福建省福州市仓山区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年福建省福州市仓山区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

I.若近』在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x>2B.x>2C.x<2D.%工2

2.下列图形中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（）

3.用配方法解一元二次方程/+2%-3=0,可变形为（）

A.IX+1)2=2B.(x+I)2=4C.(x-I)2=2D.(x-I)2=4

4.下列二次函数的图象中，顶点坐标为（一1,1）的是（）

A.y=-(x4-I)2-1B.y=(x++1

D.y=(x—l)2+1

5.福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个.设该厂二、三月份平均

每月的增长率为x,根据题意，可列方程为（）

A.50(1+2%)=60.5B.50(1+x2)=60.5

C.50(1+x)2=60.5D.60.5(1-x)2=50

6.如图，04是00的半径，弦8CJ.0A于点BC=8,OD=3,00所在的平面

内有一点P，若OP=4,则点P与。。的位置关系是（）

A.点P在。。内

B.点户在。。h

C.点P在。。外

D.无法确定

7.如图，在4x4的正方形网格中，△DEF是由△力BC绕某点旋转一定的角度得到的,

G,H,P,。都在网格线的交点上，则其旋转中心是（）

A.点尸

B.点。

C.点G

D.点〃

8.已知〃?，〃是一元二次方程》2一2%-1=0的两个实数根，则5+5的值为（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

9.如图，将△ABC绕点力顺时针旋转90。得到△?1/）£,其中4B=4,8c=5,

若C,D,K三点共线，则CO的长为（）

A.2

B./6

C.77

D.2/2

10.已知点4(科乃)，B(2m,y2)»C(2,c)在抛物线y=Q/+匕％+C(Q>0)上，若则下列判断正

确的是()

A.c<yiV丫2B.yiVcV乃C.y!<y2<cD.y2<7i<

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。

11.点「（一2,1）关于原点对称的点P'的坐标是____.

12.已知、=一2%+771-1是乎关于工的正比例函数，则常数—.

13.在二次函数y=ax2+.+C（QK0）中，自变量工与函数y的部分对应值如表:

14.如图，是O。的直径，C,D在。。上，若乙BOD=42°,则乙4CD的度数为

15.如图，在△ABC中，乙4c8=90°,AC=8,BC=6,8E平分//IBC,CD工AB于点、D,交BE于点F,

则C尸的长为—.

16.如图，点E在矩形力8c。的对角线4C上，CF1AC,且Cr=4E,A

连接£凡若AB=2,BC=3,则勿'的最小值为

三、解答题：木题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题8分）

解方程：x2-8x-1=0.

18.（本小题8分）

如图，在菱形"C。中，点尸分别在边8C,C。上，乙AEB=△AFD,求证：AE=AF.

19.（本小题8分）

先化简，再求值：（3+吃）+%竽■,其中a=6+1.

a—2'a—2

20.（本小题8分）

关于x的一元二次方程X2+（/c-l）x-/c=0.

（1）求证：无论左为何值，该方程总有两个实数根；

（2）若方程有一个根大于2,求左的取值范围.

21.（本小题8分）

如图，在△力BC中，ZC=30°,将△/18C绕点力逆时针旋转一定的角度得到△ADE,点C的对应点为点E.

(1)尺规作图：求作△力DE,使得点8的对应点。恰好落在8C上；(不写作法，保留作图痕迹)

(2)在(1)的条件下，若力。平分4B4C,求ZEAC的度数.

22.(本小题1()分)

玲玲文化工作室借助线上平台推广特色文化产品.已知该文化产品的成本价格为20元/件，每天的销量y(单

位：件)与销售单价底单位：元/件)满足关系式5%+200,销售单价不低于成本且不高于40元/件，设

销售该文创产品的日获利为w元.

(1)当销售单价定为多少元时，日获利最大？最大利润为多少元？

(2)若线上平台将向该工作室收取〃元/件(0CQV4)的相关费用，若此时把销售单价定为31元/件，口获利

最大，求。的值.

23.(本小题10分)

在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+hx+2(aH0)的图象与x轴交于4,4,其中点力的坐标为(一m,0).

(1)若点4的坐标为(2m,0),求证：b2+a=0：

(2)当血=一3时，AB=2,且对于该二次函数图象上任意两点MQi，yD，N(x2,y2),当与＞冷＞3时，总

有力〉丫2,求该二次函数的解析式.

24.(本小题12分)

【知识回顾】

(1)如图1,是。。的弦，。力=4C?M,的最大值为_______cm,。是。。上一点，若41cB=a,则

^OAB=______(用含a的代数式表示).

【知识运用一】

(2)如图2,有一块形状为△4BC的湿地，其中4B=4C=600m,CO是一条步道，用测角仪器测得N4CD=

30°,现在研究人员要在步道CQ上找一个观测点E,使得NBEC二：48力。，请在图中找到符合要求的点上,

并求出此时CE的长.

【知识运用二】

(3)某工人计划从一块半径为的圆形木板中裁剪出一块四边形木板，要求四边形的四个顶点4B,C,

。均在圆上，且四边形力的周长最大.如图3,已知该工人己经裁剪出了AB,AD,其中4B=AD.LBAD=

90。.若C是8。右侧圆上一点，请通过说理，确认C的具体位置，并求出四边形力8c。周长的最大值.

如图1,在平面宜角坐标系X。3，中，点力的坐标为(一2/5,0),B是y轴正半轴上的一点，^OA3=30°,C

是工轴正半轴上的一点，将线段8c绕点8逆时针旋转60。得到线段8D,连接CD

(1)求点B的坐标；

(2)连接4。，请判断力8,AC,力。三条线段之间的数量关系，并说明理由；

图I图2

参考答案

一、选择题：

\.B

2.A

3.8

4.8

5.C

6.A

7.D

8.B

9.C

10.C

二、填空题：

12.1

13.3

14.111°

15.3

16.竽

三、解答题：

17.解：X2-8X-1=0,

x2-8x=1,

x2-8x+16=1+16,

（无一4）2=17,

x-4=±V17

为1=4+/17,X2=4-717.

18.证明：•••四边形"8C。是菱形,

AB=LD,AB=AD,

在△A8E和中,

vAB=AD,乙B=ZD,Z.AEB=Z.AFD,

：.AABE^AADF(AAS),

.••AE=AF.

9除原式=(誓+六).品

3(。—1)(1—2

a—2(a—1)2

=--3-,

a-1

当G=y/~3+1时，

原式=煮=y/~3.

2O.il)证明：•••关于x的一元二次方程为%2+(/c-l)x-/c=O,

4=(k-1)2-4x1x(-々)=(Z+1)220,

二尢论k为何值，该方程总有两个实数根；

(2)解：由%2+(攵-1万一攵二0得，

(x-l)(x+k)=0,

则Xi=1,x2k.

•••方程有一个根大于2,

•••一k>2,

解得k<—2.

21.解：（1）如图，以点力为圆心，的长为半径画弧，交8c于点。，再以点力为圆心，4C的长为半径画

弧，以点。为圆心，8c的长为半径画弧，两弧相交于点E,连接ZE,DE,AD,

则即为所求.

(2)由旋转得，AD=AB,£.BAC=^DAE,

:.乙B=Z.ADB,Z.EAC=Z-BAD.

vAD^-^^BAC,

/.BAD=乙CAD.

设，=LCAD=x,

则"08=%+30。，

:.Z.B=x+30",

vZ.B+/.BAD+Z.ADB=180°,

••・x+30°+x+x+30°=180°,

解得％=40°,

/EAC=40°.

22.解：(1)根据题意得:w=(x-20)y

=(x-20)(-5x4-200)

=-5%2+200X+100x-4000

=-57+300x-4000

=-5(x—30)2+goo,

•••销售单价不低于成本且不高于40元/件，

•••20<x<40,

5<0,

.•.兰％=30时，w有最大值，最大值为50(),

••.兰销售单价定为30元时，日获利最大，最大利润为500元；

(2)根据题意得：w=(%-20-a)(-5%+200)

=-5x2+(300+5a)x-200a-4000,

v-5<0,对称轴为直线“=-2=一鬻喑=30+0.5a,

・•・w在对称轴处取得最大值，

•••隹售单价定为31元/件，日获利最大，

•••30+0.5a=31,

解得a=2,且0<2<4)符合条件.

**,a—2.

23.解：(1)证明：由题意，•••力(一m,0),8(2弭0)在二次函数丫=⑪2+加；+29工0)的图象上,

2m是方程a/+bx+2=0的两根.

cbC22

・•・一m+12m=——，—2m£=一.

aa

---m=-彳弋入一2m2=2.

aa

b22

:,-2X-y=—.

a2a

b2=—Q,即人2+Q=0.

(2)解：当m=-3时，

•••力(3,0).

又"AB=2,•••8(1,0)或(5,0),

当6(1,0)时，

.(Q+6+2=0

••(9Q+3匕+2=0，

J-I.

IT

2?8

Ay=3X3X+2-

抛物线对称轴为直线％=2,此时满足右>x2>3时，总有yi>y2,

当B(5,0)时，同理可得y=K。一5)(无一3),

抛物线对称轴为直线％=4,不满足勺>x2>3时，总有力>y2,

综上所述，抛物线的解析式为、二弓好一日x+2.

(3O

24.解：(1)当48为直径时最大,此时48=2OA=8cm,

^.ACB—a,

:.乙AOB=2a,

vGA=OB,

八Ar>180°-2tZcco

乙OAB=--——=90-a；

故答案为：8,90°—a；

(2)如图，以力为圆心，为半径作。4。4与CO的交点即为点E,

延长。交。4于凡连接ER

••,4C是04的半径，AB=AC=600m,

••.CF是OA的直径，C尸=1200m,

:.乙CEF=90°,

.•.在/?「△£TC中，Z-ECF=30°,

£F=icF=600m,

CE2=CF2-EF2,

CE=600V3m;

(3)v/.BAD=90。，

80是圆的直径，

:.BD=4m,

vAB=AD,

.•.在RtZkABD中，BDZ=AB2+ADZ=2ABZ,

:.AB=AD=2\l~2m^

延长C8至E,使得BE=CD,连接AC,AE,

'E

由题意知，四边形是圆的内接四边形,

Z.ADC+Z-ABC=180°,

vZ.ABE4-Z,ABC=180°,

Z.ADC=Z.ABE,

.•.在△ADC和中，

AD=AB

Z.ADC=乙ABE,

CD=BE

,-,^ADC^AABEKAS),

二AC=AE,Z.DAC=Z.BAE,

:.Z.CAE=ZLBAC+LBAE=Z.BAC+Z.DAC=90°,

.•.在Rt^ACE中，CE2=AC2+AE2=2AC2,

CE=yJ~2AC^

-DC+CB=BE+CB=CE,

DC+BC=>[2AC^

.•.匹边形ABCD的周长=AD+AB+DC+CB=4\<2+，L4C，

当,4C是直径，即4c=4m时，四边形48CQ的周长最大，

匹边形ABCD的周长最大值为8777n.

25.辞：(1)、•点4的坐标为(一2门,0)，

:.GA=2G

在At△HOB中，4048=30°,

•••OB=^AD,

设08=%,则48=2%,

在Rt△7108中，OA2+OB2=AB2,

.•.X2+(2O=(2X)2,

解得工=2,

•