高考数学-指数函数与对数函数二轮复习

指数函数与对数函数中的典型应用

★考点1.指数函数图象与性质.

a>\0<67<1

y

图象(0,1)(0,1)

---列J■尸

0XO\x

在X轴的上方，过定点(0,1)

图像特征

当X逐渐增大时，图象逐渐上升当X逐渐增大时，图象逐渐下降

定义域R

值域(0,+8)

单调性在K上是增函数在A上是减函数

奇偶性非奇非偶函数

性质

当不<0时，0<歹<1；当x<0时，y>l；

范围

当x〉0时，y>1；当x>0时，0<y<l；

例1.设函数/3=广''乎则满足的实数。的取值范围是()

l,x<0,

A.(Y,0)B.(0,+oo)C.(0,1)D.(l,+oo)

解析：①当。<0时，2«<0,此时/(。)=/(2〃)=1,不合题意；

②当心0时，2a20,/(。)</(2。)可化为2“<22"，所以"2人解得a>0.

综上，实数。的取值范围是(0,抬).故选：B.

例2.若函数=在R上为严格增函数，则实数。的取值范围是()

A.(1,3)B.(2,3)C.件3)D.；,3)

3-47>0

g

解析：•・•/(x)在R上为严格增函数，4>l，解得.即实数4的取值

(3-67)x7-3<fl7-6

9、

范围是-,3.故选：D

1_4)

例3.已知函数〃x)=K丁?：+3a,x<l的值域为R,则实数〃的取值范围是()

Z,X1

■I\/1\

A.0,-B.-oo,-C.(-8,0)D.[0,2)

.1)\L)

解析：因为y=在口,也)上单调递增，所以当时，y=2->2°=l,若函数/(工)的

1—2。>01

值域为R,则乙c.、，解得OWav：.故选：A.

1-2«+367>12

、化丫,"。，

例4.已知函数/(')=则/(x)图象上关于原点对称的点有()

-|x2+2x|,x<0,

A.1对B.2对C.3对D.4对

解析：作出/(x)的图象，再作出函数y=(；j,x20,关于原点对称的图象如图所示.因为函

数y=(；[,xN0,关于原点对称的图象与y=-,+2.q,x<0,图象有三个交点，故/(力图象

\.乙)

例5.指数函数y与『=的图象如图所示，贝!1()

A.«>1,O<Z)<1B.a>\,b>\C.0<«<1,/)>1D.0<Q<L0<6<1

解析：因为函数了二优的图象是下降的，所以。<。<1；又因为函数y=b'的图象是上升的,

所以.故选：C.

解析：当。>1时，-e(oj),因此0</(0)=l-L<1,且函数/(》)=/-1在R上单调递

aaa

增，故A、B均不符合；

当0<”1时，1>1,因此/(0)=1-•!•<(),且函数/(力二〃'-4在R上单调递减，故C

aaa

符合，D不符合.故选：C.

例7.已知函数y=+A的图象经过原点，且无限接近直线尸=2,但又不与该直线相

交，则()

A.-1B.-2C.-4D.-9

解析：因为函数丁=/。)=吗)3图象过原点，所以心"=o,得〃+6=0,又该函数图象

无限接近直线卜=2,且不与该直线相交，所以〃=2,则。=-2,所以必=-4.故选：C

例8.已知函数/(x)=jg(x)=x-3,方程/(g(x))=-3-g(x)有两个不同的根,

分别是X”/，贝U司+々=()

A.0B.3C.6D.9

解析：由题意得：g(x)=x-3为R上的增函数，且g⑶=0,当xW3时，g(x)<0,

/(g(x))=e、'，当x>3时，g(x)>0,f(g(x))=ln(x-3),方程f(g(x))=-3-g(x)=r

有两个不同的根等价于函数V=/(g(x))与y=r的图象有两个交点，作出函数/(g(1))与

»=-x的图象如下图所示：由图可知尸=j3与y=ln(.”3)图象关于y=x-3对称,

y=-x

则48两点关于y=x-3对称，中点。在y=x-3图象上，由、解得:

y=x-3

3_3

C2，-2

B

★考点3.常见的几类指数型函数模型

假设a>0日,a/1.

(1).j\x)=pa2x+qa'+r,pw0.

(2)./(x)=a'+「.

(3).f(x)=ax-a'.

1

(4)./(x)=

1772

⑸・/(x)=

2

,八..67'+1

(6).r/(x)=―—

a-1

请自行判断上述(2)-(6)函数的奇偶性

例9,函数y=g)3+2、的值域为()

A.[g，+8)B.(-8,；]C.(-00.2]D.(0.2]

2

解析：函数歹=g)T"2x定义域为R,_^+2X=-(X-1)+1<1,又函数(；),在R上单调递

减，贝U(g)-32'Ng,所以函数J，=g)4+2、的值域为g,+8).故选：A

X

例10.已知函数/(》)=彳、7，则下列说法不正确的是()

A.函数/(X)单调递增B.函数/⑶值域为(0,2)

C.函数/(X)的图象关于(0,1)对称D.函数八力的图象关于(1,1)对称

解析：/(')=合=等詈=2-高，函数y=2],,=2、-",则》，

又内层函数"2-+1在R上单调递增，外层函数)，=2-。在(1,+oc)上单调递增，所以根据

复合函数单调性的法则可知，函数/(x)单调递增，故A正确；因为21+1>1，所以

0<而汗<2,则0<2-/]<2,所以函数/(》)的值域为(0,2),故B正确；

/(2-x)=-g—=-±7=-J-,〃2r)+/(x)=2,所以函数/(x)关于点(1』)对称,

2+12+22+1

故C错误，D正确.故选：C.

★考点4.对数运算与应用

1.对数的概念与性质

(1)对数的概念如果小=八5>0,且存1),那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x=

lu±N,其中〃叫做对数的底数，N叫做真数，E&N叫做对数式。

(2)对数的性质

对数式与指数式的互化：o'=N^x=loga/V(«>0,且存1)；

①lo&l=0,@log^=l,③alog«N=N,④log>v=N(a>0,且存1).

指数式与对数式的关系

丽一[对数

I

a*=NN>0k)g/=b

|底数(a>0且a?M)|

2.对数的的运算法则

如果〃>0,且时1,M>0,八>0

①Io熙(MN)=loga.M+logaN②1。&5=1°&M—loga/V③102aM"=〃log3/(〃GR)

3.换底公式

(1)log/>=―(a>0,且在1,c>0,且存1,/>>0)

a10gt4

(2)换底公式的三个重要结论

①1。纵6=苏瓦；②104"力"='10々/；③10。〃.logAflo&4=log“d.

例11.（2024年高考全国甲卷数学（理））已知。＞1,T-!—-=则。二

bgx。bg“42-------

解析：由题7^----]1---]og2a=-£,整理得（log2a『-5噬2。-6=0,

v7

logsalog,,4log2a22

=log2a=-1或log?4=6,又所以log2a=6=log22“，故a=2〉=64,故答案为：64.

例12.设工/之1,a>\f6>1.若</=〃=3,a+b=2",则'最大值为（）

xy

3

A.2B.—C.1D.

2

解析：•・・x,y21,«>1,5>1,a-,・"=喀3=«5-------,y=log3=--

log,aAlog'b

•,•—+—=log^a+log,/?=log；ablog.f=log,（-^^）2=1,当且仅当。=〃=6，

xy-''k2J2

x=y=2时取等号..・」+'的最大值为1.故选：C.

xy

★考点5.对数函数图像（变换）与应用

1,对数函数的图象与性质

a>\OVaVl

|r；x-i

图象

；/J^os.xN。，。）一

。

o|Za,o）；1

>=1。中

定义域：（0,+oo）

值域：R

当x=1时,y=0,即过定点（1,0）

性质

当OVxVl时，y<0；当OVxVl时，j>0；

当x>\时，j>0当x>\时，j<0

在（0,+◎上为增函数在（0,+◎上为减函数

例13.函数y=cosx与j,=lg|x|的图象的交点个数是（）

A.2B.3C.4D.6

解柝函数N=cosx与y=]g|x都是偶函数，其中cos2?t=cos4兀=1,Ig4n>lglO=1>lg2n,

在同一坐标系中，作出函数夕=8必与>，=lgW的图象，如下图，

尸怆仅1）=cosx_____

-4兀77^・2兀、2兀4兀攵

由图可知，两函数的交点个数为6.故选：D

7

例14.己知函数/(x)为R上的奇函数，且当x>0时，〃x)=；log2x-l,则〃-/)=()

55八44

A.-B.—C.—D.——•

9999

解析：/(-y4)=|log2-V4-l=|log22^-l=|x1-l=-1,因为/(x)为R上的奇函数，所以

/(一班)=-/(次)=：.故选：A

例15.“0<。弓”是“方程=在T*上有实数根”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解柝因为方程22、=log”在xc(O,；］上有实数根，设/㈤=4、g(x)=logax,当a〉l时,

函数/*),g(x)在xe(O,J单调递增，无交点，如图①所示，不成立当时，函数/⑴

在、€(()《］单调递增，函数g(x)在xc(O,自单调递减，如图②所示，即方程转化为

0<a<I0<a<l

/(幻=8。)在代(0,自有解，故<解得0<a哼

2210gq

“纸gg)

综上所诉，实数。的取值范围为也.所以0<〃4:是0<aW立的充分不必要条件.

222

★考点6.对数型函数及应用

例16.函数/(力二唳2(2。1。&(8x)的最小值为

解析：因为/(x)=log2(2x)logs(8x)=(log22+log2x)(logs8+log8x)

=(l+logx)fl+|logxj=1(logx)2+^logx+l=1(logx+2)2-1,

22222当10g2X=-2,即

x=5时，/")取到最小值，且/。)仙=-1故答案为：-?

例17.己知函数/(x)=log3(*+4x+a-l)的最大值为2,贝lja=.

解析：因为函数/(工)=1083(-》2+4n+。-1)由卜=1084>0与/=一/+4N+0-1复合而成,

而N=logK在定义域上单调递增，所以当t--x2+4x+a-\取最大值时，函数y=iogj取得

最大值，由二次函数的性质易知当工=2时，/皿=。+3,此时/(x)a=log3(a+3),所以

log3(a+3)=2,解得o=6.故答案为：6

例18.已知函数/(4)=142。+1)+1"2(”力,则以下说法正确的是()

A.函数XV)的定义域为(-覃)B.函数fix)的值域为(-8,0]

C.函数"X)是定义域上的奇函数D.函数/*)是定义域上的偶函数

x+1>0/、

解析：A选项，由题意得[[v>(),解得故定义域为(TJ),A正确；

B选项，/(幻二】。82(%+1)+1。82(17)=1。82(172),定义域为(一1,1),由于/=|一.丫2在(7,0)

2

上单调递增，在(o,1)上单调递减，又7=log?/在fe(0,+8)上单调递增，故/(X)=log2(1-.V)

在(7,0)上单调递增，在(0/)上单调递减，故值域为

(—8,0],B正确；

CD选项，定义域为(T1),关于原点对称，且/(-X)=10g2[l-(-力[=唾2(1-工2)=/(%)，

故/(X)为偶函数，C错误，D正确；故选：ABD

例19.已知函数/(x)=log2(H11,g(x)=〃4—2TDrJ：,61，3«e[0,l],有

VV-27L3.

〃M)=g(x)成立，则实数x的取值集合为()

A.(-<»,噫(6+1)]B.pog2(V3+l),+ooj

C.(0,log2(V3+l))D.(0,log2(V3+l)j

解析：令，=Yx+2=1+T4，则该函数在一"FlvO，6上单调递减，又y=l。氏/在定义域上单

x-2x-2[_3_

调递增，所以函数/(x)=log21yl在上单调递减，所以

l=/(6)</(x)</f^=2,即函数/(x)在1/当忑]上的值域为[1,2],令加=2，>0,则

y=anr-2mf因为ey,6,3r/€[0,l],有/(xj=g(x)成立，所以/(x)值域为g(x)

值域的子集，即[L2]为函数歹=俞_2m值域的子集，

当。=0时，歹=一2机<0,显然不满足题意当。£(0』时，歹=加?2一2〃?的对称轴〃

a

且开口向上，所以y=m7-2〃7在(0,+司上单调递增，且少>0,所以次«01],

am2-2m>2>即a:~十丁,所以~*丁K1,所以一2〃?-2之0,所以或

m'm~

m<\-^(与〃?>0矛盾舍去)，所以2-1+6,所以工NlogJVJ+l),即实数工的取值集

合为[噫(6+1)，+°°).

故选：B

★考点7.指对六朵“金花”及十大应用

/(x)=xlnxfM=

上述六个指数或对数函数组合出的新函数及其图象是非常重要的.需要注意的是，对于函数

X

/(x)=xlnx与/(x)==匚在x=0处的极限值，需要由洛必达法则来计算，此处计算一

个以展示其原理.limxInr=lim?=1沁」1=lim(-r)=0,故其图象在r=0处趋近

于0.除此之外，还需注意函数外幻二小与函数八口二三的图象在正无穷远的特征，其

xe

它们图象都是上去了之后就不再下穿x轴.最后，要注意到/G)二庄与函数

/(均=上1n匚Y+，Y之间的基本关系，后者实际上是前者向上平移一个单位得到，在实际应用

中,后者出现的频率也相当之高.下面我们看到有关它们的十大应用.即:

例20.函数/(1)=叱的图象大致为()

X

解析：函数/")=*的定义域为(-8.0)U(0,”)，关于原点对称，且

/(-)=咚t=_Wi=_/(x),所以函数/(X)为奇函数，排除A,B；当x>0时，函

数/(%)=¥，则/，3=0nx),当o<x<e时/qx)>0,函数/(x)单调递增，

当x>e时，r(x)<o,函数/(x)单调递减，排除D.故选：C

例21.已知偶函数/(X)满足〃4+X)=〃47),/(0)=-1,且当x«0,4］时,f(x)=—.

X

若关于X的不等式/(X)>a在［-48,48］上有且只有60个整数解，则实数。的取值范围是

()

,,八吟八(,\n2}In2ln3)

A.(-1,A01］B,0,—C.-1—D.—

.2)\)L25)

解析：因为偶函数/(x)满足/(4+x)=/(4-x),R!|/(x+4)=/(x-4),即

/(x+8)=/(.¥),

所以，函数/(丫)是周期为8的周期函数，当"(0,4］时，/")=号"，令/(丫)=0,可

得工=©.由/%。>0可得0<x<e,由/'(x)<0可得e<x<4.

所以，函数/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,4］上单调递减，因为关于x的不等式/(力>。在

［-48,48］上有且只有60个整数解，则关于x的不等式/(X一)>〃在［0,8)上有且只有5个整数

解，如下图所示：

因为/(4)=亍=学=旨=〃2),且〃6)=〃2),又因为/⑶>/(4),所以,要使得

不等式/(x)>”在［0,8)上有且只有5个整数解，则这五个整数解分别为3、5、2、4、6,

所以，/(2)>t/>/(l),即警，故选：B.

例22.已知当xwR时，均有不等式(。/-2)卜/+*20成立，则实数〃的取值范围为

解析：①.々=0时，不等式为-2xN0,不恒成立；

②.“<0时，-2<0»f(x)=aex4-x,f\x)=aex+l,由/'(x)=0得

x=ln(--)»

a

当x<In(—L)时，/'(x)>0,/(x)递增，%>姑(一,)时，/心；)<0,递减，

aa

x=ln(—)时，/(x)=—1+ln(—),要使命题成立，则—l+ln(—)«0,a<—；

amaxaae

2

③.。>0时，函数g(x)一2是增函数，在唯一零点x=In—,/(x)=aex+x,

a

f\x)=aex+\>0,即/(x)增函数，/(0)=。>0,但当x-时，/(x)f-oo,所

22

以有唯一零点方,要使不等式/'(x)g(x)?O恒成立，只有x0=ln-,.・.2+ln—=0,

aa

〃=2/,综上。的取值范围是(-8,」]山2/}.

e

z*In2In3In5

例23.若2"+—=3"+—=5'+一，则()

235

A.aln2>61n3>cln5B.cln5>/?ln3>aln2

C.6/ln2>cln5>Z?ln3D.cln5>^ln2>h\n3

解析:构造函数/(x)=—/(x)=匕与，令/'(约=0,解得x=e,当xw(e,+8)时，

xr

f\x)<0,故/(X)单调递减,又因为e<3<4<5，所以/⑶〉/(4)>/(5)，即

电2>吧=电2>曳.又因为2"+2=3"+2=5<+小,所以3°<2“<5’,则

3425235

In3b<ln2°<In5,,即cln5><In2>Mn3.答案:D

例24.已知0<q<4,0<b<2,0<c<3,且161nq=/]n4,41n人=/In2,91nc=(?]n3,

则()

A.c>b>aB.c>a>bC,a>c>bD.b>c>a

In〃In4In/?In2IncIn3.\nx.八'

解析：由题意，得--==—^-，―r==-•设/(x)=「-(x>0)，则fflil

4~Zr2c-3x~

2

2Inx-IneI11

f\x)=一一——z——<当0cx时，,(x)>0；当时,r(x)<0,

X

所以/(x)在0,e2上单调递增，在e2,+8上单调递减，结合/⑴=0,易画出/(x)的大

致图象(如图)，又/(。)=f(4),f(b)=f(2)J(c)=/(3),结合/(x)的大致图象，可得

b>c>a.

例25.已知函数/(x)=自，若关于x的方程［/31+如(力+。-1=0有且仅有三个不同

的实数解，则实数。的取值范围是()

A.(-2c,l-c)B.(l-c,O)C.(-co,l-c)D.(l-e,2c)

解析：因为/(X)=忘，所以‘a卜器上当x«0，l)51，e),/'(x)<0；当

xw(c,+8),/心)>(),所以/(戈)在(0,1)和(l,e)单调递减，在(c,yc)单调递增，且当x70

时，/0)-(),/(c)”,故的大致图象如图所示：关于x的方程

[/(x)T+4(x)+a—l=0等价于[/(x)+l][/(x)+"l]=0，即/(可二一1或/(x)=l—

由图知，方程/(力=-1有且仅有一解，则/(x)=l-。有两解，所以1—>e,解得

a<\-ef故选:C.

例26.(多选题)已知函数/(x)=,：：T,则下列结论正确的是()

A.函数/(x)只有两个极值点

B.方程/(')=〃有且只有两个实根，贝必的取值范围为Y<〃<0

C.方程/(/(x))=-l共有4个根

D.若xe[/,+oo),/(4)皿=乌，贝打的最大值为2

e

解析：对于A,对/住)求导得；H—cm),当X<-1或.02时,

ee

f\x)<0,当-1<x<2时，八x)>0,即函数/(x)在(-co,-1),(2,+8)上单调递减，在(-1,2)

上单调递增，因此，函数/(X)在户-1处取得极小值/(-l)=-e,在X=2处取得极大值

/(2)=4>故选项A正确；

e

对于B,由选项A知，作出曲线y=/(x)及直线》=左，如图，要使方程/(力=左有且只有

两个实根，观察图象得当-e<M0时，直线J，=A与曲线〕，=/(.，)有2个交点,

所以方程/(x)=A有且只有两个实根，贝必的取值范围为-e<%KO,故选项B错误；对于

C,由/。)=0得：x2+x-l=O,解得x=二更，令，F)=g则/(/)=T,结合图象方

2

程/0)=一有两解，土正<，<_],r2=0,所以/(x)=4或/(x)=%因为1+石<2c,

C1

乙

所以土正>_e,所以方程/(工)=4有两解；又因为G=。，结合图象可知：/(x)=G也有

2

两解，综上：方程/(仆))=-1共有4个根，故选项C正确；对于D,因为/(2)==，而

C

函数/(X)在(2,18)上单调递减，因此当xu[t,loo)时，/(x)z=与，当且仅当

e

,H</<2,/(W)=4,所以，的最大值为2,故选项D正确.故选：CD

三.习题演练

1.若函数a].1且满足对任意的实数X尸」都有/W'J>0成立,

4--\x+2,x<\x]-x2

A2/

则实数。的取值范围是()(

A.。,+«0)B.(1,8)C.(4,8)D.[4,8)

【详解】函数/'(》)=(吟，।满足对任意的实数』"马都有"*)一/>任

^4--Jx+2,x<1x,-x,

心丫>1

所以函数/("=-a)r|是〃上的增函数，则由指数函数与一次函数单调性可知

^4--J.r+2,x<l

a>1

应满足,解得44a<8,所以数”的取值范围为[4,8),故选：D.

>4——+2

2

2.若（JLlog/,[=2一则正数a，A。大小关系是（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.a<b<c

2

【详解】由］，=log2a,则。为y=g)与y=bg/交点的横坐标，由(g=bf贝阳为

12

y=与y=x?交点的横坐标，由1=2-，，即"=(；，贝！1。为y=(；与、=［交点的

y=X2,y=p的图象如下所示，

由图可知，，</)<”.故选：B

3.命题P：函数/(%)=4"(〃>0且。工1)的图象恒过定点(0』)；命题仇当此(-2,2)

时，函数8(%)=，-3次十1在区间(-3,3)上存在最小值.则下列命题为真命题的是

()

A.P八qB.pv(f)C.(「p)vqD.(-ip)人(「夕)

【详解】/(x)=「L当x=l时，==所以其图象恒过定点(11)，故命题。为

2

假命题；g(x)=/-3/x+l=［一｝)+1~~(2»因为/£(—2,2),I.5e(-3,3),

所以二次函数对称轴在区间(-3,3)之内，当x=|/时，g(x)取得最小值，故命题4为真命题.

所以"9是假命题，pvljq)是假命题，(［p)vq是真命题，(［")△(—)是假命题.

故选：C.

4.已知暴函数g(x)=(2。-I)/”的图象过函数/(x)=〃广b_l(w>(),〃?*1)的图象所经过的

定点，则6的值等于()

A.±-B.土巫C.2D.±2

22

【详解】由于g(x)=(2a-l)x=为募函数,则2"1=1,解得：〃=1,则g(x)=f；

函数=一；0〃>0,加工1),当x=b时，==故/(x)的图像所经过的

定点为所以g(b)="即/="解得：6-土巫，故选：B.

5.已知Q=0.53b=log090.3,c=log।,则a,b,c的大小关系为()

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

【详解】因为尸0.5，在R上单调递减，则0.53」<0.5号，即”g；又因为…叫尸在

(0,+8)上单调递减，则10809。3>唾0.9。9=1，即6〉1;可得c=log1J=log32,且》=1咤3》

32

在(0,+8)上单调递增，M=log3V3<log32<log33=1,即:<C<1；综上所述：a<c<h.

故选：D.

6.已知直线2〃犹+，少一4=0(>0,〃>0)过函数y=bga(x-l)+2(«>0,且。射1)

的定点T,则2+9的最小值为

mn

【详解】令x-l=l时，可得x=2j=k)g"+2=2,可知函数y=log“(x-1)+2(Q>0,且awl)

的图象恒过定点TQ,2),因为定点7(2,2)在直线2wx+期-4=0上，可得2〃?+〃=2,且

〃，〉0,〃>0,则2+2」(2+2](2〃7+〃)=5+二+%25+2肚.如=5+26,当且仅当

rnn2(mnJninVmn

,即〃=而〃=6-2遍时，等号成立，所以2+9的最小值为5+2#.故答案为：

mnrnn

5+276.

2国x<0

7.已知函数/(x)=\'J,则函数g(x)=F(x)-3/(x)+2零点的个数是

【详解】令g(x)=0,即/(x)-3〃x)+2=0,解得/(x)=l或/(x)=2,作出函数f(x)

的图象如图,

由图可知，方程/(x)=l有3个实数解，〃X)=2有3个实数解，且均互不相同，所以，

g(x)=O的实数解有6个，所以，函数g(x)=L(x)-3〃x)+2零点的个数是6个.故答案为

6

8.已知定义在公上的奇函数/(X)满足/(27)+/(X)=0,且当X«05时，

/5)=1嗝,，若函数尸3=/(切sin(〃x)在区间［1,同上有且仅有10个零点，则实数〃?

X

的取值范围是

【详解】因为是奇函数，ja/(2-x)+/(x)=0,所以/(2—x)=/(—x),即函数/(X)

是关于(1,0)对称，以2为周期的奇函数，又时，/(x)=logj,在同一坐标系中作

X

出函数y=/(x),y=sin(/rx)的图象如图所示：

因为函数尸(x)=/(x)-sin(/x)在区间［-1,向上有且仅有10个零点，所以函数y=/'(*),

j，=sin(c)在区间卜1,河上有且仅有10个交点，由图知：实数，〃的取值范围是1.4),

故答案为：g，4)

9.设函数/(x)=(x-a)ln(x+/)),若/(x)20,且他〉。，则」的最小值为

【详解】由题意可知：/⑶的定义域为（-瓦+8）,令1。=0,解得1=。；令1心+6=0,

解得》=1一6；贝!]当xw（-6』一6）时，ln（x+/））<0,故x-“WO,所以1-/?一〃《0；

当xw（l-b,+8）时，ln（x4-/?）>0,故x—oNO,所以1一/）—。之0；故1一/>一白二0,即

a+b=\.

当4力〉0时，则一!-+2=!"+与-+空”+2出）+'+2=@+9+222立+2,当且仅当

abaabaababa

〃=2-j2,6=j2-l时，等号成立，所以4+2的最小值为202+2.故答案为：2。2+2

aba

-x'-2ax-a,x<0

10.已知函数/（》）=।/尸一?\।八在R上单调递增，则实数。的取值范围是

lnlx+Vx+1l+l,x>0

（）

A.（—8,0]B.[-1,0]C.[-U]D.m+力）

【详解】若“工0,可知），二孔卜二47石在[0,0）内单调递增，可知y=x十V7TT在[0、出）

内单调递增，可得”1对任意代[0,+8）恒成立，又因为P=lnx在定义域（0,+。）内单调递

增，可知y=in1十斤可在[0,+功内单调递增，由题意可得：[：；；，解得-130,

所以实数。的取值范围是卜L0].故选：B.

11.已知函数/（x）为偶函数，满足/（'+2）=-1，且-2W0时，/（力=（日|-2,

若关于x的方程/（力-1。80（>+1）=0至少有两解，贝心的取值范围为（）.

A.（§，3）B.0,-kj[3,+oo）C.0,—U[3,+°°）D.—,3

【详解】由已知/"+2）=-肃，则/（'=_/（1_2[则/。+2）=/（4一2）,可知函数

/（x）为周期函数，最小正周期丁=4,又当-24x40时，〃x）=（母）-2,可知函数/（x）

的图象如图所示，且/（可的值域为卜川，关于x的方程/"）-1眼（丫+1）=0至少有两解，

可得函数N=/（x）与函数y=log,,（x+l）的图象至少有两个交点，如图所示,

可知当o<"1时，logu(4+l)>-l=logill,解得即"(04，当心1时，

a5k5_

loga(2+l)<l=logua,解得。23,即。<3,+巧，综上所述ae(。]u[3,+o>),故选：C.

12.(多选题)已知函数/(x)=ln|l+x|-ln|l-H，则下列有关该函数叙述正确的有

()

A./(x)是偶函数B./'(#是奇函数

C./(x)在(T1)上单调递增D./(》)的值域为(0,+司

/、....