湖南株洲市渌口区2025-2026学年九年级上学期期末考试数学试题（含答案解析）

九年级数学试题(2026.1)

时量：120分钟满分：120分

一、选择题(每题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求)

1.一元二次方程4x=x-3=0的常数项是()

A.4B.-1C.-3D.3

2.某城市绿化部门将一种树苗移植成活的情况绘制成如下的统计图，种植这种树苗10。)棵，

估计可以成活的棵数为()

A.950B.900C.85()D.80()

3.用配方法解一元二次方程--6戈+8=0,配方后得到的方程是()

A.(X-6)2=28B.(X-6)2=44

C.(X-3)2=2D.(A-3)2=I

2

4.已知点力(-2,必),8(-1,%)和。(2,必)都在反比例函数y=—-的图象上，则必，必，力

X

的大小关系是()

A.yt<y2<yyB.y2<yy<ytC.为<或D.必<乂<8

5.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是()

22

A.X+3X=()B.x+4.r-4=0

C.(x+l)(x-3)=0D.X2+2J+1=0

6.如图，体育公园设置了一段爬坡路线48,已知这段路线相关数据/I8=3()m,A=15m,

则下列说法错误的是()

试卷第1页，共6页

A.路线的坡角是30：B.路线48的坡度是1:2

C.4c的长度为15百mD.路线.44的坡比是1：Q

12

7.关于反比例函数》=—-，下列说法不正确的是（）

x

A.函数图象经过点（3,-4）B.函数图象关于原点成中心对称

C.函数图象分别位于第一、三象限D.当X。）时，歹随x的增大而增大

8.锐角a满足sina>1且tana<J5,则a的取值范围为（）

2

A.30°<ft<45°B.45°<a<60°C.60o<a<90°D.30°<a<60°

9.如图，在口中，按以下步骤作图：①以点8为圆心，以适当长为半径作弧，分别

交BA,于点AY,N；②分别以历，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧

在448C内交于点。；③作射线8。，交AD于点、E,交。。延长线于点若CD=3,

DE=2,下列结论错误的是（）

A.AABE=ZCBEB.BC=5

BE5

C.DE=DFD.—=-

EF3

10.若x=2025是关于x的方程以2+版+]=0的一个根，则关于x的方程

“》+2）2+加+2/?=-1必有一个根为（）

A.2023B.2024C.2025D.2027

二、填空题（每小题3分，共18分）

11.如果那么答的结果是

b32h-------

12.在Rl△力BC中，^4BC=90o,AB=3,BC=4,则siM=.

试卷第2页，共6页

13.如图，已知AB〃CD〃EF,BD:DF=1:2,AC=5,那么力£=

14.如图，在平面直角坐标系中，点力的坐标为（。,2）,点8的坐标为（，0）,连接⑷？.若

将“80绕点"顺时针旋转90。，得到"'8。'，则点H的坐标为.

15.一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一兀二次方程/—7工+12=0的一个根，则此三

角形的周长是.

16.如图，在锐角“8C中，AB=6cm,AC=\2cm,动点。从点力出发到点4停止，动

点£从点。出发到点力停止，点。运动的速度为lcm/s，点£运动的速度为2cm/s,如果两

点同时开始运动，那么以点4。，石为顶点的三角形与△力4c相似时的运动时间为一秒.

三、解答题（共8个小题，满分72分，第17、18题每小题6分，第19、20

题每小题8分，第21、22题每小题10分，第23、24题每小题12分）

17.计算sin450+6tan30。+炳-cos450.

18.解方程：/一6x—16=0.

19.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+】与反比例函数歹=@（〃。0）的图象交于点

/（2,/〃）和点B.

试卷第3页，共6页

(1)求小，。的值，并宜接写出点4的坐标;

(2)根据图象可得，不等式的解集为

x

2().某市利用各类灵活多样的宣传方式、各种宣传载体，全方位开展“国家反诈中心4PP”

宣传推广活动，截至2025年底，注册人数已达216.39万人.某社区工作人员为调查本社区

居民对于“国家反诈中心力小”的了解情况，进行了一次问卷调查，本次问卷调查共设10个

问题，每题10分，问卷调查结束后，根据问卷结果分为/：非常了解(80-100分)、8：比

较了解(60-79分)、C：基本了解(40-59分)、D：不太了解(0-39分)四个等级并绘制

(1)求此次问卷调查总人数，并补全条形统计图；

⑵在扇形统计图中，求A等级对应的扇形圆心角；

(3)若该社区共有居民8000人，请你估计对于“国家反诈打心力PP”问卷调查得分不低于60

分的人数.

21.如图，在梯形48。。中力。〃8。，点凡上分别在线段8C,4C上，且

(1)求证：DE=AF

试卷第4页，共6页

(2)若N/4C=NCOE,求证：AF2=BFCE

22.2024年9月28日，中国人民解放军南部战区位中国黄岩岛附近海空域组织例行性演训

活动，检验任务部队侦察监视、警巡待战、联合打击等能力•切搅局南海、制造热点的行动

企图，尽在掌握.战区部队时刻高度戒备，坚决挫败破坏地区和平稳定的勾连行径.如图,

一艘核潜艇在海面DF下500米A点处测得俯角为28。正前方的海底C点处有一可疑物，继

续在同一深度直线航行1500米到8点处测得正前方。点处的俯角为45。.求海底。点处距

离海面OE的深度(结果精确到个位，参考数据：tan28。。0.53).

D海面产

丈一口

于

、、、

、、、\

、7、

'C

23.“顺峰”在2021年“十一”长假期间，接待游客达2万人次,预计在2023年“十一”长假期

间，接待游客2.88万人次，在顺峰，一家特色小面店希望在“十一”长假期间获得好的收益,

经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售

120碗，若价格每提高1元，则平均每天少销售8碗，每天店面所需其他各种费用为16B元.

⑴求出2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率；

(2)为了更好地维护东至县形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多

少元时，店家才能实现每天净利润600元？(净利润=总收入-总成本-其它各种费用)

24.综合与实践

已知：矩形力8cO,M是力。边上一点.

【基本图形】

(1)如图I,AM=MD,BM交AC于F点、,8W的延长线与CO的延长线交于点E,连

MF_EM

AE,求证:

试卷第5页，共6页

【类比探究】

(2)如图2,AM=MD,过点。任意作直线与8M，8C的延长线分别交于点£，点P，

连求证：/EAD=/PAD；

试卷第6页，共6页

1.c

【分析】本题考杳了一元二次方程各部分的名称定义，解决此题的关键是正确的识记相关概

念，根据常项的定义即可解决。

【详解】解：4/_*-3=0是一般形式的一元二次方程，

二常数项为-3,

故选：C

2.B

【分析】本题主要考查了天线统计图，用频率估计概率，已知概率求数量，根据统计图可得

随着实验次数的增加，种植这种树苗的成活率逐渐稳定在0.90附近，则可估计种植这朴树

苗成活的概率约为0.90,据此求解即可.

【详解】解：由统计图可知，随着实验次数的增加，种植这种树苗的成活率逐渐稳定在0.90

附近.

••.种植这种树苗成活的概率约为0.90,

种植这种树苗1000棵，估计可以成活的棵数为1000x0.90=900棵，

故选：B.

3.D

【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键.

根据配方法解题即可.

【详解】解：x2-6x+8=0»

x2-6x+9=I，

（x-3『=l.

故选：D.

4.D

【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数〃<（）,图象在每个象限内，）随工

的增大而增大，双曲线在第二、四象限，据此分析即可，熟练地应用反比例函数的性质是解

题的关键.

【详解】解：•••一2<0,

••・函数的图像位于第二、四象限，在每个象限内，V的值随X的增大而增大，

V-2<-1,

答案第1页，共13页

二%>必>0,

v2>0,

二%<0，

•••必>乂>必，

即为v乂<必，

故选：D.

5.D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程法+。=0(。*0)的根与

△=从一4%,有如下关系：®A>0,方程有两个不相等的实数根，@A=0,方程有两个相

等的实数根，@A<0,方程没有实数根.根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解,

熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键.

【详解】解：选项A：x2+3%=0,a=l,6=3,c=0

vA=32-4xlx0=9>0»

二方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；

选项B：x2+4x-4=0»a=\,b=4,c=-4,

vA=42-4xlx(-4)=16+16=32>0,

•••方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；

选项C：将(x+l)(x-3)=0整理为.丫2一2.丫-3=0,4=1.b=-21c=-3

vA=(-2)2-4x1x(-3)=4+12=16>0,

二方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；

选项D：x2+2x+1=0»*7=1,b=2,c=\,

•••△=22-4x1x1=4-4=0，

•••方程有两个相等的实数根，故木选项符合题意；

故选：D.

6.B

【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距

答案第2页，共13页

离的比是解题关键.根据正弦的定义得出sin/比1。=；,/加C=30。，解直角三角形得出

4C=15Gm,根据坡比的定义逐一判断即可得答案.

【详解】解：AB=30m,h=15m,

./c/Lh151

sinZ.BAC==—=—,

AB302

.•./历1C=3O。，即路线的坡角是30°，故A选项正珑，不符合题意，

•••AC=ABcos30°=30x^=15V3m,故C选项正确，不符合题意，

2

•••路线48的坡度是隼=品=1：6,故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题

意.

故选：B.

7.C

【分析】根据反比例函数的性质，逐一判断各个选项，即可.

17

【详解】解：A选项，-4=-y,故函数图象经过点（3,-4）,故A选项不符合题意；

12

B选项，反比例函数y=-一的图象关于原点成中心对称，故B选项不符合题意；

x

C选项，-12<0,反比例函数图象分别位于第二、四象限，故C选项符合题意；

D选项，-12<0,当x<0时，V随x的增大而增大，故D选项不符合题意.

故先：C.

【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键.

8.B

【分析】根据特殊角的三角函数值和正弦函数随锐角的增大而增大、正切函数随锐角的增大

而增大即可解答.

【详解】解：且sin450=—

22

.•.450<a<90°

,:taner<V3»且tan60=方

.-.0°<a<60°

.•.45°<a<60°.

故选：B.

【点睛】本题考0：特殊角的二角函数值、锐角二角函数的增减性，熟记特殊角的二角函数值,

答案第3页，共13页

掌握锐角三角函数的增减性是解答的关键.

9.D

【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性

质与判定的综合.先由作图得到8尸为/48C的角平分，利用平行线证明NAEB=NABE,

从而得到力E=48=CQ=3,再利用平行四边形的性质得到8。=力。=力£+£。=3+2=5,

RF3

再证明△4E8SAD”,分别求出户=DF=2,则各选项可以判定.

EF2

【详解】解：由作图可知，8b为的角平分，

.•2ABE=NCBE,故A正确；

•••四边形力BCQ为平行四边形，

:.AD=BC,AB=CD,AD||BC,

•••AD//BC

:ZEB=NCBE,

:.ZAEB=ZABE,

；.AE=AB=CD=3,

•••BC-AD=AE+ED=3+2=5,故B正确；

•••AB=CD,

•••Z.ABE=ZF,

•••ZAEB=NDEF,

•••AAEBs^DEF,

BEABAE

：'~EF~~DF~~ED'

BE33

'''EF~~DF~2y

RF3

.•・笠=9，。尸=2,故D错误；

EF2

•••DE=2,

:.DE=DF,故C正确，

故选：D.

10.A

【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程〃/+辰+]=()有一个根

为2025,可得出关于(x+2)的一元二次方程q(x+2)2+bx+2b=-l有一个根为2025,解之

答案第4页，共13页

可得出X的值，此题得解.

【详解】解：•.■关于X的一元二次方程"2+bx+l=0有一个根为2025,

二关于(x+2)的一元二次方程。(x+2)2+》(x+2)+l=0即a(x+2)2+bx+2b=-\有一个根为

2025,

即x+2=2025,

解得：x=2023,

故选：A.

【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

由已知比例7=可设参数表示。和石，再代入所求分式化简.

b3

【详解】解：由题意.设a=2k,b=3k(女工0).

a+b2k+3k5k5

则nil----=-------=—=-.

2b2x3%6k6

故答案为：7-

6

,2-?

【分析】由勾股定理可求得斜边力C,由正弦函数的定义即可解决.

【详解】由勾股定理知，AC=>]ABZ+BC2=V37747=5

.,BC4

sinA----=—

AC5

4

故答案为:]

【点睛】本题考查了求锐角的正弦函数值，勾股定理，掌握正弦函数的定义是关键.

13.15

【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

根据平行线分线段成比例解题即可.

【详解】解：-AB\\CD\\EFf

BDAC

'~DF~'CE，

51

:.=—,

CE2

解得CE=10,

答案第5页，共13页

=JC+CE=5+10=15.

故答案为：15.

14.（5,3）

【分析】过点4作HG104于点G,由旋转的性质可知40'=40,BO=BO,

NO〃O'=NOZG=90。，NA'O'B=/AOB=90。,进而可■得/O=40'=2,易得四边形

力'O'6G是矩形，所以可求出OG和WG的长度，即可得到4的坐标.

【详解】解：过点4作HG108于点G,

：./A'GB=90。

由旋转的性质可知：A'O'=AO,OB1=OB,NOBO'=/O'BG=90。,

N4'0'B=N/10B=90°,

:.N/i'GB=NO'BG=^A'O'B=90°,

•••四边形』0'8G是矩形，

：.A'G=O'B,BG=O'A',

：.A'G=OB,BG=OA

:点/的坐标为（0,2）,点8的坐标为（3,0）,

.@=2,04=3,

:.A'G=3,BG=2,

OG-OB+BG=3+2=5,

・••点4的坐标为（5,3）.

故答案为：（5,3）.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平面直角坐标系点的坐标等知识点，解决此题的关健

是要作辅助线HG.

15.14

【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上

答案第6页，共13页

知识点是解题的关键.

先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算

周长.

【详解】解：丁―7x+12=0,

(x-3)(x-4)=0,

解得x=3或x=4,

当腰长为3时，三边为3、3、6,

v3+3=6,不构成三角形；

当腰长为4时，三边为4、4、6,满足三角形三边关系，

••・周长为4+4+6=14.

故答案为：14.

16.3或4.8

【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是应用分类讨论的思想方法.本题先设运

动/秒，再分两种情况，"DEs"BC与"DEs”CB,利用其性质列出方程即可求解.

【详解】解：设运动/秒时，以点力、。、E为顶点的三角形与△18C相似，

则4。=1,CE=2/,AE=AC-CE=\2-2t.

①当点。与点8对应时，有“DEs“BC.

:.AD:AB=AE:AC,

.-./:6=(12-2/):12,

f=3；

②当点。与点C对应时，有“DEs.CB.

AD:AC=AE:AB,

AM2=(12-2/)：6,

:.t=4.8.

所以当以点4、D、£为顶点的三角形与△/BC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒.

故答案为：3或4.8.

17.5G

【分析】此题考查了特殊用的三角函数值的混合运算和二次根式的加减法.代入特殊角的三

角函数值，进行二次根式的混合运算即可.

答案第7页，共13页

【详解】解：sin45°+6tan300+V27-cos45°

=正+6、走+36—正

232

=26+3百

=56

18.x)=8,X2=-2

【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选取解方程的方法是解题的关键：

利用因式分解即可求解.

【详解】解：分解因式得:(x-8)(x+2)=0,

即x—8=0,x+2=0,

心=8,x2=-2.

19.(l)w=3>〃=6,8(-3,-2)

(2)x<-3或0<x<2

【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，根据交点确定不等式的解集，理解

题意，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键.

(1)将点4代入一次函数即可得出〃?=3,再将点4代入反比例函数即可确定函数解析式,

进而即可得出交点；

(2)结合图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象卜方的取值范围即可.

【详解】(1)解：•••点/(2,m)在一次函数尸"1的图象上,

.•.将x=2,y=m代入y=x+1中,得/〃=2+1=3,

，力(2,3).

•.•点力(2,3)在反比例函数了，的图象上，

x

二将x=2,y=3代入y=N中，得3=§,

X2

解得"6.

y=x+\

联立6,

y=-

X

答案第8页，共13页

x=2

解得：

y=3

•••点8的坐标为（-3,-2）.

（2）由图象得：当一次函数的图象位于反比例函数图象下方，即工+1<g时，x<-3或

x

0<x<2,

故答案为：x<-3或0<x<2.

20.（1）50人,见解析

（2）108°

（3）5760人

【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图、样本估L总体，熟练掌握以上知识点是解题

的关键.

（1）根据统计图计算即可：

（2）根据统计图计算即可;

（3）根据样本数据估计总体即可.

【详解】（1）解：由图可知，。等级有10人，占总人数的20%,

二总人数为10・20%=50（人）；

4等级的人数：50-15-10-4=21（人打

条形统计图补全如下：

（2）解：—x3600=108c,

等级对应的扇形圆心角是108。；

（3）解：8000=5760（人）；

答；此次问卷调查得分不低于60分的人数是5760人.

答案第9页，共13页

21.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)先根据平行线的性质可得=户，再根据三角形的全等的判定可得

△DAE祥ACF,然后根据全等的三角形的性质即可得证；

(2)先根据全等三角形的性质可得=从而可得再根据相似

三角形的判定可得,然后根据相似三角形的性质即可得证.

【详解】(1)证明：•・♦力。118。，

/.NDAE=NACF,

NDAE=NACF

在△/)%上和△4。尸中，•AD=CA

NADE=NCAF

.△DAE^AJCF(ASA),

...DE=AF

(2)证明：\^DAE=^ACF,

NAFC=NDEA,

180°-Z.AFC=1800-ZDEA，即/.AFB=Z.CED，

AAFB=NCED

在△川即和ACQE中，＜

Z.ABF=^CDE

s.^ABFfCDE，

AFBF

CEDE

由(1)已证：DE=AF

AFBF

CEAF

:.AF2=BFCE.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三

角形的判定与性质是解题关键.

22.海底C点处距离海面。”的深度约为2191米.

【分析】本题考查了解直角三角形的相关运算，先过点C作CE工4B,垂足为E,延长CE

交DF于G,整理得花="+即=(1500+x)米，把数值代入CE=/E・tan28。进行计算,

得xal691,则CG=C£+G'£a2191(米)，即可作答.

答案第10页，共13页

【详解】解：过点C作CE上4B,垂足为E,延长。上交。/于G,

D海面/G

~v—万------1-

子」28〜尹一-中

、、、

设CE=x米，

•.•NCBE=45。,Z.CEB=90°,

••.BE=CE=x米,

.•.4£="+8E=（1500+1）米，

在△4EC中，Z/lfC=90°,ZEJC=28°,

:.CE=AE-tan28°,

即x=（1500+x）tan28。,

••"1691,

•.♦EG=4。=500米，

：.CG=CE+GE^2\9\（米），

答:海底C点处距离海面。尸的深度约为2191米.

23.（1）20%

（2）当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的

关键.

⑴设2021至2023年“十一”长假期间游客人次的年平均增长率为x,利用2023年“十一”

长假期间游客人次=2021年“十一”长假期间游客人次x（1+2021至2023年“十一”长假期间

游客人次的年平均增长率）2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结

论；

（2）设每碗售价定为y元，则平均每天可■销售（240-8力碗，利用