2025-2026学年人教A版高中数学必修第二册课时达标：第2课时 正弦定理

6.4.3余弦定理、正弦定理

第2课时正弦定理

一.选择题

1.在中，已知a=4,A=45°乃=60°,则边的值为（）

A.V3+1B.2V3-1

C.2V6D.2+2V3

2.在AABC中，已知A=60°//=4V3,Z?=4V2,MB等于（）

A.45°或135°B.135°

C.45°D.以上答案都不对

3.在aABC中，已知4：8：C=4：1：1,则a\b\c等于（）

A.4：1：1B,2：1：1

C.V2：1：1D.V3：1：1

4.在△AZ?C中，已知a=bsinA,则aABC为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

5.在“BC中，已知B二60°,最大边与最小边的比值为■，则三角形的最大角

为（）

A.6（）0B.75u

C.90°D.1150

6.（多选题）在△A3C中，已知A>3,则下列不等式中一定正确的是（）

A.sinA>s\nB

B.cosA<cosB

C.sin2/4>sin2B

D.cos2A<cos2B

7.在ZkABC中心二4力三,5cos（6+C）+3=0,则用B的大小为（）

8.在A45c中，角A,8,C所对的边分别为〃力,c,下列条件使得A43C无法唯一确

定的是（）

Az/=3,B=15°,C=25°B.〃=3,〃=4,C=40°

C.^=3,Z?=4,z4=40°Do=3力=4,3=40°

二.填空题

9.在△ABC中，已知3=45°,060°,c=1,则最短边的边长等于.

10.设ZkABC的内角A6C的对边分别为ahc.若«=V3,sin8=；，。=；，则

b=.

11.在ZkABC中，若“=75力二好,8二工,则A二.

4

12.在中,已知4二生,〃=V5c,则2二

3c

13.SAABC中，若C=2比则；的取值范围为

0

14.A43C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=g,cosC=》z=l,则

h=.

15.在AABC中，若a,b,c分别为内角4,8,C所对的边，则等三一等的值

bcosA-c31nA

为.

16.锐角三角形的内角分别是4IC,并且A>5.则sinA+sinB和cosA+cosB

的大小关系为.

17.在中，内角4,8,C的对边分别为a,be已知cosA=-,sinB=A/5COSC,

3

且。二四，则AABC的面积为.

三.解答题

18.在ZV18c中，已知A=60°,sin8=。=3,解这个三角形.

19.已知OO的半径为尺在它的内接三角形ABC中有

2/?(sin2A-siirC)=(V2f/-/>)sinB成立，求角C的大小.

20.已知方程『功cosAv+f/cosB=0的两根之积等于两根之和，且a,b分别为

△ABC的内角所对的边,试判断aABC的形状.

21.在△AAC中,sin%sin?"sin2C=sinZ?sinC.

⑴求A；

(2)若BC=3,求ZkABC周长的最大值.

6.4.3余弦定理、正弦定理

第2课时正弦定理

一.选择题

1.C

解析:由已知及正弦定理，得/=京广，

4sin60

:・b=

sin45°

2.C

解析:・.・sinB=些”=学之=史,・..8=45°或135°.又心瓦・・・A>B,.,・

a4V32

8=45°.

3.D

解析：TA+8+C=180°A：3：C=4：1：1,

."二120。，8=30°,030°.

由正弦定理的变形公式得a：b：c=sinA：sin3：sinC=sin120°:sin30°

sin30°=^：i：i=V3：1：1.

222

4.B

解析：・・・〃="sinA'・.•（」sinA二黑,

,sinB=1,又B£（0,兀）,B芍即△ABC为直角三角形.

5.B

解析:不妨设。为最大边工为最小边，

由题意有2=陋=四，

csinC2

prtsin4_百十］

sin（120°-A）~2

整理得（3-/5）sinA-（3+遍）cosA

.,.tanA=2+V3,5C0o<A<120°,...A=75°,即三角形的最大角为75°.

6.ABD

解析:A>8oo>Z?osinA>sinB,故A中不等式一定正确.

由于在区间（0,兀）内，函数产cosx单调递减，

cosA<cos8,故B中不等式一定正确.

取A=90°,8=45°,则sin2A=0,sin28=l,有sin2Avsin2B,故C中不等式不一

定正确.

VsinA>sinB>0,sin2A>sin2Z?,

/.cos24<cosD中不等式一定正确.

7.A

解析:由5cos(8+C)+3=0,得cosA二：,

/.AW(0,]),*,•sinA

由正弦定理得号=七，即。=工，

sin4sinB-sinF

5

sinB=~.

2

又a>b,・">B,且A£(0,»二Y

8.C

解析:分析选项A「・・a=3,8=15°,C=25°,

：.A=\40°，由正弦定理得〃=sin8x，-=sin15°x——,c=sinCx—=sin

sin4sinl40sinA

25°x」一,三边确定,二.△ABC是唯一确定的.

sinl40

分析选项B,〃=3，=4,C=4()"，由余弦定理，可得C=VQ2+b2-2abcos4弦=

A/25-24COS40°，三边确定,...△A6c是唯一确定的.

分析选项C,根据正弦定理与=即'^=二一，解得sinB=4sin4°".

sinAsinBsin40sinB3

•："b,0°<B<180°,・・・B可能为锐角也可能为钝角,A4BC不唯一确定.

分析选项D,根据题意，利用正弦定理可求sinA,由avb,可得A为锐角，三南确

定，三边确定,・•・zUBC是唯一确定的.故选C.

二.填空题

9.逅

3

解析:由三角形内角和定理，知A=75°;由边角关系，知B所对的边。为最小边;

由正弦定理一"=，能得以萼=阜=£

smZ?sinCsmC遗3

2

10.1

解析:在zvlBC中,・・・sin8=卯£（0,兀），

・・.8=乌或B=—.

66

又B+C<7C,C=-,AS=-,

66

2n

663

b..asinS,

布，・・Fr=i

sin/l

ii;或也

33

f2

解析:由正弦定理，得sin=苧=噂

DV22

又・・•A£(0,7C),a>b,：.A>民・•・A二四或空

33

12.1

解析:在zvlBC中V5c,

由正弦定理，得而=嬴

即施=就用得sinC=1

由于cva且Ce(o,7c),

故。吟则先吟七力.

故△ABC是等腰三角形方二C,则b=c^-=l.

C

13.(1,2)

解析:因为4+8+。=兀,。=2氏

所以A=7i-38>0,所以0<^<-,

3

所以工<cos8Vl.

2

因为:=则£=网竺=2cosB,

bsmBsinB

所以1<2cosB<2,故1<7<2.

b

-421

14—

13

解析:在^ABC中，由cosA=-,cosC二三,可得sin/4=1,sinC=^|,sin

DX«Z>DX

B二sin(A+O=sinAcosC+cosAsinC=竺，又。=1,由正弦定理得。=吧吧=_.

65s\nA13

15.0

解析:由正弦定理知，就=导=竟,

bcosC-asinC.

代入，一而中，

bcosA-c

得sinBcosC-sinAsinC

JsinBcosA-sinCsin/l

sinBcosC-sinFcosC-CDsBsinCsinC

sinBcosA-sinAcosB-cosAsinBsin/l

cosDsinCsinC

sinAcosBsinA

_sinCsinC

—■—

sin/4sin/l

=0.

16.sinA+sinB>cosA+cosB

解析:在锐角三角形中，

・・・4+5巧吟民

函数y=sinx在区间0用上单调递增，则有sin即sinA>cos8,

同理sinB>cosA,故sinA+sinB>cosA+cosB.

17.-

2

解析:因为A£(0,兀),cosA=|,

所以sinA=Vl-cos2i4=奈

因为V^cosC=sin3=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=^cosC+|sinC,

所以通cosC=sinC.

因为sin2C+cos2C=l,

所以sinC=-^,cosC=—.

66

所以sinB=V5cos

6

因为〃二&，就=竟

所以c=y/3.

所以AABC的面积=$rcsin8二亨.

三.解答题

18

解油正弦定理得三=七，

s:n4smB

即

s\nAsin60

由于A=60°,则8<120°,

VsinB=-,：,B=30°，则090°,

2

c=yja2+b2=V9+3=2V3.

综上力=V5,C=2A/5,8=30。，090。.

19.

解:因为2/?(sin2A-sin2C)=(V2tz-/?)sinB,

所(2/?)2(sin2A-sin2Q=27?(V2a-Z?)sinB,

由正弦定理得cr-<r=(V5<7-Z?)Z?,

即序+庐廿二伍Z?.

因为cosc=Q1『，