高一数学（人教A版）学案 必修二空间点线面位置关系

板块综合空间点、线、面位置关系(阶段小结课一习题讲评式教学)

［建构知识体系］

I融通学科素养］

1.浸润的核心素养

(1)通过线线平行、线面平行、面面平行之间的相互转化，提升逻辑推理和直观想象素养.

(2)通过线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的转化，提升直观想象和逻辑推理素养.

2.渗透的数学思想

(1)在判断空间几何体的点、线、面的位置关系，直线与直线、直线与平面、平面与平面

的平行与垂直关系的证明中，根据图形运算求解或证明体现了数形结合的思想.

(2)在本章中化归思想无处不在，如“要证线面平行，先证线线平行”“要证面面平行，

先证线面平行”“要证线面垂直，先证线线垂直”“要证面面垂直，先证线面垂直”等，都

体现了转化与化归思想.

题型(一)立体几何中的交线、截面问题

［例1］⑴在正方体中，分别是棱。。和的点,

NB=，Bi，那么正方体中过M,N,G的截面图形是()

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

(2)已知直四棱柱AACD-A固C|/)|的棱长均为2,/加7)=60。.以。।为球心，小为半径

的球面与侧面BCCiBi的交线长为.

听课记录：

I思I维健I模I

利用平面的性质确定截面的形状是解决问题的关键

(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要

画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线.

(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的

性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作匕交线.

［针对训练］

1.在正方体ABCZ)—ABiGOi中，七是的中点，平面a经过直线8。且与直线GE平

行，若正方体的棱长为2,则平面a截正方体所得的多边形的面积为

2.已知正方体ABCO—AiSG。的棱长为3啦，E,尸分别为BC,。。的中点，尸是线

段人山上的动点，GP与平面D.EF的交点Q的轨迹长为.

题型(二)空间中垂直与平行的综合问题

［例2］如图，在多面体A8CQE尸中，底面A8CD是正方形，四边形BQEb是矩形，平

面平面人8cO,G,H分别是CE,C6的中点.

E

(I)求证：ACI平面RDEF：

(2)求证：平面BOGH〃平面AER

听课记录：

I思I维腱I模I

平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决.注意遵循“空

间”到“平面”、“低维"到''高维”的转化关系.

［针对训练］

3.如图，在直四棱柱/IBCO—48iGO|中，DB=BC，。，点历是棱上一点.

7?

⑴求证:囱5〃平面48D；

(2)求证：MO_LAC；

(3)试确定点M的位置，使得平面QMG_L平面CCIDID.

题型(三)几何法求空间角

［例引如图，已知以_L平面44c。，四边形A8CQ是正方形，异面直线04马。。的夹

角为45。.

(1)求二面角B-PC-D的大小：

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小.

听课记录：

I思I维I建I模I

1.求线面角的三个步骤

一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键

是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.

2.作二面角的平面角的方法

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个

半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由

此可得二面角的平面角.

［针对训练］

4.(2023•全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-ABiG中，AC_L平面ABC,NAC8=900,

M=2,Ai到平面BCCxBx的距离为1.

(1)证明：A(C=AC：

(2)已知AAi与HBi的距离为2,求A8i与平面HCC1&所成角的正弦值.

课下请完成课时跟踪检测(四十)及阶段质量评价(三)

板块综合空间点、线、面位置关系

［题型（一）］

［例I］解析：（I）先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面

与几何体的棱的交点.设直线GM,C。相交于点P,直线GN,C8相交于点Q,连凄PQ

交直线4。于点瓦交直线A8于点F,则五边形GME/W为所求截面图形.

（2）如图，设81G的中点为旦球面与梭8历,CG的交点分别为P,Q,连接04,D1B）,

DF,DiC，DiE,EP,EQ,由NB4O=60。，AB=AD,知△AB。为等边三角形，：,D\B\=

。8=2..二△。/iG为等边三角形.则。/=小，且。iE_L平面BCG©.

为球面截侧面8CG办所得截面圆的圆心.设截面圆的半径为r,则7瞪一。E=

后与=虚，可得EP=EQ=，i.•.球面与侧面BCCB的交线为以E为圆心的圆弧PQ.

又。|P=小，=/。122一0］册=［同理C］Q=L.・.p,。分别为CG的中点.

：,^PEQ=^.：.~PQ的长为与义陋=冬.

答案：（1）C⑵亭

［针对训练］

1.解析：如图，过点4作交SG于点用，过点M作3。的平行线，交G5

于点N,连接DM则平面BQNM即为符合条件的平面G.

由图可知M,N分别为BiG,GOi的中点，

故8。=26，MN=g,且8M=ON=小.

.•.等腰梯形MNO8的高为

/?=、八小＞—（乎）=邛^..♦.梯形MNDB的面积为3义（、/5+2色）乂邛^=m.

9

答案-

2

2.解析：如图所示，连接EF,48,连接4G,BD交于点M,连接B】E,BC交于

点N,

易知EF〃B\D\,即E,F,Bi,U共面.

由于「是线段A山上的动点，

当P重合于4或B时，GAi,GB与平面。|EF的交点分别为M,N,即Q的轨迹为

WN.由正方体的棱长为次月，得GM=，4C=3,则8G=6.又标=病=1则NG=q8G

=4.

由4B=8G=4G,得N4GB=60C

则MN=7MG+NG一2MGNG.cosNAiGB

答案：V13

I题型（二）］

［例2］证明：（1）因为四边形ABC■。是正方形，所以AC_L6D.又平面8OEf_L平面A6CD,

平面BQEbG平面A6co=40,且ACU平面48CQ,所以AC_L平面4。££

E

（2）在尸中，因为G,H分别是CE,CT的中点，所以G"〃EF

又G“。平面AEREFU平面AEA所以G”〃平面AEE

设ACG4O=。，连接。〃，如图.

在△AC尸中，因为0：，分别为C4,C77的中点，所以O，〃AF.

因为平面4EF,A尸U平面AE凡所以。〃〃平面AEF.因为O”nGH=〃，OH,GH

U平面BDGH,所以平面BDGH〃平面AEF.

［针对训练］

3.解：(1)证明：由直四棱柱定义得85〃。。|,且=所以四边形8所。。是

平行四边形.所以而BOU平面48。，8。/平面4B。，所以以。〃平面48D

(2)证明：因为4场_1_平面ABC。，ACU平面A8CO,所以8/3|_LAC.又因为8Q_LAC,且

BDC\BBi=B,所以4cL平面BAiD而MQU平面8所。，所以MZ)_L4c.

(3)当点M为棱8Bi的中点时，平面。MG_L平面CG。。.证明如下.取。C的中点N,

Q1G的中点Ni,连接MVi交。G于点。，连接OM,8M因为N是。。的中点，BD=BC,

所以BNLQC.又因为DC是平面ABCD与平面CGQ0的交线，而平面4BC7)_L平面CCiDiD,

所以8N_L平面CGO0.又可证得。是NM的中点，所以8M〃0N,且BM=ON,即四边形

8MON是平行四边形.所乂BN//OM.所以OM_L平面CCi。。.因为OMU平面DWG,所以

平面OMG_L平面CCiDiD.

［题型(三)］

［例3］解：(11・•四边形/WC。是正方形，

S.AB//CD.

就是异面直发P8与CO的夹角，即NP84=45。.

:%J_平面ABC。，A8U平面AACD,

在△PBC和△POC中，PB=PD,RC=CD,PC=PCf

：.XPBC边APDC.：./PCB=APCD.

作4E_LPC于E,连接ED

在△EC6与△ECO中，BC=CD,CE=CE,NECB="CD,

:AECBWAECD.

；・NCED=NCEB=90°.

.•.N8EO就是二面角B-PC-D的平面角.

设44=〃，则BD=PB=pa,PC=y13a.

PBBC正

则BE=DE=

PC~3

2/BE2+DE2—BD21

川cosZBED=2XBEXDE=~2

即N8EO=120°.

・•.二面角3-PC。的大小为120°.

(2)还原棱锥为正方体A8CO-08cQi,作BFLCBy于F.

•.•平面PHiGQi_1_平面4B1GC,..1入18P.又SPnCB］=8i,3产,C8|U平面P81CO,

平面PBxCD.

连接尸F,则N8P/就是直线P8与平面PCO所成的角.

易知BF=^a,PB=g,：.sinZBPF=y即N外尸=30。....直线总与平面PCQ所成

的角为30。.

［针对训练］

4.解：(1)证明：如图，过A作4Q_LCG,垂足为。，

：A1CJ_平面ABC,BCU平面ABC,

：.A\C1BC.

又NACB=90°,：.AC1BC.

VAiC,ACU平面4CGA”且AiCCAC=C,

BCJ■平面人CG4.

•.•4OU平面4CG4,：.BC1AID.

又CG,BCU平面8CG81,且CC】CBC=C,

，AiD_L平面BCCB.

：.A\D=\.

由已