2025-2026学年高二年级上册第三次学业质量监测数学试题（解析版）

九十五中学2025-2026学年度第一学期

第三次学业质量监测

高二年级数学试卷

一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分.）

1直线/:“+肉，—1=°倾斜角是（）

7171—2兀

A.-B.-C.--D.

633

【答案】D

【解析】

【分析】将直线方程化简为斜截式方程，即可求出斜率，从而求解倾斜角.

【详解】因为/：X+6），-1=0,即），=一立立，所以斜率为一立，

333

设直线的倾斜角为a,a兀），

则lana=-立，所以。=等.

36

故选:D.

2.若｛4瓦寸是空间的一个基底，则也可以作为该空间基底的是（）

A.b+c,b,-b-cB.a,a+b,a-b

C.a+b,a-b,cD.a+b,a+b+cyc

【答案】C

【解析】

【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可.

【详解】对于A项，易知5十^=一（一5-（5）,则A项中向量共面，不符合；

对干B项，易知2五一（己十5）=1一5,则B项中向量共面，不符合；

对于D项，易知）十办+,：=b+日+《：，则D项中向量共面，不符合；

对于C项，易知ci+B,ci-不共面，即C正确.

故选:C

3.在等差数列｛q｝中，4+3/+%=60,则3%一小的值为（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的性质即可求解.

【详解】由于｛q｝是等差数列，所以4+43=2%,故q+3%+%3=5%=60=>%=12,

3%-al3=a9+a9+a9-%=阳+为+旬一％=2a、=24,

故选：C

4.已知圆f+9=2,直线/:J=A+1,则圆上到直线/的距离等于血的点有（）个

A.IB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆/+丁=2的标准方程得到圆心和半径，计算圆心到直线的距离并判断直线和圆的位置关

系，再结合半径，判断到直线的距离为近的两条直线与圆的位置关系即可.

【详解】易知圆V+）,2=2的圆心为（0,0）,半径为后，圆心（0,0）到直线/:y=x+l的距离

二［=4＜血,

所以直线/与圆d+V=2相交，结合圆9+）,2=2的半径为血，到直线/的距

y/22

离为C的直线有两条,

可得一条与圆相离，一条与圆相交，因此圆上有且仅有2个点到直线的距离等于④.

故选：B.

5.在同一坐标系中，方程多+a=1与。丫+⑨、=05>6>0）的曲线大致是（）

【解析】

【分析】由。>〃>0,判断椭圆焦点在)'轴上，将火+勿2=0化成标准方程，即可判断焦点位置和开口

方向，得出结论.

【详解】由〃>/?>(),=1表示焦点在y轴上的椭圆,

3+与，2=()得),2二一:%，因一，<0,故该方程表示焦点在1轴上开口向左的抛物线.

bb

故选：D.

6.己知抛物线y2=2px(〃>0)上一点加(2,为)到其焦点的距离为3,则〃=()

A.gB.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可.

【详解】根据抛物线的定义，可知2+4=3,解得〃=2.

2

故选:B.

22

7.双曲线E：=1(。>0,力>0)的左、右焦点分别为片，F2，点/'是以6鸟为直径的圆与双曲线

b~

E的一个交点，若|PFj+|P国=1片修，则双曲线E的离心率为()

A39V39c164s

16477

【答案】D

【解析】

【分析】设尸点在了轴右侧，由双曲线定义可得|P用一|。引=2々，归用二3+4,归国=%-4,由

△尸耳心直角三角形，建立等式求解即可.

【详解】如图，设P点在。轴右侧,则|明|一|尸闾=),

因为0用+归用=%"用=/，

I乙

所以附|=++5圈=:1,

因为点。在以6鸟为直径的圆上,

所以居是直角三角形，|P制2+|力42=忻工「,

二公2,化简得/=77。2,

16

所以离心率6=£二点

a7

故选：D

8.已知直线4：4x—3y+3=0,/2:(w+2)x-(/7?+l)y4-/n=0(/nGR),则下列选项中不亚砸的是

()

A.直线，2过定点(1,2)B.当机=2时，“〃2

D.当“〃2时，心4之间的距离为1

C.当初=一1时，/(1/2

【答案】C

【解析】

【分析】利用动直线过定点的判定方法可判定A；利用两直线平行，垂直的判定可判断BC；利用两平行线

间的距离可判断D.

【详解】直线12的方程可整理为6（x-y+l）+（2x-y）=0,

因此它恒过直线x-y+\=O与2x-y=0的交点（1,2）,故选项A正确;

当m=2时，4的方程为©―3y+2=0,

其斜率与/,相同且截距不同，因此"〃,，选项B正确;

当〃2=-1时，A的方程为％—1=（），

即工=1,为垂直于x轴的直线，

4

而L的斜率为两者不垂直，故选项C错误；

当/“A时，得-4（加+1）=-3（m+2）,解得m=2,

|3-2|1

D

此时/2:4x-3y+2=0,与lt的距离为742+（二1'选项正确，

故选:C

9.已知正项等比数列｛《J满足：生肉二164,4+6=20,若存在两项使得”^匚=32,则

14

一■!—的最小值为（）

mn

3979

A.-B.—C.-D.一

41（）95

【答案】A

【解析】

【分析】由已知求出等比数列的基本量q均，得通项公式，再由夜工=32,得机+〃=12,将“1”代

换，再利用基本不等式求最值即可.

【详解】等比数列｛q｝中,

=16牝,aj=16a$,/.=16.

Q%+%=20,=4,:/=幺=4,

•・•正项等比数列{q},.“=2,则％=/=2=1,\q=2”1

]()210

•.-7^A=32,:.aman=2,..2^-=2，

/.〃？+〃=12,且mji>0,

I41(14Y、1(n1(I〃4〃?13

ntn\2\mn)12\mn)12(VmnJ4

n

当且仅当一二——，即相=4,〃=8时等号成立.

mn

故选：A.

10.首项为正数，公差不为。的等差数列｛/｝,其前〃项和为S",则①若S|0=0,则%〉0,。6<0；

②若Sj=S12,则使S”>0的最大的〃为15；③若55>0,品<0,则｛S“｝中S?最大；④若S8Vs9,

则S7Vsr正确的选项()

A.①@③B.①②C.①②④D.②③®

【答案】C

【解析】

【分析】根据等差数列的通项公式和前〃项和公式以及等差数列的性质逐一计算判断即可.

【详解】因为首项为正数，公差不为。的等差数列｛《』，其前八项和为s“，

设首项为4则4>0,公差为d,则dwO.

10x92〃

①因为£0=104+—^—"=104+454=0,所以2q+94=0,所以"二—”<0.

29

所以。5=4+44=4(2%+Sd)=--d>0,4=4+5J=—(2a(+10J)=—J<0,①正确:

2222

4x312x11

②因为54=工2,所以44+三4=12%+‘一4,化简得24+15"=。，

所以心噜<。，所以。叫+吟,—吟噜>()•

解得0v〃vl6,所以使S”>0的最大的〃为15,②正确;

15x1416x15

③因为几>0,S16<0,所以154+—^—4=15/>0/64+—^—1=8(4+4)<0.

所以4>(),%+4<0,所以内<0,则｛5/中距最大，③错误;

④因为Sg<S9,所以S9-Sg=%>0,

当">0时，由6>0可知6>0；当d<0时，有%>々9>0，故仆>。恒成立，④正确.

故选：c.

三、填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分）

11.直线4：〃?x+2y-3=0与直线4：3x+（m-l）y+m-6=0平行，则〃?二,

【答案】-2

【解析】

【分析】利用两直线平行：斜率相等，纵截距不等即可求出结果.

>>73

【详解】由h〃a+2y_3=0,得到4：）=_耳工+],

因为〃〃2，所以加一1工0，由%+（m一l）y+加-6=0,得到），=———x--^—

"7-1m-\

m3

2/八

"T一加一6二0

2m-1即《

所以J3解得m=-2,

m-6mw3

—工

12

故答案为：一2.

7/?+1a..

12.已知两个等差数列{4},他』的前〃项和分别为S“和=（〃£N*），则消=

41

【答案】-##1-

33

【解析】

【分析】根据等差数列的性质与求和公式得到鲁二黑，从而得解.

AlT21

Sn7〃+1

【详解】因为kW

（q+%1）x21

所以包=%+%=2=且=7x21+1/

/?,,h]+b2,（4+3）x217；,4x21+273,

F

4

故答案为：一.

3

22

13.已知双曲线[-二=1（。>0）的一条渐近线与直线2x+y-3=0垂直，则。=.

a-4

【答案】4

【解析】

【分析】先求出已知直线的斜率，再写出双曲线的渐近线方程，利用两直线垂直时斜率之积为-1的条

件，即可解出。的值.

【详解】直线2x+y—3=0可化为y=-2x+3,斜率为一2，

v-2«?

双曲线二一匕二1的渐近线为y=±-x,

cr4a

两条直线垂直，斜率之积为-1，

22

不妨取渐近线斜率为一，贝h(-2)x-=-l,

aa

解得：a=4.

故答案为：a=4.

14.已知抛物线C:f=2p)，的焦点为尸(0/)，过点/且斜率为|的直线/交抛物线C于AB两点，则

线段AB的长为.

【答案】13

【解析】

【分析】求出抛物线的方程，利用弦长公式求解即可.

【详解】由抛物线C:/=2p)，的焦点为/(0』)，可得]=1,即〃=2,

抛物线方程为x2=4y,

zaQ

过焦点厂(0,1)且斜率为-的直线/方程为y=^x+l,

x2=4y

联立抛物线方程与直线方程：3，

y=—x+1

[-2

3

得/=4・(7%+1)=6工+4,整理得f—6x—4=0，

2

设3(月,%)，则x+%=6,g=-4,

弦长公式为：I=J1+1•+%2)2—4内々，

二(+(1、."2_4.(_4)=旧.'36+16=半.屈=半.2a=13.

故答案为：13

15.若直线)，二丘+2与双曲线犬-)，2=i左、右两支各有一个交点，则实数A-的取值范围是,

【答案】

【解析】

【分析】直线过（0,2）,根据渐近线斜率可得到取值范围.

【详解】当直线丁=丘+2与双曲线/一）,2=4的渐近线），=±x平行时，忆=±1,

此时直线与双曲线的其中一支有一个交点，

若直线），二丘+2与双曲线/一V=4的左、右两支各有一个交点,

可得直线y=kx+2一定在两渐近线之间,

则七的取值范围为（7,1）.

故答案为：（-U）.

16.如图所示，在棱长均为2的平行六面体43co-A&C'O'中，ZArAB=ZA'AD=ABAD=60°,

点M为BC与B'C的交点，则AM的长为.

【解

【分析】可以通过向量的加法将两表示为其他向量的和，再利用向量的模长公式同=>/户来求解.

【详解】根据向量加法三角形法则得到，AM=AB+BM=AB+BBi],

即疯二通+g通+g宿，即而2=（通+g而+；京）,展开得到，

AM2"南+,而2+1衣2+通.而+宿而+2.砺.女

442

运用数量积公式计算得到丽尸=4+1+1+2X2X-!-+2X2X-!-+1X2X2X-=11.

2222

因为丽=4丽2,所以|而卜jn.

故答案为：而.

四、解答题

17.已知圆C:（X—2『+（）」3）2=1.

⑴过点?（3,5）作圆C的切线/,求/的方程；

（2）已知直线A8:3x+y-8=0,判断直线A3与圆C的位置关系；如果相交，求直线AB被圆。所截

得的弦长.

【答案】⑴x=3或3x-4y+ll=0

（2）相交，弦长为之叵

5

【解析】

【分析】（1）对直线/的斜率是否存在进行分类讨论，在直线/的斜率不存在时，直接验证即可；在直线/的

斜率存在时，设直线/的方程为）-5=々。-3）,利用圆心到直线/的距离等于圆的半径求出k的值，综合

可得出直线/的方程；

（2）求出圆心到直线A3的距离，并与半径比较大小，结合勾股定理可求得直线A8截圆C所得弦长.

【小问1详解】

圆C:（x—2?+（y—3）2=l的圆心为C（2,3）,半径为1.

若直线/的斜率不存在，则直线/的方程为x=3,此时圆心。到直线/的距离为1,符合题意，

若直线/斜率存在，设直线/的方程为丁一5=女（五一3）,即依・广34+5=0,

片二号4解叫，

由题意可得

此时直线/的方程为y—5=[(x-3),即3x—4y+ll=0.

综上所述，直线/的方程为x=3或3x—4y+U=0.

【小问2详解】

|3x2+3-8|_710

圆心C到直线的距离为4二行+R=而<1,故直线与圆C相交,

直线AB被圆C所截得的弦长为2#一〃2=21

18.如图所示的几何体中，四边形4BCO为矩形，平面A8CR所〃AB,

4。=2,48=4b=2所=1,点尸为棱。厂的中点.

（1）求证：即〃平面APC；

（2）求直线EC与平面3b所成角的正弦值;

（3）求点尸到平面ACP的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

42

【解析】

【分析】（1）连接3。，交AC于点。，借助中位线性质得到M//PO,再用线面平行定理证明即可;

（2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出反和平面8C/的法向量，借助向量夹角公式计算即

可；

（3）运用向量法，借助点到平面的距离公式计算即可.

【小问1详解】

连接30,交AC于点。，

由P,。分别为。产和OB的中点，得BF//P0,

而POu平面APC,BF仁平面APCr

所以BA7/平面APC.

【小问2详解】

由直线人尸_L平面ABCD,AB±ADf以AB所在的直线为％轴,

以A。所在的直线为＞'轴，以AF所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系.

I

则8(1,0,0),0(0,2,0),C(120"(0,0』),E|J,0/J,P(0,1R,

2

BC=(O,2,O),BF=(-l,O,l),

设平面BCF的法向量万=（工,乂z）,

>-BC=2y=0

则<___令z=1,得而=0,0,1）,EC=

Ji-BF=-x+z=0,

设直线瓦:与平面8CT所成角的正弦值e,则

【小问3详解】

____/1

AC=(l,2,0),AP=l0,1,-

设平面APC的法向量为沅=（。,4c）,

m•AC=a+2b=0

则<'_i，令令=T,得一比=（2,-1,2）,赤=（0,0,1）

m-AP=b+—c=0

、2

IAT-w|2

所以点F到平面ACP的距离d=J一—-=-

帆3

19.若椭圆E：[+与=1（。＞人＞0）过抛物线?=4y的焦点，且与双曲线x2-y2=l有相同的焦点.

crb-

（1）求椭圆£的方程;

（2）不过原点0的直线/：y=x-l与椭圆E交于A8两点，求△043面积.

【答案】（1）—+y2-l

3

⑵-

4

【解析】

【分析】（1）由题列出。、尻c的方程，解之即可；

（2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积.

【小问1详解】

因为抛物线丁=4），的焦点为（0,1）,双曲线d—）,2=i的焦点为（土五,0）,

所以椭圆E的顶点为（0,1）,焦点为（±3,0）,即人=1,c=B所以/=〃+C2=3,

2

所以椭圆石的方程为,+），2=1.

【小问2详解】

y=x+]

2

联立方程组《x,消去)'，得3/+2户0

—+y2=l3

3

3

x=—

x=()2

解得.或，,不妨设A（0』）,

)二11

20.在等差数列｛q｝中，已知4=12,§3=18.

（1）求数列｛为｝的通项公式：

（2）若a=（-1）%,求数列也｝的前〃项和S“.

【答案】（1）%=3〃

3s偶数

⑵s〃=<

-+为奇数

【解析】

【分析】(1)设等差数列｛%｝的首项为％,公差为d,由题意列方程组，解方程求出％,d,再由等差

数列的通项公式即可得出答案；

(2)由(1)求出｛4｝,再由分组求和法求解即可.

【小问1详解】

设等差数列｛q｝的首项为4,公差为d,

4+3d=12

q=3

由题意得《c3x2,>解得，

3a.H------4=181Od=3

12

所以=3+(〃一l)x3=3〃；

【小问2详解】

因为4=3〃也=(-1)”4=(-1)"如i,

所以S.=—3+6—9+12—・・・+(—1)”・3〃,

当〃为偶数时，S„=(-3+6)+(-9+12)+...+[-3(7?-l)+37；]=|x3=y,

当n为奇数时，〃一1为偶数，

5”=(-3+6)+(-9+12)+...+[-3(〃-2)+3(〃-1)]-3〃=匕＞3-3〃=-二(〃+1),

,，〃为偶数

所以s.=2

一](〃+1),〃为奇数

21.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为g,且经过点

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在过点P(2,l)的直线(与椭圆。相交于不同的两点A,B,满足丽.两=收？若存在，求

出直线人的方程；若不存在，请说明理由.

r221

【答案】（1）、十、v=1（2）存在直线4满足条件，其方程为y=]X

【解