2025-2026学年冀教版八年级数学下册第十九章《第19章 函数》全章知识梳理与题型分类讲解

函数全章知识梳理与题型分类讲解

第一部分【知识点归纳与题型目录】

【知识点1】变量、常量的概念

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.

【要点提示】一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而

言的.例如，5=60/,速度60千米/时是常量，时间f和里程s为变量.

【知识点2】函数的定义

一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量R与y,并且对于x的每一个确定的值，）都有唯一确

定的值与其对应，那么我们就说工是自变量，y是文的函数.

【要点提示】对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：

（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；

（2）对于自变量工的取值，必须要使代数式有实际意义；

（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于x允许取的每一个值，y是否都有唯一确定

的值与它相对应.

（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：

①函数关系式相同（或变形后相同）；

②自变量工的取值范围相同.

否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量大的取值范

围有时容易忽视，这点应注意.

【知识点3】函数值

y是x的函数，如果当x时y=6,那么人叫做当自变量为。时的函数值.

【要点提示】对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对

应的自变量可以是多个.比如：y=f中，当出数值为4时，自变量x的值为±2.

【知识点4］自变量取值范围的确定

使函数有意义的自变品的取值的全体实数叫自变后的取值范围.

【要点提示】自变量的取值范围的确定方法：

首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义：

（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；

（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；

（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数：

（4）当解析式中含有零指数哥或负整数指数显时，自变量的取值应使相应的底数不为零；

（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.

【知识点5］函数的几种表达方式：

变量间的单值对应关系有多种表示方法，常见的有以下三种：

（1）解析式法：用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称函数的解析式.

（2）列表法：函数关系用一个表格表达出来的方法.

（3）图象法：用图象表达两个变量之间的关系.

【要点提示】函数的三种表示方法各有不同的长处.解析式法能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象,

不是所有的函数都能列出解析式；列表法可以清楚地列出一些自变品和函数值的对应值，这会对某些特定

的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等；图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，

而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色.

【知识点6】函数的图象

对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些

点组成的图形，就是这个函数的图象.

【要点提示】由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意

兼顽原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使白变量或对应的函数值太大或太小，以便「

描点和全面反映图象情况.

考点与题型目录

【考点一】常量和变量

【题型1】用表格表示变量间的关系.......................3

【题型2】用关系式表示变量间的关系.......................3

【题型3】用图象表示变量间的关系.......................4

【考点二】函数

【题型4】函数概念................................5

【题型5】函数解析式..............................6

【考点三】函数的表示

【题型6】求自变量的取值范围..........................6

【题型7】求自变量的值或函数值...........................7

［题型8］函数的二种表不方法............................7

【考点四】函数的初步应用

【题型9】从函数图象中获取信息............................8

【题型10］用描点法画函数图象............................9

【题型11］动点问题的函数图象............................10

【考点五】直通中考与拓展延伸

【题型12］直通中考.................................11

【题型13］拓展延伸.................................12

第二部分【题型展示与方法点拨】

【考点一】常量和变量

【题型1］用表格表示变量间的关系

【例1】（24-25七年级下•全国・单元测试）壬忘情案「台闻受台风的影响，某条河流受暴雨袭击，水位

（2）20h时，水位是m；

（3）h至____________h水位上升最快.

【变式1】（24-25八年级上,浙江宁波・期末）在国内投寄平信应付邮资如下表:

信件质量X（克）0<x<2020<x<4040<x<60

邮资y（元/封）1.202.403.60

某人投寄平信花费2.40元，则此平信的质量可能为（）

A.15克B.20克C.37克D.50克

【变式2】（24-25七年级下•全国•课后作业）声音在空气中传播的速度），（单位：m/s）与气温单位：℃）

的关系如下表：

气温x/℃05101520

声速y/(m/s)331334337340343

照此规律可以发现，当气温为时，声速达到346m/s.

【题型2】用关系式表示变量间的关系

【例2】（24-25八年级上•陕西商洛•期中）如图，长方形A8CO的四个顶点在互相平行的两条直线上,

AB=10cm,当点C,。在平行线上同方向匀速运动时，长方形的面积发生了变化.

（I）在这个变化过程中，自变量是,因变量是；

（2）如果长方形的长3。为x（cm）,那请用含x的式子表示长方形43CO的面积

（3）当长方形的长从15cm变到20cm时，长方形的面积怎么变化？

AD__l_r__▼__・

BC

【变式1】（24-25七年级下•全国,单元测试）一根蜡烛长20cm,点燃后每小时燃烧掉5cm,这根蜡烛点燃

后剩下的长度〃（cm）与点燃时间乂h）之间的关系式是（）

A.77=20+5/B.h=5tC.A=20-5/D.h=5t-20

【变式2】（24-25七年级上•河北沧州•期末）某机床要加工••批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工

的时间如下表：

每小时加工件数（件）3020189•・•

加工时间（小时）12182040

用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与％之间的关系为.

【题型3】用图象表示变量间的关系

【例3】（24-25七年级上•黑龙江牡丹江•阶段练习）如图所示，分别表示了香蕉、苹果的总价与数量之间

的关系，看图回答问题.

（I）香蕉的总价和数量成比例关系；（填“正''或"反”）

（2）从图象上看，单价更贵一些的水果是:

（3）买X千克苹果要用元，y元可以买千克香蕉.

总价/元香蕉苹果

24■

20■

16■

12­

4-

12345678/量/千克

【变式1】（24-25九年级上•广西防城港•期中）在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运

行时间的关系，用图像描述大致可以是（）

【变式2】（23-24七年级下•山东青岛•期中）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同一种零件，每天完

成规定工作量后即停止生产.开工两小时后，甲停下升级设备，乙每小时生产零件个数增加4个，他们一

天生产零件的个数与生产时间"时）的关系如图所示，根据图象，下列结论正确的是（填序号）.①

乙升级设备用了2小时：②一天中甲乙生产量最多相差6个；③图中的。=3.2,b=5.5；③甲比乙提前

1小时完成工作.

甲乙

40■

10

4

°12a45h6c8

【考点二】函数

［题型4］函数概念

【例4】1.（24-25八年级上・甘肃张掖•期末）下列曲线中,表示>是x的函数的是（）

yy

【变式1］（2025九年级下•浙江温州•学业考试）有以下关于x，）的等式：（1）x+2y=0；（2）4+「=2；

（3）x=\y\；（4）不，=1,其中》是上的函数的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2】（24-25九年级上•全国•课后作业）下列图象中，不能表示V是x的函数的是.（填序号）

【题型5】函数解析式

【例5】（18-19八年级•全国・单元测试）下列关系式中不是函数关系的是（）.

A.y=7x-l(x>1)B.y=->/x-l(x>I)

C.y=Vb7x(x<l)D.y=±y[x^\(x>\)

【变式1］（2024•山西•模拟预测）某树苗的初始高度为50cm,如图，这是该树苗的高度与生长的月数的

有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，则该树苗的高度）'（cm）与

生长月数x之间的函数关系式为（）

Y玉等华

50cm60cm70cm80cm

原始生长1个月生长2个月生长3个月

A.y=50+5(x-l)B.y=50+5xC.y=50+10(x-l)D.y=50+1Ox

【变式2】（24-25七年级下•全国•课后作业）（教材变式）为了进一步提升群众生活幸福感，某村委会决定

将原有的长为10m、宽为5m的长方形广场进行扩建.若将该广场的宽增加xm,长不变，所得新广场的面

积），与x之间的关系式为.

【考点三】函数的表示

【题型6】求自变量的取值范围

【例6】（24-25九年级上•山东聊城•期末）函数）'=中，自变量工的取值范围是（）

2222

A.xZ-B.0<x<-C.x<—D.x>—且xwO

3333

【变式1】（23-24八年级上.全国•单元测试）下列函数中，自变量1的取值范围是;<x<l的是（）

【变式2】（2025・湖北•一模）在函数）,=①亘中，自变量x的取值范围是______

x-1

【题型7】求自变量的值或函数值

【例7】（24-25八年级上•辽宁沈阳•期中）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的尤值是-3和2时,

输出的V值相等，则〃等于（）

|输出y的值|

A.5B.—5C.7D.-7

【变式1】（24-25九年级上•山东临沂・开学考试）已知函数），=a（x-1）'+瓜+c.当x=2022时，函数值

为1,并且入。为整数，则当x=-202（）时，函数值不可能为（）

A.-5B.2C.1D.7

【变式2】（23-24九年级下•浙江温州•自主招生）我们把自变量为％的函数记作/（幻，/（%）表示自变量

户几时函数/1）的值，对于实数〃、令同表示不超过。的最大整数，例如[3.1]=3,[-1.5]=-2,[0.7]=0,

令/（"=空,那么[八勿+[/⑶]+…+[/（2。24）]=___________.

X—1

[题型8]函数的三种表示方法

【例8】（21-22七年级下•贵州贵阳•期中）小明和妈妈2022年3月19日通过自驾去“花溪十里•河滩”游玩，

早上他们从贵安新区出发，匀速行驶一段时间后，途中遇到堵车原地等待一会儿，然后他们加快速度行驶，

按时到达“十里河滩游玩结束后，他们自驾匀速返回.其中才表示小明和妈妈驾车从费安新区出发后至

回到贵安新区所用的时间表示他们离员安新区的距离，下面能反映y与工的关系的大致图象是（）

【变式1】（23-24七年级下.甘肃兰州•期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水

壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，

可通过读取筋尺度数计算时间.某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次筋尺读数，得到如

表数据，则下列说法错误的是（）

供水时间X（h）02468

箭尺读数y（cm）618304254

浮箭漏示意图

A.箭尺读数,V随供水时间x的增加而增加

B.箭尺读数.y和供水时间x之间的关系式为y=6x+6

C.当x=7,y=48

D.供水时间x每增加1小时，箭尺读数），增力口12cm

【变式2】（20-21七年级下•重庆•阶段练习）如图，下列每个三角形中的三个数之间均具有两同的规律,

按此规律，最后一个三角形中y与x之间关系的表达式是.

【考点四】函数的初步应用

【题型9］从函数图形获取信息

［例9］（24-25七年级下•全国•课后作业）如图所示的是某天的温度随时间变化的图象，通过观察可知下

列结论不正确的是（）

）温度（℃）

38

34

30

26

22

03691215182024时间/时

A.这天3时的温度最低B.这天15时的温度最高

C.这天12时的温度是32cD.这天从最低温度到最高温度经过了12个小时

【变式1］（24-25八年级」:•江苏盐城•期末）一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发，沿相同路线匀速驶向

乙地.已知甲、乙两地相距15（）km,如图，OE,C。分别表示货车、轿车离甲地的距离s（km）与货车出发

时间，（h）之间的对应关系.根据图象信息，下列说法不正确的是（）

A.轿车的速度为lOOkm/hB.轿车出发lh后，两车相距10km

C.轿车比货车早到乙地0.5hD.轿车出发1.25h后追上货车

【变式2】（24-25八年级上•山东威海・期末）如图，某人驾车从甲地到乙地，先以lOOkm/h的速度行驶一

段时间，休息了1（h）后继续行驶到达乙地.图中的折线表示他在整个驾车过程中离乙地的距离y（km）

与时间x（h）之间的函数关系，则休息以后该车行驶的速度是km/h.

【题型10］用描点法画函数图象

【例10】（2023•上海黄浦・二模）”利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究

函数的主要方式，请试着探究函数其图像经过（）

A.第一、二象限B.第三、四象限

C.第一、三象限D.第二、四象限.

【变式1】（23-24九年级下•浙江宁波•期中）下列函数中，和函数），=一、的图象关于），轴对称的是（）

x-\

A.y=-^—B.y=——!—

x+\x+I

【变式2】（24-25八年级上•浙江温州•期末）小温的家、图书馆、学校依次在同一直线上，他从学校出发

匀速步行10分钟走了500米到图书馆，停留3分钟后再匀速步行5分钟走了300米到家.设小温离家的

距离为s（米），所用时间为/（分钟），则下列图象中，能近似刻画s与f之间关系的是（）

【题型11］动点问题的函数图象

【例111（24-25八年级上•河南平顶山•期末）如图（1）,在长方形4BCD中，点发从点A出发，沿f

匀速向点。运动，连接。尸.设点〃的运动距离为•1,。尸的长为y，关于x的函数图象如图（2）所示，

则当点P运动至AB中点时，QP的长为

【变式1】（24-25八年级上•山东烟台・期末）如图，矩形A8CQ中，8。为对角线，一动点从。出发，

沿着。fAfC的路径行进，过点P作PQ，。。，垂足为Q.设点尸的运动路程为x,PQ-DQ为y,y

与1的函数图象如图所示，则AO的长为（）

【变式2】（23-24七年级下•广东佛山•期中）如图，在长方形ABC。中，AA=3,BC=4,对角线AC=5,

动点。从点。出发，沿—运动.设点。的运动路程为x（cm）,△BCP的面积为“cm）.若y

与”的对应关系如图所示，则图中（）

第二部分【链接中考与拓展延伸】

【题型12］链接中考

【例1】（2024.江苏镇江.中考真题）甲、乙两车出发前油箱里都有40L油，油箱剩余油量V（单位：L）

关于行驶路程x（单位：百公里）的函数图像分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公

里平均耗油量少2L,则下列关系正确的是（）

火单位:L）

40

舜3

m

0\x（单位:百公里）

A,叵型=2B.g3=2…CD

C.------=2为爆=2

inininrn1620

【例2】（2024•山东潍坊•中考真题）中国中医科学院教授屠呦呦因其在青蒿素抗疟方面的研究获2015年

诺贝尔生理学或医学奖.某科研小组用石油酸做溶剂进行提取可蒿素的实验，控制其他实验条件不变，分

别研究提取时间和提取温度对青蒿索提取率的影响，其结果如图所示:

提取时间对青蒿素提取率的影响提取温度对青蒿素提取率的影响

提取率/%

100

80

60

40

20

01V

354045505560提取温度/C

由务可知，最佳的提取时间和提取温度分别为（)

A.1OOmin,50℃B.120min,50℃C.1OOmin,55℃D.120min,55℃

【题型13］拓展延伸

【例1】（2025•河南郑州•一模）如图（1）,点例从正方形4BC。的顶点A出发，沿直线运动到正方形4AC。

内部一点，再从该点沿直线运动到顶点。，设点M运动的路程为上，点M到线段A。的距离为机，到线

m

段CO的距离为〃，且一=y（当点M与。重合时，设y=l）,图（2）是点用运动时y随X变化的关系图

n

象，则A8=（）

【例2】（24-25八年级上•上海•期末）如图，在RtZ\A8C中，48=90。，Z4=30°,AC=3.将一块

直角三角板中30。角的顶点。放在四边上移动，使30。角的两边分别与V"C的边AC、8c相交于点&

尸，且使。石始终与垂直.

（I）如图1,当点F与点C重合时，求CD的长；

（2）如图2,设==求），关于x的函数解析式，并写出定义域:

（3）如图2,连接所，若从）“是直角三角形，求A。的长.

参考答案与试题解析

函数全章知识梳理与题型分类讲解

第二部分【题型展示与方法点拨】

【考点一】常量和变量

【题型1］用表格表示变量间的关系

【例1】（1）时间，水位，时间，水位；（2）6：（3）20,24

【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，从表格获取正确信息是解题的关键.

（I）根据表格即可直接得出答案：

（2）根据表格即可直接得出答案；

（3）根据表格找出水位上升最快的时段即可.

解：（I）解：由表可知：

上表反映/时间和水位之间的关系，自变量是时间，因变量是水位，

故答案为：时间，水位，时间，水位；

（2）解；由表可以看出;

20h时，水位是6m,

故答案为：6；

（3）解：由表可以看出：在相等的时间间隔内，2（）h至24h水位上升最快，

故答案为：20,24.

【变式1】C

【分析】本题考宣了用表格表示变量间的关系.观察表格中的数据，然后确定正确的选项即可.

解：由表格发现：当20<xK40时，y=2.40,

选项中37克满足要求，

故选：C.

【变式2】25℃

【分析】本题考查了利用表格表示变显之间的关系.观察图表数据，气温每升高5P,声速增加3m/s,然

后结合当气温为20℃,音速增加343m/s,从而可得答案.

解：•.•气温每升高5"C,音速增加3m/s,

当气温为20℃,音速增加343m/s,

・••当声音在空气中的传播速度为346m/s,气温是25℃,

故答案为：25。。.

【题型2】用关系式表示变量间的关系

【例2】（1）BC（或AO）的长，长方形A8CO的面积；（2）y=IOx；（3）长方形的面积从150cm?变到

200cm2.

【分析】本题考查函数的函数的定义及函数关系式，解题关键是熟练掌握函数的定义及通过题于求关系式

的方法.

（I）根据函数的定义求解；

（2）通过长方形的面积=长、宽求解；

（2）分别代入两值求解即可：

解：（1）解：在这个变化过程中，自变量是8c（或的长，因变量为长方形A8CO的面积.

故答案为：BC（或A。）的长，长方形A8CQ的面积.

（2）长方形的面积=A8x8C,即y=10x,

答：长方形的面积与％之间的关系式为：y=

（3）当=15cm时，,y=10x=10x15=150（cm2）,

当3c=20cm时，y=!0x=10x20=200（cm2）,

答：当长方形的氏BC从15cm变到20cm时，长方形的面积从150cm?变到200cm?.

【变式1】C

【分析】本题主要考查函数的解析式，解题的关键是理解题意.根据题意可直接进行求解.

解：由题意可得：这根蜡烛点燃后剩下的长度〃（cm）与点燃时间/（h）之间的函数关系式的是/；=20-5/；

故选：C.

【变式2】岁二360

【分析】本题考查了反比例关系的意义，工作总量、工作时间、工作效率三者关系，正确掌握相关性质内

容是解题的关键.观察表格数据，发现30x12=360,20x18=360,18x20=360,9x40=360,结合工作

时间x工作效率=工作总量，且工作总量不变，即可作答.

解：由表格数据，得30x12=360,20x18=360,18x20=360,9x40=360,

••・这批毛绒玩具共360件，

•••工作总量不变，都是360件，

.•加工时间与每小时加工件数乘积都是360,即乘积不变，

xy=360,

故答案为：冲=360.

【题型3】用图象表示变量间的关系

【例3】（1）正；（2）香蕉；（3；4x,

o

【分析】此题考查了正比例和反比例的判断，并从图中获取数据，进行计算.

（I）正比例：如果两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量.它们

的关系叫做正比例关系；反比例：如果两个变显的乘积为常数时的比例关系，一方发生变化，其另一方随

之起相反的变化，就是反比例.

（2）从图中获得数据，香蕉的单价高于苹果的单价.

（3）单价x数量=总价，总价+单价=数量，代入即可.

解：（1）从图中可以看出，香蕉的总价和购买的数量成正比例；

（2）从图象上看，单价更贵一些的水果是香蕉：

（3）从图象上看，买I千克苹果要用4元，买I千克香蕉要用8元，

••・买x千克苹果要用4x元，），元可以买千克香蕉；

O

故答案为：4x,

O

【变式1】A

【分析】本题考查了用图象表示变显之间的关系，解题关键是了解两个变景之间的关系，解决此类题目还

应有一定的生活经验.由题意可知，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，据此即可判断

出答案.

解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，

即高度〃先越来越大，再越来越小，

故选:A.

【变式2】②④/④②

【分析】本题主要考查了用图象表示两个变量的关系，根据图象即可判断①；求出升级设备前后甲的生产

速度，以及2小时前后乙的生产速度，进而确定。、氏c的值，再分别求出对■应时间段甲乙生产量最多相

差的个数即可判断②③；求出乙需要的总时间即可判断④，进而可得结论.

解：甲升级设备用了4-2=2小时，乙没有升级设备，故①说法错误；

in4

由图象可知，当0VF2时，甲每小时生产5=5个，乙每小时生产5=2个，

.•.当0Q2,且£=2时,甲乙生产量最多相差10-4=6个;

当2vY4时，乙每小时生产2+4=6个，则当£=4时，甲乙生产量最多相差4+6(4-2)-10=6个；

25-10I。

甲升级完成后每天生产25-4一个，

-----+Z-4

6

当4<Y2+史厂=5.5时，由于甲比乙每小时生产得多，故当『二4,甲乙生产量最多相差6个，不符合题

6

意；

4()-1()

当5.5</£」?+4=7时，由于甲比乙每小时生产得多，故当，=7时，甲乙生产量最多

40-4-6x(7-2)=61；

综上所述，一天中甲乙生产量最多相差6个，故②正确；

•.•4+6(。-2)=10,

6=3,故③错误；

2+(40-4)+6=8,8—7=1»

・•・甲比乙提前I小时完成工作，故④说法正确；

・••说法正确的有②④，

故答案为：②④.

【考点二】函数

［题型4］函数概念

【例4】A

【分析】根据函数的定义，逐项判断即可求解，

本题主要考查了函数的基本概念，解题的关键是：熟练掌握如果X取任意一个量，），都有唯一的一个量与X

对立，那么相应地工就叫做这个函数的自变量或如果），是X的函数，那么X是这个函数的自变量.

解：A.对于每一个自变量x的取值，因变量），只有一个值与之相对应，所以y是x的函数故本选项不符

合题意：

B.对于每一个自变量x的取值，因变量），不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合

题意；

C.对于每一个自变量x的取值，因变量），不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合

题意；

D.对于每一个自变量x的取值，因变量），不止一个值与之相对应，所以y不是x的函数故本选项不符合

题意；

故选：A.

【变式1】B

【分析】本题考查了函数的概念，掌握函数的概念是解题的关键.

函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x和），，如果对于x的每一个确定的值，s都有唯一确定的值

与之对应，那么就称丁是X的函数，X叫做自变量，根据函数的概念分析即可.

解：（1）x+2），=0,则），=彳孙对于X的每一个确定的值，）都有唯一确定的值与之对应，y是X的函

数；

（2）/+丁=2,对于x的每一个确定的值，），的值不唯，丁不是x的函数；

（3）x=|y|,对于％的每一个确定的值，y的值不唯，＞不是式的函数；

（4）不，=1,对于k的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，V是1的函数；

综上所述，＞是x的函数的有（1）,（4）,共2个，

故选：B.

【变式2】③⑷⑤

【分析】本题考查函数定义，解题的关键是理解掌握自变量x在一定的范围内取一个值，因变量），有唯一

确定的值与之对应，则），叫x的函数.根据函数的定义，自变量x在一定的范围内取一个值，因变量有

唯一确定的值与之对应，则叫工的函数，即可得出答案.

解：根据函数的定义可知，③和④部分自变量八,在一定的范围内取一个值，因变量y有俩个确定的值与之

对应，⑤自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有无数个的值与之对应，不满足函数定义.其余均

满足函数的定义即自变量x在一定的范围内取一个值，因变量y有唯一确定的值与之对应，.

故答案为：③④⑤.

【题型5】函数解析式

【例5】D

【分析】在运动变化过程中，有两个变量x和y,对于x的每一个值y都有唯一确定的值与之对应，那么

y是x的函数，x是自变量.

解：A、当疟1时,对干x的每一个值,y=都有唯一确定的值,所以)，=^/7=T(x21)是函数.

B、当X多时，对于x的每一个值，)，=-，』都有唯一确定的值，所以)，=-VTZ(X21)是函数.

C、当烂1时，对于x的每一个值，y=都有唯一确定的值，所以)，=J=7(xWl)是函数.

D、当X21时，对于x的每一个值，y=±W有两个互为相反数的值，而不是唯一确定的值，所以

y=±jm(xNl)不是函数.

故选D.

【点拨】准确理解函数的概念，用函数的概念作出正确的判断.

【变式1】D

【分析】本题考查了函数关系式，由题意可得树苗每个月增长的高度是10cm,进而得出答案.

解：由题意得，树苗每个月增长的高度是10cm,

故该树苗的高度)Yem)与生长月数%之间的函数关系式为y=50+10x,

故选：D.

【变式2】y=10A+50

【分析】本题考查函数关系式，掌握长方形面积的计算方法是得出答案的前提，用代数式表示变化后长方

形的长足解决问题的关键.根据长方形的面枳公式列函数关系式即可.

解；由题意可得：y=10(5+.r)=10.r+50,

故答案为：＞=1°"50

【考点三】函数的表示

【题型6】求自变量的取值范围

【例6】C

【分析】本题考查了二次根式、分式由意义的条件，不等式的性质，函数自变量的取值，掌握自变量的取

值方法是解题的关键.

根据二次根式，分式由意义的条件得到2-33>0,由此即可求解.

解：函数了=八c中,，2—3女以0,2—3%20,

•••2-3X>0,

2

解得，

故选：C.

【变式1】D

【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式右（。20）以及分母不为。求解即可.

x-l>0x-l<0

解：A.由），一口■可得•解得xNl或]<；,不符合题意;

3x-\<0

B.由），=伫二！可得二:二或二n，解得0或不符合题意；

Vx-1[x-1>0[x-1<03

C.由丁=戈吉可得解得不符合题意；

D.2卷+国占可得仁涓，解得/<1,符合题意；

故选：D.

【变式2】x>-2J.x^l

【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题关键是掌

握函数自变量的范闱一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数

表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0;③当函数表达式是二次根式时，被开方数是非负数.根据二

次根式和分式有意义的条件求解即可.

解:•.•），=立亘，

..2+xN0,x-1*0,

x2-2且x¥1,

故答案为：式之-2且XH1.

【题型7】求自变量的值或函数值

【例7】A

【分析】本题考杳了函数值，根据程序图分别求出x值是-3和2时）的值，再列出方程即可求解，看懂程

序图是解题的关键.

解：当x=-3时，＞=(一3『=9,

当％=2时，y=4+/?,

•・•输入的x值是-3和2时，，输出的丁值相等，

••.4+〃=9,

。=5,

故选：A.

【变式1】B

【分析】本题考查函数值，解题的关键是根据已知条件与所求的函数值建立关系.由当x=2022时，函数

值为1，可得到-2021%=2()2"+。-1,再代入当工=-2020时的函数值中,即可求解.

解：,函数y=a(x-l)'+Z?x+c,当x=2022时，函数值为1,

/.l=a(2022-l)5+2022Z?+c,

整理可得：一2021%=2022〃+C-1,

当x=-2020lhf,y=a(-2020-I)5-2020b+c=-202fa-2020b+c=2022b+c-\-2020。+c=2(Z?+c)-l,

•：b,c为整数,

2e+。一1一定为奇数，

二•函数值不可能是2,

故选:B.

【变式2】2026

【分析】本题考查了求函数值，允求出[/(2)]=3,[/(3)]=2,当x>3时，0〈白<1,g|j[/(x)]=l,

代入计算即可得解.

解：

x-ix-\x-\

当x=2时，〃2)=1+二=3,即[/(2)]=3,

2—1

当x=3时，/(3)=1+-^-=2,即[/(3)]=2,

3—1

当x>3时，0<—<1,即[/(明=1,

X—1

・•・[/(2)]+[/(3)]+…+[/(2。24)]=3+2+1+…+1=2026,

故答案为：2026.

［题型8］函数的三种表示方法

［例8］A

【分析】根据匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少,

可得答案.

解：A.匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少，故

A符合题意；

B.加速行驶时路程应迅速增加，故B不符合题意；

C.参观时路程不变，故C不符合题意；

D.返回时路程逐渐减少，故D错误：

故选：A.

【点拨】本题考查了函数图象，理解题意是解题关键：匀速行驶路程逐渐增加，堵车时路程不变，加速行

驶时路程迅速增加，返回时路程逐渐减少.

【变式1］D

【分析】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可.

解：由表格信息可得：筋尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意；

由表格信息可得：当x=0时，每增加I小时，筋尺读数），增加6cm,

.•・箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为y=6x+6,

・••B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意：

由），=6x+6可得：

当x=7时，），=6x7+6=48,C正确，不符合题意；

故选：D.

【变式2】y=x+2x2（x>2）

【分析】根据题意得：第I个图：产1+1+2。，第2个图：产3+2=2+1+21第3个图：>=4+4=3+1+22,第4

个图；尸5+8=4+",…以此类推第〃个图；尸|1112产,即可得到答案.

解：根据题意得：

第1个图：户2=1+1,>=24-1=1+1+2°,

第2个图：x=3=2+l,>=3+2=2+1+2*,

第3个图：x=4=3+l,产4+4=3+1+22,

第4个图：户5=4+1,尸5+8=4+1+23,

以比类推:第〃个图：户〃+1,产〃+1+2/tV

了与X之间关系的表达式是：y=x^2x2(x>2),

故答案为：产.1+2/(X>2).

【点拨】本题考查了函数关系式用规律型：图形的变化类，正确找出规律，进行猜想归纳即可.

【考点四】函数的初步应用

【题型9】C

【分析】本题考查数形结合，会根据所给条件找到对应的横纵坐标的值.函数的图象定义：对于一个函数，

如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是

这个函数的图象.根据图象的信息，逐一判断.

解：横轴表示时间，纵轴表示温度，

温度最低应找到函数图象的最低点所对应的x值与)，值：为3时，22C,A正确；

温度最高应找到函数图象的最高点所对应的x值与y值：为15时，36℃,B止确；

从国象看出，这天12时的温度是34"C,C错误，故符合题意；

这天从最低温度到最高温度是从3时到15时，即15-3=12小时，D正确;

故选：C.

【变式1】D

【分析】本题考杳从函数图象上获取信息，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形

结合的思想解答问题.根据图象可知轿车比货车早到乙地0.5h,结令图象可分别求出轿车和货车的速度，

再逐一判断各个选项即可.

解：由题意可知，轿车的速度为：甥^=100(km/h),故选项A说法正确，不符合题意；

货车的速度为：150+2.5=60(knVh)

轿车出发lh后，两车相距

10D-60x(l+0.5)=10(km),

故选项C说法正确，不符合题意；

设轿车出发小时后追上货车，根据题意得：

100x=60(x+0.5)

解得：x=0.75,

即轿车出发后0.75后追上货车，

故选项D说法错误，符合题意，

故选：D

【变式2]90

【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，根据图象求出休息以后的总路程和总时间，利用速度

等于路程除以时间进行求解即可.

解：由图可知，休息后的总路程为：470-l00x2=270km,

休息后到达乙地所用的时间为：6—（2+l）=3h.

••・伏息以后该车行驶的速度是270+3=90km/h；

故答案为：90.

【题型101用描点法画函数图象

[例10]D

【分析】根据x的取值，判断y的范围即可求解•.

解：当xvO时，>,>0；此时点在一象限；

当x>0时，），<0；此时点在四象限.

故选：D.

【点拨】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点，掌握分类讨论思想是解答本题的关键.

【变式1】B

【分析】本题考查了坐标与图形，函数图像对称的性质；取丁二一二的图象任意一点《丁），再写出这个点

X-I

关于y轴的对称点，然后通过判断点（-北丁）是否满足四个选项中的解析式得到正确答案.

解：设点（x，y）为），=一二的图象上一点，

X-]

点（xy）关于N轴的对称点为（-x,y）,

而点（一”,y）满足y=一一二，

X+1

所以y=-一二和函数y的图象关于y轴对称.

X+1X-1

故选：B.

【变式2】B

【分析】根据所走的路程随时间f的增加而变化情况可得答案.

本邈考杳了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的关键.

解：开始出发时，他所行走的路程从800米开始减少，故选项A、C、D不合题意；

步行到达图书馆的过程中，他所行走的路程不变，

在从图书馆回家过程中，路程随时间的增加而减少.

故选:B.

【题型11］动点问题的函数图象

【例11】2岳

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，二次根式的化简，从函数图象中获取信息是解题的

关健.

根据图2中点(0,6)的实际意义可得：当AP=O时，4。=6,再根据图2中点SM+2)的实际意义可得：

AB=atBD=a+2,然后在Rt乙4。“中，利用勾股定理可求出A8=8,最后在Rt2\D4P中，利用勾股定

理进行计算即可解答.

解：由图2可得：

当x=O时，y=6,

•••当点产的运动距离为0时，。尸的长为6,

..当AQ=0时，AD=DP=6,

由图2可得：

当x=aH寸，大=4+2,

二•当点P的运动距离为。时.，。户的值最大，最大为6,

・•・当点P运动到和点区重合时，的值最大，

/.AB=a,BD=a+2,

在RlAAOB中，AD2+AB2=DB~»

36+/=(a+2)2,

「.4=8,

.•.AA=8,

,•,点尸为A8的中点，

AP=-/1B=4,

2

DP=JAD?+A尸=V62+42=2而，

故答案为：2J万.

【变式1】c

【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象得出信息是解题的关键.根据函数的图象与坐标的关

系说定C。的长，再根据矩形性质及勾股定理列方程求解.

解：由图象得：CD=2,当4D+AP=4时，PQ=CD=2,此时点。在8C边上，

设比时8P=a,则9。=4-々，AD=BC=2+a,

在RtzXACD中，BD2-BC2=CD2,

即：(4-a)2-(a+2)2=22,

解得…=(2，

J

Q

/.AD=a+2=—,

3

故选：C.

【变式2】C

【分析】本题考查用图象表示变量的关系.根据题意，先求出当点尸在A。上运动时ABCP的面枳即。的

值，再根据点0沿C-4-O-C运动到。时的路程来求b的值即可.

解；当点。在人£＞上运动时，SABCP-^BCAB-^X4X3-6

a=6

由用知，点/，沿6、一力一。一6、运动到。时，路程为/C+/lZ?=5+4=9.

.•・»+3=9

b=3

/.a—力=6-3=3.

故选：C.

第二部分【链接中考与拓展延伸】

【题型12］链接中考

【例1】B

【分析】本题考查函数的I幻象，关键是由图象获取信息来解次问题.

由国象知甲、乙两车行驶加百公里时，甲车耗油16L,乙车耗油20L,由题意即可得到答案.

解：由图象知:甲、乙两车行驶七百公里时,甲车耗油40-24=16亿),乙车耗油40-20=20(L),

由题意得：-------2.

mm

故选：B.

【例2】B

【分析】本题考查的是实验数据的分析和解读，从图中获取信息是解题的关键.根据图像即可得到最佳时

间和温度.

解：由图像可知,在120min时提取率最高,

50c时提取率最高，

故最佳的提取时间和提取温度分别为120min,50℃,

故选B.

【题型13］拓展延伸

【例1】C

【分析】本题考查了函数动点问题，角平分线的性质，勾股定理，掌