第四章 因式分解 单元测试（含答案）-2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第四章因式分解测试卷

(满分：120分时间：120分钟)

一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的)

1.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是()

A.16x2y3=2xy2•SxyB.(x+y)(x—y)=x2—y2

C.x2~xy-^-y2=(x-y)2~^xyD.2x—2y=2(x—y)

2.多项式6ah2-ch各项的公因式是()

A.bB.abC.b2D.c

3.下列各选项中因式分解正确的是()

A.x2—1=(x—I)2

B.x(x—y)+y(y—x)=(x—yf

C.-2/+4y=-2j；(y+2)

D./+盯+x=x*+y)

4.若6叙2+«孙+产是一个完全平方式，则常数。的值是()

A.8或一8B.16

C.-8D.16或一16

5.多项式2x3—4/+2x因式分解的结果为()

A.2x(x-l)2B.2x(x+l)2

C.x(2x—I)2D.x(2x+1)2

6.在边长为。的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形伍泌),把余下的部分剪拼成一个长方形(如

图)，通过计算图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是()

A.a1—ab=a(a—b)B.a2-b2=(a-\-b)(a—b)

C.(a+b)2=cr-\-2ab+b2D.(a—b)2=a2—2ab~\-b2

7.把多项式QX+6因式分解，得(x+l)Q—3),则的值是()

A.-1B.1C.-5D.5

8.若代数式2的值为0,则代数式歹3+4产+^+2026的值为（）

A.2026B.2027

C.2032D.2037

9.已知m9c为△45C的三边,且满足/一/二出心一加’2,则△"。是（）

A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

10.在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆。如将

/一9因式分解的结果为（L3X%+3）,取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10,x+3=

16,由此可以得到数字密码1016。小旭按这种方式将V—x因式分解后，取自己的年龄15设置

了一个密码，他设置的密码可能是（）

A.151416B.151515C.141514D.131415

二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）

11.因式分解：x2~6x+9=o

12.已知。6=1,。+2/>=3,则2。26+4〃/?2=o

13.若多项式工2—3工+曲〃为常数）因式分解的结果中有因式（工一2）,则k的值为。

14.因式分解：（a—4）（a—6）+1=。

15.二次三项式〃在整数范围内可以因式分解成两个一次因式的乘积，则左的值有

个。

三、解答题（本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

16.（8分）把下列各式因式分解：

（1）Q563c2+SaAb2c—7a3bc。（2）（。一b）2+4ab。

(3)f+\2x~13o(4)〃2—2〃/>+b2—2a+2/>—3。

17.(8分)定义一种新运算：。/\匕=。3一义+々匕+1,如：2A(-3)=23-(-3)2+2X(-3)+l=8-

9-6+1=-6。

(1)计算：(-x)Z\(l-%)。

(2)将(1)中计算所得的多项式因式分解。

(3)若r—x—2=0,求(1)中计算所得的多项式的值。

18.(8分)如图，长方形的长为小宽为b,己知长比宽多I,且面积为12,求下列各式的值:

12

(l)ab—abo

(2)3a3b—6a2b2+3ab3。

19.(8分)在数学课堂上，李老师带领同学们解答问题“①因式分解出一6〃十5；②求出一6〃+5

的最小值。”小明解答了问题①，小丽解答了问题②，下面是他们的解答过程：

小明的解答：小丽的解答：

〃一6。+5屏一6〃+5

=々2-6〃+9—9+5=々2-6a+9-9+5

=(a—3)2—4=(a-3)2—4,

二(“一5)(〃一1)。无论a取何值,5一3)220,

.•・(〃-3)2—43一4,

即6。+52一4,

则〃-6a+5的最小值为一4。

⑴根据小明的解答，将〃2—⑵+20因式分解。

(2)根据小丽的解答，求代数式*一8。一9的最小值。

20.(10分)学完因式分解后，李老师在黑板上写了一个二次三项式因式分解的题，小明因看错了

一次项系数而分解成3(x—2)Q—8),小丽因看错了常数项而分解成3(x—3)(x—5)o

(1)求李老师在黑板上写的二次三项式。

(2)将(1)中的二次三项式因式分解。

21.(10分)已知实数a,b,c,〃满足3阳+〃=，，

⑴求证:从一12"为非负数。

(2)若a，4c均为奇数，〃7,〃是否可以都为整数？说明你的理由。

22.(11分)“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下。

甲：a7—2ab-41Z??乙：cp—ab—a1b

=（/一2帅+加）一4（分成两组）=（〃2—"）一（〃一。）（分成两组）

=（〃一/））2—22（直接运用公式）=Q（a—/>）一（〃一人）（提公因式）

=(«-6+2)(^—/?—2)o=(a-6)(a-l)o

请在他们解法的启发下解答下列各题。

（1）已知。，b,。是△/BC的三边长，且满足ac+82—力c=o,请判断。的形状，并说

明理由。

（2）已知o+b=10+VLa—b=E—2,求多项式浮一夕—8。+126—20的值。

23.（12分）综合与实践：

【问题情境】（1）对于一个图形，如图1,通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数

学等式：o

【探究实践】

⑵类比图1,写出图2中所表示的数学等式：

（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若〃+6+c=8,/+儿+收=25,求标+〃十片的值。

【拓展应用】

（4）用图3中2张边长为〃的正方形，3张边长为b的正方形，〃z张长和宽分别为〃，b的长方形

纸片拼出一个长方形或正方形，直接写出〃?的值。

【详解答案】

1.D解析：A.16/V不是多项式，不符合题意；B.（x+y）（x-），）=x2一产，是整式乘法，不是因式分解，不符

合题意；C£一盯+/=。一），）2+犯，右边不是整式乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；D.2x-2y=2（x

一），），是因式分解，符合题意。故先D。

2.A解析；多项式6az>2—eb各项的公因式是6。故选A。

3.B解析：A.X2-1=(.V-1)(X+1),故此选项不符合胭意；B.x(x-y)+MJ，-x)=(x-y)(x-y)=(x-y)2,故此

选项符合题意；C.-2/+4V=-2JOJ-2)，故此选项不符合题意；D/+xy+x=x(x+y+l),故此选项不符合

题意。故选B。

4.D解析：•••64x2+ag+y2是一个完全平方式，.・・64/+也；+产=(8x)2±16.W+p=(8x土4，则4=±16。

故选D。

5.A解析：原式=2x(x2—2x+l)=2x(x—1)2。故选A。

6.B解析：由题图可知，阴影部分的面积为大正方形的面积减小正方形的面积，为—人2；拼成的长方形

的面积为(a+6)(a—6),所以得出足—岳=("+方)(0一°)。故选B。

7.A解析：,把多项式x2—ov+b因式分解得(x+l)(x—3),(x4-l)(x—3)=x2-2x—3»/.a=2,5=-3,・'.

q+6=2+(—3)=—1o故选A。

8.C解析：由题意，得V+^—2=0,则炉+y=2,・・・尸+4yz+p+ZOZGuMy+y+BM+y+ZOZGnyQ+By)

+y+2026=y(2+3y+1)+2026=3。，+/)+2026=3X2+2026=2032。故选C。

22222222222222

9.B解析：,.•/一〃4=〃/一方2c2,(^+b)(a—b)=c(a—fr),(a+b)(a-b)—c(a-b)=0,/.(a

一〃乂加+岳一/)=0,，凉一台2=0或^+分―c,2=0,即〃=/)或02+62=^2,△48C是等腰三角形或直角三

角形。故选B。

10.A解析：x3-x=x(x2-l)=x(x-l)(x+1),当x=15时，x-l=14,x+l=16,故密码可能是151416。

故选Ao

11.。-3)2解析：/—6X+9=(X-3)2。

22

12.6解析：*：ab=\,。+2/)=3,：,2ab+4ab=2ab(a^-2b)=2X1X3=6O

13.2解析：方法一把x=2代入方程/-3工+%=()中得4-6+%=0,解得％=2。

方法二设另一个因式为x+p,则有x2—3x+A=(x—2)(x+p)=f+(—2+p)x—2p,・,・^-2+P一-3,解得

—2p=k,

p=.l,

,k=2<,

14.(。一5)2解析：3—4)3—6)+1=42—100+24+1=标一10。+25=(4—5)2。

15.无数解析：•・•/—12丫+4在整数范围内可以因式分解成两个一次因式的乘积，，设F—12x+A=(x+a)(x

+Z?X。，力都是整数)，••・(x+a)(x+〃)=x2+(a+/?)x+M=x2—l2j+%,；.a+力=-12,a力=鼠・・,在实数范围

内，满足两个整数的和为一12的小8有无数对，.••满足条件的上有无数个.

16.解：(1)原式=。36«/52,+5次)-7)。

22

(2)原式=/—2ab+尻+4ab=a+2ab+〃=(a+Z))O

(3)原式一1+\2x—12=(x+l)(.r—1)+\2(x~l)=(x+13)(x—1)。

(4)原式=(々2—2岫十匕2)一(2。一2。)-3=(q-b)2—2(a-。)-3=(a-b)2—2(〃一。)+1—4=(q—匕—l)2—4=(a—

6-3)(4-6+1)。

17.解：(1)(一x)Z\(l-x)

=(-x)3-(l-x)2+(-x)(l-x)+l

=—x3—1+2x—x2—x+x24-1

=­V+x。

⑵-3+x

=­X(X2-1)

=­x(x+l)(x-1)。

(3)。3一工一2=0,

Ax3—x=2,

—x3+x=—(x3—.v)=—2o

18.解：根据题意得a—h=1,ab=\2o

⑴当d=l,ab=12时,

原式=M(a—6)

=12X1

=12o

(2)当o—b=l,ab=12时,

原式=3ab(a2—lab+b2)

=3ab(a-b)2

=3X12X12

=36。

19.解：(l)a2-12a+20

=a2-12«+36-36+20

=(a-6户一16

=(〃一2)(。一10)。

(2)加一8〃一9

=/一8a+16—16—9

=(a-4)2-25,

•••无论〃取何值，(a-4)220,

/.(a-4)2—252—25,

即日一8。一9十一25,

则a2—Sa—9的最小值为一25。

20.解：(1)设原多项式为ai2+bx+c(其中a,b,c均为常数，且abcWO)。

•・•小明因看错了一次项系数而分解成3(x-2)(x-8),

而3a-2)a—8)=3(x2—10x+16)=3x2-30x+48,

，。=3,。=48。

••・小丽因看错了常数项而分解成3(工一3)«—5),而3(x-3)(X-5)=3(X2-8A+15)=3X2-24X+45,

・M=-24,

,李老师在黑板上写的二次三项式为3/-24》+48。

(2)3/—24》+48

=3(^-8A+16)

=3(x-4)2o

21.解：⑴证明：9：3m+n=^mn=g

.*.Z)=tz(3/«+//),c=amn,

：.b2-\2ac

=以36+/?)]2-12a2mn

=a2(9ni2+6mn+n2)-12a2mn

=a2(9ni2-6mn+/)

=a\3m—n)2»

,.•“，〃?，〃都是实数，

屋(3〃?一“A》。，

:.b2—12ac为非负数。

(2)〃?，〃不可以都为整数。理由如下：

若防，〃都为整数，其可能情况有：

①当阳，〃都为奇数时，则3阳+〃必为偶数,

•••3川+〃=,

，方=