2024北师大版八年级数学下册《一元一次不等式与一次函数》教学设计

2.3一元一次不等式与一次函数教学设计

^^教学分析

教学内容以解析

1.教学内容

本节选自北师大版八年级下册《不等式与不等式组》第二章第3节”2.3一元一次不等式与一次函

数”，核心内容包括；一元一次不等式与一次函数图像的对应美系，利用数形结合判断不等式解集，及

在实际问题中运用一次函数模型解决不等式问题。

2.内容解析

本节通过数形结合，将代数中对一元一次不等式的求解与一次函数图像相联系，重点理解当函数

值大于或小于某一区域时，横坐标的取值范围如何变化；难点在于综合运用数学建模思想，借助一次

函数表达式和图像，找出不等式解集并分析实际背景下的最优决策方案。

教学目标与解析

1.教学目标

・理解一元一次不等式与一次星数图像的关系，能够通过函数图像直观判断不等式的解集。

•能在实际问题中建立函数模型并利用图像解不等式，综合运用数形结合与数学建模思想。

2.目标解析

•通过分析一次函数尸h+6在坐标平面上的位置，理解“图上方或下方“与不等式kx+b>0或公+X0的

对应关系，达成对不等式解集的直观判定。

•在实践应用中，能根据问题情境建立一次函数模型，寻找临界值并讨论不同范围内的最优解，从而

提升抽象思维和综合应用能力。

3.重点难点

•教学重点：利用一次函数的图像判断不等式解集。

•教学难点：结合实际情境建立模型，综合运用数形结合及建模思想解决不等式问题。

学情分析

学生已具备一元♦次方程和一次函数的基础知识，也能初步理解多项式运算。在学习“数形结合”

解不等式时，可能较容易接受图像与不等式解集的对应关系，但在应用题中列函数方程式并转化为不

等式求解、尤其在临界值的讨论和决策分析等环节，学生容易出现方法混乱或遗漏情况，需要重点引

导与示范。

教学过程设计

新课存入

创设情景，引入新课

问题情境：

情景引入

经过上节课的学习，你还记得什么是一元一次不等式吗？

只含有一个未知数，且未知数的次数是1,左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式.

本节课我们将结合一元一次不等式，学习它与一次函数的关系，你还记得一次函数的概念和相关性质

吗？

①一次函数的i般形式是丫=1<乂+1)(k翔)，其图像是一条直线。

②增减性：已知一次函数y=kx+b(k#))

当k>0时，y随x的增大而增大；

当k<0时，y随x的增大而减小.

一元一次不等式与二次函数有什么关系？

【设计意图】通过复习“什么是一元一次不等式“、一次函数的基本概念与性质，快速唤起学生对旧知

的记忆。抛出一元一次不等式与：次函数间的对比问题，引发思考，为后续学习做好铺垫，激发探究

兴趣。

新知探究

探究点1：一兀一次不等式与一次函数

1.议一议

函数y=2x-5的图象如图所示，观察图象回答下列问题：

(1)x取什么值时，2x-5=0?

解：由图可知交点为A(2.5,0),故x=2.5

(2)x取哪些值时,2x-5>0?

解：即函数值y>0,此时函数图象在x轴上方，对应x的取值范围为x>2.5

（3）x取哪些值时，2x-5<0?

解：即函数值y<0,此时函数图象在x轴下方，对应x的取值范围为xv2.5

（4）x取哪些值时，2x-5>l?

解：即函数值y>1,在图象上找到y=l对应的点，图象在尸1上方的部分对应x>3.

2.尝试思考

如果y=-2x-5,那么：当x取哪些值时，y<0?当x取哪些值时，y<I?你是如何求解的？

解：利用解不等式的方法

①解不等式-2x-5<0,得-2x<5,即x>\；

②解不等式-2x-5<l,得-2xv6,即x>-3：

结合并观察函数图像

①观察函数y=-2x-5的图象，图象在x轴下方（y<0）时x>T：

②观察函数图象y=I对应的x值，因函数递减，y<l时x>-3.

3.知识归纳

一元一次不等式与一次函数的关系

①一元一次方程kx+b=O的解，对应一次函数y=kx+b的图像与x轴交点的横坐标.

②一元一次不等式kx+b>0（或kx+bvO）的解集，对应一次函数y=kx+b的图像在x轴上方（或下方）

时，所有x的取值范围。

这种通过函数图像解决代数问题的方法，体现了数形结合数学思想

4.练一练

一次函数y=kx+b的图象如图所示，当kx+b>3时，x的取值范围是（）

A.x>0B.x<0

C.x<2D.x>2

【分析】利用数形结合的思想解答.根据题目中的函数图象，当y>3时，函数的图象在x轴的左侧,

写出对应x的取值范围即可

解：由一次函数y=kx+b的图象可知，

当y>3时,x<0

故选:B.

【设计意图】通过数形结合，学生能直观理解不等式解集与一次函数图像位置的关系，突破“解不等式”

与“图像”间的认知隔阂，达成“重点”目标。

探究点2：两个一次函数与一元一次不等式的关系

1.想一想

兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m,然后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4日。列出

函数关系式，画出函数图象.

解:设哥哥跑的时间为x秒(x>0),WO：

弟弟跑的路程弟弟先跑9m,之后每秒跑3m

故y[=3x+9：

哥哥跑的路程丫2：哥哥每秒跑4m

故y2=4x

则函数图像如图所示：

问题解决

(I)何时弟弟跑在哥哥前面？

解：方法一：转化为不等式:y(>y2»即3x+9>4x；

解不等式得x<9。因此，哥哥起跑后9秒内，弟弟跑在哥哥前面.

方法二：找图像中力比丫2高的部分，先求出它们的交点为(9,36)

观察图像可知x<9时，弟弟跑在哥哥前面

(2)何时哥哥跑在弟弟前面？

解：转化为不等式：y2>yr即4x>3x+9：

解不等式得x>9。因此，x>9时，哥哥跑在弟弟前面.

方法二：找图像中丫2比y1高的部分，它们的交点为(9,36)

观察图像可知x>9时，哥哥跑在弟弟前面

(3)谁先跑过20m?谁先跑过100m?

解：①跑过20m的时间:

令y=20,则y=2（）与两函数图像交点如图

两交点的横坐标分别为X]、x2

由图可知x1<X2,因此弟弟先到20m

同理，可在图像上找到y=100对应交点的横坐标，最终观察发现哥哥先到100m

②也可分别求出两人跑过对应路程的时间，再比较

2.知识归纳

两个一次函数与一元一次不等式的关系

两个一次函数y[=A[X+仇和丫2=的*+/>2（比留2）»不等式y/y2（或丫1〈丫2）的解集，对应两个函数图

像中X的图像在力的图像上方（或下方）时，所有X的取值范围.

体现了数形结合思想的灵活运用，因此在使用此关系时，需面函数图像观察寓意辅助.

3.练一练

如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m,3）,则不等式2x<ax+4的解集为（）

C.x<3D.x>3

【分析】求出点A的坐标，再艰据当XV：时，y=2x的图象在y=ax+4的图象的下方，得出答案

解：•・•函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m,3）,代入求解得点A（g,3）,由图可知，不等式

2x〈ax+4的解集为：x<|

【设计意图】通过实际生活情境“赛跑”激发学生的好奇心与探究欲，理解两个一次函数图像“谁在上谁

在卜.“与不等式解集的对应。培养学生的数学建模与数形结合能力，为后续决策类问题打卜.基础。

探究点3：实际问题中的一次函数与不等式——决策类问题

1.思考交流

某学校为打造“书香校园”，准备用2000元购买一批图书。甲书店的付款方式为：花20元办一张会员

卡•，所购图书总价可打八折。乙书店的付款方式为：花200元办一张会员卡、所购图书总价可打七折。

你认为学校选哪个书店购书更合算？

解.：①根据题意列一次函数

设购买图书的原价总额为x元，分别表示在甲、乙书店的实付款y甲和）乞（实付款需包含会员卡费用）：

y甲=0.8x+20

%乙=0.7x+200

②确定临界值

令V甲=iF乙，解方程：08什20=0,7工+200，得x=1800

此时两书店实付款均为1460元

③分情况讨论

画出P甲与），乙的函数图像，并标明交点

)・乙-O.7x•200

-0.&X*20

。当图书原价x〈1800时，歹甲〈了乙，甲更合算；

。当图书原价—1800时，相同：

。当图书原价x>1800时，乙更合算；

结合预算2000元，学校应根据实际购书原价选择：原价低于1800元选甲，高于1800元选乙，等于

1800元均可

2.知识归纳

决策类问题

①明确问题，梳理条件

②建立数学模型

③求临界值（比较函数值大小，也可以根据函数解析式画出国像，并在图像上标注临界值，便于观察

比较）

④分类讨论，确定解集

⑤总结结论，优化决策

3.典例分析

例1某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为10〜25人，甲、乙两家旅行

社的服务质量相同，且报价都是每人200元。经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；

乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，然后给予其余游客八折优惠。该单位选择哪一家旅行社

支付的旅游费用较少？

解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需的费用为修元，选择乙旅行社时，

所需的费用为为元。根据题意，得：

y=200x0.75A-=l5O.r^2=2OOxO.8(.v-I)=160x-160

由巴二)’2，得150x=160x-160,解得X=16；

由yI>为，得150x>160x-160,解得xv16；

由八勺2，得【50XV160X-160,解得X>[6。

因为参加旅游的人数为10~25人，所以，

当x=16时，甲、乙两家旅行社的收费相同；

当17WXW25时，选择甲旅行社费用较少；

当10WXW15时,选择乙旅行社费用较少。

4.练一练

某通讯公司推出两种流量套餐：

套餐一：月租50元，含1GB流量，超出部分按10元/GB收费；

套餐二：月租80元，含3GB流量，超出部分按8元/GB收费,设每月使用流量xGB(x>3),分别写

出两种套餐的费用外、为与x的函数关系，并求出当x为何值时，选择套餐二更合算。

解：设每月使用流量为xGB(x>3),分别计算两种套餐的费用：

套餐一：月租50元含1GB,超出部分10元/GB(x>3,必然超出1GB)费用=月租+超出IGB的费

用，贝ib，1=50+10(xT)=10x+40

套餐二：月租80元含3GB,超出部分8元/GB(x>3,超出3GB)费用=月租+超出3GB的费用，

贝32=80+8(X-3)=8X+56

“套餐二更合算''即y2gl

代入函数式：8x+56<l()x+40

移项化简：56-40<10x-8x

解得x>8

结论：当每月使用流量x>8Gmh选择套餐二更合算.

【设计意图】让学生通过"决策类''应用问题，加深对不等式与函数图像结合的理解与运用，完成“难点”

目标。帮助学生感受数学在生活中的实用价值，增强学习动机。

巩固练习

I.如图，一次函数丫=10(+1)的图象经过坐标轴上A,B两点，则关于x的不等式kx+bvO的解集是()

C.x<-2D.x>-2

解：c.

2.若一次函数y=kx+b(k,b为常数)的图象如图所示，那么当x>2时，y的取值范围是()

解：A.

3.如图，直线产kx+b交x轴于点A,交y轴于点B,则不等式kx+b〈O的解集是

解：x<—3.

4.如图，已知函数y=jx和y=ax+5的图像相交于点P(m,3),则不等式:x<ax+5的解集是

5.一次函数y1=ax+b与y2=cx+d(aW0,c¥0)的图像如图所示，则下列结论:

①ad+bc>0；②3(a—c)=d-b；

③x的值每增加1,y2的值增加db；

®a+b<c+d.

其中正确的是_________.

解：①@

6.某校校长暑假将带领该校三好学生去北京旅游.甲旅行社说：“若校长买全票，则其余学生可享受半

价优惠.“乙旅行社说：”包括校长在内全部按票价的六折优惠”.已知全票价格为240元.根据学生人

数讨论哪家旅行社更优惠？

解：设学生人数为X,甲旅行社的收费为y甲（元），乙旅行社的收费为y乙（元）

1

y甲=240+240x20x+240,

6

y乙=240x历(x+1)=144x+144

令N甲=)'乙，即120x+240=144x+144,解得x=4