2024北师大版八年级数学下册复习：将军饮马模型求最值（专项突破）

微专题04将军饮马问题求最值

题型1两定一动

行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马''问题.

（1）线段A8=3,C4_LA8于点4且C4=1,O8_L48于点4且2）4=3,点尸为线段A5上任意一点，则图

1中PC+PD最小值为:图2中PC+PQ最小值为：

⑵如图3,VA8C中，ZB=9i：）°MB=4,BC=2,点。是AC边的中点，点〃是AB边上任意一点，则

PC+PD的最小值是；

（3）如图4,VA8C中，N84C=90°且A8=AC=Ji，作4。28c于点。，过A点的射线力始终平行

于BC,点E是高人。上任意一点，点尸是射线机上一点，点G是线段人B上一点，且始终保持

AF=EA=BG,则BE+O厂的最小值为；则KE+DG的最小值为.

【答案】（1）5；5

⑵而

⑶舟《

【分析】本题考查了勾股定理解三角形，图形对称的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的

判定与性质，解决本题的关键是作点关于直线的对称点转化边的关系，以及作辅助线构造全等三角

形.

（1）连接C。交48于点P,由点。，点P,点C三点共线时，PC+PD最小,结合勾股定理即可求

解；作点。关于A/3的对称点C',连接。C交44于点P,连接CP,根据图形的对称性可知，当点

C,点P,点。三点共线时，PC+叨最小，由此求解即可；

（2）作点C关于AB的对称点C,连接。。'交A8于点P,连接CP,根据图形的对称性可得

PC'=PC,即当点C',点、P,点。三点共线时，PC+PD最小,由此求解即可；

（3）先由边角边的证明方法证明△R4E与VC4/全等，即可得=再由由图形的对称性可知，

当点以，点F,点C三点共线时，BE+DF最小,结合勾股定理求解即可；做辅助线构造全等三角

形，由此可得KG=8E,再由点K,点G',点。三点共线时，8E+DG最小，结合勾股定理求解即

可.

【详解】（1）解：连接CO交A8于点P,过点。作C7/_L04交。4的延长线于点〃，如图,

D

✓

Ar-/------------\B

/P!

............EH

图1

■:PC+PDNCD,

，当点。，点P,点C三点共线时，PC+PD最小，

*/CH=AR=3,DH=DB4-BH=3+1=4,

由勾股定理可得，CD=ylCH2+DH2=V32+42=5»

:.PC+2力最小值为5；

作点C关于AB的对称点C,连接DC交A4于点P,连接CQ,如图,

由图形的对称性可知，PC=PC,

*/PC+PD=PC'+CDiCD,

・•・当点C',点尸，点。三点共线时，PC+PD最小，

同理可求C/=5,

:.PC+尸。最小值为5；

故答案为:5；5；

（2）解：作点。关于48的对称点C,连接。C交A8于点P,连接CP,

过点、D作DH上BC交BC于点H,连接8。，如图，

A

BHC

图3

由图形的对称性可知，PC=PC,BC=BC=2,

，当点C,点P,点。三点共线时，PC+P£＞最小,

即PC+PD=PC+PD＞CD,

•・•在VABC中，/8=90。,48=4,8。=2,

有勾股定理可得4c="序+灰丁="2+2?=2亚，

•・•点。是AC边的中点，

・•.BD=CD=-AC=45t

•••△8DC为等腰三角形，RDH工BC,

：.BH=HC=-BC=\,

2

在RtV8”£＞中，DH7BD?-BH，=/闻・==2,

，CH=CB+BH=2+1=3,

在RtVCT/。中，Cm=JC〃2+D〃2=,32+2?=/，

・•・则PC+尸£＞的最小值是V13；

故答案为：＞J\3；

(3)解：连接C/7,作点。关于射线,〃的对称点加，

连接CQ'交射线〃?于点尸，连接。尸，如图，

•・・VA4c中，N/MC=900且H8=AC=&,

・•・VA8C为等腰直角三角形，

:.BDMJG+AC。=J(可+(可=2，

且ZAC8=45。，

,/ADJ.BC,

・•・A。为-B4C的角平分线，即NB4£=45。，

•・•射线〃?IIRC,

:.ZACB=ZC4F=45°,

:.ZBAE=ZCAF,

在△RAE与VC4/中，

AB=AC

«NBAE=NCAF,

EA=AF

・•・ABAE^AC4F(SAS),

:.BE=CF,

由图形的对称性可知，4D=AO,。"=。尸?，

，当点以，点八点C三点共线时，BE+DF最小,

即I3E+Dk=Cf+Db>CD',

：.CD=-BD=\,

2

又AD=JAC2-CD?=/用=1,

ADiy=2AD=2,

在中，CU=ylCD2+D'D2=Vl2+22=75»

，BE+DF最小值为百；

作8K||AO,使BK=AB,连接KG,连接K。交A8于点G',如图,

图4

BK\\AD,

・•・/KBG=/BAE,

又BK=AB,EA=BG,

在AKBG与ABAE中,

BK=AB

NKBG=NBAE,

EA=BG

・,.△OG^A^E(SAS),

:.KG=BE,

，当点K,点G',点。三点共线时，6E+£)G最小，

即BE+DG=KG+DGNKD,

'；BK=AB=应，BD=1,

由8K||A。，

；・NKBD=90。,

在RSK8£)中，KDZBK;BD?=J(可+==5

・♦・4&+ZJG的最小值为J5.

故答案为：石；

2.（24-25七年级下•黑龙江大庆・期末）如图1,已知直线/与x轴交于点4。,0）,与1轴交于点8（0,3）,

以A为直角顶点在第一象限内作等腰RI/XABC,其中N84C=90。,A8=AC.

(1)求直线/的解析式和点C的坐标；

(2汝口图2,点M是8c的中点，点。是直线/上一动点，连接尸M、PC,求PM+PC的最小值，并求

出当PM+PC取最小值时点尸的坐标：

⑶在(2)的条件下，当PM+PC取最小值时.直线上存在一点。，使品核=卒4皿，求。点

坐标.(直接写出答案)

【答案】⑴y=-3x+3；C(4,l)

(2}

(2)5；P-J

IJJ

(3)(4,3)或(一2»一1)

【分析】(1)利用待定系数法求出直线/的解析式，过点。作轴，则

ZAOB=ZCDA=ZBAC=90°,证明△AOBg^C£)A(AAS),得到AO=O8=3,QA=CO=I,贝ij

OD=4,即可得到点C的坐标；

(2)延长C4至E,使得C4=AE,即点A为CE的中点，当点尸在直线上时，即直线EM与直线

A5相交，联立解析式即可求出答案；

(3)分三种情况进行解答即可.

【详解】⑴•••4(1,0),3(0,3),

.•.04=30=1,

设直线/的解析式为)，=，刈+%

将A(l,0),8(0,3),代入丁=如+〃得，

m+〃=0

‘〃=3

/.y=-3x+3,

过点。作CD_Lx轴，则NAO3=/aM=NB4C=90。,

ZBAO+ZCAD=ZCAD+ZACD=90。，

:.ZBAO=ZACD,

又•.•A8=AC,

.'.^AOB=^CDA^J\AS^,

/.AD-OB-XOA-CD-\,

:.OD=A,

则点C的坐标为（4,1）；

⑵由⑴可知，点A的坐标为（1,0）,点3的坐标为（0,3）,点C的坐标为（4,1）,

•••点〃是8C的中点，

•••点M的坐标为（写，审）即：M（2,2）,

延长C4至E,使得C4=AE,即点A为CE的中点，

.・•点E的坐标为（2x1-42x0-1）,即E（-2,-l）,

•."AC=90。，

.•.48垂直平分。以

连接庄，则庄=PC,

:.PM+PC=PM+PENEM,当点P在直线EM上时取等号,

由勾股定理可得：EM=J（-2-2『+（T-2）2=5,

设直线EM的解析式为：3?=犯%+%,

解得:

.,•直线EM的解析式为：）'=：x+；，

当点尸在直线上时，即直线EM与直线A8相交,

y=-3x+3_2

得，31,解得：r一a,

），=1

即此时点/，的坐标为（I』

综上，PM+PC的最小值为5,此时点尸的坐标为

113

⑶vS^=-OAOB=-xlx3=-,

JL4

…10。io35

则SJPQ=万醺八。^=3X5=3,

过点八作Ab_Lx轴交直线PM于F,

当点Q在点尸右侧时，SRQ=；4F（%-X〃）=；X；X&-1）,

•q

・・

解得：々空

士10.310^1.

当々=7时tH，>,<»=4X7+2=3

即此时点。的坐标为件31；

IJ)

当点Q在点尸、点尸之间时，s.

当点。在点尸左侧时，山卬=3"(*-々)=，%(1-勺),

解得:xQ=-2t

当/=-2时，%=[x(-2)+；=-1,

1~

即此时点。的坐标为(-2,-1)；

/inAin

综上，存在点。的坐标为不，3或(-2,-1)时，SfPQ=£SdAOB.

【点睹】此题主要考查了•次函数的图象，一次函数的交点坐标，待定系数法求•次函数的表达式，

利用轴对称的性质求短路线，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，理解一次函数的图象，熟

练掌握待定系数法求一次函数的表达式，利用轴对称的性质求短路线的方法，全等三角形的判定与性

质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点.

3.(24-25八年级下•重庆开州•开学考试)如图，点E在等边三角形48c的边3c上，AB=10,BE=6,

射线CO_L8C,垂足为点C,点尸是射线CO上一动点，点5是线段A8上一动点，当P/双得最小值

时，此时PF的长为；当EP+bP取最小值时，则此时8歹的长为.

【答案】57

【分析】当夕F取得最小值时，则点产与点A重合时，记为“'，过点广作尸'P_LCD，连接产E,结合

等边三角形的性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，得出当。尸取得最小值时，此时的长为

5,作£点关于C。的对称点E,连接则当£,P,产三点共线，且ET_LA3时、此时EP+FP

的值最小，由题意可得NFE4=30°,则3E=2M,再设=BE=6,可得2r=2CE+6,然后

结合A8=8C=BE+CE=10,解得CE=4,即可作答.

【详解】解：依题意，点。是射线上一动点，点尸是线段A8上一动点，

，当尸产取得最小值时，则点尸与点A重合时，记为尸'，过点尸作尸产_LCD,连接产E,

如图所示，

•・•等边三角形A8C的边8c上，A8=10,

・•・AC=10,PB=90。一ZACB=90°-60°=30°,

・••在RsPCk中，P,F,=^AC=5,

即当P厂取得最小值时，此时P尸的长为5；

如图，作E点关于C。的对称点£,连接PE',

••PE=PE,,

EP+FP=PE+FP,

二.当£,P,尸三点共线，月.E尸J.A4时，此时夕E+。的值最小，即EP+FP的值最小,

•••VABC是等边三角形，

・•.ZB=60°,

•••E'FA.AB,

，ZfTB=30°,

，BE=2BF,

设由'r,

RP=2r,

,;BE=6,CE=CE,

2r=2CE+BE=2CE+6,

•・•AB=BC=BE+CE=1（）,

・•・解得：CE=4,

2r=2x4+6=14,

:.r=7

故答案为：5,7.

【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求

解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐用互余，含30度角的直角三角形的性质，

线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解

题的关键.

4.（23-24八年级上•天津河西•期末）如图，在V48C中，N8=60。，BC=12.点M在BC边上，且

（1）线段MA+N。是否存在最小值？.（用“是”或“否”填空）

（2）如果线段MQ+NP存在最小值，请直接写出3N的长，如果不存在，请说明理由

【答案】是y

【分析】本题考查了对称的性质，含3（）。的直角三角形，垂线段最短.解题的关键在于对知识的灵活运

用.

（1）如图，作M关于直线C7）的对称点/W,过AT作M5VUAB于N',交CD于P,连接用由对

称的性质，垂线段最短可知M产+N尸最小，即MP+NP存在最小值；

（2）由（1）可得时，MP+NP存在最小值，ZM3M'=30°,BN'=-BM\

2

BM'=BC+CM'，进而可求BN的值.

【详解】解：（1）如图，作M关;直线CO的对称点M',过"作A/N'_LAB『N',交CDJP,连

接MP

由对称的性质可知M/=M尸，CMf=CM=-BC=3

4

MP+N'P=MP+N'P=M'N'

MN_LAB

二MM的长度最小

・・・M产+NF最小，即MQ+NP存在最小值

故答案为：是.

（2）由（1）可得时，MP+NQ存在最小值

ZB=60°,/MNB=90。

二/N'BM'=30。

：.=

2

•:4"二皮?+CW'=12+3=15

・•.13^=—

2

・・・&v的长为三.

故答案为：—

5.（24-25八年级上•辽宁大连•期中）【课题回顾】

在学习《13.4课题学习最短路径问题》时，根据“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”探究了“将军

饮马"和''造桥选址''两个问题，并初步运用探究经验解决线段和最小值的数学问题.

【问题探究】

如图1,在等边V/WC中，点。为8C中点，点尸，Q分别为AC,8C上的点，AP=CQ=2,

DQ=\,点”是线段八。卜的动点,连接MP.MQ,求MP+MQ的最小值.

（1）小明提出的探究思路如下：如图2,作点Q关于宜线A。的对称点Q',连接尸。'交AD于点M,

连接M。，根据“两点之间，线段最短”，可知此时的值最小.

①请你运用小明的探究思路，证明此时MP+MQ的值最小；

②求MP+M。的最小值.

【类比探究】

（2）如图3,在平面直角坐标系中，点4坐标为（4,0）,点8为>轴正半轴上一点，连接力8,

ZABO=30°,点。为AB中点，OO平分ZAO4交边A8于点。，点。为边03上的一个动点.若点M

在线段上，连接用C,MP,当MC+MP的值最小时，请直接写出点尸的坐标.

【答案】（1）①证明见解析；②最小值为4；（2）（0,2）

【分析】（1）①在A。上另取一点M',作点。关于直线AO的对称点为Q',Q'在3C上，点M,M'

在AO上，连接尸M',MU,MQ,则=MQ=M宴,在△MAQ'中，根据三角形的三边

关系即可得证；②先证A8=AC=8C=2C。，^C=60°AD±BC,再证ACPQC是等边三角形，利

用等边三角形的性质即可得解；

（2）作点P关于。。的对称点N,由C。平分NA03知点N在。4上，连接MN,由两点之间线段最

短及垂线段最短得当。、例、N三点共线，且CN_LOA时，PM+PC最小，证△MPO和"WNO都是

等腰直角三角形，得OP=PM=MN=ON,再证/CAN=/A8O=30。，得AN=，AC,进而求得

2

AN=-AC=2,从而得OP=ON=OA—AN=2,即可得解.

2

【详解】解：（1）①证明：・・・VA8C是等边三角形，

：.AB=AC,

■:点D为BC中点,

*,*AO垂直平分BC,

如图，在AO上另取一点“，作点Q关J•直线A。的对称点为Q',Q'在8c上，点M,M'在AO

上，连接尸AT,M。，MQ,

・・・MQ=M0,M,Q=M,Q,,

:.MP+MQ=MP+MQ=PQ,

在AMPQ'中，PQ'vPM'+MQ',

...MP+MQvPM'+M'Q,

:.PQ即是MP+MQ的最小值；

②解：•••△A8C是等边三角形,点。为8c中点，

/.AB=AC=BC=2CD,NC=60。，ADIBC.

•；CQ=2,D0=1,

CD=BD=CQ+DQ=3,

・•・AB=AC=BC=6,

•・•点。关于直线A。的对称点为e,

:.DQ=DQ=\,

.・.BQ'=AP=BD-DQ'=2,

：.CP=CQ,=AC-AP=I3C-BQ,=4,

•・•/C=60。

•••△CP如是等边三角形，

・•・0Q'="=4,

•・MP+A7。的最小值为4；

(2)作点P关于。。的对称点N,由C。平分NAO8知点N在。4上，连接MN，由两点之间线段最

短及垂线段最短得当C、例、N三点共线，且CNJ_Q4时，PM+PC最小，

/.ZOPM=ZONM=90°,PM=PN,

；・MP上OB,

由题意可得0A_L08,

••,CO平分NAOB

:./POM=NM0N=45°,

・•・&MPO和AMNO都是等腰直角三角形,

：・OP=PM=MN=ON,

,:CNLOA,OB1OA,

：.OB\\CN,

/./ACN=/ABO=30。，

・•・AN=』AC,

2

•・•点A坐标为（4,0）,

JAO=4,

•・•480=30。，

JAB=2OA=8,

•・•点C是AB的中点,

AC=—AB=4,

2

:.AN」AC=2,

2

：,OP=ON=OA-AN=2,

・•・P（0,2）,

故答案为：（0,2）.

【点睛】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称的性质，30度直角

三角形的性质，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握两点之间，线段最短，坐标与图形，轴对称

的性质，30度直角三角形的性质是解题的关键.

6.（24-25八年级上•四川成都・期末）如图，已知直线y=与V轴交于点A,直线）=日+人与x轴交于点

M］。），直线产》+1与直线丁=心+》交于点C（l,2）.

IJ/

⑴求四边形AO8c的面积；

⑵若动点M在％轴上，当M4+A/C为最小值时，求这个最小值及直线AM的表达式；

⑶在平面内直线8c的右侧是否存在点使得以点/＞、B、C为顶点的三角形是以8c为腰的等腰直

角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1£

O

⑵M4+MC的最小值为加，直线A例的表达式丁=-3%+1

（3）存在，点户的坐标为0g）或

【分析】一次函数与几何的综合应用，勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性

质；

（1）先求得点4（0,1），连接。。，根据市边形=+即可求解；

（2）先求得点A关于x轴的对称点。，根据轴对称的性质可得M4+MC的最小值为。。的长，进而得

出”的坐标，根据A,M的坐标，待定系数法求解析式，即可求解：

（3）分两种情况讨论当C8=CP,N8CP=90°时，当CB=BR/CBP=90。时,根据全等三角形的性

质，求得点尸的坐标.

【详解】（1）直线＞=x+l与轴交于点4,

当x=0时，y=\

・•・A（O,1）

连接oc,如图,

VA（0,i）,哈oj，c（l,2）

、

・•・四边形AOBC的面积=SA0C+Sgc

=—OAxx+—OBxy=-xlxl+—x-x2=-+-=—

2.cr2cr223236

(2)把点。(1,2)代入丁=丘+人得：

O=-k+b

3

2=k+b

k=3

解得：

b=-\

...y=3x7

当x=0时，y=-l,

设直线3C交了轴于•点O,则。(O,T)

・•・A((M)关于“轴对称的点为

:・MA+MC=MD+MCNCD,当例在CO上且在尤轴匕则监8重合,

・・・M朋,

:.MA+MC的最小值为CD=J-+(2+I)2=回,

设直线AM的表达式为y=〃。.+〃，代入A(o,l),"G，。

n=1

—m+//=()

13

A,"1=-3

解得：,

n=1

・•・直线AM的表达式为y=-3工+1

:./EBC=4QCP,

•:CB=CP,

：.^EBC^QCP（AAS）,

：.EC=QP,BE=CQ,

•・•哈（）｝C（I,2）,

OB=；,OE=1,EC=QP=2,

・・.OE+QP=3,

2

:.BE=CQ=OE_OR=m，

24

AQE=C£-CQ=2--=-,

・••点P的坐标为（3,g）；

如图，当C3=3RNC3P=90。时,过点C作CEJ_x轴，PQ_Lx轴，垂足分别为区。,

同理点尸的坐标为;

*3)

(4^1(12

综上所述，点P的坐标为3G或

\3)\SS

7.(2025八年级上•全国・专题练习)如图I,在平面直角坐标系中，已知直线/与)，轴交于点4(0,8),与x

轴交于点8(6,0),以8为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形48C,其中NA8c=90。,

⑵如图2,点。是AC的中点,点M是直线/上的一个动点，连接MD、MC,求MO+MC的最小值，

并求出MD+MC取最小值时点W的坐标；

(3)点”在直线/上，x轴上是否存在点P,使得△PH4是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条

件的点”的个数；并直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

4

【答案】(l)y=-.x+8,(146)

/8、

(2)5加，M4,-

\3)

(3)存在，有6个满足条件的点〃，*56,0)或或尸(一弓刀)

【分析】(1)利用待定系数法求出直线/解析式，再构造一线三垂直全等可得点C坐标；

(2)作点C关于直线/对称点C',再求出直线C力的解析式，进而可得点M的坐标和点C'。的长度；

(3)根据点尸和点〃的位置关系，分类讨论画出图形，利用一线三垂直全等求解即可.

【详解】（1）解:设直线/解析式为y=h+小将点A（o,8）,点E（6,0）代入得,

6k+b=0

b=8

解得3,

/?=8

4

・•・直线/的解析式为），=-QX+8；

如图，过C作CG/x轴于点G,

则ZAO8=ZABC=ZBGC=9(r,

ZABO=/BCG=900-ZCBG,

♦;AB=BC,

"O的△AGC(AAS),

..CG=OB=f),BG=OA=S,

/.C(14,6)；

4

故答案为：)'=一Q”+8;(14,6)；

(2)解：•••点。是AC的中点，

二•。(7,7),

作点C关于直线/对称的点C，

则C（-2,-6）,

设直线c力解析式为y=,

可得

7，〃+〃=7

13HR

由点c和点。坐标可知直线cz＞解析式：y=j^~—

1328

—x----

99

联立直线cz＞与/的解析式得J

y=——x+8

3

解得：8,

＞，=T

此时MD+例C的最小值为C7)=J(7+2＞+(7+6尸=回j=5而;

(3)解：存在，有6个满足条件的点〃，尸(56,0)或夕(-*())或理由如F，

4

由题可知4(0,8),直线/的解析式：y=--x+8；

若以A为直角顶点，NPAH=90。，AP=AH,有以下①©两种情况：

①如图，"一

PO

则4PAO^^AHN(AAS),

:.NH=OA=SH,AN=ON-OA=—-S=—

t33

32

PO=AN=、

3

②如图,①情况下々-7，0j不动,〃点移动到A下方，与①情况中的〃关于24对称的位置，也符合

题意;

yi

…卜川

若以P为直角顶点，即4P”=90。，F>A=PH,有以下③④两种情况:

③如右所示，。在直线左侧,设P(a,0)(。vo),

1

：\or

，米/x

则4APgXP〃N(AAS),

：.PN=AO=S,NH=P0=-a,ON=8-(一a)=8+a,

：.，(8+a,a),

44

代入y=_qx+8得：«=--GB+a)+8,

5・)

Q

解得：Cl=-->

■■■。卜珂

④如图所示，p在直线右侧,设P(a,0)(a>0),

R

则4APO^LP〃MAAS),

.•./W=AO=8,HN=OP=a,ON=OP-PN=a-8,

H(a—S,—a),

44

代入y=-qx+8得：(tz-8)+8,

解得：。=56,

尸(56,0)；

若以“为直角顶点，即/诙=90。，HA=HP,有两种情况:

⑤即情况③的P点位置不动，过P作"_1_八〃，此时P点坐标同③,

⑥即情况④的2点位置不动，过产作出7_LA//,此时P点坐标同④,

综上所述，有6个满足条件的点”，3个满足条件的点分别是P(56.0)或或耳-,，°)・

【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、一次函数解析式、直线交点问题、全等三:角形的判

定和性质等内容，分类讨论及构造三垂直全等是解题的关键.

题型2一定两动

©方饮

【基本模型】已知在/A08的内侧有一定点M,在射线OAO8上有两动点P,Q,在射线0A08上各

确定一点P,Q，使得MP+MQ+PQ最短.

如上图所示，分别作点M关于NAOB的两条边射线OA.OB的对称点，则

PM,=PM,PQ'=PQ,根据两点之间线段最短，连接点分别交射线0A08于点此

时M~十MQ+PQ最短，MP-iMQ+PQ=M'P,+M"Q^P'Q,=M'M\

1.（23-24八年级上.天津滨海新•期末）如图，内部有一定点。，AD=2,若点C,E分别是射线

AF,A8上异于点A的动点.（1）在射线AF,AB上（填“是”或“否”）存在点C,M使△（?£>£

的周长有最小值；（2）当周长的最小值是2时，则N柠记的度数是。.

【答案】是30

【分析】本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路

径最短问题.

（1）作。点分别关于■、AB的对称点G、H,连接G”分别交■、AB于C、E,利用轴对称的

性质得8=CG、DE=EH,利用两点之间线段最短判断此时周长最小为QC+QE+CE=GH：

（2）由（1）可得AAG”是等边三角形，进而可得的度数.

【详解】解：（1）在射线AAA8上存在点C,E,使△CDK的周长有最小值；作。点分别关于的、

A8的对称点G、H,连接G”分别交AF、44于C、E,连接。C,DE,此时△8石周长最小为

DC+DE+CE=GH.

故答案为：是；

G

(2)如图，•.'△COE周长最小为/)C+OE+CE=G〃=2,

根据轴对称的性质，得AG=八。==2,ND4"=ZGAF,ZDAB=NHAB,

・•・AG=AH=GH=2,

工△AG”是等边三角形，

・•・NGA”=60。，

ZFAB=-ZGAH=300,

2

故答案为：30.

2.(24-25八年级上•重庆九龙坡•期末)问题：如图1,ZAQB=5()。，点P是一人6出内的一定点，点P、

股、N不在同一直线上，当的周长最小时，此问题是轴对称求最值问题的典型应用，已知点P关

于直线Q4的对称点C,PC交0A于点、R.请按以下要求依次完成(1)(2)问：

(1)尺规作图：请在图2中作出点尸关于直线03的对称点。，连接CO交。4、OB分别于点M、N,连

接尸。交04于点T

(2)综合(1)的作图，将下列解答过程补充完整.

•・•点〃关于(％、08的对称点分别为点C'、D,

・・・。4垂直平分PC,08垂直平分PO,

CM=PM,①,

:.PM+MN+PN=CM+MN+DN.

•・•②,

・•・当点C、M、N、。在同一直线上时，PM+MN+/W的值最小.

即的周长最小，

•：CM=PM,DN=PN,

:・NCPM=NPCM,③,

由作图得NQRP=90°,ZO7P=90°,

・•・在四边形OTPR中，ZRPT+/TOR=360。-90。-90。=18（尸，

ZAOB=50°,

r.Z/?P7'=130°,

,/在MPD中，ZPCD+ZPDC+ZCPD=180°,

:.NPCD+NPDC=50。,

NCPM+/DPN=®

・•.ZMPN=ARPT-（NCPM+/DPN）=⑤°.

【答案】（1）见解析；

Q）DN=PN；②点M、N分别在04、03上移动；③NDPN=NPDN；④50；⑤8（）.

【分析】3）过点。作04的垂线，交03卜点、T,以点7为圆心，尸丁的长为半径画孤，交垂线于点

D,连接C。，交。4、08分别于点M、N,连接0V、即可.

（2）根据线段垂直平分线的性质、轴对称的性质填空即可.

【详解】（1）解•：如图所示.

图2

（2）解：•・•点P关于。4、08的对称点分别为点。、D,

JQ4垂直平分PC,。8垂直平分P。,

/.CM=PM,①DN=PN,

PM+MN+PN=CM+MN+DN.

•・•②点M、N分别在0A、OB上移动,

・•・当点C、例、N、。在同直线上时，尸“十MN十尸N的值最小.

即的周长最小，

*/CM=PM,DN=PN,

:・NCPM=NPCM,③ZDPN=4PDN,

由作图得NORP=90。，ZO7P=90°,

，在四边形OTPR中，ZRPT+ZTOR=360。-90。-90。=18(F,

ZAO£?=50°,

NR"=130。，

,/在△CP£>中，ZPCD+ZPDC+ZCPD=180°,

:./PCD+NPDC=5。。,

NCPM+4DPN=®50°.

・•・ZMPN=/RPT-(NCPM+NDPN)=⑤80。.

【点睛】本题考查作图-轴对称变换、线段垂直平分线的性质、轴对称-最短路线问题，四边形的内

角和定理的应用，熟练掌握轴对称的性质、线段垂直平分线的性质是解答本题的关键.

3.(25-26八年级上•全国・期末)【儿何模型】

条件：如图①，A、B是直线/同旁的两个定点.

问题：在直线/上确定一点P,使P4+P8的值最小.

方法：作点A关于直线/的对称点连结A8交/于点尸，则PA+PB=AB的值最小(不必证明).

【模型应用】

(I)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴.现在有

Z4OC=90°,04=3,08=4,尸为NAOC的平分线上一动点，请求出AP+依的最小值；

出APQR周长的最小值：

②如图④，/4。8=20°,点M、N分别在边04、OB上，ROM=ON=2,同P、Q分别在OB、OB

上，则MP+PQ+QN的最小值是.

【答案】（1）5

（2）@10,②2

【分析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间

线段最短解决最短路径问题.

（1）为—AOC的平分线,作A4'_LO£）交OC干点4,连结04交OO干点儿连结P4,利用撅

中模型得到八4+依，最短，此时小+A8=ar,利用对称的性质得到OA=O4=3,然后利用勾股定

理计算出84'即可；

（2）①作点2关于08的对称点P,点P关于。4的对称点片，连结产产交08于点R,交。4于点

。，连结球、PQ,利用对称的性质得到周长为产产的长，根据两点之间线段最短n•判断此时

△PQR周长最小，最小值为产产的长，再证明△P'O/为等边三角形，得到产产=0〃=0P,从而获

解；

②作点M关于08的对称点“，点N关于。4的对称点M,连结M州'交CM于点P,交04于点Q,

连结PM、NQ,同样方法判断此时加尸+尸Q+QN的值最小，最小值为再证明△M0M为等边

三角形，得到MM=OM'=2,从而得到MP+PQ+QN的值最小值.

【详解】（1）解：如答图①，。。为NAOC的平分线，作4V_LOD交OC于点4,连结54交于

点、P，连结Q4,如答图①，则Q4+P8最短，此时叫+28=84'.

0。平分ZAOC,AA'IOD,

..OA,=OA=3.

在Rt^OBA中，“/V=J32+42=5,

即AP+PB的最小值为5.

（2）解：①作点P关于的对称点尸，，点P关于0A的对称点产，连结P产交OB于点R,交0A于

点。，连结P?PQ,如答图②，

则OP=OP\OP=OP\RP=RP\QP=QPn,

.•.△PQR周长=PR+RQ+PQ=PR+RQ+QP"=P'P",

・•.此时VQ?周长最小，最小值为产产的长.

-OP=OP：OP=OP\PP±OB,PPnLOA,

Z1=Z2,Z3=Z4,

:"PO产=Z1+Z2+Z3+Z4=2Z2+2Z3=2/804=60°,

.•八POP"为等i力三角形，

P产=OP=OP=1U,

即△PQR周长的最小值为10,

故答案为：10.

②作点M关于OB的对称点初\点N关于04的对称点N',连结交OB于点P,交04于点。,

连结尸M、NQ,如答图③，

则OM-OM'-2QN—ON'-^TM-PM'QN-QN',

.\MP+PQ+QN=PM'+PQ+QN=MN,

此时MP+尸Q+QN的值最小，最小值为例M.

♦：OM=OM'QN=ON',

MM」OB,NN」OA,

:"M'()B=ZA()B=20。,

Z/VU4=ZAQ8=20°,

:"M'ON'=0f,

:.△M'ON'为等边三角形,

:.MN=OM'=2,

即MP+PQ+QN的值最小为2,

故答案为：2.

4.（25-26八年级上•辽宁葫芦岛•期中）【问题初探】

(1)如图1,在等边三角形A8C中，若石是A8的中点，”为高4。上一点，AD=3,连接BP、

PE,求AP+PE的最小值；

(2)如图2,在等边三角形人3c中，若P为高CE上一点，高CE=3,求+的最小值.

【拓展延伸】

(3)如图3,ZAQ8=30°,P是/AOB内一定点，Q,R分别是0A,08上的动点，当△PRQ周长的

最小值为5时，求。尸的长.

【答案】⑴3；(2)3；(3)5

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，

熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键.

(1)可证明A。垂直平分8C,CEJ.AB,则8尸=CP,据比可证明当C、P、E三点共线时"+PE

有最小值，即此时3尸+尸石有最小值，最小值为线段CE的长，求出线段CE的长即可得到答案；

(2)过点P作"_L4C于凡由三线合一定理得到NACE=30°,则即可得到

BP+；CP=BP+PH,则当心P、”三点共线时，BP+P”有最小值,即此时8P+；CP有最小值，

最小值为线段8”的长，据此可得答案；

(3)分别作点。关于射线QA04的对称点G和从连接0GOP,OH,RG,QH,可证明当G、

R、Q、〃四点共线时，GR+QR+Q”有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段G"的

长，则G〃=5；证明是等边二角形，可得()P=()G=GH=5.

【详解】(1)解：如图所示，连接CE,CP,

•・•在等边三角形A8C中，A。是VA8C的高，E是A8的中点，

・・・AO垂直平分BC,CEJ.AB,

・•・BP=CP,

；・BP+PE=CP+PE,

,：CP+PE>CE,

・••当C、P、E三点共线时CP+PE有最小值，即此时BP+PE有最小值，最小值为线段CE的长,

CE都是等边三角形ABC的高，

ACE=AD=3,

:.3P+PE的最小值为3；

A

(2)解：如图所示，过点。作PH_LAC于H,

•；CE是VABC的高，

・・・ZACF=-ZACfi=30°,

2

,:PHA.AC,

：.PH=-PC

2t

：.BP「CP=BP+PH,

2

・•・当5、P、〃三点共线时，8P+P”有最小值，即此时8P+；CP有最小值，最小值为线段8〃的长,

•・•此时A"J.AC,

・•・3”为VABC的高，

:.BH=CE=3,

・・・8P+!”的最小值为3；

2

A

B