高考数学复习讲义：抛物线（原卷版）

解密22抛物线

【考点解密】

1.抛物线的概念

平面内与一个定点尸和一条定直线/(/不经过点灯的距离相筌的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的焦点,直

线/叫做抛物线的般.

2.抛物线的标准方程和几何性质

y2=2pxy2=~2pxx2=2/?yxz=—2py

标准

(P>0)go)(p>0)(P>0)

方程

〃的几何意义：焦点/到准线/的距离

斗土*

图形

顶点

0(0,0)

坐标

对称轴X轴y轴

隹占

雄,0)o)的9的,-9

坐标

离心率e=1

准线

.2=

方程♦x2y~2y=2

范围x20,yGRxWO,yERy20,x£RA-eR

开口

向右向左向上向下

方向

fo+g-泗+?

焦半径的yo+f

通径长2P

【方法技巧】

求圆锥曲线中的有关三角形的面积时，常联立直线与曲线的方程，根据韦达定理求出弦长.然后根据点到直线的距离

公式，求出三角形的高，即可得出.

【核心题型】

题型一：定义法求焦半径

1.（2023•山西晋中•统考二模）设尸为抛物线C：），2=4式的焦点，点〃在。上，点N在准线/上且MN平行于x轴，

若|N/|二|MN|,则|M/|=（）

A.3B,1C.生巨D.4

33

2.（2023•宁夏银川•六盘山高级中学校考一模）已知A为抛物线。：9=2座（〃>0）上一点，点人到。的焦点的距离

为6,到），轴的距离为3,。为坐标原点，则|。八|=（）

A.3#）B.6C.375D.9

3

3.（2023•江苏南通・统考模拟预测）已知抛物线），2=2px（p>0）的焦点为尸，点M在抛物线上，L\MF\=-p,若

△OFM的面积为4&，则〃=（）

A.2B.4C.272D.4拒

题型二：定义法求焦点弦

4.（2021秋.陕西西安・高二统考期末）已知抛物线加：），=2/1（〃>0）的焦点为尸，过点尸且斜率为1的直线/与抛

4

\AF\

物线M交于4（点A在第二象限），B两点，则身二（）

\AB\

11八

A.-B.-C.4D.5

54

5.（2023・全国•模拟预测）已知抛物线C：y2=2〃M〃>0）的焦点为广，直线/过焦点尸且与抛物线交于点

y）,N（孙），2），%>占>。，K>（）,与抛物线C的准线交于点Q,若5°QN=2S。和（。为坐标原点），|M目=4,

则〃=（）

A.1B.2C.3D.4

6.（2023秋・福建龙岩•高三校联考期末）抛物线E的焦点为尸，对称轴为/，过/且与/的夹角为:的直线交E于A,

B两点,AB的中点为线段A8的中垂线交/于点。.若的面积等于26，则|人四等于（）

A.-B.4C.5D.8

2

题型三：求距离的最值问题

7.（2023・湖南•模拟预测）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点人

B的距离之比为定值％（2^1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称

阿氏圆.已知在平面直角坐标系宜7中，*-4,1）,8（-4,4）,若点尸是满足％=；的阿氏圆上的任意一点，点Q为抛物

线C:y=16x上的动点，。在直线x=-4上的射影为R,则I废|+2|PQ|+2|。刈的最小值为（）

A.4>/5B.875C.运D.2而

2

8.（2023秋•山东德州•高三统考期末）曲线4），-/=0（肛20）上有两个不同动点M,N,动点M到尸（0,4）的最小距

离为4,点N与Q（l,3）和R（0,l）的距离之和|叫+加盟的最小值为出，则4+4的值为（）

A.8B.9C.4+2x/3D.5+2石

9.（2023秋・河南信阳•高三信阳高中校考期末）已知点尸是抛物线C：V=8x上任意一点，则点?到抛物线C的准线

和直线/:人-6,+7=0的距离之和的最小值为（〉

79

A.-B.4C.-D.5

22

题型四：抛物线的对称问题

10.（2021・宁夏中卫・统考一模）已知抛物线Cr=2px（P>0）的焦点为F,准线与x轴交于点K,过点K作圆

卜一+），2=9的切线，切点分别为点A,让若|4叫=劣，则〃的值为（）

A.1B.6C.2D.3

11.（2023・全国•高三专题练习）已知椭圆C：・+5=1与抛物线C；y2=2〃M〃>0）交于A3两点，。为坐标原

点，若。8的外接圆经过点C（3,0）,则〃等于（）

A.!B.-C.2D.4

24

12.（2020.全国.模拟预测）已知抛物线U），2=6x的焦点为广,准线为/,点A在抛物线C上，且点A到准线/的

距离为6,4,•的垂直平分线与准线/交于点N,点。为坐标原点，则△O/W的面积为（）

A.—B.唯C.9GD.毡

242

题型五：抛物线的综合问题

13.（2023•河南洛阳・洛阳市第三中学校联考一模）已知抛物线C：），2=2px（〃>（））上的一个动点尸到抛物线的焦点F

的最小儿离为1.

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过焦点厂的直线/交抛物线。于两点，M为抛物线上的点，且MFLAB,求.4W的面积.

14.（2023•河南・洛阳市第三中学校联考一模）已知点％-2,"。在抛物线。:/=2朗（〃>0）上，且到抛物线C的焦点

尸的距离为2.

（1）求抛物线C的标准方程；

⑵过点4（-L-2）向抛物线C作两条切线AM4V,切点分别为M,N,若直线AF与直线MN交于点Q,且点。到直

线方例、直线印的距离分别为4,4.求证：牛为定值.

15.（2023•江西赣州•统考一模）己知抛物线。：），2=2〃叱〃>0）/为其焦点，点时（2,），0）在。上，且5所“=4（。为

坐标原点）.

（I）求抛物线。的方程；

（2）若A.8是C上异于点。的两个动点，当4408=90时，过点。作ON_LA8于，问平面内是否存在一个定点Q,

使得|M2|为定值？若存在，请求出定点Q及该定值：若不存在，请说明理由.

【高考必刷】

一、单选题

IPAI

16.（2023・陕西商洛・统考一模）已知F为抛物线），2=16x的焦点，尸为该抛物线.上的动点，点4（-1,0）,则展号

II一.5

的最大值为（）

A.72B.C.2D.石

17.（2023春・全国•高三校联考阶段练习）如图1所示，抛物面天线是指由抛物面（抛物线绕其对称轴旋转形成的曲

面）反射器和位于焦点上的照射器（馈源，通常采用喇叭天线）组成的单反射面型天线，广泛应用于微波和卫星通

讯等领域，具有结构简单、方向性强、工作频带宽等特点.图2是图I的轴截面，A,B两点关于他物线的对称轴

对称，尸是抛物线的焦点，NAF8是馈源的方向角，记为。，焦点厂到顶点的距离/与口径d的比值《称为抛物面

a

天线的焦径比，它直接影响天线的效率与信噪比等.如果某抛物面天线馈源的方向角0满足，tanD=-4石，则其

焦径比为（）

或

D.

8

2

线C

抛物

点尸是

已知

测）

拟预

统考模

河南・

2023・

18.（

,

两点M

同的

C于不

物线

/交抛

直线

尸的

点，过

_），的焦

x=4

N,

（）

离为

的距

到*轴

则。

点、,

的中

为MN

点、Q

N，

=2F

设MF

7

4

D.

A.

B

-7

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4

3

为“中

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