湖南郴州市汝城县2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题（试卷+解析）

2025年下学期期末教学质量监测

八年级数学

（时量：120分钟总分：120分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.式子而工中，工取值范围是（）

A.x>2B.x>-2C.x>2D.x>-2

2.下列各式计算正确的是（）

A.a2-o'=a6B.（片了=。，C.口./+/=/

3.在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高.其中某关键特效粒

子的半径为0.0000025米，（）.000（）。25用科学记数法表示为（）

A.0.25xlO-5B.0.25x10sC.2.5xl0-6D.2.5xlO6

4.已知三角形三边长分别是3,%9,则x的值可以是（）

A.6B.8C.12D.15

5.空调外机安装在墙壁上时，一般都会固定在三角形支架上，这样做的原理是（）

A.三角形具有稳定性B.两点之间，线段最短

C.全等三角形的对应角相等D.两点确定一条直线

6.在一个直角三角形中，有一个锐角等于38。，则另一个锐角的度数是（）

A38°B.52°C.62°D.142°

7.用提公因式法分解因式，多项式3/一9工中能提出的公囚式是（）

A.3B.xC.3xD.x2

/3\2

8.化简2-的结果是（）

,y5y6V5V6

A.一B--C.=D.—

厂x2x3x3

9.如图，已知A31AC,CD1I3D,若用“HL”判定△A8CgZ\DC3,还需补充一个条件，可以是

()

A.AE=DEB.ZACB=ZDBC

C.ZABC=4DCBD.AB=DC

10.如图，把VA8C绕点C顺时针旋转35。得到夕C,交AC于点。，若AQ=CO,则/A的

度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.计算J5x6结果是.

x--V+V

12.已知一二2,则分式一-的值为.

）'x）'

13.如图，VA8C中，ZC=90，AO平分/B4C，AB=6,CD=2,则△A3。的面积是

14.若加+2〃=-1,则3叫9"=

15.如图所示网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则NP+NQ=度.

p

16.如图，直线/上有三个正方形A、B、C,若正方形A、C的面积分别是5和7,则正方形8的面积为

三、解答题（共8小题，第17-21题每小题8分，第22-23题每小题10分，第24题12分,

共72分）

17.计算：

(1)配-G+

2

(2)(x/5+l)-廊+

18.因式分解：

(1)X2-9

(2)2/),一4/),2+2x),3

（3Ir2-4r+4

19.先化简，再求值：1+—，，其中x=3.

1x-5）2x-I0

2（）.如图，。是VABC的边A3上一点，AB/7CF,DF交AC于E点,DE=EF.

(1)求证：AAOEg△CFE；

(2)若A3=6,CF=5,求3。的长.

21.如图，在VA3C,4c=3,BC=4.

c

(l)请用无刻度直尺和圆规作出线段A3的垂直平分线，交BC于点D(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下，连接AO,求△AS的周长.

22.某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造

美好家园，促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工

作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成任务.求原计划每天绿化的面积是多少万平方米？

23.教科书中这样写道：“我们把多项式/+2"+/及/一2"+6叫做完全平方式，，，如果一个多项

式不是完全平方式，我们常做如卜变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，

使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看

似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.

例如：分解因式：X2+2X-3.

X2+2X-3=(X2+2X+1)-4=(X+1)2-22=(x+l+2)(x+l-2)=(x+3)(x-l)；

再如：求代数式2/-4工一6的最小值.

2X2-4X-6=2(X2-2X-3)=2(X2-2X+1-1-3)=2(X-1)2-8,

可知当x=l时，2f—4x—6有最小值，最小值是一8.

根据阅读材料，用配方法解决卜列问题：

(1)分解因式：nr-4m-5=_______.

(2)当〃，〃为何值时，多项式/一2々〃+乃2一6〃+10有最小值，并求出这个最小值.

(3)当。，/?为何值时，多项式/+乂一4〃+10。+2025有最小值，并求出这个最小值.

24.如图，等边YABC边长为6cm,点2在边43上以每秒1cm的速度从4向B运动，到点？停止：点

Q在射线8C上以每秒3cm的速度从3向C运动，随着点〃的停止而停止；设运动时间为/秒.

B—►QCB—►QC

各用图

(1)用含，的式子表示线段长度：BP=cm,BQ=cm.

(2)当f为何值时，V8PQ为直角三角形；

(3)若运动过程中，线段PQ与边AC交于点"，请问是否存在点M为线段PQ中点的情况？若存在，请

求出此时的/值和的长度；若不存在，请说明理由.

2025年下学期期末教学质量监测

八年级数学

（时量：120分钟总分：120分）

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1.式子而工中，工的取值范围是（）

A.x>2B.x>-2C.x>2D.x>-2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解决本题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件.

根据二次根式的被开方数必须为非负数，由此列不等式求解即可.

【详解】解:由题意可得x+220,

解得xN-2,

••・工的取值范围是1之一2.

故选：D.

2.下列各式计算正确的是（）

A.a1-O'=a6B.（w2）4=a6C.（abf=aVD.a6a3=a2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了同底数制的乘除、冢的乘方、积的乘方.

根据同底数哥的乘除、事的乘方、积的乘方的运算法则，对每个选项逐•计算判断即可.

详解】解：42.〃3=q2+3=/wa6,故A错误；

（。2）4=/*4=/#。6,故B错误；

（。力=4%',故C正确；

o'+a，=。6-3="故D错误；

故选：C.

3.在《哪吒2》特效制作中，为呈现细腻的法术光芒，对单个粒子的渲染精度要求极高.其中某关键特效粒

子的半径为0.0000025米，O.OOOOD25用科学记数法表示为（）

A.0.25x10-5B.0.25x10sC.2.5xlO-6D.2.5xlO6

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，科学记数法的一般形式为〃xi（r,其中〃为整

数.对于0.0000（）25,需将小数点向右移动6位得到2.5,故〃=-6.

【详解】解：:0.0000025的第一个非零数字为2,将小数点移至2后得2.5,此时小数点向右移动了6位,

・•・0.0000025=2.5xHF6，

故选:C.

4.已知三角形三边长分别是3,39,则x的值可以是（）

A.6B.8C.12D.15

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查三角形三边关系的应用.

根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定x的取值范围，再结合选项判断即可.

【详解】解：•••三角形三边分别为3,x,9,

・•・根据三角形三边关系，得9—3<xv9+3,

即6vxvl2,

•・•选项中只有8满足6Vx<12,

・・・x的值可以是8.

故选:B.

5.空调外机安装在墙壁上时，一般都会固定在三角形支架上，这样做的原理是（）

A.三角形具有稳定性B.两点之间，线段最短

C.全等三角形的对应角相等D.两点确定一条直线

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了三角形的特性，即三角形具有稳定性.利用三角形具有粒定性的特性，空调外机的支

架能够牢固地固定在墙上，不易变形，从而保证空调外机的稳定和安全.

【详解】解：空调外机安装固定在三角形支架上，应用了三角形的稳定性，

・・・B、C、D错误，A正确，

故选：A.

6.在一个直角三角形中，有一个锐角等于38。，则另一个锐角的度数是（）

A.38°B.52°C.62°D.142°

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形两锐角互余解答即可求解，熟练掌握知识点是解

题的关键.

【详解】解：•••直角三角形的两个锐角互余，其中一个锐角为38。，

・•・另一个锐角的度数为90。-38。=52。，

故选：B.

7.用提公因式法分解因式，多项式3/_9x中能提出的公因式是（）

A.3B.xC.3xD.x2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查提取公因式，熟练掌握提取公因式的方法是解题的关犍.

先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次累.

【详解】•・•多项式—9x中，系数3和9的最大公因数是3,字母部分F和x的最低次耗是「

・•・该多项式的公因式为3x.

故选:C

/3、2

8.化简上-的结果是（）

bc

A.4-4X-4XD-4X

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查分式乘方与幕的乘方的运算，需运用“分式乘方时分子分母分别乘方”及“幕的乘方底

数不变、指数相乘”的法则化简.

【详解】解：:分式的乘方法则为幺=会，」的乘方法则为(/)”_*

(力］产”6

\x)

故选:B.

9.如图,已知A3/AC,CDtBD,若用“HL”判定△ABC9△£>C3,还需补充一个条件，可以是

A.AE=DEB.ZACB=ZDBC

C.ZABC=/DCBD.AB—DC

【答案】D

【解析】

【分析】本题考杳了全等三角形判定定理的应用，根据全等三角形的判定定理判断即可.

【详解】解：•・•AB1AC,CD工BD,BC=BC,

添加AB=DC,利用HL可得AABC学/\DCB,

故选:D.

IU.如图，把VA3c绕点。顺时针旋转35°得到△A'&C,A笈交AC于点。，若40=8,则/A的

)

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了旋转的性质，先根据旋转的性质得NAC4'=35。，NA=NA,然后通过AO=CD,

利用等边对等角得出ZA'=ZACA=35°,从而得到NA的度数.

【详解】解：•••VA4C绕点。按顺时针方向旋转35。得到△A7TC,

AZACAf=35°,ZA=ZA\

'：ND=CD,

:.乙4'=ZAC4'=35。，

・・・ZA=35。，

故选：A.

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11.计算结果是.

【答案】V15

【解析】

【分析】本题主要考杳了二次根式的乘法，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则.根据二次根式的乘

法法则进行计算即可.

【详解】解:原式=>/砺

=屈,

故答案为：席.

YX4-v

12.已知一=2,则分式一的值为_______.

）‘x-y

【答案】3

【解析】

【分析】本题考查了求分式的值.

由已知条件二=2可得x=2），，代入分式一^化简求值即可.

x

【详解】解：・・・一二2,

y

/.x=2y,

.x+y_2y+y_3y

-v-y2y-y），

故答案为：3.

13.如图，VA8C中，ZC=90，A力平分N84C,A8=6,CD=2,则△A8D面枳是.

B

【答案】6

【解析】

【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，过点。作OE/AB于点E，由角平分线的性质得

DE=CD=2,再根据三角形的面积公式计算即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键.

【详解】解：如图，过点。作。E1A3于点E，

•・•ZC=90%

・•.DC±AC,

又A。平分/B4C,DEJ.AB，

：・DE=CD=2,

•・•A8=6,

△ABD的面积='ABOE=』x6x2=6,

22

故答案为：6.

14.若m+2〃=一1,则3叫9"=.

【答案】!

3

【解析】

【分析】本题考查了累的乘方，同底数制的乘法，负整数指数暴.

将9〃转化为32〃，利用同底数辕相乘的法则计算即可.

【详解】解：T-9W=3M,•（32）n=T-32/,=T+2n=3-,=-.

故答案为：7-

3

15.如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点，则NP+NQ=度.

p

Q

【答案】45

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，找出图中的全等

三角形是解题的关键.

利用网格得出△P8C丝ACAQISAS）,ZABQ=AAQB=45°,再利用全等三角形的性质以及三角形外

角的性质即可得出答案.

详解】解：如图，

由图可得，PB=AC,NP3C-NC4Q-90。，AQ^AB-BC,

・•・△PBC%C4Q（SAS）,ZABQ=ZAQB=45°,

・•・？尸？ACQ,

・•.ZP+ZBQC=ZACQ+NBQC=ZABQ=45°.

故答案为：45.

16.如图，直线/上有三个正方形A、B、C,若正方形4、C的面积分别是5和7,则正方形8的面积为

【解析】

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，由已知可得

/DEF=NFGH=90。,/DFH=90。,DF=FH，DE?=5,GH2=7进而可证

△EDF^AGFH（AAS）,即得所2=G”2=7,再根据勾股定理得。尸2=。F2+族2=]2,即可求

解，熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】解：如图，由题意可得，NDEF=NFGH=90。，ZDFH=90°,DF=FH，DE?=5,

GH?=7，

AZEDF+ZDFE=90°,NGFH+/DFE=90。,

・•・4EDF=/GFH,

:.A£DF^AGF//(AAS),

・•・EF=GH,

:,EF?=GH?=1，

:,DF?=D^2+EF2=5+7=12，

.••正方形8的面积为12，

故答案为：12.

三、解答题（共8小题，第17-21题每小题8分，第22-23题每小题10分，第24题12分,

共72分）

17.计算：

（1）>/12->/3+6^1；

（2）（石+1J-a+

【答案】（1）

（2）6

【解析】

【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

(1)先化简，然后合并同类二次根式即可；

(2)根据完全平方公式和二次根式的除法将题目中的式子展开，然后计算加减法即可.

【小问1详解】

厄-G+6A

=26一百+2百

=3百；

【小问2详解】

(6+1『一师+加

=5+2石+1-同

=5+2石+1-2石

=6.

18.因式分解：

⑴X2-9

(2)2x3y-4x2y2+2xy3

【答案】(1)(x+3)(x-3)

(2)2x)?(x-y)2

【解析】

【分析】本题考查了因式分解的基本方法，包括平方差公式和提取公因式后应用完全平方公式.

(1)观察式子结构，识别平方差形式，直接应用公式分解；

(2)先提取公因式，剩余部分再判断是否为完全平方式，进一步分解.

【小问1详解】

解：原式=式一3?

=(x+3)(x-3).

【小问2详解】

解：原式=2个卜2-2孙+9)

=2A＞，(X_».

（31r2-4r+4

19.先化简，再求值：1+—卜，［八，其中x=3.

1x-5）210

【答案】三，2

x—2

【解析】

【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式

—,然后把工的值代入计算即可.在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.

x-2

原式二yi产共

详解】解:

x-5（x-2）

j-22*-5)

x—5(x—2)~

2

=x^2f

当x=3时，原式=——=2.

3-2

20.如图，。是V48C的边上一点，AB〃CF,。尸交AC于E点，DE=EF.

（1）求证：SDE”2FE,、

（2）若A8=6,CF=5,求的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）1

【解析】

【分析】（1）由平行线的性质得=进而由判定定理“AAS”即可求证；

（2）由全等三角形的性质得AO=b=5,进而由线段的和差关系即可求解；

本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.

【小问1详解】

证明：VAB/7CF,

・•・/DAE=/FCE,

乂TZAED=/CEF,DE=FE，

・•.△4)E与CFE(AAS)；

【小问2详解】

解：♦：AADE学江FE,

：,AD=CF=5

VAB=6，

：.BD=AB-AD=6-5=\.

21.如图，在VA8C,AC=3,3c=4.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段A8的垂直平分线，交8c于点。（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）在（1）的条件下，连接AO,求△4口的周长.

【答案】（1）作图见解析

(2)7

【解析】

【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

（1）根据线段垂直平分线的作法作图即小

（2）由线段垂直平分线的性质可得4）=8。，即得△ACQ的周长

=AC+AD+C£>=AC+3£）+C£>=AC+3C,代入已知计算即可求解;

【小问1详解】

解：如图所示，直线M/V即为所求:

【小问2详解】

解：•・•直线MN是线段的垂直平分线,

工AD=BD,

:.LACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=3+4=7.

22.某地积极响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展荒山绿化，打造

美好家园，促进旅游发展.某工程队承接了90万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际的工

作效率比原计划提高了25%,结果提前30天完成任务.求原计划每天绿化的面积是多少万平方米？

【答案】0.6万平方米

【解析】

【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积是

(l+25%)x=1.25x万平方米，根据工作时间=工作总量:工作效率，结合实际比原计划提前3，)天完成了任

务，即可得出关于x的分式方程，此题得解.

【洋解】解：设原计划每天绿化的面积是x万平方米，则实际每天绿化的面积是(l+25%)x=1.25x万平方

米，

9090

根据题意，得一---=30,

x\.25x

解得：x=0.6,

经检验，1=0.6是原分式方程的解，且符合实际意义，

即原计划每天绿化的面积是0.6万平方米.

23.教科书中这样写道：“我们把多项式/+2必+/及+叫做完全平方式”，如果一个多项

式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，

使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看

似不能分解的多项式分解因式，逐能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等.

例如：分解因式：X2+2X-3.

X2+2X-3=(X24-2X4-1)-4=(X+1)2-22=(A：4-1+2)(X+1-2)=(X4-3)(X-1)；

再如：求代数式2工2一4上一6的最小值.

2X2-4X-6=2(X2-2X-3)=2(X2-2X+1-1-3)=2(X-1)2-8,

可知当x=l时，2/一4工一6有最小值，最小值是一8.

根据阅读材料，用配方法解决下列问题：

(1)分解因式：nr——5=_______.

(2)当。，〃为何值时，多项式/—2a〃+2Z?—6/7+10有最小值，并求出这个最小值.

(3)当为何值时，多项式/+〃—44+10/7+2025有最小值，并求出这个最小值.

【答案】(1)(机+1)(“一5)

(2)。=〃=3时，多项式有最小值，最小值为1

(3)。=2,〃=一5时，多项式的最小值为1996

【解析】

【分析】(1)仿照题例解答即可求解；

(2)仿照题例解答即可求解；

(3)仿照题例解答即可求解；

本题考杳了配方法应用，掌握配方法是解题的关键.

【小问1详解】

解：〃，一4加一5二("，一4〃?+4)-9=(2y-32=(/zz-2+3)(/??-2-3)=(zzz+1)(w-5),

故答案为：(m+1)(，〃-5)；

【小问2详解】

解：a2-2ab+2b2-6b+\0

=a2-2ab+b2+b2-6〃+9—9+10

=(〃2-2"+从)+W-6/2+32)-9+10

=(6/-Z?)2+(Z7-3)2+l,

(Z?-3)2>0,

・••当r=0且(入3)~=0时，多项式取最小值，

即。=〃=3时，多项式有最小值，最小值=()+()+1=1；

【小问3详解】

解：/+匕2-4〃+10。+2025

=(/-44+4)+(从+10〃+25)+1996

=(4-2『+(〃+