二次根式的乘法与除法（知识解读+例题讲义+随堂检测）原卷版-2024人教版八年级数学下册

第02讲二次根式的乘法与除法

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部导航1考点清单

考点1：二次根式的定义与有意义条件

考点2：双重非负性的应用

考点3：二次根式性质的正向与逆向运用

考点4：房的化简

考点5：性质条件的辨析

用)导航2里难点

重点：

(1)双重非负性

(2)4条核心性质的灵活运用

2

(2)必与由)的区别

难点：

<1)含的字母后的化简

(2)非负性的综合应用

3"知识梳理.十7t

知识点1：二次根式的乘法法则

1.二次根式的乘法法则：Va-Vb=Vab(«>O,/?>0)

(二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变)

2.二次根式的乘法法则的推广

(1)Va-Vb-Vc=Vabc(a>07?0,c>0)

(2)aVbcVd=ac^MCh>>0),即当二次根式前面有系数0寸，可类比单项式乘

单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。

3.二次根式的乘法法则的逆用

而=瓜a>0,/?>0)(二次根式的乘法法则的逆用实为枳的算数平方根的性质)

4.二次根式的乘法法则的逆用的推广

Vabcd=Va-Vb-Vc•>0,/?>0,c>0,t7>0)

H题型精讲

【题型1二次根式的乘法运算】

【典例1】计算：

(1)V3xV5；(2)MxV27；⑶同xV7；(4)JIxV128.

【变式1】计算：遥x薪;

【变式2】计算:

(1)712x>/3.(2)71000xVol

(4)V24xV3.

⑶袅JI

【变式3】计算

(1)|V20x(-V15)x(-1V27)(2)2V码•：，32孙2(无之0,y<0)

可知识梳理

1**

知识点2：二次根式的除法法则

1.二次根式的除法法则

8

（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）

2.二次根式的除法法则的推广

Va+4b+&=&i+b+c(a>0,/?>0,c>0)

注意:

(1)a20,b>0时,,而喟才有意义;

（2）如果被开方数时带分数，应先化成假分数

讨题型精讲

【题型2二次根式的除法运算】

【典例2】计算：

（嚅⑵竽.

【变式1】化去下列各式分母中的根号：

（嗨⑵磊⑶焉（、＞°）⑷嬴（。＞。，8＞。）

【变式2】计算:

（l）V27a4^^a2（a＞0）：（2）W^+2＞0）.

【变式3】计算:

⑶6g+(-3灰).

【题型3二次根式的乘除法运算】

【典例3】计算：

⑴3加加届⑵电㈠词制器.

【变式1】计算：

(1)4715x273^-75.(2)夕+36x2百♦3夕.

【变式2】计算:户心部(”)

【变式3】计算：/ab?X(-/a3/j)+3器(b>0)

F彳知识梳理

知识点3：最简二次根式

1.最简二次根式的概念

(1)被开方数不含分母

(2)被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式

2.化简二次根式的一般方法

方法举例

将被开方数中能开得尽得因数或因式进行M=74^2=272

开方

若被开方数中含有带

口二房3二24

分数，先将被开方数V3V373^33

化成假分数

若被开方数中含有小

数，先将小数化成分VIDV10010

化去根号下的分数

母若被开方数时分式，1~5a__15a-3c_1~\5ac~_5ac

先将分式分母化成能小2〃7』2//.3c-旧〃"-6bc

转化为平方的形式,(a>0,b>0,c>0)

再进行开方运算

被开方数时多项式的要先为式分解k+Zxy+y==x+y

(x20,y20)

3.分母有理化

（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。

方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的

根号。

守题型精讲一

【题型4最简二次根式的判定】

【典例4】下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.』B.V9a2C.Vm34-m5D.y]x2+y2

【变式1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（：.

A.RB.V27C.V5D.V2

【变式2】下列式子中，属于最简二次根式的是()

A.V05B.yf24C.gD.y/13

【变式3】下列式子：@V7,(2)2,③炳,④/，⑤⑥，Q2+Q36,其中

最简二次根式有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【题型5化为最简的二次根式】

【典例5】化简:

(1)732:(2)(3)705；

【变式1】化简:

⑴/；⑶房;⑷京

【变式2】化简:

(1)772;(2)7780；(3)7375；

⑸借⑹带

【变式3】化简:

(1)712；(2)775：(3小

【题型6已知最简二次根式求参数】

【典例6】已知最简二次根式画二百与心可以合并，则力的值是.

【变式1】若夕与最简二次根式历”是同类二次根式，则。=

【变式2】若最简二次根式衍I和内乘积是有理数，则a=.

【变式3】若岳』是最简二次根式，则整数Q的最小值为.

「随堂检测

1.下列各式中，是最简二次根式的是（）

A.V03B.y/x+y3C.V24D.y/xy^

2.计算（3或y的结果是（）

A.6B.12C.18D.36

3.计算或x"的值为（）

A.2V2B.2遮C.3企D.2\[6

4.若或=Q,V20=则VO.016=()

A.abB.—C.lOabD.—ab

10010

5.化简：(1)V16=_______

(2)V12^V3=_______

6.交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是!；=16M.其

中u（单位：km/h）衣示车速，d（单位：m）表示刹车后车轮滑过的距离，/表示摩

擦因数.在某次交通事故中，测得d=10m,f=0.8,则汽车的车速是km/h.（结

果保留根号）

7.请写出一个正整数m的值使得后是最简二次根式，m=.

8.化简：

（DV43T9；（2）J.

9.化简:

11.阅读下面的材料，并完成相应任务.

在学习完实数的相关运算之后，某数学兴趣小组提匕了一个有趣的问题：两个数的积的

算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么关系？小聪和小明分别用自己的方

法进行了验证：

小聪：V4x25=/100=10,74x725=2x5=10,所以-4x25=V5x后

小明：(，4x25产=4x25=100,(V4x\/25)2=(2X