河北省某中学2025-2026学年高二年级上册期末数学练习卷（拔高版）含答案

河北省正定中学2025-2026学年上学期高二期末数学练习卷

(拔高版)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若直线!的方向向量为G=(-2,九1)，平面a的法向量为元=(2,1,-1),且〃/a,则兀=()

A.5B.1C.-1D.-5

2.已知/(%)是函数fQ)的导函数，若广(％)=%则lim八'°-2,-〃洵)=()

Z1X-»O”

A.-2B.2C.-8D.8

3.已知直线，i：x-2y-4=0的倾斜角为。，则直线，2：%COS2。+y+1=0的斜率A=()

A3n3厂4p.4

A.-B.--C.-D.--

-l,an>0,

4.已知数列｛a〃｝满足%=1,an+1=i则&022=()

^+i,an-0,

A.0B.C.1D.2

5.已知圆。1：/+y2=1与圆。2：/+y2一2x+2y+Z7=0(F<1)相交所得的公共弦长为心，则圆。2的半

径，=()

A.1B.<3C.店或1D.75

6.如图，在面积为1的直角zMiBiG中作使得砧；=［不匚,瓦瓦=瓦，以此类推，在44?82G

中，再作d/B3c3,…，记ZL4n与Cn的面积为％5=1，23…),则也/｝的前几项和为()

儿消-(〉嗔I)")B・黑-(如矶犷)

c-HG)nD.盗一(〉〃)(犷)

7.已知&,尸2分别为双曲线1(Q>0,b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得PR1P尸2,

旦七的内切圆与y轴相切，贝!该双曲线的离心率为()

A./2B.72+1C.73+1D.2/3+2

8.已知函数/(%)=-/(Q£R),若对"工£年,2卜使得/(%)<x/'(x)成立，则实数Q的取值范围是()

A/G，+8)B.偿,+8)C.&+8)D.(”8)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知数列｛斯｝的前几项和为S”，前几项积为〃，下列说法正确的是()

A.若〃=则即=各歹

B.若0n=27-3n,则%的最大值为S&=Sg=108

2

C.^an=-n+2An,且对任意九WN",g>即+i恒成立，则，，<|

D.若｛即｝为正项等比数列，。1。0・%04<1，则使得4>1的n的最大值为203

10.《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载有几何体“刍薨”.现有一个刍薨如图所示，底面

A8C。为正方形，E尸〃底面“8C0,四边形/BFE,COEF为两个全等的等腰梯形，EF=^AB=2,AE=3,

0是底面的中心，点P是OF上一点，则()

A.直线AE与直线CF所成角的余弦值为£

B.三楂锥P-4OE的体积为定值£

C.直线PE与面40E所成角的正弦值的取值范围是焦学］

D.点E到面BDF的距离为1

11.已知过点。(1,0)的动圆「与直线工=-1相切，MN是圆心P的轨迹上的不同两点，0为坐标原点，则()

A.圆心P的轨迹是抛物线，方程为y2=2%

B.若|QM|=4,则4Q0M的面积为C

C.若MN过点Q,则丽•丽=-3

D.若ZMQN=60。，MN的中点B在直线x=-1上的投影为C,贝J|BC|W|MN|

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.记等差数列｛时｝的前几项和为若a[+=0,S7=21,则公差d=.

13.若点4(1,一1,1),1(232),点P是yOz平面上一点,则|P川+|PB|的最小值为.

14.已知函数f(x)=｛臂:2：!QX<0的图象上存在不同的两点小乩使得曲线y=f(x)在这两点处的切

线重合，则实数a的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

已知448c顶点力(1,2)、8(—3,-1)、C(3,-3).

(1)求边8C的垂直平分线，i的方程；

(2)若直线。过点4且。的纵截距是横截距的2倍，求直线%的方程.

16.(本小题15分)

已知数列｛*｝的前九项和为%,且%=20n+九.

(1)求证：｛册一1｝是等比数列，并求出｛Q,｝的通项公式；

(2)设bn=：--——~7\-----?求证：+b2+b3d++bnn<l.

'，log2(l-an)log2(l-an+1)

17.(本小题15分)

在平面直角坐标系％Oy中，已知点做一1,0),8(3,0),动点;户满足锵=C，设点:P的轨迹构成曲线C.

(1)求曲线C的方程及轨迹；

(2)设点Q(x,y)是曲线C上的任意一点，求x+2y的取值范围.

18.(本小题17分)

B

如图，圆柱。。］的轴截面NCG4是边长为4的正方形，点8是AC二一点，且BC=248,连接力8,BC,

&B,过点力作4EJ.力道于E.

(1)求证：4EJ•面ABC；

(2)连接。4,在线段04上是否存在一点。，使得面48C与面BCD所成角的余弦值为零，若存在，试确

定点。的位置，若不存在，说明理由.

19.(本小题17分)

已知函数/(%)=In%-a/-QX,g(x)=e"—号/+lnx(e为自然对数的底数)，其中a6R.

(1)讨论函数/•(%)的单调性；

(2)若方程/'(%)=g(x)在(0,+8)上恰有两个不同的实根，求a的取值范围.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】•••/〃明•,•11元，即五•H=—4+4-1=0,二4=5.故选：A.

2.【答案】C

[解析】Iim小。"-小）=_同=_不。）-?广。-2何=-zfXx0）=-8.故选：C.

limzIimuy

4XTO4X-*0±-2AX』XTO2AX、

3.【答案】B

【解析】•*,tan。=I，0G[0,7i）co解=§^,cos2。=2cos2。-1=Zc=-cos2G=一*故选：B.

4.【答案】B

a==X=

【解析】•••Qi=1>0，二Q2=]-1=一：<0，3~T-=2>o,a412-1=0,a57T7=1»...»

2/—/I/"I

，*4=斯，二。2022=。2=-"•故选：B.

5.【答案】0

【解析】。1：产+y2=1与。2：/+、2_2%+2y+F=0（F<1）两式相减得2:2x-2y-F—1（F<1）,即

公共弦所在直线方程，圆。2方程可化为。2：（%-1）2+（丫+1）2=2-"（尸<1）,可得圆心。2（1,-1）,r2=

2-F,圆心。2到，的距离为d=工■"二啰,半弦长为苧，则有（啜>+（苧）2=丁2=2-8解得

尸=-3或尸=1（舍），此时r=，l故选；D.

6.【答案】A

【蟀析】由被;

12

可得42。2〃。遇1，4。2〃。181，A2C2=^C1A1,B2C2=^C1Bl,

所以A&B2c2是直角二角形,面积为S4A232c2=.B2c2=3,2。141Jc】Bl=‘SdAiBiQ=同理可得

S/A383c3=(§)2，…，

所以%=1,。2号，。3=信)1…g=(，，所以吗=",()\

所以9=1x1+2x/3x(J+…+n•(1)n-1,

=1xg+2xG)+-••+(n-1)-+n・停),两式相减得

2

72电

1

-%=+-++

99

(*)(§)故选:A.

7.【答案】C

【解析】如图，不妨设点P在第一象限，Q为内切圆圆心，E,EG分别

为切点，由于4尸尸1尸2内切圆与y轴相切，利用切线长定理可知&G=

FtE=a+c,F2F=F2E=c-a,所以内切圆的半径为a,又因为P&1

PF*所以四边形PGQ尸为正方形，所以PF=QF=a,所以PFz=c,

因为&F2=2C,所以PFI=CC,，PFi-PF2=(，^-l)c=2a,•••6=3彳=右+1.故选：C.

8.【答案】D

【解析】由<的'(%)得［与］'>0,设g(x)=牛=ae》一/,则对任意％G［1,2］,使得g'Q)>0成立，

即/(%)=ae"-2%>0成立，所以Q>作)成立，令人(%)=与，则/f(x)=_-2广=当工£

\e7maxe(ex)e

白>0所以心)在假,1］上单调递增，当Xe［l,2］,/lz(x)<0,/l(X)在［1,2］上单调递减，所以/l(X)max=

/i(l)=",所以a>2,故选0.

9.【答案】BC

【解析】对于A项，当n=1时，Qi==3当〃>2时，an=3-=M将n=1代入不成立，所以

1n-l(n-1)

l,n=1

a=/故人错误；

n7,riW乙

(n-1)2

对于8项，由册=27-3九之0得，n<9,所以S”的最大值为S&=S9=如磬〃=108,故B正确；

对干。项，因为对任意〃6N*,an>每+1恒成立，所以数列｛an｝是递减数列，由g=一*+22几是函数/(%)=

-x2+2衣图象上的点，所以数列｛册｝是递减数列，等价于%>。2,而函数/(幻的图象的对•称轴为直线％=九

所以2即可，故C项正确；

对于。项,由。101,a102>1得7202=al*a2a3…a201'a202=(al'a202)101=(a101,。102)血>1,

由Gioo,。104v1得7203=al*a2a3…a202'a2Q3=a1022°3=(a100'a104)2V1，

则使得1的九的最大值为202,故。项错误，

故选：BC.

10.【答案】ABD

【解析】以点。为坐标原点，过点。分别作力8,BC的垂线为x轴，y轴，建立如图空间直角坐标系,

z轴过EF的中点，设y轴与力。的交点为G,则点G为4。的中点,连接EG,则EG1AD,所以4G=2,EG=/5,

过点E作EH1OG于H,则E”=2,则有4(2,-2,0),E(0,-l,2),C(-2,2,0),尸(0,1,2),所以荏=(-2,1,2),

CF=(2,-1,2),所以cos<^，而>=一上，所以直线4E与直线CF所成角的余弦值为今，故立项正确；因

为OF"EG,所以。F〃面ADE,所以点P到平面ADE的距离等于点。到平面力DE的距离是定值，所以/.血2=

V0-ADE=VE-AOD=1-1-4-2-2=1,故B项正确;设点P到平面ADE的距离为h,由％"E=1•SAADEh=^

可得无=¥，设直线PE与面AOE所成角为a,则sina=白，又PEE[¥，C],所以直线PE与面ADE所成

DtC»D

角的正弦值的取值范围是《,1]，故C项错误，而=(4,4,0),而=(2,3,2),乔=(0,2,0),设平面3。户的

法向量为记=(x,y,z),由｛飘二闾MM上0^不妨取、=-炯=(…5所以点5到

面BDF的距离d=瞎!=丁上仁=小故。项正确，故选；ABD.

网万记3

11.【答案】BCD

对于A：设尸(x,y),由J(%—1)2+y2=氏+1|得方程y2=4%,故A错误；

对于B：由选项4可知，Q为焦点，设M(x,y),则x+l=4,可得％=3,从而可得|y|=2，W,

SAQOM="x\OQ\x|y|=ix1x2/3=/3,故8正确；

对于C：若MN过点Q,设M(X],y1),N(%2，y2)，则由焦点弦的性质可知％产2=先%丫2=一P?，所以加？・丽=

+y/2=一当~=-3,故C正确；

对于。：设|MQ|=a,WQI=b，由抛物线定义,得|MS|二|MQ|,|NQ|=|N7|,

在梯形MN7S中，•••2|BC|=|NT|+|MS|=Q+b.

由余弦定理得,|MN|2=。2+82-2abcos60。=a?+/)2-ab配方得，|MN|2=(0+b)2-3ab,

又♦：ab<(竽产，，(a+Z?)2-3ab>(a+b)2-1(a4-b)2=；(a+b)2,得到|MN|>|(a+b).

|MN|N|BC|.故D正确；故选：BCD.

12.【答案以

【解析】•・•$7=7。4=21,。4=3,即%+3d=3,又因为%+%=2%+2d=0,即即+(/=(),解

得d=|.故答案为：|.

13.【答案】/26

【解析】由题意可知，点48在平面、。2的同侧，点4(1,一1,1)关于平面丫02的对称点为以一1,一1,1),则|P川=

\PC\,所以|P川+|PB|=|PC|+|PB|N|BC|=V9+16+1=侬,所以|P川+|P8|的最小值为，左.

故答案为：/26.

14.【答案】(-8,1+E2)

【蟀析】当%>0时，/(%)=In%的导数为，(%)=p

当%<0时,f(x)=x2+2x—Q的导数为/'(%)=2%+2；

设4(工1，/(无1)),8(^2,/(孙))为该函数图象上的两点，且

当小V必V0,或0<X1<#2时，*尸(必)，故与<0<%2»

当X]<0时，函数/(%)在点4(右,/(勺))处的切线方程为

2

y-(xf+2%i—a)=(2xj+2)(%-xt),即y=(2%j+2)x—x1—a,

“2>。时，函数/Q)在点8(八2，/(义2))处的切线方程为

y-lnx2=-x2)»即y=.百+1%―1.

两直线重合的充要条件是工=2勺+2①，lnx2-l=-xl-Q②，

x2

%+11112x

由①及与<0<M得一1<与V0，将①代入②得Q=-In2^+2~1=(i+2)-*+1,

令匕(%)=ln(2x+2)—x2+1(-1<x<0),则/i'(x)=-2x=与+jx+l>0,

所以M%)在(-1,0)上为增函数，所以h(x)Vh(0)=l+ln2,x->->-oo,a<1+ln2.

15.解：⑴由于MC=^=T，所以A的斜率为k=3,BC中点M的坐标为M(0,—2),则由斜截式可得,

直线。的方程为y=3%-2；

(2)当横、纵截距均为0时，。的斜率为2,所以，2的方程为y=2工；

当横、纵截距均不为0时，设。的方程为:+W=L因为纵截更是横截距的2倍，所以匕=2%乂。因为

过点4所以：+看=1,解得a=2方=4,所以直线，2的方程为2x+y—4=0,综上，直线%的方程为y=2%

或2%+y-4=0.

16.(1)证明：数列｛Q,J的前n项和为1，且％=2%+儿

可得Qi=-1,S-i=2。时1-(n-1),n>2,

口「得Sn—Sn_]=2an-2a”-i+1=an,解得=2an_i—1,

整理可得-1=2(册-1—1)(n>2),又为-1=-2

所以｛Qn-l｝是等比数列，首项为-2,公比为2,

n1n

所以：an-1=(-2)-2-=-2,

所以即=1-2n.

n,,+1

(2)证明:bn-叫2(1一加.唾2(1一%+i)一)og22log22-n(n+l)~n~n+T*

所以仇+匕2+%+—+5=1一;+^-3+…：一今=1一言<1•

即瓦+匕2++…+<1♦

17.【答案】(1)设P®y),由蹲得(x+l)2+y2=3[(x-3)2+y2],

"I

2

整理得/+y2_10x+13=0,即Q-5)2+y=12,

曲线C是的轨迹以C(5,0)为圆心，半径为的圆；

(2)由题可设％=2A/3COS8+5,y=2>/_3sin0,8eR,

__«/a)I

所以x+2y=2V_3cos04-5+4\f3sin0=2x/~T5sin(0+3)+5,其中sing=^==,cosq)=^==*

所以当$也(。+0)=-1时，x+2y有最小值5-27,

当sing+3)=1时，X+2y有最大值5+2，运，

所以％+2y的取值范围为[5-2/15,5+2/15],

18.解：（1）因为母线4411.底面力BC,所以441J.BC,因为4c是直径，所以力818C,因为A41n力B=4

所以BC1面所以8C1AE,又因为AElAM，418nBe=8,所以AE1面々BC；

（2）假设在线段04上存在一点D,

由题意以0为坐标原点，过。作力C的垂线为“轴，AC,。。1所在直线为y,z轴建立如图所示的竺间直角坐标

则0(0,0,0),。1(0,0,4),8(6-1,0)，做0,-2,0),711(0,-2,4),。(0,2,0),二元二(-/3,3,0),G47=(0,-4,4),

设平面力道。的一个法向量为元=(x,y,z),

则£吃=一门"+3'=°,令=6z='

(n•CO1=-4y+4z=0

故平面48C的一个法向量为济二

设而=4西=(0,-24,44)(0<A<1),则而=CO+OD=(0,-2,0)+(0,-24,44)=(0,-2-244>),

设平面8C。的一个法向量为沅=（%y,z）,

则m-BC=­V~3x+3y=0

令％=V3,y=1,z=

'ITHCD=(-2-2A)y+4M=0'

故平面BCD的--个法向量为五=（、小,1,综i）,

Z/t

“一喑，解得入=2或%=_（（舍），

•••।cos<n,一m>、\I=',■,=--"-+-1-+-司——

1VJ