中学数学轴对称专题测试题

中学数学轴对称专题测试题轴对称是中学数学几何部分的重要内容，它不仅揭示了图形之间的对称美，更是解决许多几何问题的有力工具。掌握轴对称的概念、性质及其应用，对于培养空间观念和逻辑思维能力至关重要。本套测试题旨在全面考察同学们对轴对称知识的理解与运用，希望能帮助大家查漏补缺，巩固提升。请同学们认真审题，仔细作答，充分发挥自己的水平。一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中，不是轴对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形（非矩形、菱形、正方形）C.圆D.等腰梯形2.点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标是（）A.(a,-b)B.(-a,b)C.(-a,-b)D.(b,a)3.下列说法中，正确的是（）A.任何一个图形都有对称轴B.两个全等的图形一定关于某条直线对称C.若△ABC与△A'B'C'关于直线l对称，则△ABC≌△A'B'C'D.点A到直线l的距离，就是点A与它关于直线l的对称点A'之间的距离4.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（）A.顶角的平分线所在的直线B.底边上的中线所在的直线C.底边上的高所在的直线D.以上都正确5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC关于直线m（直线m上各点的横坐标都为1）对称，点C的坐标为(4,2)，则点C的对称点C'的坐标为（）(说明：此处原题应有图，现描述为：直线m是一条竖直直线，横坐标为1。点C在直线m右侧，横坐标为4，纵坐标为2)A.(-2,2)B.(-3,2)C.(2,2)D.(3,2)6.小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（）(说明：此处原题应有镜中像，现描述为：镜中显示的像是“10:01”)A.10:01B.10:10C.11:00D.01:10二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)7.正方形有______条对称轴。8.已知线段AB的垂直平分线是直线l，若点P在直线l上，且PA=5cm，则PB=______cm。9.如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，若∠BAD=30°，则∠BAC=______度，∠B=______度。(说明：此处原题应有图，为一个等腰三角形ABC，AB=AC，AD为底边BC上的高，交底边于D点，∠BAD标为30°)10.在平面直角坐标系中，点A(2,3)关于y轴对称的点的坐标是______；关于直线y=1对称的点的坐标是______。三、解答题(本大题共3小题，共26分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)11.(本题满分6分)如图，已知△ABC和直线l。请用尺规作图法，作出△ABC关于直线l对称的△A'B'C'。（保留作图痕迹，不写作法）(说明：此处原题应有△ABC和直线l的示意图)12.(本题满分8分)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，点E在AD上。求证：BE=CE。(说明：此处原题应有图，为等腰三角形ABC，AB=AC，D为底边BC中点，E为底边中线AD上任意一点，连接BE、CE)13.(本题满分12分)如图，某中学要在校园内划出一块矩形土地ABCD建造一个劳动实践基地，要求其中一条边AB紧靠校园的围墙（围墙足够长），另外三边用总长为30米的篱笆围成。设这个矩形的边AB的长为x米，面积为S平方米。(1)请用含x的代数式表示边BC的长；(2)若矩形ABCD关于过边AB中点且垂直于AB的直线对称，那么当x取何值时，矩形ABCD的面积S最大？最大面积是多少？(说明：此处原题应有图，大致为一个矩形ABCD，AB边在下，紧贴一条代表围墙的直线，AD、DC、CB为篱笆，AD和BC为垂直于围墙的边，AB和DC为平行于围墙的边)---参考答案与解析一、选择题1.答案：B解析：等边三角形有3条对称轴，圆有无数条对称轴，等腰梯形有1条对称轴。平行四边形（非特殊）无论沿哪条直线对折，直线两旁的部分都不能完全重合，故不是轴对称图形。2.答案：A解析：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数。所以点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标是(a,-b)。3.答案：C解析：A选项，并非所有图形都有对称轴，如一般的平行四边形；B选项，全等的图形不一定关于某条直线对称，它们可能只是平移关系；C选项，成轴对称的两个图形一定全等，正确；D选项，点A到直线l的距离是点A到直线l的垂线段的长度，而AA'是对称点连线，其长度是点A到直线l距离的2倍。4.答案：D解析：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，统称为“三线合一”，这条线所在的直线就是等腰三角形的对称轴。5.答案：A解析：直线m为x=1，点C(4,2)到直线m的距离为4-1=3个单位长度。则其对称点C'到直线m的距离也应为3个单位长度，且在直线m左侧，所以C'的横坐标为1-3=-2，纵坐标不变仍为2。故C'(-2,2)。6.答案：C解析：镜子中的像与实际物体关于镜面对称，即左右相反。可以将“10:01”从纸的背面看，或者想象将其左右翻转，得到的实际时间应为“11:00”。二、填空题7.答案：4解析：正方形有4条对称轴，分别是两条对角线所在的直线和两组对边中点连线所在的直线。8.答案：5解析：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。因为点P在AB的垂直平分线l上，所以PB=PA=5cm。9.答案：60；60解析：因为AB=AC，AD是BC边上的高，所以AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。已知∠BAD=30°，则∠BAC=2∠BAD=60°。在△ABD中，∠ADB=90°，∠BAD=30°，所以∠B=90°-30°=60°。10.答案：(-2,3)；(2,-1)解析：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，故A(2,3)关于y轴对称的点为(-2,3)。关于直线y=1对称，即横纵坐标中，横坐标不变，纵坐标到直线y=1的距离相等。点A到y=1的距离为3-1=2，所以对称点的纵坐标为1-2=-1，故坐标为(2,-1)。三、解答题11.解：(尺规作图步骤略，保留作图痕迹)解析：作一个图形关于某直线对称的图形，关键是作出图形上各关键点关于该直线的对称点，然后顺次连接这些对称点。对于△ABC，分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A'、B'、C'，然后连接A'B'、B'C'、C'A'即可得到△A'B'C'。12.证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD是△ABC底边BC上的中线。又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，AD所在直线是△ABC的对称轴。（等腰三角形三线合一）∵点E在AD上，∴点E关于直线AD的对称点是其本身。∴点B关于直线AD的对称点是点C。∴BE=CE。（对称点连接的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等）13.解：(1)设AB的长为x米，因为篱笆总长为30米，且矩形ABCD中，AB为平行于围墙的边，AD和BC为垂直于围墙的边，且AD=BC。所以，AD+DC+CB=30米，而DC=AB=x米，AD=BC。设BC=y米，则2y+x=30，解得y=(30-x)/2。即边BC的长为(30-x)/2米。(2)由题意知，矩形ABCD关于过AB中点且垂直于AB的直线对称，这是矩形本身就具有的性质（矩形是轴对称图形，对边中点连线是其对称轴），因此该条件实际上是对矩形性质的进一步明确，不影响函数关系的建立。矩形面积S=AB×BC=x×(30-x)/2=(-1/2)x²+15x。这是一个关于x的二次函数，二次项系数为-1/2<0，所以抛物线开口向下，S有最大值。对于二次函数S=ax²+bx+c，其对称轴为x=-b/(2a)。这里a=-1/2，b=15，所以对称轴为x=-15/(2×(-1/2))=15。因为x表示矩形的边长，所以x>0，且BC=(30-x)/2>0，即x<30。所以x的取值范围是0<x<30。当x=15时，S取得最大值。最大面积S_max=(-1/2)(15)²+15×15=(-1/2)