2026年高考数学复习讲义：立体几何的截面及动态问题（原卷版）

专题13立体几何的截面及动态问题

录

01析•考情精解

02构•知能框架

03破•题型攻坚

考点一截面问题

真题动向

知识点1.作截面的几种方法

必备知识

知识点2.截面的类型

题型1判断截面形状

题型2球的截面问题

命题预测题型3截面的周长问题

题型4截面的面积问题

题型5截面的最值与范围问题

考点二动态问题

真题动向

知识点1、距离、角度有关的轨迹问题

必备知识

知识点2、翻折有关的轨迹问题

题型1由动点保持平行求轨迹

命题预测题型2由动点保持垂直求轨迹

题型3折塞过程中的动点轨迹

析•考情精解

“截面”问题是高考立体几何问题中最具创新意识的题型，它渗透了•些动态的线、面等元

素，给静态的立体几何题赋予了活力.求截面、交线问题，一是与解三角形、多边形面积、周

长、扇形弧长、面积等相结合求解，二是利用空间向量的坐标运算求解.

命题轨

“动态”问题是高考立体几何中最具创新意识的题型，它融入了“动态”的点、线、面等元素,

迹透视

为传统的静态立体几何题增添了新的活力，使得题型更加新颖。同时，由于“动态”元素的引入，

立体几何题变得更加多元化，它能够在立体几何问题与平面几何中的解三角形问题、多边形面积

问题以及解析几何问题之间建立联系，实现这些知识点之间的灵活转化

2026命预计在2026年高考中，截面及动态问题仍是高考考查的重点，人概率以5分填空题形式出现，

题预测侧重知识的交汇和延伸，整体难度较大。

构•知能框架

判断极面杉状

.球的找而问题

截面问题截面的周长问题

截面的面积问题

截面及动态问题找面的最值与范围问题

由动点保持平行求轨迹

动态问题..,......

由动点t保持垂克求轨迹

折叠过程中的动点轨迹

•题型攻坚

考点一截面问题

(2023•上海•高考真题)空间内存在三点A、8、C,满足A6=47=6C=1,在空间内取不同两点(不计顺

序)，使得这两点与A、B、C可以组成正四棱锥，求方案数为.

知识点L作截面的几种方法

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线

的过程.

(2)延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.

(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的

平行线找到几何体与截面的交线.

知识点2.截面的类型

(1)正方体的基本斜戳面：

正六面体的斜截面不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形,

(2)圆柱体的基本截面：

□6

图⑴图⑵图⑶图⑷图⑸

⑶结合线、面平行的判定定理与性质定理求截面问题；结合线、面垂直的判定定理与性质定理求截面问题.

题型1判断截面形状

1.在正方体43CO-A4GA中，E,尸分别为8C,CG的中点，则平面AM截正方体所得的截面多边形

的形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

2.已知正方体ABCD-A与GO中，点E、F满足BE=2EB1，GF=2FD1,则平面AEF截正方体

ABCO-AeGQ形成的截面图形为（）

A.六边形B.五边形C.四边形D.三角形

3.已知正方体/W8-A13G。]中，点E是线段B8上靠近By的三等分点，点厂是线段D\C\上靠近。

的三等分点，则平面截正方体ABCO-ABGOi形成的截面图形为（）

A.三角形B.四边形

C.五边形D.六边形

题型2球的截面问题

4.已知球。的半径为5,球心到平面夕的距离为4,则球0被平面。截得的截面面积为.

5.（2025•浙江嘉兴模拟）已知边长为6的正方体与一个球相交,球与正方体的每个面所在平面的交线都为

一个面积为16兀的圆，则该球的表面积为（）

A.96兀B.100兀C.125冗D.204冗

6.球的两个平行截面面积分别为加和8兀，球心到这两个截面的距离之差等于1,则球的直径为（）

A.3B.4C.5D.6

7.已知正三棱锥P-/WC的所有顶点都在球。的球面上，PA=4\^3,AB=6,过棱48作球。的戳面，则所得

截面面积的取值范围是（）

A.[9n,12n]B.[9n,16n]C.[12n,16n]D.[12TT,36TT]

8.已知正三棱锥4-BCD的外接球是球。，正三棱锥底边BC=3,侧棱=26，点E在线段8。上，且BE=

DE,过点E作球。的截面，则所得截面圆面积的最大值是（）

A.2nB.—C.3nD.4n

4

题型3截面的周长问题

9.如图，在正方体ABC。—A/CR中，4B=4,改尸分别是梭CD，4R的中点，则正方体/WC£>一A与和2

被平面A£F所截得的截面周长是.

10.如图所示正方体ABCO-ABIGR中棱长为［,E是棱CG的中点，则由。…A，E三点确定的平面与正

方体A4C、。-A,4Gq相交所得截面图形的周长为.

11.如图，在棱长为2的正方体A8CO-A4GA，中，点£为3的中点，则过点。且与&E垂直的平面。

被正方体ABC。-A/G仅截得的截面周长为.

12.在三棱锥P-A3c中，AB-2PC=9,E为线段4P上更靠近户的三等分点，过E作平行于A&PC的平面,

则该平面截三棱锥P-A8C所得截面的周长为（）

A.5B.6C.8D.9

题型4截面的面积问题

13.在楼长为3的正方体中，M为线段CG上靠近C的三等分点，过点A、M、。的平

面截正方体得到一个截面图形，则该截面图形的面积为.

14.已知正方体48。。一49。'。的棱长为3,点P，&R分别在棱44',8cDC,AP=CQ=D，R=1,

则过尸，Q,R三点的平面截正方体所得多边形的面积为一

15.四面体A8C。中，A8=AC=CQ=QA=4,4C=BQ=2jL点£F,G分别为棱CDBCMD的中点，过

点已尸,6作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为.

16.如图，在棱长为0的正方体A8CO-48'。'。'中，点£、F、G分别是棱人5、BC、CO的中点，则

由点E、尸、G确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于.

17.在棱长为2的正方体ABCO-AgCQ中，P,Q是CR,8c的中点，过点力作平面。，使得平面。〃平

面BOPQ,则平面。截正方体所得截面的面积是（）

A.迪B.2C.-D.也

222

18.已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6,S是VA8C及其由部的点构成的集合.设集合

7={QeS|PQW5},则7表示的区域的面积为（）

3]

A.-B.乃C.2乃D.3%

4

题型5截面的最值与范围问题.

19.直三棱柱ABC-A蜴G中，AB=AC=AAi=4,ACLAB,过AG作该直三棱柱外接球的截面，所得截

面的面枳的最小值为.

20.三棱锥尸-A8C中，VA3。和.P8C均为边长为2的等边三角形，。石分别在棱PBAC上，且

pnAp

3=▽,。七匚平面。7，〃平面。，若P4=6,则平面。与三棱锥P-A8C的交线围成的面积最大值

PBAC

为.

21.如图，已知正四面体A3CO的棱长为1,过点B作截面a分别交侧棱AC,AD尸E,F两点，且四面体相所

的体积为四面体48co体积的;，则S田•=,EF的最小值为.

A

22.(2025•云南曲靖•一模)已知王三棱锥P-A3C的所有顶点都在球。的球面上，PA=4瓜AB=6,过

棱A8作球。的截面，则所得截面面积的取值范围是()

A.[9兀/2兀]B.[9TT,16Z]C.[12兀,16兀]D.[12兀,36兀]

考点二动态问题

(2023・全国甲卷・高考真题)在正方体/WC。-人mGR中，E,尸分别为A8,G0的中点，以七户为直径的

球的球面与该正方体的棱共有个公共点.

命QQ❸

知识点1、距离、角度有关的轨迹问题

(1)距离：可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹.

(2)角度：直线与面成定角，可能是圆锥侧面；直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面.

知识点2、翻折有关的轨迹问题

(1)翎折过程中寻找不变的垂直关系求轨迹.

(2)翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹.

(3)可以利用空间坐标运算求轨迹.

题型1由动点保持平行求轨迹

1.在棱长为2的正方体ABCD-4SGA中，尸是棱8C的中点，点Q满足的=gAi,点尸在侧面BSGC

内，且4F〃平面APQ,则点F的轨迹长度为.

2.已知长方体ABC。-A4G。，AB=AD=2,M=4,M是6片的中点，点户满足8P=,其

中儿〃W[0,1],且MP//平面ABR,则动点。的轨迹用形成的轨迹长度是.

3.如图，在三棱柱A8C-4SG中，M为4G的中点，N为侧面BCGS上的一点，且MN〃平面ABG，若

点N的轨迹长度为2,贝ij（）

A.ACi=4B.BG=4

C.ABi=6D.5iC=6

题型2由动点保持垂直求轨迹

4.（2025•山东聊城一模）已知正四面体A8C。的棱长为2,动点P满足人PCO=0,且P8，C=（），则点尸

的轨迹长为.

5.在正方体ABC7X4由IGOI中，。是正方形B由CG内的动点，AiQlBG，则。点的轨迹是（）

A.点BiB.线段BiC

C.线段BiCiD.平面BiBCCi

6.（2025•浙江宇波・期末）已知正四面体A8CO的棱长为2,点E是3c的中点，点P在正四面体表面上运动，

并且总保持PE_L8C，则动点尸的轨迹周长为（）

A.4B.3gC.4+百D.2+26

7.（2025•甘肃武威二模）在所有棱长为4的正四棱锥P-A8CD中,M是底面正方形A8CD内一点（含边界），

若PM工MD,则点M的轨迹长度是（）

A.&兀B.2兀C.2&D.2\/2n

8.（2025•河南驻马店二模）如图,在三棱柱4BC-AaG中，侧棱均与底面垂直，侧棱长为2,AC=BC=1,

4c8=90。，点。是A4的中点，歹是侧面AA48（含边界）上的动点.要使A81_L平面CQ/"则线段C/

的长的最大值为（）

c

A,与B.夜C.孚D.0

题型3折叠过程中的动点轨迹

9.[2025•重庆西南大学附中模拟）如图，已知菱形A8CD中,AB=2,ZBAD=\20°,E为边8c的中点,

将.ABE沿AE翻折成△4&E（点用位于平面ABC。上方），连接BC和用。，尸为4。的中点，则在翻折

①平面4gE_L平面MEC；②4用与。尸的夹角为定值?；

③三棱锥AED体积最大值为孚；④点F的轨迹的长度为

A.①②B.①@C.①②④D.②③④

10.（2025•辽宁葫芦岛二模）在等腰直角4ABe中，AB