经济应用数学简版

第1章

函数、极限与连续目录§1.1函数§1.2函数的极限§1.3函数的连续性§1.4利息函数§1.1函数1.1.1函数的概念及其表示法定义1

设和是两个变量，是给定的数集，如果对于每个，变量按照某个对应法则总有一个唯一确定的数值和它对应，则称是的函数，记作．函数二元函数定义2

设是3个变量，当在一定范围内任意取定一对值时，若按照某一对应法则，有唯一确定的值与之对应，则称是的二元函数，记作．二元和二元以上的函数统称为多元函数．§1.1函数1.1.2复合函数、初等函数与分段函数基本初等函数①常数函数 ；②幂函数 ；③指数函数 ；④对数函数 ；⑤三角函数；⑥反三角函数§1.1函数1.1.2复合函数、初等函数与分段函数定义3

设是的函数，而又是的函数，如果的值域与的定义域的交集非空，则通过中间变量构成的函数，称为由及复合而成的关于的复合函数，记为，其中是自变量，是中间变量．由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除四则运算和有限次复合运算得到的能用一个公式表达的一切函数统称为初等函数．初等函数复合函数§1.1函数1.1.3经济与商务中的几个常用函数定义4

当定义域内自变量取不同的值时，函数要用两个或两个以上的解析式表示，这类函数称为分段函数．成本函数分段函数成本函数供给函数收益函数与利润函数在实际中也常见某些非初等函数，如分段函数和隐函数等．§1.2函数的极限1.2.1函数极限的直观描述1．当

时，函数

的极限定义1

如果随着自变量的无限增大，函数无限趋近于某个确定的常数，则称常数为函数当时的极限，记为或．定义2

如果或时，函数无限趋近于某个确定的常数，则称为函数当（或）时的极限，记为

或．由定义容易得出以下结论：．§1.2函数的极限1.2.1函数极限的直观描述2．当

时，函数

的极限定义3

设函数在

趋近于时，函数的函数值无限趋近于某个确定的常数，则称为函数当时的极限，记为或．函数在极限存在的充分必要条件是函数的左、右极限都存在且相等3．无穷小量定义4

在自变量

的某一变化过程中，若函数的极限为0,即，则称为在该变化过程中的无穷小量，简称无穷小§1.2函数的极限1.2.1函数极限的直观描述性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小．3．无穷小量性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小．性质3常数与无穷小的乘积仍是无穷小．性质4有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小．4．无穷大量定义5

在自变量的某一变化过程中，若函数值的绝对值无限增大，则称为在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记．§1.2函数的极限1.2.2极限性质和运算法则1．极限的性质定理1（唯一性）如果函数在某一变化过程中有极限，则其极限唯一．定理2（有界性）若函数在时存在极限，则必存在的某一邻域，使得在该邻域内有界．定理3（保号性）若在的左右近旁，恒有（或）且，则（或）．定理4（夹逼准则）如果对于某邻域内的一切（可除外），有，且，则§1.2函数的极限1.2.2极限性质和运算法则2．极限的运算法则定理5

若，，则（1）；（2）；（3）．§1.2函数的极限1.2.3两个重要极限1．（型）2．（型）1.2.4无穷小的比较定义6

设是在自变量同一变化过程中（设为）的无穷小，即，．（1）如果，则称α是比β高阶的无穷小，或称β是比α低阶的无穷小，记作．§1.2函数的极限1.2.4无穷小的比较定理6（等价无穷小替换性质）设在某一变化过程中是无穷小，且，存在，则．推论（等价无穷小传递性质）若，则．（2）如果（为不等于零的常数），则称α是β的同阶无穷小．如果，则称α与β等价，记作．§1.3函数的连续性1.3.1连续函数的概念定义1

设函数在点及其邻域有定义，如果当时，函数的极限存在，且等于在点处的函数值，即，则称在处连续．定义2

如果函数在区间上的每一点都连续，则称在区间上连续．如果此时还有，则称在上连续，如右图所示．§1.3函数的连续性1.3.2间断点定理1（基本初等函数的连续性）

基本初等函数在其定义区间内是连续的．函数在处不连续．此时称点为函数的间断点．1.3.3初等函数的连续性定理2（四则运算法则）

如果函数在点处连续，则，

在点处也连续．§1.3函数的连续性1.3.3初等函数的连续性定理3（复合函数的连续性）

如果函数在点处连续，且，而函数

在点处连续，那么复合函数在点处也是连续的，即．定理4（初等函数的连续性）

初等函数在其定义区间内是连续的．§1.3函数的连续性1.3.4闭区间上连续函数的性质定理5（最值性质）如果函数在闭区间上连续，那么函数在上一定有最大值和最小值．定理7（零点定理）如果函数在闭区间上连续，且

，

则在内至少存在一点ξ，使得．定理6（介值性质）如果函数在闭区间上连续，M和m分别为在上的最大值和最小值，那么对于任何介于M和m之间的常数c，在内至少存在一点ξ，使得．*§1.4利息函数1.3.4闭区间上连续函数的性质设本金为

A，计息期内的利率为i

，计息期数为n

，则n期的利息为本利和为单利计算*§1.4利息函数1.3.4闭区间上连续函数的性质用连续复利计算n年后的本利和是名义利率的指数函数，其计算公式为复利计算连续复利计算设本金为

A，计息期内的利率为i

，计息期数为n

，则n期的利息为本利和为第2章

导数与微分目录§2.1导数的概念§2.2函数的求导法则§2.3微分§2.4中值定理和洛比达法则§2.5函数的单调性、极值和最值§2.6函数曲线的凹凸性与拐点§2.7函数图像的描绘§2.8经济与商务中的边际函数与弹性函数§2.1导数的概念2.1.1两个例子1．变速直线运动的瞬时速度2．切线斜率问题如右图所示§2.1导数的概念2.1.2导数的定义定义1设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应改变量如果当时，的极限存在，即，则称此极限值为函数在点处的导数，并称函数在点处可导，记作或或或．反映的是函数在点处的变化速度，称为函数在点的变化率．§2.1导数的概念2.1.2导数的定义由导数定义求导数的方法可概括为三步：定义2若函数在区间内每一点x处都可导，则称函数

在区间内可导．此时，对于区间内每一个x值，都有一个导数值与之对应，这就确定了一个新的函数，称为函数的导函数，记作或或或或．显然，函数在点处的导数就是导函数在点处的函数值，即．（1）求函数改变量：；（2）作比值：；§2.1导数的概念2.1.2导数的定义（3）取极限：求当时的极限，即

．2.1.3导数的意义物体做变速直线运动时，其路程关于时间的函数在处的导数的物理意义就是运动物体在时刻的瞬时速度．曲线在点处导数的几何意义就是该曲线过点

处的切线斜率．§2.1导数的概念2.1.4函数可导性与连续性的关系如果函数在点x处可导，即存在，则，这说明函数在点x处连续．所以，如果函数在某点处可导，那么函数在该点处必连续．反之，函数在某点处连续，在该点处不一定可导．可导必连续,连续不一定可导2.1.5基本初等函数的导数公式§2.1导数的概念2.1.5基本初等函数的导数公式§2.2函数的求导法则2.2.1函数和、差、积、商的求导法则定理1

设函数与在点x处均可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，且有以下法则：特别地，对于（2），如果（C为任意常数），则；对于（3），如果，则§2.2函数的求导法则2.2.2复合函数的求导法则定理2

若在点x处可导，在对应点u处可导，则复合函数在点x处可导，且有

或，即复合函数对自变量x的导数，等于y对中间变量u的导数乘以中间变量u对自变量x的导数．复合函数的求导法则还可以推广到有限次复合函数中．设，则复合函数对x的导数是．以上复合函数求导公式又称为链式法则.§2.2函数的求导法则2.2.3隐函数求导隐函数求导的两种方法：（1）若隐函数能化为显函数，则用求导法则和公式求导；（2）对隐函数求导的一般方法是：将方程的两边分别对求导数，同时将y看作是x的函数，若遇到y，利用复合函数的求导法则，先对y求导，再乘以y对x的导数，得到一个含有的方程，然后从方程里面解出．2.2.4高阶导数上述所介绍的导数都是一阶导数．由于一阶导数仍然是x的函数，若还可以对x求导数，则称的导数为原来函数的二阶导数，记作或或或．按上述方法可以定义

n阶导数．通常称二阶及二阶以上的导数为高阶导数.§2.3微

分2.3.1微分的概念定理1

设函数在x处可导，对于自变量在x处的改变量，函数

相应的改变量可表示为，其中，为主要部分，为次要部分．定义1

设函数在x处可导，称的主要部分为函数在点x处的微分，记作或，即．对于函数，由于，说明自变量的微分就是它的改变量，即．这样，可把微分写成如下形式：．函数在点处的微分为：．§2.3微

分2.3.2微分基本公式及其运算法则1．微分基本公式§2.3微

分2.3.2微分基本公式及其运算法则2．微分四则运算法则设，则复合函数的导数为．所以复合函数的微分为．3．复合函数的微分法由于，因此上式也可以写成．由此可见，无论u是自变量还是中间变量，函数的微分形式保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．§2.4中值定理和洛比达法则2.4.1中值定理1．罗尔（Roll）中值定理定理1（罗尔中值定理）如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间端点处的函数值相等，即，那么在开区间内至少存在一点ξ，使得，如右图所示．2．拉格朗日（Lagrange）中值定理定理2（拉格朗日中值定理）如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在开区间内至少存在一点ξ，使得，如右图所示．§2.4中值定理和洛比达法则2.4.1中值定理推论1

若函数在区间内可导，且，则在内，是一个常数．推论2

若函数和在区间内可导，且对任意，都有，则在内，．定理3（柯西中值定理）如果函数和在闭区间上都连续，在开区间内都可导，且，那么在开区间内至少存在一点ξ，使得

§2.4中值定理和洛比达法则2.4.2洛比达法则定理4如果函数和满足下列3个条件：这种在一定条件下，通过对分子、分母分别求导来计算未定式极限的方法，称为洛比达法则．(2)在点的某个邻域（点可以除外）内，和都存在，且；§2.5函数的单调性、极值和最值2.5.1函数的单调性及判别法定理1

设函数在上连续，在内可导，则（1）若在内，则函数在上单调增加；（2）若在内，则函数在上单调减少．2.5.2函数的极值及判别法定义1设函数在点的某邻域内有定义，若对该邻域内的任意点，恒有，则称是函数的一个极大值，称为函数的极大值点；反之，如果对此邻域内任一点

，恒有，则称为函数的一个极小值，称为函数的极小值点．函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．§2.5函数的单调性、极值和最值2.5.2函数的极值及判别法定理2（极值存在的必要条件）

如果函数在点处有极值，且存在，则使的点称为函数的驻点，如右图所示．定理3（极值的第一判别法）设函数在点的某邻域内连续，且在此邻域内（可除外）可导．（1）如果当时，，而当时，，则在取得极大值，如右图所示．§2.5函数的单调性、极值和最值2.5.2函数的极值及判别法定理4（极值的第二判别法）设函数在点处具有二阶导数，且，．（2）如果当时，，而当时，，则在取得极小值，如右图所示．（3）如果在的两侧的符号不变，则不是的极值点，如右图所示．（1）若，则是函数的极小值点；（2）若，则是函数的极大值点．§2.5函数的单调性、极值和最值2.5.3函数的最大值与最小值最大收益一般情况下，把函数所有可能的极大值或极小值与区间的端点函数值与相比较，这些数值中的最大者就是函数在

上的最大值，最小者就是函数在上的最小值．2.5.4最值在经济与商务中的应用最低成本最大利润§2.6函数曲线的凹凸性与拐点2.6.1曲线的凹凸性与拐点定义1

如果在某区间内，曲线弧总是位于其切线上方，则称曲线在这个区间上为凹的（也有称为向上凹）．如果曲线弧总是位于切线下方，则称曲线在这个区间上为凸的（也有称为向下凹），如右图所示．定理1

设函数在区间内具有二阶导数．（1）如果，恒有，则曲线在内为凹的．（2）如果，恒有，则曲线在内为凸的．定义2

曲线上凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点．§2.6函数曲线的凹凸性与拐点2.6.2凹凸性和拐点在经济与商务中的应用设某企业生产一种产品的成本函数为，其中，x表示产品数量，表示产品数量为x时所需要的成本（元）．边际成本函数为．由平均成本函数的定义有步骤1

分析：令，得到．所以，的驻点为步骤2

分析：§2.6函数曲线的凹凸性与拐点2.6.2凹凸性和拐点在经济与商务中的应用步骤3

列表分析．步骤4

画略图．x100-0++++

凹极小值凹右图可以验证经济学中的一个重要原理：最小平均成本总是出现在平均成本与边际成本相等情形中．§2.7函数图像的描绘2.7.1曲线的渐近线（1）确定函数的定义域，讨论函数的奇偶性、周期性；定义1

设曲线上的动点，如果时，动点与某条直线L之间的距离趋于零，则称L为该曲线的渐近线．渐近线可分为垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线．2.7.2函数图像的描绘（4）列表讨论函数的单调性、极值、凹凸性和拐点；（5）讨论曲线有无渐近线；（6）求出曲线与坐标轴的交点及其他辅助点，描点作图．（2）求出函数的一阶导数和二阶导数；（3）求出方程和在定义域内的全部实根，并求出使

和不存在的点，用这些点将函数定义域划分为几个区间；§2.8经济与商务中的边际函数与弹性函数2.8.1边际函数设函数可导，则导函数在经济与商务中又称为边际函数，称为在处的边际函数值．2.8.2弹性函数定义1

设函数在点处可导，若时，函数的相对改变量与自变量的相对改变量之比的极限（即）存在，则称此极限为在处的相对变化率，也就是相对导数，或称为

处的弹性，记作或．若在任意x处可导（实际问题中，一般都满足这个条件），则称为在x处的弹性函数．§2.8经济与商务中的边际函数与弹性函数2.8.3需求弹性与供给弹性1．需求弹性（1）若，即需求量变动的幅度小于价格变动的幅度，此时称为弹性不足．在经济学中，对需求价格弹性分析是对其绝对值进行讨论的，并根据绝对值大小，将需求价格弹性划分为弹性不足、单位弹性、弹性充足3种情况．需求函数已在前面介绍过，可表示为，其中P为价格，Q为需求量．需求量在某价格处的弹性大小为

．§2.8经济与商务中的边际函数与弹性函数2.8.3需求弹性与供给弹性设供给函数为，其中P为价格，Q为供给量，则供给量

在某一价格上的弹性大小为

．2．供给弹性（2）若，即需求量与价格以同一比例变动，即价格涨跌1%，引起需求量减增1%．此时称为单位弹性．（3）若，即需求量变动的幅度大于价格变动的幅度，此时称为弹性充足．§2.8经济与商务中的边际函数与弹性函数2.8.4边际收益与需求弹性的关系当时，，R递增，即价格上涨会使总收益增加，价格下跌会使总收益减少．当时，，

R取得最大值．当时，，R递减，即价格上涨会使总收益减少，而价格下跌会使总收益增加．第3章

不定积分与定积分目录§3.1不定积分§3.2不定积分的换元法和分部积分法§3.3定积分的概念与性质§3.4微积分基本定理§3.5定积分的换元积分法与分部积分法§3.6无限区间上的广义积分§3.7定积分在经济问题中的应用§3.8微分方程初步§3.1不定积分3.1.1不定积分的概念与性质1．不定积分的概念度2．不定积分的性质定义1

设是定义在某区间上的已知函数．若存在一个函数，对于在该区间上的每一点都满足：或，则称

是在该区间的一个原函数．定义2

函数的所有原函数称为函数的不定积分，记作

，其中，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量，“”称为积分号．（1）求不定积分与求导数或微分互为逆运算．§3.1不定积分3.1.1不定积分的概念与性质（2）（3）性质（3）表明：两个函数代数和的不定积分等于两个函数不定积分的代数和，该性质可以推广到任意有限多个函数代数和（差）的情形．3.1.2基本不定积分公式§3.1不定积分3.1.2基本不定积分公§3.1不定积分3.1.3不定积分的几何意义若是的一个原函数，则曲线

称为的一条积分曲线，将其沿y轴方向任意平行移动，就得到积分曲线族．在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，这些切线都是相互平行的，如右图所示．不定积分在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程为．§3.2不定积分的换元法和分部积分法3.2.1不定积分的换元积分法1．第一类换元积分法求不定积分的主要步骤为选择新的变量，其中具有连续的导数．为选择好新的变量，往往把原不定积分被积表达式

中的一部分凑成微分的形式，以便使用基本公式；求出积分后，再还原为原积分变量，即

．§3.2不定积分的换元法和分部积分法3.2.1不定积分的换元积分法2．第二类换元积分法令，其中是连续可导的，以使积分化为能使用基本公式的形式．该类变量替换由于要求t关于x的表达式，所以还需存在反函数．这类积分法称为第二类换元积分法，即

．§3.2不定积分的换元法和分部积分法3.2.2不定积分的分部积分法使用分部积分法的关键是正确选择u和v’（或u和dv），选择的一般原则是：（1）v要容易求出；

（2）比更容易求出．函数有连续导数，由，得．两边求不定积分，得

为便于应用，上式可写成（分部积分公式）§3.3定积分的概念与性质3.3.1引例1．面积问题——求曲边梯形的面积．2．成本问题由连续曲线、直线及x轴所围成平面图形称为曲边梯形．其中，曲线称为曲边梯形的曲边，x轴上的闭区间称为曲边梯形的底边，如右图所示．以为例计算曲边梯形的面积A．某公司产品的成本变化情况满足如下关系式：

．试求当产品从300件增加到900件时，该公司所增加的成本C．§3.3定积分的概念与性质3.3.2定积分的概念定义1

设函数在区间上有界，任意用分点

把区间分成n个小区间，即．在每一个小区间上任取一点，作和．记小区间中最大区间长度为，如果当时，上述和式的极限存在，则称函数在区间上可积，并称此极限值为在区间上的定积分，记为，即．其中，称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量，区间称为积分区间，a与b分别称为积分下限与积分上限．§3.3定积分的概念与性质3.3.2定积分的概念关于定积分的定义，有以下几点说明．（1）在区间上连续的函数必定在区间上可积．（2）

．（3）在定义中曾假定，为今后应用方便，规定：①（换限变号）；②．（4），如右图所示．由定积分的几何意义不难得出下面的结论：设函数在对称区间上连续，则有（1）若为偶函数，则；（2）若为奇函数，则．§3.3定积分的概念与性质3.3.3定积分的基本性质性质1

两个函数代数和的定积分等于它们定积分的代数和，即

．性质2

被积函数的常数因子可以提到积分号外，即

．性质3

对任意点，有．性质4

若在区间上，，则．性质5

若在区间上，，则．§3.3定积分的概念与性质3.3.3定积分的基本性质性质6

若在区间上，有，其中m，M为常数，则．性质7（积分中值定理）如果在区间上连续，则在区间

上至少存在一点ξ，使得．对于积分中值定理，特别指出，其几何意义是在上至少存在一点ξ，使得以区间为底边、以曲线为曲边的曲边梯形的面积等于同底边而高为的矩形面积，如右图所示．函数在区间上的平均值为§3.4微积分基本定理3.4.1基本思路计算化为求曲线、直线及x轴所围成的曲边梯形的面积．曲边梯形的面积是x的函数，记为，即．通常称函数为变上限定积分，如右图所示．变上限定积分是被积函数的一个原函数．设的一个原函数为，则有．由知，．因此或．令，即求得定积分．§3.4微积分基本定理3.4.2微积分学基本定理定理1设函数在区间上连续，如果是的一个原函数，则．该公式称为牛顿-莱布尼茨公式，它揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分的联系，也为定积分的计算提供了有效的计算方法，即只需求出在区间上的一个原函数，然后计算即可．牛顿-莱布尼茨公式也可记为．§3.5定积分的换元积分法与分部积分法3.5.1定积分的换元积分法定理1设函数在区间上连续，函数在上单调且有连续导数，，则．上述公式称为定积分的换元积分公式．3.5.2定积分的分部积分法设函数为在区间上连续的导数，则有，移项得．两边求定积分得．化简得定积分的分部积分公式：．§3.6无限区间上的广义积分无限区间上的积分称为无限区间上的广义积分，也称无穷积分．定义1

设在上连续，取，则极限称为在无限区间上的广义积分，记作，即．若上式等号右端的极限存在，则称此无限区间上的广义积分收敛，否则称之为发散．类似地，定义在无限区间上的广义积分为．若上式等号右端的极限存在，则称之收敛，否则称之发散．函数在无限区间上的广义积分定义为．§3.7定积分在经济问题中的应用例1（利润问题）某公司每个月生产x台电视机，边际利润（美元）由下式给出：．目前公司每月生产1500台电视机，并计划提高产量，试求出每月生产1600台电视机时，利润增加多少？例2（收益问题）已知生产某产品x单位时，边际收益为（万元/单位），试求生产x单位产品时的总收益函数及平均单位收益函数，并求生产这种产品120单位时的总收益与平均收益．例3（平均供应价格）已知某商品的供应函数为其中,x为某商品供应量，P为该商品的价格（美元），试求在商品供应区间上的平均供应价格．§3.7定积分在经济问题中的应用例4（平均存货）假设某货物去年各月的存货量可用下式表达：．其中，t表示月份，表示t月份的存货量（吨）．试求去年第二季度的平均存货量．例5（有效时段）某娱乐公司把一种娱乐用品安装在一个公众活动的地点，分别用和表示该娱乐用品的成本函数与收益函数，其中t表示已安装使用的时间（年）．已知（单位：万元）．使成立的t值称为该娱乐用品有效时段，其几何意义如下图所示．§3.8微分方程初步3.8.1微分方程的概念定义1

含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．如果微分方程中的未知函数为一元函数，这种微分方程称为常微分方程；如果微分方程中的未知函数为多元函数，这种微分方程称为偏微分方程．这里主要介绍常微分方程的相关知识，简称为微分方程．定义2

微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶．如果微分方程的解中包含任意常数，且其独立任意常数的个数与微分方程的阶数相等，则称它为微分方程的通解．如果微分方程的解是完全确定的，即不含任意常数，就称它为微分方程的特解．定义3

如果把函数代入微分方程中，能使方程成为恒等式，则称函数为微分方程的解．§3.8微分方程初步3.8.2可分离变量的微分方程定义4

如果一个一阶微分方程能化成的形式，也就是说，微分方程可化成一端只含y的函数和dy的乘积，而另一端只含x的函数和dx的乘积，那么原方程就称为可分离变量的微分方程．可分离变量的微分方程的解法称为分离变量法．其步骤如下．（1）分离变量：；（2）两边求不定积分：，得通解：．其中分别为的一个原函数．§3.8微分方程初步3.8.3一阶线性微分方程定义5

微分方程（3–4）称为一阶线性微分方程，其中是已知函数．如果，则称方程（3–4）为一阶线性非齐次微分方程；如果，则称方程

（3–5）为一阶线性齐次微分方程．第4章

矩

阵目录§4.1矩阵的概念§4.2矩阵的运算§4.3矩阵的初等行变换与矩阵的秩§4.4逆矩阵§4.1矩阵的概念1．行矩阵只有一行（）的矩阵称为行矩阵，如例2中的价格矩阵．定义1

由个数排成的m行n列的矩形数表称为m行n列矩阵，简称矩阵．用大写字母表示，记作A或或．其中，表示矩阵A中第i行第j列元素§4.1矩阵的概念2．列矩阵3．零矩阵只有一列（）的矩阵称为列矩阵，如例3中的未知量矩阵

．所有元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作O．如等．§4.1矩阵的概念4．方阵5．对角矩阵在n阶方阵中，除主对角线上的元素外，其余元素均为0的矩阵称为n阶对角矩阵，如

．时的矩阵称为n阶方阵．在n阶方阵中，从左上到右下的对角线称为主对角线，其上元素称为主对角线上的元素．如例2中的销售量矩阵即为4阶方阵，其主对角线上的元素为．§4.1矩阵的概念6．单位矩阵7．三角矩阵主对角线下方的元素都为0的方阵称为上三角矩阵，如

．主对角线上元素都为1的n阶对角矩阵称为n阶单位矩阵，记作E或I，这是一个非常重要的特殊矩阵，如二阶单位阵

，三阶单位阵§4.1矩阵的概念8．阶梯型矩阵主对角线上方的元素都为0的方阵称为下三角矩阵，如

．上三角矩阵和下三角矩阵通称为三角矩阵．定义2

满足下列条件的矩阵称为阶梯型矩阵：（1）各个非零行（元素不全为零的行）的第一个非零元素（称为首非零元素）的列标随着行标的递增而严格增大；（2）所有零行（元素全为零的行）都在矩阵的最下方（如果有的话）．§4.1矩阵的概念例如，都是最简行阶梯型矩阵．定义3

满足下列条件的阶梯型矩阵称为最简行阶梯型矩阵：（1）所有首非零元素均为1；（2）所有首非零元素所在列的其他元素均为0．§4.2矩阵的运算4.2.1矩阵相等定义1

两个行数相等、列数相等的矩阵，如果对应位置上的元素均相等，即，那么称这两个矩阵相等，记作．4.2.2矩阵的加法和减法定义2

设，若，则称矩阵C为矩阵A与B之和（或差），记作，即．矩阵的加减法满足以下运算律：（1）；（2）；（3）．§4.2矩阵的运算4.2.3数乘矩阵定义4

设，若，则称矩阵C是矩阵A与矩阵B的乘积，记作．4.2.4矩阵的乘法定义3

设，k为任意一个常数，则称（即矩阵中每个元素都乘以k）为数k与矩阵A的数乘矩阵，记作矩阵的数乘运算满足以下运算律（其中k，μ为常数）：（1）；（2）；（3）．1．矩阵乘法的定义§4.2矩阵的运算4.2.4矩阵的乘法2．矩阵乘法的运算律矩阵的乘法满足如下运算律：（1）（2）（3）（4）3．方阵幂的运算定义5

设A是n阶方阵，将k个n阶方阵A连乘，所得到的积称为n阶方阵A的k次幂，记为．仍是n阶方阵．方阵幂的运算显然有下列性质：

．§4.2矩阵的运算4.2.5矩阵的转置定义6

设，将矩阵A的行换成同序数的列，这样得到的阶矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作，即由定义可知，转置矩阵具有如下性质：（1）（2）（3）（4）§4.3矩阵的初等行变换与矩阵的秩4.3.1矩阵的初等行变换如果对线性方程组实施下列变换：（1）将方程组中某两个方程的位置互换；（2）用一个非零的数乘以某个方程的两边；（3）用一个常数k乘以方程组中某一个方程，然后加到另一个方程上去．定义1

矩阵的初等行变换是指对矩阵进行如下3种变换：（1）位置变换：互换矩阵某两行的位置，用表示；（2）倍乘变换：用非零的常数k乘以矩阵中的某一行，用表示；（3）倍加变换：将矩阵中某一行乘以某个常数k后再加到另一行上，用表示．§4.3矩阵的初等行变换与矩阵的秩4.3.1矩阵的初等行变换若由矩阵A经过初等行变换后得到矩阵B，则称矩阵A与矩阵B是等价的，一般记为

．类似地可引入初等列变换的概念．将上面所述的行换成列，便可得矩阵初等列变换的定义，并分别记为矩阵的初等行变换和初等列变换，统称为矩阵的初等变换．4.3.2矩阵的秩定义2

矩阵经过有限次初等行变换后，变成阶梯型矩阵，其非零行的行数称为矩阵A的秩，记作．显然，若，则§4.3矩阵的初等行变换与矩阵的秩4.3.2矩阵的秩定理1任何满秩矩阵都能经过初等行变换化成单位矩阵．定义3

设A为n阶方阵，若，则称A为满秩矩阵（或非奇异的、非退化的）．

例如，等都是满秩矩阵．练习设矩阵，判断A是否为满秩矩阵，若是，将A化成单位矩阵．§4.4逆矩阵4.4.1逆矩阵的概念4.4.2逆矩阵的性质逆矩阵有以下性质（证明从略）：（1）若矩阵A可逆，则逆矩阵是唯一的．（2）若矩阵A可逆，则也可逆，且（3）若矩阵A

，B可逆，则．（4）若矩阵A可逆，则也可逆，且有定义1设A是n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得，则称方阵A是可逆的，并称B是A的逆矩阵，记为．同时，B也是可逆的，并且与A互为逆矩阵，记为．满秩矩阵与可逆矩阵之间有着紧密的联系，即n阶矩阵A可逆的充要条件是A为满秩矩阵，即矩阵A可逆§4.4逆矩阵4.4.3用初等行变换求逆矩阵下面将矩阵方程（A是满秩的方阵）写成：§4.4逆矩阵4.4.3用初等行变换求逆矩阵这一过程可用初等行变换来进行，即左边方程中的A通过初等行变换变成单位矩阵E时，右边方程中的单位矩阵E用同样的初等行变换变成矩阵A的逆矩阵．这样，可以将上述过程用矩阵的形式表示出来：对于任意的方阵A，都可以将进行初等行变换．当矩阵A中出现零行时，说明A不满秩，这时A是不可逆的，即不存在．当矩阵A能变成单位矩阵E时，那么右侧部分的单位矩阵E就变为矩阵A的逆矩阵了．第5章

线性方程组目录§5.1n元线性方程组§5.2线性方程组的一般解法§5.1n元线性方程组念一般地，由n个未知量m个线性方程组成的方程组

（5–1）称为n元非齐次线性方程组，其中系数和常数项都是已知数，为未知量．若令，则根据矩阵乘法和矩阵相等，可以用矩阵形式来表示线性方程组（5–1），即系数矩阵未知矩阵常数矩阵§5.1n元线性方程组念当时，即

（5–2）称为n元齐次线性方程组，它的矩阵形式为显然，它的增广矩阵与系数矩阵的秩是相等的．方程组的系数和常数项组成的矩阵称为增广矩阵．它能完全清楚地表示一个线性方程组．§5.2线性方程组的一般解法通过表5-1的对比，能够知道可知对增广矩阵作初等行变换相当于对线性方程组作同解变换．例解方程组．用消元法解线性方程组与把相应的增广矩阵作初等行变换进行对照，如教材表5-1所示．5.2.1同解方程组定理1

如果用初等变换将方程组的增广矩阵化成，那么方程组与是同解方程