二次函数压轴题（十八大题型）原卷版-2025-2026学年九年级数学上学期（沪教版）

二次函数压轴题（十八大题型）

考点归纳

考点01根据平行关系求解

考点02根据垂直关系求解

考点03根据数量关系求解

考点04存在性问题一梯形

考点05存在性问题—特殊平行四边形

考点06相似问题

考点07角度问题

考点08特殊三角形问题

考点09含参数的二次函数对称性综合问题

考点10平移问题

考点11旋转问题

考点12翻折问题

考点13对称问题

考点14定点问题

考点15定值问题

考点16取值范围、最值问题

考点17证明恒等式

考点18新定义题

1/24

.:考点专练

考点01根据平行关系求解

1.(2025•上海杨浦•模拟预测)如图，已知平面直角坐标系xQy,抛物线y=ad+/>x+c与x轴交于点4L0)

和点8,与V轴交于点。(0,3),对称轴是直线x=-l.

⑴求该抛物线的表达式；

(2)将该抛物线平移得到新抛物线，点力的对应点记作点E,点C的对应点记作点厂.

①若点E、尸分别落在V轴的负半轴和线段4C」：，求防:8C的值；

②若点下落在第二象限的原抛物线上，连接必、CE,如果FB〃CE,求点尸的坐标.

2/24

考点02根据垂直关系求解

2.（2025・上海奉贤•二模）如图，在平面直角坐标系，中，已知抛物线），=/+云+。与轴交于点

4（D,5）,抛物线顶点P在第一象限且在直线/:），=；%上.

⑴求抛物线的表达式；

（2）向上平移直线/,交抛物线于C、。两点（。在。左侧），当。。=。。时，求C点坐标；

⑶将抛物线向右平移机个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点顶点为N,如果求加的

值.

3/24

3.(2023・上海虹口•一模)如图，在平面直角坐标系直勿中.已知抛物线》=/+2工+/〃经过点力(-3,0),

与了轴交于点C，连接NC交该抛物线的对称轴于点£.

孙

Ox

⑴求，〃的值和点E的坐标；

⑵点M是抛物线的对称轴上一点且在直线4C的上方.

①连接4”、CM,如果4ME1二NMC4,求点加的坐标；

②点N是抛物线上一点，连接当直线4。垂直平分时，求点N的坐标.

4/24

考点03根据数量关系求解

4.(2025•上海金山•一模)在平面直角坐标系宜万中(如图)，已知抛物线/("=./+伍+1)'+跳6<0),/(x)

的图像与x轴的两个交点为点2、点。(其中点尸在点。左侧).

1'

AA」」」»

O1X

⑴若将/(X)的图像向上平移2个单位，得到的新抛物线g(x)经过点(1,-3),求抛物线g(x)的表达式；

⑵若/")的图像在直线x=l的右侧呈上升趋势，求力的取值范围；

⑶在(1)中所求的g(x)的图像与V轴的交点记为点8,与x轴的正半轴交点记为点力，点”在g(x)的图

像上.当直线与直线距垂直.且。P二］3时，求点M的坐标.

5/24

5.（2025・上海虹口•二模）如图，已知抛物线y二】依2+2〃工—3交x轴于点4（-1，0）和点8,交了轴于点C.

yk

~A~O

⑴求直线力。的表达式，并用含〃的代数式表示该抛物线的对称轴：

⑵已知直线x=-4与抛物线交于点。，与直线力。交于点圻果〃?<0且OE=12,求抛物线的表达式；

⑶已知抛物线的对称轴为直线％=1,点0在抛物线上且位于第一象限，连接力〃、BC,线段”与V轴相

交千点、E,点尸在线段8c上，连接PREF,如果/“^二加。，且邑.即=4彳6,求点P的坐标.

6/24

考点04存在性问题一梯形

6.（2025・上海金山•二模）如图，在平面直角坐标系X。）'中，点。（相,-1）在直线y=r+2上，已知抛物线

y=f-2履+F-1（人为常数），抛物线与x轴的两个交点为点七、点/（其中点E在点尸左测），顶点为

D.

斗

1■

11」」1A

O1X

⑴芳抛物线经过点C,求抛物线的表达式：

⑵求证：SE尸的面积是一个定值，并求出这个值；

（3、

⑶已知点N-,0,抛物线的顶点。恰好落在NCNO的平分线上，点G在抛物线上，若四边形。EG/为梯

I〉Z

形，求点G的坐标.

7/24

考点05存在性问题一特殊平行四边形

7.：23-24九年级下•内蒙・占通辽・期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线)，=尔+及+2过点(1,3),且交x

轴于点4(T,0),B两点,交V轴于点C.

AO

⑴求抛物线的表达式；

⑵点P是直线8c上方抛物线上的一动点，过点P作尸。_L4C于点。，过点。作丁轴的平行线交直线8c于

点E,求APDE周长的最大值及此时点P的坐标；

⑶在(2)中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线C4方向平移逐个单位长度，点M为平移后

的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N,使得以点力，N为顶点的四边形是菱形，直接

写出所有符合条件的点N的坐标.

8/24

考点06相似问题

8.（2025・上海浦东新•二模）在平面直角坐标系X。），中（如图）,顶点为4（6,6）的抛物线G经过原点，直线y=6

交了轴于点8.

~Ox

⑴求抛物线G的表达式；

⑵将抛物线G先向右平移〃，（〃。0）个单位，再向下平移〃（〃＞。|个单位，使得新抛物线G的顶点。恰好落

在抛物线G上.抛物线G的对称地交直线48于点E.连接8。.

①连接4",当线段n”的中垂线经过点力时，求sinzz%£的值：

②线段以）交抛物线。的对称轴于点F当AWF与1。8相似时，求代数式的值.

9/24

考点07角度问题

9.(2025・上海长宇•一模)如图，在直角坐标平面》牡，内，以点。为顶点的抛物线卜=./+队+。经过点

4(4,3),且与丁轴交于点8,对称轴为直线x=2.

----------------------------->

Ox

⑴求抛物线的表达式；

(2)平移上述抛物线，所得的新抛物线的对称轴为直线"=，，顶点为点P.

①联结力8,如果点尸在x轴上且新抛物线与线段44有公共点，求/的取值范围；

②设新抛物线与直线x=2交于点。，如果点P在原抛物线y=V+尻上，且在直线x=2的右侧，

ZCPD=2NCBO,求点Q的坐标.

10/24

考点08特殊三角形问题

10.（2022•上海金山•三模）抛物线歹=4犬+版+3与x轴相交于点力（3,0）,4（-1,0）两点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵点。在抛物线的对称轴上，且位于x轴的卜方，将沿直线3。翻折得到△8EO,若点上恰好落在抛

物线的对称轴上，求点和点。的坐标；

⑶设点。是抛物线上位于第一象限的一点且位于对称轴右侧，0是抛物线对称轴上的一点，当△4。为等

边三角形，求直线80的解析式.

11/24

考点09含参数的二次函数对称性综合问题

11.（2025•上海嘉定•一模）在平面直角坐标系X。，中，抛物线）="2+云_］经过点（2,3）和点（-4,3）.

⑴求该抛物线的表达式；

⑵如图，该抛物线上有三个点力、B、C,48〃x轴，4c8=90。，ZBAC=30°,"与抛物线的对称轴

交千点M（点*在对称轴的左侧）.

①如果点C到抛物线对称轴的距离为乙请用含/的代数式表示点4的横坐标：

②求点。的横坐标.

12/24

考点10平移问题

12.（2025•上海•二模）在平面直角坐标系xQy中，顶点为/的抛物线y=+帆―；/+/»+］与夕轴交

于点B.

如

-1■

O-15

⑴如果抛物线经过点（2,-1）,且不经过第二象限，求抛物线的表达式；

⑵如果抛物线与坐标轴共有两个公共点，且在y轴右侧是下降的，求〃，的值；

⑶点力在第一象限，点8关于抛物线对称轴的对称点为点C,将抛物线沿着射线C力方向平移，点4、B、C

S1

的对应点分别为点H、B'、C,线段"C与线段力4交于点O,如果tan/4Q*=4,拳"=6,求点力

的坐标.

13/24

考点11旋转问题

13.(2025・上海崇明•一模)已知在直角坐标平面X0F中，抛物线J，=ad+m+C(QWO)经过点

/(-2⑼、8(2,0)、C(0,-4)三点.

备用图

⑴求该抛物线的表达式：

(2)点/是抛物线上在第一象限内的动点，点〃的横坐标为〃？

①如果AP/C是以PC为斜边的直用三角形，求〃?的值；

②在y轴正半轴上存在点〃，当线段P"绕点，逆时针方向旋转90。时，恰好与抛物线上的点。重合，此

时点。的横坐标为〃(〃>0),求的值.

14/24

考点12翻折问题

14.（2024・上海•模拟预测）如图，直线J=-2x+4交），轴于点儿交抛物线尸+版+c于点8（3,-2）,抛

备用图1备用图2

⑴求抛物线的解析式；

（2）当△P0E为等腰直角三角形时，求：P点坐标；

⑶在（2）的条件下，连接尸8,将△05E沿直线力5翻折，直接写出翻折后点石的对称点坐标.

15/24

考点13对称问题

Q

15.(2023•内蒙古通辽•中考真题)在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a，+]x+c(qw0)与x轴交于点

4(1,0)和点5,与y轴交于点C(0,T).

⑴求这条抛物线的函数解析式；

(2)户是抛物线上一动点(不与点儿B,。重合)，作轴，垂足为。，连接尸C.

①如图，若点夕在第三象限，且tanNCH)=2,求点Q的坐标：

②直线产。交直线8。于点£当点E关于直线PC的对称点&落在歹轴上时，请直接写出四边形PECE'的

周长.

16/24

考点14定点问题

16.（2025・上海杨浦•二模）己知平面直角坐标系X。），，抛物线y=2G-3ae>0）与x轴交于点力和点

4（点力在点8左侧），与y轴交于点C,顶点为Q,过点C作CE〃x轴交抛物线于点及

⑴直接写出抛物线的对称轴及点A8的坐标；

⑵联结为E,如果4E平分/84C,求“的值；

⑶点P是抛物线上一点，线段如、AE交十点F,如果S△祈那么直线PO是否一定会经过一个定

点？如果会，求出这个定点的坐标；如果不会，请说明理由.

17/24

考点15定值问题

17.（2023•上海普陀•三模）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于力，B两点.力点坐标为

⑴求：二次函数的表达式；

⑵在直线上方的抛物线上存在点。，使得=求点。的坐标；

⑶己知力，户为抛物线上不与4,8重合的相异两点，若直线/。，BF交于点P,则无论力，尸在抛物线

上如何运动，只要。，E,/三点共线，4MP,△MEP,△4台。中必存在面积为定值的三角形.请直接

写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由.

18/24

考点16取值范围、最值问题

18.（2025•上海普陀•一模）在平面直角坐标系X。，中（如图）.已知抛物线》=〃/+法一3（。工0）的顶点/

的坐标为（1,-2）,与y轴交于点8.将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M,其横坐标

为江平移后的抛物线与原抛物线交于点M且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为〃.

必

⑴求原抛物线的表达式；

⑵求，〃关于〃的函数解析式；

⑶在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围.

19/24

19.（2025・上海闵行•一模）已知抛物线4：），=-5+及+'与y轴交于点/（0,3）,顶点Q在直线x=l上.

~Ox

⑴求抛物线G的解析式及顶点p的坐标；

⑵将抛物线G向右平移小（，〃>o）个单位，再向下平移〃（〃>o）个单位，得到新抛物线c-新抛物线G的顶

点为。，与抛物线G的交点为点3,如果四边形尸力8。是平行四边形，求〃?、〃之间的关系式；

（3）在（2）的条件下，抛物线G的对称轴与直线/1P交于点E，与抛物线G交于点尸，且

S»E°：Sa"0=3:l,求此时抛物线G上落在平行四边形以8。内部的点（不包括与平行四边形的交点）的

横坐标f的取值范围.

20/24

20.（2025•上海•中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=r+bx+c过4（1,1）,8（3,1）,与V轴交于点

C,顶点为/>.

⑴求〃，。的值.

（2）设抛物线卜=《*:+"次+〃（4/1）过点力，8,且与y轴交于点。，顶点为。.

CD

①求拓的值；

②当四边形CQP。是直角梯形时，求该直角梯形中最小内角的正弦值.

21/24

考点17证明恒等式

21.(2024・上海普陀•三模)如图，在直角坐标平面内,抛物线经过原点。、点6(1,3),又与x轴正半轴相

交于点力，乙必0=45。，点尸是线段48上的一点，过点P作P亚〃08,与抛物线交于点M，且点M在

第一象限内.

备用图

⑴求抛物线的表达式；

(2)若/8M尸=N/O8,求点尸的坐标；

⑶过点M作MCIx轴，分别交直线x轴于点M.C,若△4VC的面积等于APA/N的面积的2倍，求证:

22/24

考点18新定义题

22.（2025・上海闵行•二模）定义：如果一条抛物线队的顶点坐标满足条件那么

称该抛物线为“优雅"抛物线.例如：抛物线丁=2/-以+4的顶点坐标为。,2）,此时由于”=1,。=2,顶

点坐标符合定义的条件，所以这条抛物线是“优雅"抛物线.

是“