青岛版七年级数学下册整式的除法教学设计

青岛版七年级数学下册整式的除法教学设计

一、课标依据与教学理论

本节课的教学设计严格依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域第三学段（7-9年级）的内容要求与学业要求。核心素养导向聚焦于学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算与数学建模素养的协同发展。在设计理念上，本教案深度融合建构主义学习理论，强调学生在已有“数的运算”及“整式的乘法”知识基础上，通过类比、探究、归纳，主动建构“整式的除法”运算规则。同时，贯彻“大单元教学”思想，将“整式的乘除”视为一个完整的知识体系，明确除法是乘法的逆运算这一核心代数思想，为学生后续学习分式、因式分解、函数等知识奠定坚实的运算基础。教学策略采用“问题驱动-探究发现-概括提炼-迁移应用”的路径，辅以差异化教学设计与信息技术融合，确保不同认知水平的学生均能在最近发展区内获得实质性发展。

二、教材与学情深度剖析

（一）教材内容分析

本课内容位于青岛版初中数学七年级下册“整式的乘除”章节。从教材编排逻辑看，学生已系统学习了有理数的运算、整式的加减、幂的运算性质以及整式的乘法，构建了完整的“数”到“式”的运算迁移路径。整式的除法作为该章节的收官之作，不仅是幂的运算性质与乘法分配律的综合应用，更是打通乘除互逆关系、完善整式四则运算体系的关键节点。教材通常先处理“单项式除以单项式”，再探究“多项式除以单项式”，其内在逻辑是从简单规则到复杂分配，从直接应用幂的法则到综合运用运算律。深入挖掘，本节课蕴含着“转化与化归”（将复杂问题转化为已知问题）、“类比”（类比数的除法与分数）、“一般化与符号化”等核心数学思想方法，是培养学生代数思维与运算能力的绝佳载体。

（二）学情现状诊断

教学对象为七年级下学期学生，其认知与能力基础呈现以下特征：

1.知识储备：熟练掌握有理数乘除法运算法则；清晰理解单项式、多项式的概念及系数、次数等要素；能准确、熟练地进行幂的运算（同底数幂相乘、相除、幂的乘方、积的乘方）及整式的乘法运算。这为学习整式的除法提供了必要的知识生长点。

2.能力水平：初步具备从具体数字运算抽象到字母符号运算的能力，但符号运算的熟练度和准确性有待加强。具备一定的观察、类比、归纳能力，但在自主发现规律、严谨表述法则方面仍需教师搭建脚手架。

3.思维与心理：思维活跃，乐于探究，但思维深度和系统性不足，容易孤立看待知识点。对“逆运算”概念虽有接触（如加减、乘除），但在代数式中主动、灵活运用逆运算关系解决问题的能力尚在发展中。部分学生可能对纯粹的符号运算产生畏难或枯燥情绪。

4.潜在迷思：可能出现的认知误区包括：混淆“同底数幂的乘法”与“除法”法则；在多项式除以单项式中，遗漏某项或处理符号错误；未能透彻理解“除法转化为乘以倒数”在整式范围内的适用性及其本质是乘法的逆运算。

基于以上分析，教学设计的难点在于如何引导学生实现从“数的除法”到“式的除法”的思维飞跃，并深刻理解运算的算理。重点在于通过有效探究，让学生自主归纳单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，并能准确、熟练地应用。

三、教学目标与核心素养指向

（一）教学目标

1.知识与技能：

1.2.理解并掌握单项式除以单项式的运算法则，并能正确、熟练地进行计算。

2.3.理解并掌握多项式除以单项式的运算法则，能准确运用法则进行计算。

3.4.能综合运用整式除法法则解决简单的混合运算问题。

5.过程与方法：

1.6.经历探索整式除法运算法则的过程，体会类比、转化、从具体到抽象等数学思想方法。

2.7.通过小组合作探究、交流展示，发展归纳概括能力和数学语言表达能力。

3.8.在解决问题的过程中，提升运算能力和逻辑推理能力。

9.情感、态度与价值观：

1.10.通过探究活动获得成功体验，增强学习代数的自信心和兴趣。

2.11.感受数学知识间的内在联系（如乘除互逆、数式通性），体会数学的严谨性与简洁美。

3.12.养成独立思考、合作交流、反思质疑的良好学习习惯。

（二）核心素养指向

1.数学抽象：从具体的数字运算实例中，抽象概括出单项式、多项式除以单项式的普遍性运算法则。

2.逻辑推理：在法则的探究过程中，进行合情推理（类比、归纳）和演绎推理（依据幂的运算法则、运算律进行推导）。

3.数学运算：准确、灵活地进行整式除法运算，理解算理，追求算法优化。

4.数学建模：在解决实际或数学内部问题时，能识别并运用整式除法模型。

四、教学重难点及突破策略

1.教学重点：单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则及其应用。

2.教学难点：对整式除法算理的透彻理解（尤其是多项式除以单项式转化为乘法分配律的应用）；运算过程中符号、系数的准确处理；法则探究过程中的归纳与抽象。

3.突破策略：

1.4.算理直观化：设计由“数的除法”到“式的除法”的系列递进问题链，利用学生熟悉的数字运算作为认知起点，通过类比迁移，降低抽象难度。

2.5.探究结构化：将法则的发现过程分解为“观察特例—提出猜想—验证猜想—概括法则—符号表示”几个清晰的步骤，引导学生有序思考。

3.6.错误资源化：预设学生可能出现的典型错误（如系数、同底数幂、符号处理等），将其设计为辨析环节，通过对比、讨论，深化对正确法则的理解。

4.7.技术辅助化：运用动态数学软件（如GeoGebra）展示运算过程的可视化关联（如面积模型解释多项式除以单项式），变抽象为形象。

五、教学准备

1.教师准备：精心制作多媒体课件，包含问题情境、探究阶梯、例题、练习、知识结构图等；设计并印制《课堂探究学习任务单》；准备交互式白板及书写工具；熟悉GeoGebra软件的相关演示功能。

2.学生准备：复习幂的运算性质、整式乘法法则；准备好数学课本、练习本、文具；按异质分组原则（考虑能力、性格）提前分好学习小组（4-6人一组），并指定组长。

六、教学过程实施

第一环节：创设情境，问题导学（预计时间：8分钟）

1.情境引入：

1.2.课件呈现实际问题：“学校图书馆要更新一批书架，其中一种书架的侧面可视为一个长方形，其面积为(12x^3y^2)

平方厘米，已知它的宽为(4xy)

厘米，你能求出这个长方形的长是多少厘米吗？”

2.3.引导学生分析：这是一个已知长方形面积和宽，求长的问题。数量关系为：长=面积÷宽

。

3.4.学生列出算式：(12x^3y^2)÷(4xy)

。

4.5.教师提问：“这是一个‘式’除以‘式’的问题，我们如何计算呢？它与我们学过的‘数’的除法有什么联系？”

6.复习回顾：

1.7.快速口答练习：

1.2.8.(am)·(an)=?

（同底数幂乘法）

2.3.9.(a^m)^n=?

（幂的乘方）

3.4.10.(ab)^n=?

（积的乘方）

4.5.11.(12÷4)=?

,(x^3÷x)=?

（引导学生回顾a^m÷a^n=a^(m-n)(a≠0)

）

6.12.教师强调：这些运算法则是我们今天探索新知的“工具”。

13.明确目标：

1.14.教师板书课题：“整式的除法”。

2.15.引导学生齐读或简述本节课的学习目标：“今天，我们将通过类比数的除法，一起来发现和掌握整式除法的奥秘，重点攻克单项式除以单项式和多项式除以单项式这两类运算。”

【设计意图】从贴近学生生活的实际情境出发，自然引出整式除法的学习需求，激发求知欲。通过复习幂的运算性质，为新课探究搭建“脚手架”。明确目标使学生学习有方向。

第二环节：合作探究，建构新知（预计时间：25分钟）

探究活动一：单项式除以单项式

1.特例感知：

1.2.发放《课堂探究学习任务单》。任务一：计算下列各式，并思考每一步的依据。

1.2.3.(8a^3)÷(2a)

2.3.4.(6x^4y^2)÷(3x^2y)

3.4.5.(-15m^4n^3)÷(5m^2n)

5.6.学生独立计算，组内交流算法和依据。教师巡视，收集不同做法和困惑。

7.归纳猜想：

1.8.请小组代表上台展示计算过程及依据。预设学生可能分步计算：系数相除，同底数幂相除，单独字母因式照写。

2.9.教师追问：“能否将这三个步骤概括为一个统一的运算法则？单项式除以单项式，结果是什么？（仍是单项式）如何确定这个结果的系数、字母及指数？”

3.10.引导学生小组讨论，尝试用文字语言描述法则。

11.形成法则：

1.12.在各小组汇报的基础上，师生共同提炼、完善法则：

1.2.13.单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

3.14.教师用符号语言进行精炼表达：(am)÷(bn)=(a÷b)·(m÷n)

（这里a，b为系数，m，n为字母幂的乘积），并强调b≠0

，以及“只在被除式中含有的字母”这一易错点。

4.15.辨析巩固：判断正误，并说明理由。

1.5.16.(10a^4)÷(5a^2)=2a^2

（正确）

2.6.17.(12x^3y)÷(4xy)=3x^2

（错误，应为3x^2y^0=3x^2

，但过程需体现y的指数1-1=0）

3.7.18.(-6a^2b^3)÷(3ab)=-2ab^2

（正确）

探究活动二：多项式除以单项式

1.问题转化：

1.2.回到引入情境的变式：“如果书架侧面的面积是(12x^3y^2+8x^2y^3)

平方厘米，宽仍是(4xy)

厘米，长是多少？”

2.3.学生列出算式：(12x^3y^2+8x^2y^3)÷(4xy)

。

3.4.教师启发：“这个式子变成了‘多项式除以单项式’。我们能否利用已学的知识将其转化？”

4.5.提示联想：数的运算中，(a+b)÷c=a÷c+b÷c

。类比到式，是否可行？

6.验证猜想：

1.7.任务二：请利用乘法是除法的逆运算来验证。

1.2.8.计算：(4xy)·(?)=12x^3y^2+8x^2y^3

。

2.3.9.学生尝试。设商为A，则有(4xy)·A=12x^3y^2+8x^2y^3

。根据单项式乘多项式的法则，A必须等于(12x^3y^2)÷(4xy)+(8x^2y^3)÷(4xy)

才能满足。

4.10.教师利用面积模型进行直观解释（课件动画演示）：一个总面积为(S1+S2)

的长方形，宽为w，其长等于(S1÷w)+(S2÷w)

。

11.概括法则：

1.12.学生尝试概括多项式除以单项式的法则。

2.13.师生共同明确：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

3.14.符号语言：(A+B+C)÷m=A÷m+B÷m+C÷m

（m为非零单项式）。

4.15.强调：每一项都要除以单项式，注意符号和系数的变化。

16.初步应用：

1.17.尝试计算引入的变式问题：(12x^3y^2+8x^2y^3)÷(4xy)=3x^2y+2xy^2

。

2.18.完成《任务单》上的一组基础练习。

【设计意图】本环节是教学的核心。通过任务驱动的探究活动，让学生亲身经历“观察—猜想—验证—概括”的完整数学发现过程。从单项式到多项式，层次分明，符合认知规律。强调类比和转化思想，注重算理的多元理解（逆运算、分配律、几何直观），使法则的获得不是机械记忆，而是有意义建构。

第三环节：典例精析，深化理解（预计时间：12分钟）

1.例题1（单项式除以单项式）：

1.2.计算：(-3a^2b^3c)÷(5ab^2)

。

2.3.教师板演规范步骤：

1.3.4.步骤一：确定商的符号（负÷正得负）。

2.4.5.步骤二：系数相除，-3÷5=-3/5

，结果以分数形式表示（强调结果的最简形式）。

3.5.6.步骤三：同底数幂相除，a^2÷a=a^(2-1)=a

；b^3÷b^2=b^(3-2)=b

。

4.6.7.步骤四：处理被除式独有字母c

，直接作为商的一个因式。

5.7.8.写出结果：-(3/5)abc

。

8.9.关键点强调：系数不能整除时写成分数；字母c的处理；运算的层次性。

10.例题2（多项式除以单项式）：

1.11.计算：(9x^4-15x^3+6x^2)÷(3x^2)

。

2.12.学生尝试，教师巡视，选取有代表性的解答（正确和典型错误）进行投影展示。

3.13.辨析纠错：可能错误包括——漏除某项（如漏掉6x^2

）、符号错误（-15x^3÷3x^2

得-5x

而非-5x

？）、指数计算错误（x^4÷x^2=x^2

正确）。

4.14.规范板书：原式=9x^4÷(3x^2)+(-15x^3)÷(3x^2)+6x^2÷(3x^2)=3x^2-5x+2

。

5.15.变式提问：若除式是(-3x^2)

，结果如何？(-3x^2+2)

。

16.例题3（综合应用与逆用）：

1.17.已知一个长方体的体积为(6a^3b^2-4a^2b^3)

，底面积为(2a^2b)

，求这个长方体的高。

2.18.引导学生分析：高=体积÷底面积。列式：(6a^3b^2-4a^2b^3)÷(2a^2b)

。

3.19.学生独立计算，教师点评。结果：3ab-2b^2

。

4.20.思维提升：如果告诉你高是(3a-2b)

，底面积是(2a^2b)

，你能验证体积吗？由此体会乘除互逆关系在验算中的应用。

【设计意图】例题设计由浅入深，覆盖各种类型和易错点。通过教师规范板演、学生尝试、展示纠错、变式训练等多种形式，深化对法则的理解和应用。例题3将数学与几何结合，体现知识的应用性，并通过逆用问题，培养学生的逆向思维和验算习惯。

第四环节：分层练习，巩固提升（预计时间：10分钟）

练习设计分为三个层次，学生可根据自身情况选择完成，鼓励挑战。

1.A组（基础达标）：

1.2.(15a^5b^2)÷(5a^4b)

2.3.(-24x^6y^3z)÷(8x^4y^2)

3.4.(4x^3y-6x^2y^2)÷(2xy)

4.5.(12a^4b^3+6a^3b^2-3a^2b)÷(3a^2b)

6.B组（能力提升）：

1.7.[(x+y)^3·(x+y)^2]÷(x+y)^4

（先统一底数）

2.8.(0.25a^2b^3-0.5a^3b^2)÷(-0.25a^2b^2)

3.9.化简求值：[(2x^2y)^3-6x^3y^4]÷(2x^2y)

，其中x=1,y=-2

。

10.C组（思维拓展）：

1.11.若(28a^3b^2c)÷M=-4ab^2

，求单项式M。

2.12.已知多项式A

除以2x^2y

，商式为3x^2y-4xy^2

，余式为xy

，求多项式A

。

3.13.探究：(a+b+c)÷d

的法则是否成立？d

可以是什么？

【设计意图】分层练习尊重学生个体差异，让不同层次的学生都能获得成功的体验和能力的提升。A组巩固双基，B组强化综合应用和运算顺序，C组发展逆向思维和探究能力，为学有余力的学生提供发展空间。练习过程中，教师巡视，进行个别辅导，收集共性问题。

第五环节：课堂小结，体系构建（预计时间：3分钟）

1.知识梳理：

1.2.教师不直接复述，而是提问：“通过本节课的学习，你收获了哪些‘知识果实’？请用你的方式（如思维导图、知识树、关键词等）进行梳理。”

2.3.学生静思1分钟后，邀请几位学生分享。教师在此基础上，用结构化的板书或课件呈现知识网络图：

整式的除法

├──单项式÷单项式

│├──法则：系数、同底数幂分别相除...

│└──关键：只在被除式中有的字母...

└──多项式÷单项式

└──法则：每一项分别除以单项式，再把商相加...

3.4.强调核心思想：转化（化未知为已知）、类比（数式通性）、整体思想。

5.方法反思：

1.6.提问：“在探索法则的过程中，我们用到了哪些重要的数学方法？（类比、从特殊到一般、逆运算思考等）”

2.7.提示运算注意事项：确定符号、系数处理、指数运算、不漏项。

8.情感升华：

1.9.鼓励学生：“从数的运算跨越到式的运算，我们又一次领略了数学的和谐与统一。只要善于观察、敢于类比、勤于思考，看似复杂的代数世界的大门会一扇扇为我们打开。”

【设计意图】变教师总结为学生自主建构，将零散的知识点系统化、结构化，纳入学生的认知体系。反思学习过程和方法，促进元认知发展。情感升华旨在保持并激发学生对数学的持久兴趣。

第六环节：布置作业，延伸学习（预计时间：2分钟）

1.必做题：课本Pxx页，练习第1、2、3题；习题A组第1、2、4题。要求书写规范，步骤清晰。

2.选做题：

1.3.（实践类）查阅资料，了解“长除法”在多项式除法中的初步思想，并尝试用类似方法计算(x^2+5x+6)÷(x+2)

。（为后续学习埋下伏笔）

2.4.（探究类）思考：是否存在“多项式除以多项式”的法则？与我们学过的什么知识有关联？（链接因式分解）

5.预习任务：预习下一节内容，思考整式乘除的混合运算顺序应遵循什么原则？

【设计意图】作业分层，必做题保障基础落实，选做题满足个性化发展需求，实践和探究题旨在拓展视野、建立知识前瞻性联系。预习任务培养学生自学习惯。

七、板书设计

主板书区（左侧）：

整式的除法

一、单项式÷单项式

1.法则：系数、同底数幂分别相除…（文字）

(am)÷(bn)=(a÷b)·(m÷n)

2.例1：(-3a^2b^3c)÷(5ab^2)=-(3/5)abc

（步骤详解：符号→系数→字母）

二、多项式÷单项式

1.法则：把多项式的每一项…（文字）

(A+B+C)÷m=A÷m+B÷m+C÷m

2.例2：(9x^4-15x^3+6x^2)÷3x^2=3x^2-5x+2

三、思想方法

转化、类比、整体

副板书区（右侧）：

1.用于学生演算展示。

2.记录课堂生成的关键问题或学生精彩发言。

3.绘制简单的知识结构草图。

【设计意图】主板书力求简洁、系统、规范，突出重点法则和典型例题的解题过程，呈现知识逻辑脉络。副板书灵活机动，服务于课堂即时生成，体现互动性。

八、教学评价设计

1.过程性评价：

1.2.课堂观察：记录学生在情境引入时的反应、探究活动中的参与度（是否积极思考、动手、讨论）、回答问题的质量、小组合作的有效性。

2.3.《课堂探究学习任务单》评价：检查任务单的完成情况，关注学生的思维过程、归纳的准确性、书写的规范性。

3.