向量的加法运算 高一下学期数学人教A版必修第二册

6.2.1向量的加法运算向量定义长度（模）表示几何表示法：有向线段符号表示法：零向量单位向量向量间的关系相等向量平行（共线）向量a

，b，AB向量的有关概念特殊向量既有大小又有方向量

青少年科技创新大赛中，某校学生展示研制的机器人，指挥中心发出命令：向东走3米，再向南走3米.在此过程中机器人的位移是什么？AB+=CABC问题1：某人向东走3米，再向东走2米。在此过程该人所走的路程是多少？位移是什么？ABC问题2：某人向东走4米，再向南走3米。在此过程中该人所走的路程又是多少？位移是什么？向量加法的三角形法则CAB位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型“首尾顺次连,起点指终点”

已知非零向量

、

,在平面内任取一点A,作

=

,

=

,则向量

叫做

与

的和，记作

,即=+=

（1）（2）（3）（4）画一画：ABCDE1.根据图示填空：练一练

对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？请看下面的问题：

如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？BOACa+bab向量加法的平行四边形法则OABC①在平面内任取一点O，②作，，③以

为邻边作

，连结OC，则起点相同，连对角以同一点0为起点的两个已知向量

、

为邻边作

,则以O为起点的对角线

就是

与

的和

,即==这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则.bDbCaa+b探究：求和时用三角形法则与平行四边形法则一样吗？比较一下两种法则BaAbCa+bBaA特点：（通过平移）首尾相接特点：（通过平移）起点相同不同法则效果相同注：向量的加法运算结果还是向量。★对于零向量0和任意向量a

，规定：

例1.如图，已知向量，求作向量.

则三角形法则作法1：在平面内任取一点O，作

，，作法2：在平面内任取一点O，作，，以为邻边作平行四边形OACB，连结OC，则平行四边形法则例1.如图，已知向量，求作向量.思考：如图，当在数轴上两个向量共线时，加法的三角形法则是否还适用？如何作出两个向量的和？（1）（2）ABCBCA若

，方向相同，则||=||+||若

，方向相反，则||=||-||（或||-||）规定：+=+=思考2：结合例1，探究

之间的关系。三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边综合以上探究我们可得结论：当向量

、不共线时有||<||+||

试猜想

的大小关系如何？

向量的三角不等式|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取等号；|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取等号．探究：实数的加法有哪些运算性质？向量的加法是否也满足类似的性质？如果满足，具体形式是什么？实数的加法向量的加法性质AOabbBaCba+BbAOaCcba++ccb+ba+交换律：结合律：向量加法的多边形法则

...2.根据多边形法则的字母特点，化简下列各式.练一练

例2如图，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A地出发，航行的速度的大小为15km/h，方向为垂直于对岸的方向，同时江水的速度为向东6km/h．（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（2）求船实际航行的速度的大小（保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1º）．ADBC解:(1)如图所示,

表示船速,

表示水速，以AD、AB为邻边作

ABCD,则

表示船实际航行的速度.答：船实际航行速度为4km/h,方向与水的流速间的夹角为60º。ADBC

例2如图，长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长江南岸A地出发，航行的速度的大小为15km/h，方向为垂直于对岸的方向，同时江水的速度为向东6km/h．（2）求船实际航行的速度的大小（保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1º）．1.向量加法的三角形法则(口诀：首尾连，由起点，至终点。)2.向量加法的平行四边形法则(口诀：共起点，连对角)3.向量加法满足交换律及结合律

A.②③B.②C.①D.③B

2.在四边形ABCD中，

，则一定有(

)A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形