2025-2026学年湖南省长沙市高一年级上册期末模拟考试数学试题02（人教A版）试卷及解析

2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试02

高一数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.【可答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题R上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版必修第一册。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求。

1.已知集合A={xeR|x-〃>0},若3wA旦1任人则〃的取值范围为（）

A.a<3B.a>\C.1<«<3D.1<«<3

2.已知T«x+）W4,2«x-3），43,则z=4x-8y的取值范围是（）

A.[5,13]B.[-5,23]C.[0,22]D.[2,20]

3.若函数/任匚）==-2+1,则/（x）=（）

LtXJXX

A.--B.-C.x~D.

XX

4.已知e为自然对数的底数，定义“真指数”e：（xeR）的计算公式如下：当x<0时，e：=l；

当xNO时，e：=e',若对任意实数4和%，给出四个结论：①e：S2=e"F；②冬；

e〕

③ey=（琼广；④e?+e：222e#'其中正确结论的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

5.下列选项正确的是（）

A.己知角2a的终边始终在x轴上方，那么。是第一象限角

B.若。=&/80。+45。仕wZ）,则。是第一或第二象限角

C.已知角。的终边与120。角的终边关于X轴对称，则多是第二或第四象限角

D.已知。是锐角，那么"是第一或第二象限角

6.当集合S是R的子集且S的元素个数有限，称S的所有元素之和为S的“厚度”.集合

{023,5,7,8}的全部非空子集的厚度之和为()

A.8(X)B.625C.1550D.750

7.若正实数X,,，，Z满足2/+y2+z2=4,则出的最小值为()

xyz

A.2B.2x/2C.25/3D.3

8.已知定义在R上的单调函数y=/(x)满足/(/(x)-2=3x)=12.若对

Vxe[l,3],肛,0…,x”e[-l,01(/?€N*),使/。)《/(芭)+/(々)+…成立，则〃的最

小值为()

A.6B.7C.9D.10

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知函数=下列说法正确的有()

A./(')为偶函数B.7(x)恰有2个单调区间

C./*)的最小值为TD./(刈值域是(T0]

10.下列结论中正确的是()

A.若角。的终边过点P(3k,4A)(k<0),则sina=]

B.若。是第二象限角，则|•为第二象限或第四象限角

C.对任意xc(O.l),(x-sinx)tanx>0恒成立

17

D.若cos6+sine=w，0<6〈兀，则cos<9-sine=-j

11.已知哥函数/")的图像经过点(2,近)，则下列命题正确的是()

A./*)为偶函数

B.的值域是(0,+8)

试卷第2页，共4页

C.若。"5,则及苧审］

L\J

D.g（x）=f（x+1）-f（x）是（0,-HO）上的减函数

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.设集合4是N'的子集，对于MN',定义9（4）=＜；.；.

给出下列四个结论：

①若4={1,2},8={2,3},则手（408）=0且以（A|JB）=1；

②存在N*的两个不同子集A,B,对任意icN',都有如"1冲=。且9（AU4）=1；

③任取N”的两个不同子集A,B,对任意iwN*，都有价（Au4）=/（A）+%（4）：

B=^x\x=4n2,,?eN*},对任意ieN',都有

e（Ac8）=g（4）e（8）.

其中所有正确结论的序号是.

13.设P={0,2},Q=卜eR|（x+l）（如+1旧-如+l）=0）,card（A）表示集合A中的元素个数.

定义P*Q=|card（P）-card（Q）|,若P*Q=1,则实数〃?为所有可能值之和为.

14.对于函数/（x）,xeR,若/（x）=x,则称x为/（x）的“不动点”，若=则称x

为f（x）的“稳定点”，函数/*）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为4和8,若

/（A）=av2+2（aeR）,且A=4W0,则实数〃的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.已知集合A={N2Wx＜3},8={R工＜〃?或人，＞〃?+2}.

（I）当〃7=0时，求AcAQ（A=0：

⑵若xe8是xeA的必要不充分条件，求实数用的取值范围.

16.已知集合尸=卜柴集合Q={x||x-4W2}.

⑴求集合P;

⑵若“xeP”是“xe。”的充分非必要条件，求实数。的取值范围.

17.已知函数〃%)=而

⑴判断函数/5)的奇偶性，并说明理由;

(2)判断函数/(力在R上的单调性，并用单调性的定义证明；

⑶若关于x的不等式/(a/+3ax)+/(1-公)>。对于任意实数x恒成立，求实数〃的取值范

围.

18.已知函数/(%)=|1隰兄+工+，的图象经过点(2,1).

⑴求C的值；

(2)解不等式:f(2x)<2f(x)；

⑶证明：/(“存在零点，且所有零点之积小于1.

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2025-2026学年湖南省长沙市上学期期末模拟考试02

高一数学(解析版)

题号12345678910

答案DADBCABBABDACD

题号11

答案CD

I.D

【分析】根据元素与集合的关系求得〃的取值范围.

【详解】［^l^/4={^€R|.r-67>O)={xeR|x>«},

又3wA且1足A,则l«a<3.

故选：D

2.A

【分析】先由题求得z=4x-8)，=(x+)，)+3(x-3.y),再结合不等式性质即可得解.

【详解】设z=4x-8y=+y)+〃(x-3y)=(〃?+〃)x+(〃L3”)y,

in+n=4m=1

所以,解得〃=3

m-3〃=-8

月1以z=4x-8y=(x+)，)+3(x-3y),

X-l^x+y<4,2<x-3y<3,

所以6K3(x-3y)K9,所以5M(x+)，)+3(x-3)，)K13,

所以5K4x-8/13.

故选：A.

3.D

【分析】采用换元法求解析式求解即可.

【详解】因为==(口)：且=1=

kA-JXXXIXJXX

所以/(x)=f(XW1).

故选：D

4.B

答案第1页，共14页

【分析】举出反例得到①@③错误，对于④，对不修的正负分类讨论，结合基本不等式可

得④正确.

【详解】对于①，若X=T,占=2,则%+占=1,则煌』=e,ef=l,e)=d,

显然不满足e：』=Me?,错误;

对于②，若与二-1,受=2,则%-4=一3,则e：r=]e：=1,畤=，，

显然不满足球错误;

对于③，若内=-1'=一2,贝h产=《=仁(琥广=(1『=1,

故ey=侬『不成立,错误；

对于④，显然琥＞O,cf＞。，若玉,42均为非正数，显然e；+e%=2,e：'=2,

满足e?+e,N2e丁，

若内,工2t正-'负，且内+工2＜。，不妨设X]＜。,无＞°，

x.+x,,r.*.

则球=1,咛=仆21,2eJ=2»满足琥+e：=2e＞

若内,与一正一负，且芭+%＞0,不妨设X＜0，W＞0,

则球=1,琮=力,2e艺=2e1，

马+必/-x「x--+即

2MF2e^-2|>0,

>e22Ve2-e2-2e2故e：+e）〉2e,2

若玉＞0,々＞0,则琥ne'e：一^,2e空=2e空

X]+x2.

由基本不等式得e：+e?=4+e'222eP=2e：丁

当且仅当e：=e;时，等号成立，综上，e：+e：222c亍，④正确.

故选：B

5.C

【分析】选项A：设2a=45(T,该角是第二象限角，即可判断;

答案第2页，共14页

选项B：取&=1,则。=18()。+45。=225。，该角是第三象限角，即可判断；

选项C：先求出。=-360°-120°伙")，则5二-180'-60,此2,分类讨论攵为偶数和奇数,

即可判断；

选项D：。是锐角,即0'vav90°,则0°v2avl80°,即可判断;

【详解】选项A：角2a的终边在x轴上方，设2。=450。，则。=225。是第三象限角，故A

错误；

选项B：若。=忆180。+45。(&£2),取&=1,则口=180。+45。=225。，该角是第三象限角，

故B错误；

选项C：角。的终边与120°角的终边关于％轴对称,则a=&360°-120°(丘Z),

因此4=hl80°—6O'«GZ,

2

当攵为偶数时，令&=2〃,〃cZ,则］=〃.3600-60°,〃CZ,该角终边在第四象限；

当k为奇数时，令左=2〃+l,〃eZ,则少〃口3+⑵,〃"，该角终边在第二象限；

故C正确；

选项D：。是锐角,即0'vav90°,则0°v2avl80°,

当2a=90时，该角终边在)'轴正半轴，不属于任何象限，故D错误.

故选：C.

6.A

【分析】对于集合中每个元素、计算它在所有非空子集中出现的次数，再乘以该元素的值,

最后求和即可.

【详解】解：根据题意，任意一个元素在非空子集中的出现次数为：21=25=32,

集合｛0,2,3,5,7,8｝的元素之和为0+2+3+5+7+8=25,

所以集合｛0,235,7,8｝的全部非空子集的厚度之和为：32x25=800.

故选：A

7.B

【分析】由条件可得2+z=2Y+b,可以得到出=/：♦,＞一,再根据基本不等式求解

2-z个2(2-z)xyz

即可.

答案第3页，共14页

【详解】由条件可得2X2+/=4-z2=>2x2+/=(2+z)(2-z),

「22x2+/

所以zw2,所以2+z="：),所以z+2=2-z=2F+y',

2-zxyzxyz(2-z)xyz

_2x2+y2、：2血孙2&由川之六~~；~~不=?母

所以iq7^—「之一「=7；一所以。(2-，z、)，z(2-z)+z，

(2-z)xyz(2-z)xyz(2-z)xyz(2-z)z---—

当且仅当历=>,且2-z=z,即尸堂，y=&，z=l等号成立.

故选：B.

8.B

【分析】先根据函数的单调性求出/(x)的表达式八幻=2'+3x+2,再分别求出/(x)在［日

上的最大值/(x)a=/(3)=19

〃x)在［TO］上的最大值a=/(O)=3,最后根据已知条件求出〃的最小值.

【详解】设/(x)-2x-3x=tj为常数，则/(x)=2*+3x+f.且f@)在R上单调,由已知可知,

=12即)+3/+/=12即274/=12,解得1=2:.f(x)=2、+3%+2且在R上单调递增.所

以f⑺在［L3］上的最大值为/J)1no=/(3)=19.

〃x)在［TO］上的最大值〃力,mx=/(O)=3.

•・,对口€［1,3］,叫，/，…,七w［T，O］(〃eN)使得/(幻"($)+/仇)+…+/(£)成立,

只需

r-r1Q

/(©a4［/a)+f(巧)+…+〃%)L，即3〃219n，此热即%=7.

故选:B.

9.ABD

【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A,根据函数的单调性可判断BCD.

'］(—ix,0

【详解】根据题意，设〃"=匕)-1=UJ-

3v-Lx<0

/I(i小

对于A,f(x)的定义域为R,且/(r)=卜-1=-|-\=f(x),则/*)为偶函数，A

x.3>

答案第4页，共14页

正确;

fiV

对于B,7(x)=UJ'-，易得/")在(y，0]上单调递增，在(0,+8)上单调递减，B

3T,K<0

正确；

对于C,由于则—1>—1,"X)不存在最小值，C错误：

r1、忖

对于D,次已0,则々(《J-I"。，则/*)的值域为(T，°l，D正确.

故选：ABD

10.ACD

【分析】根据三角函数的定义、象限角、三角函数恒等变换等知识点对各选项进行分析和计

算.

【详解】选项A：当&<0时，r=|OP|=JW+(44=5k|=-5J,则sina=g=—:

故A正确；

选项B：若。是第二象限角，则5+2kt<a<7t+2E,keZ,

ll.、t兀>a兀.

明以—<一<—Hkit，攵eZ,

422

所以多为第一象限角或第三象限角，故B错；

选项C：因为xe(0,l)[如图，

射线OP与单位圆交于点P,作垂足为点M,单位圆与x轴正半轴的交点为点A,

设NPOA=x,由弧度制的定义可知，劣弧幺的长度为J

根据三角函数线可知，MP=sinx,AT=tanx,5»°八=gxlx|MP|,

答案第5页，共14页

S塘形PQA=KM,S,

一=^x|AT|,易得S,POA<S熠形POA<S*即,

\AOT2

所以tanx>x>sinx>0,所以（x-sinx）tanx>0,故C正确:

对于D,由（cose+sin夕『二表，可得2sin6cos9=一|^＜0,因。£（0,兀），故\）,

、497

所以cos6-sine＜0,又（cosO-sin。）-=l-2sin8cos0=—,则cose-sin〃=一一,故D正确.

255

故选：ACD.

11.CD

【分析】根据幕函数的定义，运用代入法，结合基函数的性质逐一判断即可.

【详解】由函数/*）是暴函数，设/（幻=/，又八x）的图像经过点（2,&）,

所以/（2）=2。=应=2：,，a=g,即/。）=1=五.

对于A,函数/（另的定义域为［0,十8）,不关于原点对称，所以函数“X）不是偶函数，故A

错误;

对于B,因为XN0,所以故B错误;

因为0＜凡＜勺，所以以吗9一尸（号1

对于C,嘉+后

2

/叫/（/）＜《与斗故c正确;

D：g（x）="K+i）_/（x）=G_G由函数单调性的性质可知中：函数

Jx+1+\[x

g（X）=/（X+D-/（A-）是（0,+0。）上的减函数，故D正确,

故选：CD

【点睛】关键点睛：本题考查帚函数的定义及性质，运用不等式的性质，结合函数单调性的

性质进行判断是解题的关健.

12.①②④

【分析】对于①④，根据定义判断正误即可，对于②③结合实例判断正误即可.

【详解】•・.对于—⑷啕二

答案第6页，共14页

对于①，因为A={1,2},A={2,3},.•.Ac8={2},Au5={l,2,3},

故8（Ac3）=。例（AuBj=l,①正确；

对于②，取4={回工=2%,攵€1<},8=k|工二2攵一1次£可},

则An8=0,AU8=N",故对任意MN"都有0（AcB）=O且%（4。8）=1,

故②正确：

对于③,取4={1,2,3},3={2,3,4}4。8={1,2,3,4},

当i=2时，0j（AuB）=l用（A）=1用（8）=1,

.•.g（Au8）工%（A）+%（6）,③错误；

又寸于④，A={Xx=2〃,〃cN*},B={NX=4〃-2,〃eN'},

则AnB=8,A\JB=At

若i为偶数且ieB,则ieAcB,则ieA且iwB,

故村（A）.如3）=lxl=l，w（Ac8）=l,则有处（AcB）=处（4）%（B）；

若i为偶数且iEB,则『eA,

故弘（A）«（8）=lx（）=（）《（Ac8）=（）,则有/（Ac8）=/（A）例（8）；

若，为奇数，则i史A/Y8,i史

故弘（A）e（8）=（）x（）=（）,/（Ac8）=（）,则有e（Ac8）=%（A）%（B）；

故9（AcB）=例（A）0（均总成立,故④正确

・•・所有正确结论的序号是：①②④.

故答案为：①②④.

13.3

【分析】分析可知card（Q）=3或card（Q）=l,对集合Q的元素个数进行分类讨论，利用根

与系数的关系，求出参数的值，对求出的参数值进行检验即可.

【详解】•・•尸={0,2},.上打（1（。）=2,又|card（P）-card（Q）|=ln|2-card（Q）|二l,

...ca^d（Q）=3或card（Q）=l,

答案第7页，共14页

当(1+1)(〃坎+1乂/2一〃Lt+])=()时，

X+I=0»解得x=-1；

"iv+l=0,解得％=-；

m

x2-mx+1=0»△<()=〃，一4<0，解得一2</〃<2,无实数根；A=0=>m2-4=0,解得

m=±2,有一个实数根；A>0="『-4>0，解得〃?<-2或"?>2,有两个实数根；

当card(Q)=l时，表示方程只有一个实数根，即方程只有一个根为x=T,

对于〃zt+l=O,若〃2=0,原方程(x+l)(f+1)=0,唯-实根x=-l,此时card(Q)=l,符

合题意；若一」-二一1,解得，〃=1,此时V—〃吠+1=/一%+1=0无实根，符合题意；

m

故实数机的可能值为0或I,

当card(Q)=3时，表示方程只有三个不同的实数根，第一个根x=T,第二个根x=-\,

若△=(),当m=2时，X2-2A+1=0»解得X=1,〃氏-1=0的根为x=,符合题意；

当m=一2时，d+2x+l=0，解得x=-l,"iv+1=0的根为x=g,不符合题意；

若△>(),X?-"a+1=0有两个不同的实根，其中一个根与-1或-•重合才可以，

当x=T是3一皿+1=0的实根,即〃?=-2舍掉；

当工=一,是"+1=0的实根，即T/-J_)+I=O」+2=O,无实数解，舍

〃？Im)VmJnr=>

掉；

故实数/〃的可能值为2.

综上所述，实数加的所有可能值为01，2.其和为0+1+2=3.

故答案为：3.

F311

14.

L88j

【分析】根据Aw0得到。对方程变形，根据A=B,得到/12+仪+2〃+1=0要么没

O

有实根，要么实根是方程0?一1+2=()的根，分两种情况讨论，得到

OO

【详解】因为人工0,所以依2+2=4有实根，当。=0时，X=2,符合要求，

。工()时，加-x+2=0有实根，故△=(-1)?-8〃20,解得且。工()，

O

答案第8页，共14页

所以

o

又a(ar2+2)~+2=x,RfJa\4+4a2x2-x+4a+2=0»

由题意得函数的不动点一定为函数的稳定点，故

所以a%4+4a%2-x+4a+2=0的左边有因式ax?-x+2,

从而变形得至IJ(公2—x+2)(a2f+3+2a+l)=(),

因为A=3,所以+ai-+24+1=0要么没有实根，要么实根是方程ar?一彳+2=。的根，

若//+以+2〃+1=0没有实根，〃=0时，1=0,故方程无根，符合题意，

"()时，K=/-4a2(勿+1)<0,解得〃>-工

8

3

故当a*+办+勿+1=0没有实根时，ci>-—,

O

若cJ/+奴+2〃+1=0的实根是方程ar?-x+2=0的根，

ar2-x+2=0=>ax-2=x-2两边同乘以〃得-2a,

将其代入a2x2+at+2a+1=0得，ax-la+ar+2。+1=0,

故2ar+1=0,解得工=-上，

la

1II3

再将x二-不代入加—X—2=0中，得丁+h+2=0,解得〃=—：,

2a4a2a8

3I

综上一萨以

故答案为：「-?3，鼻11

_OO_

【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧：

(1)可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理

解；

(2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解

的较为透彻；

(3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；

(4)如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么

情况下可以使用书上的概念.

15.(1)AnB={x|2<x<3},(AuB)={x|0<x<2)

(2){ml<0或"?23}

答案第9页，共14页

【分析】（1）由集合的运算可得；

（2）先由已知判断4是B的真子集，再由集合间的包含关系列不等式可得.

【详解】（1）因为m=0,所以8={Rxvm或x>〃?+2}={RxvO或x>2}

所以Ac8={x|2vx<3},

Au8={x|x<0或xN2}

4（AD8）={.H0<X<2}

（2）因为xwB是xwA的必要不充分条件，则A是8的真子集.

则〃?+2<2或523,所以〃7Vo或〃?23,

所以实数m的取值范围为{ml<0或m>3）.

3

16.（l）/?=-x|-2<,v<-

-I-

（2）匕，0

【分析】（1）解分式不等式即可求解；

（2）化简集合Q,根据题意转化为尸是。的真子集，列出不等式求解即可.

13r-l?r-3.7

【详解】（1）由=—工

x+2x+2x+2'八"2

31

故尸二x|-2<x<,.

（2）因为卜一4三20a—2三xWa+2,

所以Q={x|a_2GWa+2},

因为“xwP”是“xwQ”的充分非必要条件，

所以尸是。的真子集，

a-2<-2

所以，-3=>--<«<0,

a+2>-2

2

因此实数。的取值范围为一;，。.

17.（1）/（%）为定义域R上的奇函数,证明见解析；

⑵/8）为R上的增函数，证明见解析；

⑶[0,1）.

【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；

答案第10页，共14页

（2）根据函数单调性的定义证明即可；

（3）通过奇偶性和单调也去掉符号“/”，得到不等式m-2+2or+1＞0恒成立，列出不等式

求解.

【详解】⑴为定义域R上的奇函数,

证明：易知/。）为定义域为R,关于原点对称，

又由/（T）=卜4；广一=-/（%）,故/（x）为奇函数；

（2）函数在R上单调递增，

证明：任取与/WR，且内〈天，

百(|七|+1)-七(卬+1)

可得小）7（小帚一京T

(NI+D低1+1)

分子M闯+1）-%（归|+1）=（可引f归|）+（%-七），

当/、々同号时，不妨设％NO,「NO,则天网一切M=0,

此时（与国一引％|）+（%-4）=%一天＜。，

当毛、与异号时，不妨设X＜。，勺＞。，

则％同-引得标也＜0,且H〈0,

此时（xj占卜芍归|）+（3-/）=办/+内一々〈°，

又因为（㈤+。（同+1）＞0,所以〃百）-〃p）＜0,

即/（%）＜/（$），故/⑴为R上的增函数;

（3）由为奇函数,

2

由/(a/+33)+〃]一火)>(),可得/(ar+3aY)>-/(]-ar)=y(at-l),

乂因为了（“）为定义域R上的增函数，从而有012+3,a＞仆-1对于任意实数x恒成立,

即a?+2ar+l＞0对于任意实数%恒成立,

当〃=0时，不等式化为1＞0恒成立;

当"0时，要使加+2ax+1＞0对于任意实数工恒成立，

a>0

则需要满足

A=(2«)2-4u<0'

答