湖南省长沙市某中学2025届高三年级下册模拟考试（三）数学试题（含答案）

湖南省长沙市南雅中学2025届高三下学期模拟考试(三)数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.已知集合4={x|-l<x3<1},B=［xeZ\x2-x—2V0},则{nB=()

A.{-1,0,1}B.{1,2}C.{-2,-1,0}D.{0,1}

2,复数z满足zi+1=2z+i,则在复平面内，复数z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.如图所示，梯形AR。'。'是平面图形用斜二测画法得到的直观图，4力'=2,B'C=AB'=1^则平

面图形/8C0中对角线AC的长度为()

A.至B.萼C.7TD.

OD乙

5.已知向量同=2,B在G上的投影向量为—2d,则G.b=()

A.-8B.8C.4D.-4

6.数列{%}是公比不为1的等比数列，前n项积为则“VnWAT,%N兀”是“两M1”的()

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

7.己知函数f(%)=(百sinx+cosx)cosx-表若f(%)在区间［一左，巾］上的值域为［一5,1］，则实数m的取值

范围是()

A•6仔)B♦电刍C%伤吟君］

8.已知函数/(X)=Q*(Q>0且Q=1)满足且函数7=1”式/一(《：-1)在［2,3］上单调递增，则

实数a的取值范围为()

A.(1,+8)B.(1,4］C.(1,1)D.g,4］

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设两个随机变量X、V满足X服从正态分布N(0,l),V服从二项分布8(2§),贝U()(若随机变量

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Z〜NQ,02),尸(〃-a<Z</i-a)0.6826)

A.E(X)<E(Y)B.D(X)<O(Y)

c.p(x<o)>p(y<o)D.p(x<1)>p(y<1)

10.已知函数/(x)=e2lM+cos2x,(xWR),则下列判断正确的是()

A.函数f(x)的图象关于y轴对称

B.函数/'(>)的最小值为2,无最大值

C.函数“X)在(-兀江)上单调递增

D.不等式f(x-l)vf(x)的解集为偿,+8)

11.已知△408的三个顶点分别是点4(4,0)、0(0,0),8(0,3),以下正确的是()

A.△AOB的外接圆的标准方程“_2)2+(y_|j=学

B.尸是抛物线y=6%上的动点，则|P川的最小值是4

C.同时和△力。8三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于36

D.P是△A08的内切圆上的动点，则点P到三顶点的距离的平方和的取值范围是[18,22]

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.椭圆c：成+4=1的离心率为.

乙Jy

13.已知函数g(x)=(+"+1+X)+3,若g(ax-2e“+2)<3在％6(0,+8)上恒成立，则实数Q的

取值范围为.

14.空间直角坐标系中有一点P(x,y,z),其中％y,z均为正整数，若盯z=2025,则称点P具有性质“2025高

考大捷”，则具有性质“2025高考大捷”的不同的点P共有个.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.△A8C的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知2Q+力=2ccos8.

(1)求角C；

(2)若CD是角C的平分线，AD=2y/7,DB=用，求CD的长.

16.已知动点M(x,y)与定点产(3鱼,。)的距离与它到定直线/：%=孥的距离的比是常数短，

(1)求动点M的轨迹；

(2)过上述轨迹上一点尸作轨迹的切线与两直线y=±x分别交于4、B两点,证明：三角形40B的面积是

定值.

17.在直三棱柱48。一481cl中，AB1BC,AB=1,BB、=遍,BC=瓜B^D=<X<1)，

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c,

4A|

(1)若4G〃平面求；l的值；

(2)若二面角Bi-&口一。与二面角。一A/-G的大小相等，求；I的值.

18.设函数/(%)=靖+1+*在x=-1处的切线经过坐标原点，

(1)求A；

(2)是否存在实数Q*使得函数g(x)=/(x)+er+QX关于宜线X=b对称，若存在，求出Q*的值，若

不存在，说明理由；

(3)若f(%)Nc|x|恒成立,求c的取值范围.

19.已知等差数列｛斯｝的第2项为3,其前5项和为25.数列｛%｝是公比大于0的等比数列，比=4,b3+

b?—80.

(1)求｛册｝和也｝的通项公式；

(2)记0=82门+/，几EN”,

(i)证明｛端一。24是等比数列；

(ii)证明>幽土LV2鱼，neN*.

乙

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答案解析部分

1.【答案】D

【解析】【解答】解：集合4={x|-14炉41}={川一14刀41},B={xEZ\x2-x-2<0}=

(XGZ\-1<X<2]={0,1},

则AnB={0,1}.

故答案为：D.

【分析】先解不等式得出集合，再根据交集定义计算求解.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：由条件可知，z=另二，二瞬卜寻

所以复数对应的点为G，-古，为第四象限的点.

故答案为：D.

【分析】首先通过除法运算，把复数化为a+bi形式，最后依据复数a+bi对应复平面坐标(a,b),根据

坐标正负快速判断象限.

3.【答案】A

【解析】【解答】解：由直观图知原几何图形是直角梯形4BC。，

如.上图，由斜二测画法可知4B=248'=2,BC=B'C=1,

所以AC=7AB2+BC2=V4TT=V5.

故答案为：A.

【分析】斜二测画法中，平行于％'轴的线段长度不变，平行于y'轴的线段长度变为原来的一半，且原图形

中平行于X轴和y轴的线段，在直观图中分别平行于X'轴和y'轴，根据直观图的形状和已知线段长度，还

原出平面图形A8C0的形状，确定各边长度，再用勾股定理计算对角线AC的长度.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：由题意可知：x=0为函数/(x)的对称轴，

则一5+@=〃7r,kCZ,则g=k/r+EZ.

对于A：令3="+与=注解得k=2CZ，不合题意，故A错误；

对于B：令0="+摄=竽，解得k=l£Z,符合题意，故B正确；

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对于C：令0="+*九，解得k=不合题意，故c错误；

对于D：令①=kit+%=与解得k=^CZ,不合题意，故D错误.

故答案为：B.

【分析】由题意结合偶函数的图象的对称性可知x=0为函数/(%)的对称轴，再结合余弦型函数的图象的对称

性，从而找出满足条件的@的值.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：由同=2得|-2五|=4,根据石在五上的投影向量为一2五，可知石在五上的投影的数量为

-4,

故根据数量积的几何意义，五i等于同与加在五上的投影的数量的乘积，

故Q•b=2x(—4)=—8-

故答案为：A.

【分析】先根据投影向量求出b在a上投影的数量，再利用数量积的几何意义(数量积等于|a|与b在a上投影数

量的乘积)计算a・b.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：充分性：因为Tn>T5f所以74之75，所以的Q2a3a42。通2a3a4a5，

又由数列｛Q,J是公比不为1的等比数列，所以“=Qn-2q2，

可得如。3同号，。2,。4同号，所以的a2a3a4>。，所以的-1，

所以“V九eN*,Tn>75”是“。5<r的充分条件；

必要性：若数列每项均为正数时，若且。7>1时，则〃之「6对V716N*恒成立，

无法得到7\NTs对恒成立，必要性不成立，

故"VnWN*,Tn>75”是“。5<1”的充分不必要条件.

故答案为：B.

【分析】首先利用75对所有九成立“，取特殊值九二4,通过前71项积的关系，约去正项后直接得

1，简洁证明充分性，然后通过构造反例(如公比为负、后续项大于1等情况)，说明即使的41，也可能存

在某些7\<75,从而否定必要性，得出结论.

7.【答案】D

【解析】【解答】解：依题意，函数f(%)=V3sinxcosx+cos2x-i=苧sin2x+^cos2x=sin(2x+筋

当为w［-/，m］时,2x+^e［-^,2m+^］,显然sin(-摄)=sin竽=sin1=1.

且正弦函数y=sinx在第争上单调递减，由f(x)在区间［-加］上的值域为［一多”，

得齐2m+好等，解得髀mW各

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所以实数m的取值范围是吟，笥.

故答案为：D

【分析】本题需先对函数/(%)化简，再结合正弦函数的性质，通过分析函数在给定区间内的取值范围，确

定m的取值范围.

8.【答案】C

【解析】【解答】解：因为函数/(%)=〃(Q>0且QH1)满足

即/'(1)=a1>1,所以a>1»

2

又函数y=loga(x-ax-1)在［2,3］上单调递增,

所以函数9(x)=x2-ax-1在［2,3］上单调递增，

所以［尸2,解得a<京

U-2a-1>0乙

所以1<a

故答案为：C.

【分析】首先利用指数函数/(外=炉的单调性由f(l)>1确定出1勺初步范围，再根据对数型复合函数“同增异

减”的性质，分析内层二次函数的单调性与取值，从而进一步限制a的范围，最终得到a的取值区间.

9.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、E(X)=O,£■(/)=2x4=1,E(X)VE(y),A正确;

B、O(X)=1,Z)(r)=2x1xi=i,£)(%)>£)(/),B错误;

2

C、P(X<0)=0.5,P(y<o)=(I)=0.25,P(X<0)>P(Y<0),C正确;

D、P(X<1)=0.5+0.6826+2=0.8413,P(yMl)=C%)2+66)2=075,

P(X<1)>P(Y<1),D.iE确.

故答案为：ACD.

【分析】I.期望与方差的直接计算：正态分布N(〃,M)的期望E(X)=〃、方差。(X)=)2；二项分布8(7i,p)

的期望E(Y)=np.方差。(丫)=np(l-p),直接代入公式计算，对比判断选项A、B.

2.二项分布是离散型分布，ywk的概率可通过枚举y=0,1,…次的概率求和，计算p(y40)(仅y=o)和

p(y31)(丫=o和丫=1),与正态分布概率对比，判断选项c、D.

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】A、/(—x)=e21rl+cos(—2x)=e2,x'+cos2x,即/(-%)=f(x),所以函数/(x)是偶函

数，/(%)的图象关于y轴对称,A正确;

B、当丫之。时，f(x)=e2x+cos2x,/(%)=2e2x-2sin2x>0»所以/'(x)在［0,+8)单调递增，/((I)=2,

且/■(幻是偶函数，所以函数/(%)的最小值为2,无最大值，B正确；

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C、由AB可知，/(%)在(一%0］单调递减，在(0,兀)上单调递增，C错误；

D、不等式f(x-Dv|%-1|〈|幻，两边平方得一2%+1V0,得D止确.

故答案为：ABD.

【分析】奇偶性判断：根据偶函数定义/(-幻=/(幻，计算/(-对并与/(%)对比，确定函数为偶函数,进而

知图象关于y轴对称，解决选项A.最值与单调性(%>0)：对x20时的函数求导，分析导数符号判断单调

性；结合偶函数对称性，得函数在R上的单调性分布，进而确定最小值和无最大值，解决选项B.区间单调性

分析：利用已得的函数在(-8,0］和［0,+8)的单调性，判断在(-兀,兀)上的单调性，解决选项C.不等式求解：

利用函数的奇偶性与单调性，将/'Q-l)Vf(x)转化为绝对值不等式|%-1|V|%|,通过平方化简求解，解

决选项D.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：A、由题意可知。41。8,△4。8的外接圆的圆心为线段48的中点。(2,扮,

半径为|OC|=J?+住j=1故外接圆的标准方程为：(.2)2+(y—|>=冬A正确；

B、设点P(6£2,6£),|p川=J⑹2—4)2+36产=V36t4-12t24-16=J(6t2-l)2+15>任，

当且仅当亡=±■时，等号成立，故|P川的最小值为6,B错误；

C、由于所求圆与两坐标轴相切，则圆心必然在宜线y=%或7=-%上，分以下两种情况讨论：

①若圆心在直线y=x上，设圆心为(Q,Q),则该圆的半径为|Q|.

直线4B的方程为今+寺=1,即3x+4y-12=0,

|3a+4a—12］..

由题意可得卜2,4=3，即|7。-12|=5|a|,解得a=1.或Q=6,

2+42

此时所求圆的半径为1或6；

②若圆心在直线丫=一刀上，设圆心为(a,-a),则该圆的半径为|a|,

由题意可得卜2^=@，即|a+12|=5|a|,解得Q=-2或a=3,

J3+42

此时所求圆的半径为2或3.

综上所述，同时和440B三边所在直线都相切的所有圆的半径的乘积等于1x2x3x6=36,C正确;

D、由图结合C选项可知，△4。8的内切圆方程为(x—l)2+(y-1)2=1,

OA

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设点P(1+cose,1+sine),则|P0|2=(14-cos61)24-(1+sin<9)2=3+2cosd+2sin0,

\PA\2—(1+cos0-4产十(1+sin。)'—11+2sin。-6cos^>

\PB\2=(1+cos0)2+(1+sin。-3产=6+2cos8—4sin。，

所以|P0|2+\PA\2+\PB\2=20-2cos8e[18,22],D正确.

故答案为：ACD.

【分析】根据直角三角形的几何性质求出△408的外接圆方程，可判断A选项；设点P(6£2,6£),利用平面

内两点间的距离公式以及二次函数的基本性质求出IP川的最小值，可判断B选项；分析可知圆心必然在直线

丫二不或丫二一工上，对圆心的位置进行分类讨论，求出圆心的横坐标，可判断C选项；设点

P(1+cosa1+sin。)，利用平面内两点间的距离公式以及三角或数的有界性可判断D选项.

12.【答案】

【解析】【解答】解：因为椭圆方程为成+若=1,

所以—25,b2=9,

所以—a2—b2—25—9—16»

所以a=5,c=4,

所以离心率e=-=^»

a5

故答案为：

【分析】由椭圆喧+唾=1方程可知，Q”,c的值，由离心率求出结果.

13.【答案】aW2

【解析】【解答】解：设函数f(x)=In(旧彳T+x),则f(t)+/(X)=In(后彳I一无)+

ln(Vx24-14-%)=Ini=0,

所以/'⑺是奇函数，且%>0时，/Q)=ln(VJE+x)单调递增，

则g(x)=x+ln(Jx2+1+%)+3单调递增，且g(0)=3,

所以g(ax-2ex+2)V3Qg{ax-2ex+2)<g(0),

即ax-2e，+2<0,%>0,则不等式av一2恒成立,%>0,

x

设心)=『八"『后

设m(x)=2ex(x-1)+2,x>0,m[_x)=2ex-%>0»

所以?n(x)在(0,+8)上单调递增，m(0)=0>

所以m(x)>0,x>0恒成立，则h'&)>0,x>0恒成立，

则九(%)在(0,+8)上单调递增,

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limlim^=2,根据洛必达法则可知，a<2.

x-o+xXTO+1

故答案为：a<2.

【分析】通过构造奇函数/。),分析g(x)的单调性和特殊值(g(0)=3),将抽象不等式

g(ax-2ex+2)<3转化为自变量的一次不等式.将含a的不等式变形为Qv/i(x),把“恒成立”问题转化为求

函数九(%)的最小值(下确界).通过求导判断力(x)的单调性，结合洛必达法则求x->0+时的极限，确定h(x)

的下限

14.【答案】90

【解析】【解答】解：将2025分解为34x5?,设％=3%-5%,y=3%・5无,z=3a^5b^G”加WN,i=

1,2,3，

则Q[+。2+=4,比+显+匕3=2,

法一：的,怒，的的取值为004时,有3种取法,%,。2，的的取值为0，1，3时,有6种取法,

%,。2，的的取值为022时,有3种取法,的取值为1,12时,有3种取法,

故％,02，。3的取值共有15种；

比/2/3的取值为0,0,2时，有3种取法，比/2,%的取值为0,1,1时，有3种取法，

故历,历,历的取值共有6种;

由于每一个不同的点P都唯一对应一组曲,做，。3，仇,功,匕3的取值，

故具有性质“2025高考大捷”的不同的点P共有15x6=90个.

法二：方程由+。2+。3=4,QiWN的解的个数为15，

方程打+为+%=2,仇€N的解的个数为以=6，

故具有性质“2025高考大捷''的不同的点P共有15x6=90个.

故答案为：90.

【分析】本题要解决空间直角坐标系中满足砂z=2025的点P(x,y,z)个数问题，先对2025分解质因数，再将

x、y、z用质因数的指数形式表示，转化为指数和的不定方程求解，最后利用排列组合知识算出点的个数.

15.【答案】(1)解：由2a+b=2ccosB,根据正弦定理可得2sin4+sinB=2sinCcosB,

则2sin(B+C)+sinff=2sinCcosB,

所以2sinBcosC+2cosfisinC+sinff=2sinCcosB,

整理得(2cosC+l)sin8=0,

因为8,C均为三角形内角，所以8,C€(0,7T),

因此8sC=4所以C=竽.

(2)W：因为CD是角C的平分线，AD=2上,DB=小,

所以在△4CD和△BCO中，由正弦定理可得，境第二等卷，条，

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因此绘二驾=2,即sinB=2sin,4,所以匕=2a,

Dusin/i

又由余弦定理可得c2=Q2+b2—2abcosC，即(3b)2=Q2+4Q2+2Q2,解得Q=3,所以b=6,

11C1c

又sAABC-S^ACD+S&BCD，即2ahsinC=#xCDxsin彳+彳axCDxsinR

即18=9CO,所以CD=2.

【解析】【分析】(1)利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和及三角函数运算求出角

C.

(2)先依据角平分线性质和正弦定理得到边的关系，再用余弦定理确定边的长度，最后通过面积关系求出

CD的长.

16.【答案】(1)0*=i解：根据题意得收「：)+"=则可得jq_3©2+y2=企卜—挈

L2

将上式两边平方，得(％一3鱼)2+必=21一挈)，

整理得好—6-/2x+18+y2=2x2-6&x+9,所以/一产=9

所蟾_*=1.

(2)证明：设点M坐标为(xoJo)，设曲线在点M处的切线方程为y-yo=k(x-xo)，

与双曲线方程联立『一2二，(二加，消去y，可得好一R(x—%)+为『=%

2222

整理得(1-/c)%+(2kx0+2Zcy0)x-kx1-2kyQx0+y0-9=0,

22222

所以1-k0且A=(2kx0+2ky0)-4(1-/C)(-/CXQ-2kyoxo+羽-9)=0,

xxx

解得k="，代入y-yo=/c(x-x0)»得y()y-yl=o-o，

所以切线方程为&x-yoy=9,

99

f

与y=T联立得以=xQ-yQ与y=-x联立得不=诏瓦,

8181

故X,&孙I==v=9Q-

SAAG8=\\^Axo-yl

即三角形4。8的面积是定值.

【解析】【分析】(1)由题意得\上一'’2)+)1

If=鱼，化简整理即可得动点M的轨迹方程.

(2)设点M坐标为(々),yo),设曲线在点M处的切线方程为y—y0=kQ—/)，与双曲线方程联立求得切线

方程，分别与直线y=x和y=—x联立得48的横坐标，即可计算三角形4。8的面积.

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（I）根据题意得则可得j（k-3⑸2fy2;四卜一孥।,

2

将上式两边平方，得(％—3痘)2+y=21—挈)，

整理得工2一672%+18+y2=2x2-6\/2x+9,所以d—y2=9,

所蟾-差=1

（2）设点M坐标为QoJo）,设曲线在点M处的切线方程为y—y°=k。一xo），

与双曲线方程联立?一白二，：；“），消去y,可得好—伙（x—々^'。『二外

2＞222

整理得（1-k）x+（2kxQ+2%）x-kXQ—2kyQx0+光一9=0,

222

所以1一必手。且'=(2kx0+2kyoy-4(1-fc)(—k%o-2kyoxQ+%—9)=0,

解得上二工，代入丫_yo=k(x_xo),得兀丫-7o=xox-xo，

所以切线方程为孙％-丫0，=9,

9Q

与y=丫联立得以=行讳，与y=-%联立得不二而说,

8181

故SA/1C8=I|V2x-V2XF|==9.

zlxQ-y'oV

17.【答案】（1）解：连接/IB】交出8于点E,连接OE,

•••4Q〃平面A18D,4/U平面ACiBi，平面力闻C平面伤&=DE,

DE///G，

又•••£1是力当的中点，故。是8住1的中点

（2）解：因为二面角々一人道一。与二面角。一48-的的大小相等,

所以二面角为一AiB-D是二面角Bi—AXB-G的大小的一半，

法一：几何法

过点/?〔在平面力41。述内作。"I4力,垂足为"，连接g凡

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•••8©一出，工BBi，481八幽=81，①当、88iU平面488遇1，

•••B1C1J•平面A幽&,

••,B&u平面ABBi/i，.••BQ1B4,

7

又,••B1F1B41，817n81cl=8],B[F、B[。]u平面8[FC],.*.BA1

又•：DF、Ci?u平面Bi"。]，.•.B4i_L。尸，BA11C1F,

••・二面角Bi-AXB-。和二面角/一4/一G的平面角分别为NDFBI、乙GFBi,

分别记作2。和8,则8为锐角，且tan。＞0,

因为4%=48=1,BB、=灼，=90°,故力/=JA闻+BB：=VT不马二2,

所以B】F=督171=苧=字，£即2。=餐=V5x：=2也

即声戛=2无，解得打几。=乎，

1-tan62

又£cm6=^^,解得。/=孝B]F=中，所以入=/符=/

法二：空间向量法

在直三棱柱力BC—ABiG中，BBi，平面力BC,AB1BC,

以8为原点，瓦5、两、近分别为％、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)、4(0,8,0)、41(1,6,0)、Ci(O,V3,V6),D(0,V3,V6A),

则西=(l,V5,0),SD=(O,V3,V6A),西=(0,6,佝，

易知平面418%的一个法向量7=(00,1),

设平面&BZ)与平面/l/Q的一个法向量分别为济=(xiJpZi)、n=(x2,y2,z2),

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设二面角为一力道一。与二面角Bi-力道一的的平面角分别为a、0,且0=2%

则I沅.网=修+百力=u

取y1=—y/2A,可得沅=(V6A,-V2A,1),

(沅•丽=75yl+V6Az1=0

五•BA1=x+V3y=0

22取y2--V2»可得元=(V6,-y[2,1)

n•BCi-V3y2+瓜z?—0

.Al|m/|i

则cosa=\cos{m,Z)|=而1=j/，cosp=\cos{n,Q|=网=1

|n||Z|3

由cos。=cos2a=2cos2a-1,即:=8,+i-1因为o〈a<i，解得a=".

即a=?•

【解析】【分析】本题围绕直三棱柱的线面平行与二面角问题展开:

（1）利用线面平行的性质，构造辅助线找到线线平行关系，结合棱柱的特征（侧面是平行四边形）及中位

线性质，建立a与线段比例的联系求解。

（2）提供几何法与空间向量法两种思路，解法一：几何法通过作垂线找到二面角的平面角，利用二倍角关

系结合三角函数求解；

解法二：空间向量法通过建系，用向量表示相关点与平面法向量，依据二面角的向量公式及二倍角余弦关系

列方程求解.

（1）连接AB1交4/于点E,连接DE,

•.•46〃平面48。，AC】u平面4。泮1，平面/1BDCY平面AG81=0E,

:.OE//AG，

又・••£是48［的中点，故。是BQ的中点，.•:=今

（2）因为二面角当一力避一。与二面角的大小相等，

所以二面角当一4止一。是二面角四一48一G的大小的一半，

法一：几何法

过点B］在平面力4&B内作垂足为F,连接DF、的凡

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•••8©一出，工BBi，481八幽=81，①当、88iU平面488遇1，

•••B1C1J•平面A幽&,

••,B&u平面ABBi/i，.••BQ1B4,

7

又,••B1F1B41，817n81cl=8],B[F、B[。]u平面8[FC],.*.BA1

又•：DF、Ci?u平面Bi"。]，.•.B4i_L。尸，BA11C1F,

••・二面角Bi-AXB-。和二面角/一4/一G的平面角分别为NDFBI、乙GFBi,

分别记作2。和8,则8为锐角，且tan。＞0,

因为4%=48=1,BB、=灼，=90°,故力/=JA闻+BB：=VT不马二2,

所以B】F=督171=苧=字，£即2。=餐=V5x：=2也

即声戛=2无，解得打几。=乎，

1-tan62

又£cm6=^^,解得。/=孝B]F=中，所以入=/符=/

法二：空间向量法

在直三棱柱力BC—ABiG中，BBi，平面力BC,AB1BC,

以8为原点，瓦5、两、近分别为％、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0)、4(0,8,0)、41(1,6,0)、Ci(O,V3,V6),D(0,V3,V6A),

则西=(l,V5,0),SD=(O,V3,V6A),西=(0,6,佝，

易知平面418%的一个法向量7=(00,1),

设平面&BZ)与平面/l/Q的一个法向量分别为济=(xiJpZi)、n=(x2,y2,z2),

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设二面角为一力道一。与二面角Bi-力道一的的平面角分别为a、0,且0=2%

rti-BA[=X]+Vjy.=0fLr/a,LL、

则一一L21，=-V2A,可得沅=(遍儿-&/M),

17

沅•80=V3y1+V6Az1=0'

(n•8Al=x+V3y=0___

，西=92+底92=。’取丫？二一传可的=(z倔-加x

则cosa=|c°s(喇|=普卜食，cos"Mn，0l=^|=J-

由cos。=cos2a=2cos2a—1,即:=嬴三;一]，因为。<4<1，解得入1

=4

x+1

18.【答案】(1)解：/(X)=e+2kx»/(-I)=1-2k»/(-1)=1+%

切线方程为y-(1+fc)=(1-2fc)(x+1),代入(0,0)得k=2；

即k=2.

(2)解：存在Q=2,6=满足题意，理由如下：

.g(x)=ex+1+e~x+2x(x+1),g(—x—1)=e~x+ex+1+2(—x—1)(—x)=g(x),

故函数g(x)关于直线为=-抑称.

乙

(3)解：当XV0时，/+1+2/之一以恒成立，即靖+42/<_恒成立,

%-

令9(%)二竺当空，则9绘)=(-短；+2’,

1X

令九(%)=(%-l)ex+14-2x2,则h(r)=x(ex+1+4)V0，

故九(%)在(-8,0)上单调递减,注意到九(一1)=0,

所以％E(-8,-1)时，h(x)>0,g'(x)：>0,g(x)单调递增，

%€(-1,0)时，h(x)<0,g\x)<0»g(x)单调递减，

故g(x)max=g(-l)=-3,故一3W-c,得CW3;

下证c<3且%>0时,f(x)>c|x|恒成立,

即证眇+1+2x2>ex恒成立，只需让e"i+2x2>3%恒成立，

构造函数p(x)=ex+1-%-2,则p'(x)=ex+1-1,

%6(-co,-l),p'(x)<0,p(x)单调递减，xe(-1,+co),p'(%)>0,p(x)单调递增，

故p(x)Np(-1)=0,所以。"+1之％+2,

2

所以/+1+2%2—3%2%+2+2=2-3%=21一拼+怖>0,证毕；

综.上所述，c的取值范围为CW3.

【解析】【分析】(I)利用导数求切线斜率，结合切点坐标写出切线方程，代入原点坐标解方程得4.

(2)假设存在a,匕使g(x)关于x=b对称，根据对称函数性质g(b+t)=g(8-t)恒成立，代入化简对比系数

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求a,b.

(3)分;v<0和x>0讨论，％<0时通过构造函数求最值确定c上限；5V>0时通过放缩、构造新函数证明不

等式恒成立，最终确定c范围.

(1)/(X)=ex+1+2依，/(-I)=l-2k，/(-I)=1+匕

切线方程为y—(1+k)=(1-2k)Q+1),代入(0,0)得〃=2；

(2)存在Q=2,8=一看满足题意，证明如下：

g(x)—ex+1+e~x+2x(x+1),g(—x—1)=e~x+ex+1+2(—x—1)(—x)=g(x),

故函数g(x)关于直线％=对称；

(3)当XVOIM，e'+i+2必之一"恒成立，即竺上空M-C恒成立，

X

令g(为二j空，则g'a)=('T)/；+2/，

XX

令h(x)=(x-l)ex+1+2x2,则九(x)=r(ex+1+4)<0,

故h(x)在(—oo,0)上单调递减，注意到h(-l)=0,

所以xE(-8,-1)时，h(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增，

%6(-1,0)时，h(x)<0,g(x)<0,g(x)单调递减，

故g(x)Max=g(—1)=-3,故—3<—c♦得c<3；

下证c<3且%>0时,/(x)>c|x|恒成立,

即证e"i+2x2>c无恒成立，只需iEe"+i+2x2>3%恒成立，

构造函数p(x)=ex+1—x—2,则p'(x)=er+1-1,

xep'(x)<0,p(x)单调递减，xE(-1,+8),pr(x)>0,p(x)单调递增，

故P(K)皂p(-l)=0,所以5+12%+2,

所以e^+i+2/-3xZx+2+2%2-3%=2(x-4-1>0,证毕；

综上所述，c的取值范围为C