、沟通力量分值分别为《4c,d，且a/,Gd€N"

I<a,b,c,d<5,

依题有(〃_2)2+S_l)2+(c―5)2+(d_4)2=42=]4①，

(«-5)2+(Z?-2)24-(c-3)2+(J-5):=J；=13@,

(a—2)2+S—3)2+(c-5)2+(d-3)2=d；=9③，

(4-4)2+(力-5)2+(c-4)2+(1-4)2=d：=7(4),

由①-③得，

2

(4—2)2+3—1)2+(C—5)2+(d—4)2一[(4—2)2+(Z,_3)2+(°-5)2+(67-3)1=14-9=5,

整理得：2b-(1=3,

Z?=2,J=1

故有〃=3,d=3三组正整数解，

b=4,d=5

对于第一组解，代入④式有(a-4/+9+(c-4)2+9=7,不成立；

对于其次组解，代入①式有(。-2『+(。-5)2=4,

a=4[a=2

解得〈或「代入②④式均不成立；

<?=5[c=3

对于第三组解，代入②式有(〃-5『+«-3)2=9,

a=2

a=2b=4

解得，。，代入①@③④均成立，故|;

c=3c=3

4=5

故小明业务力量分值、管理力量分值、计算机力量分值、沟通力量分值分别为2,43,5.

题型三：概率新定义

【典例3・1】(2025・浙江•一模)混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，消灭的一个创新病毒

检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的全部人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该

混管检测的人中至少有一人为阳性.假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为

N

目前，我们接受K人混管病毒检测，定义成本函数/(X)=^+KX,这里X指该组样本N

K

个人中患病毒的人数.

⑴证明：E[/(X)]Z2)-N；

(2)若0<“<KT4,l()WKK20.证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中或许率恰有一人

为阳性.

【解析】(1)由题意可得X满足二项分布X~8(N,p),

由EeX+〃)=aE(X)+b知，E[f(X)]=q+K-E(X)=t+K-pNN2〃-N,当且仅当上=即时取等

KKK

号；

(2)记》=P(混管中恰有I例阳件I混管检测结果为阳忤).

…(混管中恰有，・例阳性)=C"(1-〃尸，i=0J…,K,

令力(x)=ev-x-l,-2x<xv2x1(厂3,

则〃(x)=e'-l,

当2x10-3,0)时，//(x)<0,〃(x)为单调递减，

当x«0,2xl(r3)时，/«x)>o,力⑴为单调递增，所以〃(x)N%(O)=O,

且A(—2xlO-3)=e-2"M'_(_2X1O-3)_]HO,//(2xlO_3)=e2x,oi-(2xlO-3)-l«0,

所以当-2xl(T3Vx<2x10-3,e，-x-la0即e'ex+1，两边取目然对数可得xuln(x+l),

所以当0<〃<10-4,10WKW20时，

所以(1一〃)"=/皿0通=\—Kp,

—PKp(l-/?)A'

则P=—―4-

1-(1-P)AI，」d（I）〃

故某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中或许率恰有一人为阳性.

【典例3・2】（2025•辽宁・模拟猜测）条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念.近年来，随着人们

对随机现象的不断观看和争辩，条件概率和条件期望已经被广泛的利用到日常生产生活中.定义：设X,r

是离散型随机变量，则X在给定大事y=1y条件下的期望为

v

E（x|y=y）=力夕p（x=x/y='=%.P（JJ）,其中国程…，■为X的全部可能取值集合，

f-1/-I一刀

「（'=人丫=），）表示人事—二炉与人事"〉’=尸嘟发生的概率.某射击手进行射击训练，每次射击击中日

标的概率均为P（0</><1）,射击进行到击中目标两次时停止.设4表示第一次击中目标时的射击次数，"

表示其次次击中目标时的射击次数.

⑴求夕(4=2,〃=5),尸何=5)；

⑵求网司"=5),网轴=〃)(〃22).

【解析】(I)由题设,P(g=2〃=5)=("〃)〃(l-M(l-p)p=(S/,

"7=5)=C：(l-〃)”2=4(1-〃))2.

⑵由题设，.…)=玄.警祭…爷警U、警察

+3、4网/Mx%："/)1235

=+++1=；

P(〃=5)P(fj=5)4442

同（1）,。（，7=〃）=。3（1-〃）”»=（〃一1）（1一P（€卜7=〃）=（1—〃）I'"'P2，

所以七@77=〃）=»*勺”—?]=3+告+~+^^+1（〃-1）（沟十Dn.

MP（〃=〃）n-\n-\n-\=-----------------=~

【变式3・1】（2025•福建漳州•一模）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列，发送每个信号数字之

间相互独立.由于随机因素的干扰，发送的信号。或1有可能被错误地接收为1或（）.

⑴记发送信号变量为X,接收信号变量为y,且满足p（x=o）=；,P（y=i|x=o）=|,

p（r=o|x=i）=l,求尸（y=0）；

On

(2)当发送信号。时，接收为0的概率为定义随机变量〃的“有效值”为“(〃)=-X尸(〃=%)也夕("=须)

4I=I

(其中为是〃的全部可能的取值，i=12…发送信号“000”的接收信号为“y%%”，记g为弘,%，力

三个数字之和,求百的“有效值”.(lg3no.48,lg2«0.30)

12

【解析】(i)由题意可知：P(X=I)=I-P(X=O)=-,p(y=oix=o)=i-p(y=nx=o)=-,

23

所以p(y=o)=0(y=oix=o)p(x=o)+p(y=o|x=i)p(x=i)=：x!+：x；=3.

(2)由题意可知：当发送信号0时，接收为0的概率为3:，接收为1的概率为1:，

44

可知：J的可能取值有0，1,2,3,

则叫。)=用唱倒＞1)=C砥W号

Pg)=C*xgj啥必=3)=(*4

“…，—,〃八f27.2727,279.91,1A

可得4的“有效值''"(4)=一Tv1gTT+TT^TT+TT^TT+TTteTT

(6464646464646464)

-54QA145

=-(3怆3-6182)+^^2183—6182)-^^2=-1g3+61g2

764T6464JI7o7

45

x0.48+6x0.30=0.45,

16

即《的“有效值”约为0.45.

题型四：统计方法新定义

【典例4-1](2025•全国•模拟猜测)某校20名同学的数学成果％(i=l,2,…,20)和学问竞赛成果

M(i=L2,…,20)如下表:

同学编号i12345678910

数学成果工100999693908885838077

学问竞赛成果£29016022020065709010060270

同学编号i11121314151617181920

数学成果工75747270686660503935

学问竞赛成果M4535405025302015105

计算可得数学成果的平均值是5=75,学问竞赛成果的平均值是9=90,并且2(%-胃)2=6464,

/=1

2020

£E-田2=149450,XG-可加-刃=21650.

r=l

⑴求这组同学的数学成果和学问竞赛成果的样本相关系数(精确到0.01).

(2)设NwN',变量X和变量》的一组样本数据为｛a，X)l，=l,2,…,N｝,其中苍(，=1,2,…,N)两两不相同,

川=1,2,…,N)两两不相同.记阳在=2，…,N｝中的排名是第舄位,升在｛其|〃=1,2,…,N｝中的排

名是第5位，i=l,2,…,N.定义变量工和变量y的“斯皮尔曼相关系数”(记为P)为变量X的排名和变量

y的排名的样本相关系数.

6N

⑴记4=R,—E，i=l,2,…,N.证明：P="附'

(ii)用(i)的公式求这组同学的数学成果和学问竞赛成果的“斯皮尔曼相关系数”(精确到0.01).

⑶比较(1)和(2)(ii)的计算结果，简述“斯皮尔曼相关系数”在分析线性相关性时的优势.

Vfx,-J)(yz-y)

注：参考公式与参考数据.)右以―

76464x149450=31000.

也”那2人刃2』6

V1=1/=1

【解析】(1)

由题意，这组同学数学成果和学问竞赛成果的样本相关系数为

2("可(y-刃

』二|2165°—1650〜o'。

回Tlo"

可5(%一刃76^64x1495031000

Vr=lM

(2)(i)证明：由于｛4｝和｛>｝都是1,2,L,%的一个排列，所以

NN

之用=力S=N(N+1)

r=1r=12

»N弋=N»：=A(N+1)(2N+I)

i=ii=l~6~

N+l

从而｛K｝和｛S,｝的平均数都是R=S

—

N〜NNNN2

汇(凡N(A/+1)(2N+I)A/(/V+l)_N(N+1)(N-1)

因比，

i=\i=li=\i=lf=l6412

同理可得加f匕如空0.

i-l12

由于sj'z[(4-R-(s-9]=Z(K-町2Z(K-阴(s—亍)

i=lr=lf=1

=2.N(N+D("D_2次(a一斤心

12J=i

无心-9N(N+*”£d：6N

所以"离⑻序T二迎晋4=」研刁中,

(ii)由题目数据，可写出《与2的值如下:

同学编号i12345678910

数学成果排名凡12345678910

学问竞赛成果排名/p>

同学编号i11121314151617181920

数学成果排名叫11121314151617181920

学问竞赛成果排名加12141311161517181920

所以N=20.并且£寸=9x()2+4x「+3x2?+2x32+1x4?+1x8?=114.

1-1

因此这组同学的数学成果和学问竞赛成果的斯皮尔曼相关系数是

p=\——&―rxll4®0.91

20(202-1)

(3)答案①：斯皮尔曼相关系数对于特别值不太敏感，假如数据中有明显的特别值，那么用斯皮尔更相

关系数比用样本相关系数更能刻画某种线性关系；

答案②：斯皮尔曼相关系数刻画的是样本数据排名的样本相关系数，与具体的数值尢关，只与排名有

关.假如一组数据有特别值，但排名照旧符合肯定的线性关系，则可以接受斯皮尔曼相关系数刻画线性关

系.

【典例4・2】(2025•全国•模拟猜测)冰雪运动是深受同学宠爱的一项户外运动，为了争辩性别与同学是否

宠爱冰雪运动之间的关系，从某高校男、女生中各随机抽取100名进行问卷调杳，得到如下列联表

(/?Z<40,//ZGN).

宠爱不宠爱

男生80-/n20+/n

女生60+〃?40-m

(1)当相=0时，从样本中不宠爱冰雪运动的同学中，按性别接受分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中

随机抽取3人调研不宠爱的缘由，记这3人中女生的人数为g,求g的分布列与数学期望.

（2）定义/=2（%一%）（24其3,24J<3j；jeN）,其中心为列联表中第i行第/列的实际数据，叫,

%

为列联表中第i行与第/列的总频率之积再乘以列联表的总额数得到的理论频数，如4.2=80-/〃，

B2.:=—X—x200=70.基于小概率值。的检验规章：首先提出零假设”。（变量X,y相互独立），然

ZOU

后计算K2的值，当六之七时，我们推断”。不成立，即认为X和y不独立，该推断犯错误的概率不超过

否则，我们没有充分证据推断乜,不成立，可以认为x和y独立.依据K2的计算公式，求解下面问

题：

①当〃?=0时，依据小概率值。=0.005的独立性检验，分析性别与是否宠爱冰雪运动有关？

②当〃ZV10时，依据小概率值a=0.1的独立性检验，若认为性别与是否宠爱冰雪运动有关，则至少有多少

名男生宠爱冰雪运动？

附：

a0.10.0250.005

2.7065.0247.879

【解析】（1）当〃?=0时，用分层抽样的方法抽取的不宠爱冰雪运动的6人中，男生有2人，女生有4

人，

由题意可知，看的可能取值为1,2,3.

=1）=詈弓，―）率=|,%=3）=等4

%

。的分会列为

（2）①零假设为〃°：性别与是否宠爱冰雪运动独立，即性别与是否宠爱冰雪运动无关联.

当〃?=0时，4.2=80,%=70,4.3=20,5^=0.5x0.3x200=30,

A二=60,832=0.5x0.7x200=70,4”40,M3=0.5x0.3x200=30,

（80-70）2（20-301（60-70）2（40-30）2_200

―70+3070+30~~2A~«9.524.

9.524>7.879=x0005,

J依据小概率值a=0.005的独立性检验，我们推断，。不成立，即认为性别与是否宠爱冰雪运动有关联,

此推断犯错误的概率不超过0.005.

与“_（8°一+（20+〃?-30）2+（60+加一70）2+（40—〃?一30『_2（10-/«）2

‘-70+30+70+30-~21

由题意可知，2（1（；'〃）22.706,整理得（10—机）飞28.413.

又m€N,m<10,m<4,w的最大值为4.

乂80-4=76,・••至少有76名男生宠爱冰雪运动.

【变式4・1】（2025・高三•北京・期末）在测试中，客观题难度的计算公式为巳=备，其中2为第i题的难

N

⑵从抽样的20名同学中随机抽取2名同学，记这2名同学中第5题答对的人数为X,求X的分布列和数

学期望；

⑶定义统计量匕）2+/-6）2+—+（匕-月）2],其中邛为第i题的实测难度，C为第i题的预估难度

n1

（i=12…规定：若S<0.05,则称该次测试的难度预估合理，否则为不合理.推断本次测试的难度预

估是否合理.

4

【解析】（1）由于20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为4=0.2,

所以估量240人中有240x0.2=48人实测答对第5题.

（2）X的可能取值是0,1,2.

P（X=O）=%=乜；p（x=l）=旦叁=%；P（X=2）=-^-=—.

C；o19,"CM95'iJ95

X的分布列为：

X012

12323

p

199595

123232

EX=Ox—+lx—+2x—=-.

1995955

(3)第I题的实测难度为为=().8,同理可得：第2题的实测难度为玲=0.8,

1414

第3题的实测难度为药=0.7,第4题的实测难度为元=0.7,第5题的实测难度为0.2,

222

故S=」[(0.8-0.9)+(0.8-OS)?+{0.7_07)z+(0>7_o.6)+(0.2-0.4)]=0.012.

5

由于5=0.012<0.05,

所以，该次测试的难度预估是合理的.

题型五：信息埼问题

【典例5・1】(2025・高三・河北•阶段练习)信息嫡是信息论之父香农(S加定义的一个重要概念，香农

在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排解了冗余后的平均

信息量称为“信息燧”，并给出了计算信息端的数学表达式：设随机变量X全部可能的取值为

且P(X=i)=p,>0(i=l,2,・•・，〃)，£〃,=1,定义X的信息嫡〃(X)=-£〃Jog2〃,.

(1)当〃=1时，计算“(X)；

(2)若=…,〃)，推断并证明当〃增大时，"(X)的变化趋势；

n

(3)若〃=2/〃(meN)随机变量y全部可能的取值为1,2,…㈤，且?(丫="=匕+0»1。=1,2,…,〃。，证

明:H(X)>H(Y).

【解析】(1)当〃=1时，则i=所以，(X)=-(lxlog21)=0

(2)"(X)随着〃的增大而增大.

当Pj=』(i=12…，江则〃(X)=一(一•log2一]x〃=-log2-=log,7?,

n\n"nJ~n

设f5)=log2〃，〃£N”,则y(/i+l)-/(n)=log2(«+l)-log2n=Iog2>0,

因此"(X)随着〃的增大而增大.

(3)证明：若〃=2〃G〃eN)随机变量y全部可能的取值为12…刈，且

尸"=")=〃,+〃2H()=1，2,…

2m2mi

"(X)=•log?Pi=•log?—

»=l/=lPi

,1.1,1.1

=P\'l°g2—+〃2'l°g2-+…+P2w-I.10g2-------+P2m.log2一.

PlPlPlm-\P2m

"(y)=(Pl+/%”).log2~~Z—+(〃2+〃2吁J.l°g2—7------+•••+(〃,”+P,”+J.log?-7—

+

PlPlmP2+P2a〃,”+P”,+l

由于°<月+P2”田T<1(i=1，2…m)，故log?-J------->°

Pi

故”（丫）>8・log?—一+/AlOgj-------------+--+•l°g2-------------+.l°g2—；一，

P.+几,“Pl+Pl+Pln,-XPl+〃2,“

!

由于Pi>0（/=1,2,..-,2/77）,所以,>————>0,

'7PiPi+P2m+I

所以>og2—>10g2----------------,所以2•log?—>A-log2----------------,

PiPi+P2tn+IP,P,+P2…

所以〃（x）>”（y）.

【典例5・2】（2025・高三・河北•期末）在信息论中，燧（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均

量，又被称为信息嫡、信源嫡、平均自信息量.这里，“消息''代表来自分布或数据流中的大事、样本或特征.