2026年高考数学第一轮复习：第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3讲简单的三角恒等变换

昌曲知识▼⑥❾回顾理教材•夯实必备知识.

一、知识梳理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(a±P)=sinacos6±co[asin8；

cos(a+//)=cosacos6土sinasinB；

tan(a±6=MME料,«'砥不为履+全代2

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2a=2sin6ccosa：

cos2a=cos2«—sin2g=2cos2tt—1=1—2sin2tt；

32。=言景。，2a均不为E+多放Z,

3.三角函数公式的关系

Ga-令6=a_Ci)以-8代6

利用cosg•土a)利HJcos(^•士a)利用co«e士a)

令岭以-。代6

Sfa.0)S(a-e)

两式相除两式相除两式相除

以代

-BBT(a-»)

常用结论

四个必备结论

1,1+cosla.〜1—cos2a

(I)降幕公式:cosa=-----2------，sin~a=-------------

(2)升幕公式:1+cos2a=2cos2a»1-cos2a=2sin2«.

(3)tana±tan//=tan(o±//)(l±tanotanfl),

1+sin2a=(sina+cosa)2,

1-sin2a=(sina-cosa)2,

sina±cosa=V5sin(a±£)

(4)辅助角公式

asinx+Z>cosx=yja2-]-b2s\n(x+夕)，其中tang)=，.

二、教材衍化

1.若cosa=-^.a是第三象限的角，则sin(a+g=

解析：因为a是第三象限角，所以sina=~yj1-cos2a=—所以sin(a+9=等乎

7^2

答案:

10

2.sin347°cos1480+sin77°cos58°=.

解析：sin347°cos148°+sin77°cos58°

=sin(2700+77°)cos(90°+58°)+sin77°cos580

=(-cos770>(-sin580)+sin770cos580

=sin58°cos77°+cos58°sin77°

=sin(58°+77°)=sin135°等.

答案：坐

“sin500

3.化简：----：——/一

sin65•个1-cos50-

k.cos400

解析：原式=cos25°W—cos5(T

cos400

cos250•也sin25°

答案：取

善MH陵坊

一、思考辨析

判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角a,0是任意角.()

⑵两角和与差的正切公式中的角a，夕是任意角.()

(3)cos800cos200-sin800sin200=cos(80°—20°)=cos600=1.()

tana+tan夕

(4)公式tan(a+/?)=可以变形为tan«+tan/?=tan(a+/?)(I—tan«tan夕)，旦对

I-tanalanfi

任意角a,夕都成立.()

(5)存在实数a,使tan2«=2tana.()

答案：(1)J(2)X(3)X(4)X(5)V

二、易错纠偏

常见I

、口21(I)不会用公式找不到思路；

误区

(2)不会合理配角出错.

1.sin150+sin75°的值是.

解析：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=^/2sin(15°+45°)=，5sin60°=坐

答案邛

2.若tana=3,tan(a—")=2,贝ijlan夕=.

tana—tan(a—/?)

解析：tanfi=tanfa—(a-fi)]=737------；---(’*

尸rI+tana•tan\a—p)

3-2_1

=1+3X2=7-

答案：;

第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式

昌®素养▼解器提升明考向•直击考例考法.

考点一和差公式的直接应用（基础型）

复习指导I1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.

2.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、

余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

核心素养；这辑才隹理、数学运笄

1.已知sina=1,兀），tan（;r一6）=；,则tan（a—0的值为（）

22

A.-77B.77

口

Jc2

解析：选A.因为sina=5,。£住，

所以cosa=­\l1-sin2«=—

sina3

所以tana=

cosa4-

因为tan(7r-^)=5=-tan/?,

所以tan尸一争

一八tan«—tanp2

则1an(a_0)=]+tanQian•=_??.

（•高考全国卷）已知（，

2.2019Ha£01，2sin2a=cos2a+I,则sina=()

B.f

A-5

c・坐D.平

解析：选B.由2sin2a=cos2a+1,得4sinacosa=I—2si/a+I,即2sinacosa=l

-sin%.因为a£(0,，所以cosa=4l-sir?a,

所以2sina\j1—sin2G=1—sin2a,

解得sina=^",故选B.

J

3.已知俘兀）sina=f.

⑴求sine+a)的值;

⑵求cos管-2a）的值.

解：（1）因为，，sina=V5

5，

2^/5

所以cosa=­41—sin2a=一―^~,

故sine+a)=sin兀,7t.

1cosa+cos^sina

邛G嘴+挈4一嘿

(一^^=—,,cos2a=I-2sin2a=I—

(2)由(1)知sin2«=2sinwcosa=2X

23^"cos2a+sin

=g,所以cos

利用三角函数公式时应注意的问题

（1）首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同

名相乘，符号反”.

（2）应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.

（3）应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.

考点二三角函数公式的逆用与变形应用（基础型）

复习

I能运用三角函教公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、

+指p导rI

半角公式，但不要求记忆).

核心素养：数学运算

硒(1)在448(7中，若tanAlanB=tanA+tan8+1,则cosC的值为()

A..乎B.f

C.JD.-J

(2)(2018•高考全国卷J[)已知sin«+cos/?=1,cosa+sin/?=0,则sin(«+/?)=

_,一s,(anA+lan8

【解析】⑴由tanAtanB=tanA+tan3+1,可得■;一：~~=—1,

1—tanAtanB

即tan(A+B)=-l,又(4+8)£(0,兀)，

所以A+8=苧，则。=去cosC=哗.

⑵因为sina+cos夕=1,cosa+sin6=0,

所以sin2a+cos2^+2sinacosp=i①，

cos%+sin%+2cosasin//=0②，

①②两式相加可得sin%+cos%+sinR+cos力+2(sinacos夕+cos«sinfi)=1,

所以sin(a+£)=一.

【答案】(l)B(2)—3

侬窗费

(1)三角函数公式活用技巧

①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；

②tanatantana+tan伙或tana—tan昨tan(a+0(或tan(a一夕))三者中可以知二求一，

注意公式的正用、逆用和变形使用.

(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题

①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；

②注意特殊角的应用，当式子中出现3，1，坐，小等这些数值时，一定要考虑引入特

殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式.

考法全练;

1.(l-tan2l5°)COS215°的值等于()

I一小

A.2B.1

C.乎D.g

ZA

解析：选C.(1—tan:15°)cos215°=cos215°—sin215°=cos300=申.

2.已知sin2a=1,则cos{a—；)=()

A.TB-3

C.

J

解析:选D.

3.(一题多解N^cos15°—4sin2150cos15°=()

A/B.当

C.1D.近

解析：选D.法一：@cos15°—4siirl5°cos15°=y[3cos15°—2sin15°•2sin15°

cos15°=y/5cos15°—zsin150,sin300=*75cos150—sin150=2cos(15°+30")=

2cos45°=也.故选D.

叶—EWo_/oc»A•1c°iro

法—：因为cos15=4.sin1c5=，所以A/3cos।15—4snr1510sl5

心1—4义四河义甲=喀”-2+小）=率X（2小—2）

=也.故选D.

考点三三角公式的灵活应用（综合型）

复习

三角公式的灵活应用实质是三角恒等变换，恒等变换前需清楚已知式中角的差

指导

异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化.

角度一三角函数公式中变“角”

屈国（2020•黑龙江大庆实验中学考前训练）已知a,夕£（竽，兀），sin（a+/?）=-1,

sin[-g=||,则cos（a+：）=.

【解析】由题意知,。+夕£（予，2兀），sin（tz+^）=—1<0,所以cos（a+夕）=,,因为。

住

n等7

所

-e以-

-4CN--cos(a+

25

0cos/一wJ+sin(a+/OsinT—一亍

【答案】冶4

角度二三角函数公式中变“名”

丽求值：।累第-疝10。(/ran5。)

2

rA„_工上2COS10°.。，cos5°sin5°A

L原式=今、/—■ino［八o——sin10I~ToTo-I

2X2sin10cos103n5cos5)

cos10°_.。.cos25°—sin25°

2sin10°sin10sin5°cos5°

cos10°cos10°

T~.~-sin10

2sin10；sin10°

cos100cos1()°—2sin200

T~.177丁-2cos10

2sin102sin10°

cos10°-2sin(30°-10°)

2sin10°

_cos10。_2（,os10。一坐sin10。）_小.010。—小

=2sin100=2sin100=2'

陶信明

三角函数公式应用的解题思路

（1）角的转换：明确各个角之间的关系（包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角），熟悉

角的变换技巧，及半角与倍角的相互转化,如:2a=斐十份+（。一份,。=3+份_0=（“一份

+6,40°=60°—20°,仔+。）+仔一。）=参g=2xg等.

（2）名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把

正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.

I提醒1转化思想是实施三角恒等变换的主导思想，恒等变换前需清楚已知式中角的差

异、函数名称的差异、运算结构的差异，寻求联系，实现转化.

考法全练;求4$in200+tan20°的值.

sin200

解：原式=4sin20°

cos20°

2sin4(。+sin20°2sin(60°—20°)+sin2D°

cos20°cos20°

小cos20°-sin200+sin20°「

cos20°=W・

》由@演练▼③僖突破

练好题•突破高分瓶颈.

［基础题组练I

1.计算一sin1330cos197°—cos47°cos73°的结果为()

A.3

B-3

C.

解析：选A.—sin133°cos197°—cos47°cos73’

=­sin47(—cos17)—cos47sin17

=sin（47°—17。）=sin300=,

2.（2020•福延五校第二次联考）已知

A.5B.-5

CLD」

2525

解析：选C.法一：因为cos(；—a)=g,所以$in2a=$in与一2停一a)=cos2《-a)=

2cos2(；-a)-1=2X

4

--J244\[2.

法二：因为cos|a5所以亍(cosa+sina)=不所以cosa+sinQ=—1二，平方得

r4.*J

32

1+sin2a—得sin2a=而.故选C.

25'乙J

（2020•陕西榆林模■拟）已知黑号（〃），|0<^,则sin20=（）

3.=3COS2TT+

8^2B・平

A.

9

4^2D・平

C.9

解析：选C.因为器］=3cos（2兀+。），所以：/=3cos夕

111lz^111\f

-JIG"IT,.1zi2"\f^

义|0|<5，故sin0=ycos9=-^―,

所以sin20=2sinOcos〃=2X：X斗^一如^

JJ9'

故选C.

4.（2020•武汉模拟）已知cos（x-/）=；,则cosx+cos(x-1)=()

A*B・邛

CJ

D.

解析：选A.因为85（工一§=",

所以cosx+cosg—率

=COSx+5cosX

x+Kinx=X4-4,

故选A.

5.(2020•湘东五校联考)已知sin(a+^)=^,sin(a—少)=；,则lo

等于（）

A.2B.3

C.4D.5

解析：选C.因为sin(a+«)=T，sin(a一夕)=；,所以sinacos/?+cosasin/?=J,sinacos

。一cosasin0=；,所以sinacos。=*，cosasin/?=*,所以所以僧皆）2

1。非52=4.故选C.

6.(2020《各阳统考)已知sina+cosa=坐，贝Ucos4a=

V522

解析：由sina+coso.=2，得sina+cos«+2sincicosa=1+sin2«=j,所以sin2«=

从而cos4a=1—2sin22a=I—2X

答案：I

7.(2020•甘肃、★海、宁夏联考改编)若tan(a+2/')=2,(an£=-3,则Um(a+/?)=

解析：因为tan(«+2/?)=2,tanp=—3,

..,।八1ccclan(a+2、)-lan)

所以tan(ft4-/?)=tan(^+2^-/?)=1+tan

2-(一3),八八-I-(-3)1

1+2X(-3)="，tana=tan(a+/?—6)=[+(_7乂(.3)/

答案：一1I

8.已知sin(«―//)cosa—cos(//-a)sina=1,尸是第三象限角，则sin[+苧)=

解析：依题意可将已知条件变形为

33

sin[(a-/?)-a]=-sin^=j,所以sinP=—

4

又仅是第三象限角，因此有cos夕=一百,

所以sin,+T)=-sin优+：)

・c兀c•兀7、/5

=­sinpcos4―cos/?sin

口案.10

9.已知tana=2.

⑴求tan(a+T)的值；

(2)求.，工.而2〃——_值.

sin-a+sinacosa-cos2a-1

.兀

tana+tan之十]

解：⑴lan(a+：)==-------=—3

,兀I-2X1°

1—(an«(anj

sin2a

Q)sin2«+sinacosa-cos2a—1

2sinacosa2tanu.2X2

=1.

sin%+sinacosa-2cos2atan2a+tana—24+2—2

10.已知角a的顶点与原点0重合，始边与X轴的非负半轴重合，它的终边过点

34

5'5/

⑴求sin（a+冗）的值;

5

（2）若角夕满足sin（a+.）=求COSP的值.

13'

解：（1）由角a的终边过点

5'得sina=—5,所以sin(«+n)=_sina=q.

34

--

（2）由角«的终边过点-5

5*

5得cos(a+.)=*y

由sin(«+/9)=

13'

由p=(a+p)~a得

cos4=cos(a+0)cosa+sin(a+H)sina,

所以cos[)=一段或cos夕=居.

［综合题组练］

1.（202。河南百校联盟联考）已知a为第二象限角，且tana+tan^=2tanatan於一2,

贝|Jsin（〃+芸等于（）

A_迎

A，10B.10

.皿3回

D.

J1010

解析：选C.tana+ian

因为a为第二象限角，所以sin

=-sin[(a+曰-；]=8$(]+的｝^sin^a+^cos：=-

2.(创新型)公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作

图，发现了黄金分割约为0.618,这一数值也可以表示为"?=2sin18°,若，〃?+〃=4,则

—即—=()

2cos?27°—1(,

A.8B.4

C.2D.I

解析：选C.因为机=2sinl8°，〃户+〃=%

所以〃=4—"P=4—3而218°=4cos*218°.

,〃rji2sinl80d4cos2]804sin18°cos1802sin3602sin360

所以2cos2270-1=2cos?270-1=2cos227°-1=cos540=sin360

故选C.

八u公冗r.3r,5兀、sin2a+sin2a

3.已知0<a<7，且sina=三，则tana+才=________：—■_;-----=_________.

23I4/cos~a十cos2a

解析：因为00与Asina=T,所以cosa=«I-sin%=*所以tan"=]，

/rJJLUA(AI

.5ii\,,ntan«+1_

则碰