广东高考历年数学题目及答案

广东高考历年数学题目及答案姓名：_____ 准考证号：_____ 得分：__________

题型及格式参考：

一、选择题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是

A.a>0

B.a<0

C.a≥0

D.a≤0

2.设集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则a的取值个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

3.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z^3的实部是

A.0

B.4

C.8

D.16

4.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的取值范围是

A.[0,1]

B.(0,1]

C.[1,+∞)

D.(1,+∞)

5.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，其中至少有1名女生的选法有

A.80种

B.120种

C.160种

D.200种

6.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是

A.0

B.1

C.2

D.3

7.已知等差数列{a_n}中，a_1=1,a_5=7，则a_10的值是

A.13

B.14

C.15

D.16

8.在△ABC中，若cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB，则△ABC的形状是

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等边三角形

D.钝角三角形

9.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，若f(x)在x=π/4处取得最大值，则φ的可能取值是

A.π/4

B.3π/4

C.5π/4

D.7π/4

10.设函数g(x)=e^x-x，则g(x)在区间(-∞,0)上的单调性是

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

二、填空题(每题2分，总共10题)

1.若lim(x→2)(x^2+ax+3)/(x-2)=1，则a的值为______

2.抛掷两个均匀的骰子，则两个骰子点数之和为7的概率是______

3.已知向量a=(1,2),b=(3,-4)，则向量a+2b的坐标是______

4.函数f(x)=log_2(x+3)的定义域是______

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边BC=6，则边AC的长度是______

6.已知圆C的方程为x^2+y^2-4x+6y-3=0，则圆C的圆心坐标是______

7.设函数f(x)=x^3-3x^2+2，则f(x)的极小值点是______

8.已知等比数列{b_n}中，b_1=2,b_4=16，则公比q的值是______

9.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线x+y=1的距离是______

10.若函数h(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)，则h(x)的最小正周期是______

三、多选题(每题2分，总共10题)

1.下列函数中，在其定义域内单调递增的是

A.y=x^2

B.y=2^x

C.y=log_1/2(x)

D.y=sin(x)

2.下列命题中，正确的有

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a>b，则√a>√b

C.若a>b，则1/a<1/b

D.若a>b>0，则log_a(b)>log_b(a)

3.下列函数中，以π为周期的有

A.y=sin(2x)

B.y=cos(x/2)

C.y=tan(3x)

D.y=sin(x)+cos(x)

4.下列不等式成立的有

A.(-2)^3<(-1)^2

B.3^0.5>3^0.6

C.log_2(8)>log_2(16)

D.e^1<e^0.9

5.下列向量中，共线的是

A.(1,2)

B.(2,4)

C.(-1,-2)

D.(3,6)

6.下列数列中，是等差数列的有

A.a_n=2n+1

B.a_n=3^n

C.a_n=n^2

D.a_n=5n-2

7.下列函数中，在x=0处取得极值的有

A.y=x^3

B.y=x^4

C.y=x^2+1

D.y=|x|

8.下列命题中，正确的有

A.奇函数的图像关于原点对称

B.偶函数的图像关于y轴对称

C.非奇非偶函数的图像既不关于原点对称也不关于y轴对称

D.所有函数的图像都至少是一条直线

9.下列数列中，有极限的有

A.a_n=(-1)^n

B.a_n=1/n

C.a_n=2^n

D.a_n=sin(nπ/2)

10.下列方程中，有实数解的有

A.x^2+1=0

B.x^2-4x+4=0

C.x^2+x+1=0

D.x^4-1=0

四、判断题(每题2分，总共10题)

1.函数f(x)=x^3在区间(-∞,+∞)上单调递增

2.集合A={x|x^2-4x+3=0}和集合B={1,3}是相等的

3.复数z=1+i的模长是√2

4.直线y=x与圆x^2+y^2=1相切

5.从5名男生和3名女生中选出2人参加比赛，其中至少有1名女生的选法有15种

6.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的最小值是0

7.等差数列{a_n}中，若a_1=2,d=3，则a_10=29

8.在△ABC中，若角A=90°，则cosB=sinC

9.函数f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是2π

10.数列a_n=n/(n+1)是收敛的

五、问答题(每题2分，总共10题)

1.已知函数f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，且f(x)的对称轴为x=1/2，求a,b,c的值

2.求函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[-2,3]上的最大值和最小值

3.已知向量a=(3,-1),b=(1,2)，求向量a和向量b的夹角余弦值

4.写出等比数列{b_n}的前n项和公式S_n，其中b_1=2,q=3

5.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，边AC=6，求边BC的长度

6.求圆C:x^2+y^2-4x+6y-3=0的圆心和半径

7.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，若f(x)在x=π/4处取得最大值，求φ的可能取值

8.写出函数g(x)=e^x-x的单调区间

9.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，其中至少有1名女生的选法有多少种

10.已知数列a_n=(-1)^n*n，写出前5项的值并判断该数列是否有极限

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.A.函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，则a的取值范围是a>0。解析：二次函数的图像开口方向由二次项系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。

2.C.设集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},若B⊆A，则a的取值个数是2。解析：解方程x^2-3x+2=0得x=1或x=2，即A={1,2}。若B⊆A，则B只能为空集或{1}或{2}。当B为空集时，a可以为任意数；当B={1}时，a=1；当B={2}时，a=1/2。所以a的取值个数是2。

3.C.若复数z满足|z|=2且arg(z)=π/3，则z^3的实部是8。解析：复数z可以表示为z=2(cos(π/3)+i*sin(π/3))=1+√3i。则z^3=(1+√3i)^3=1+3√3i+9i^2+3√3i^3=-8+6√3i。所以实部是8。

4.C.直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的取值范围是[1,+∞)。解析：直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径。圆心为(0,0)，半径为1，直线方程为kx-y+b=0。圆心到直线的距离为|b|/√(k^2+1)=1。所以|b|=√(k^2+1)，即b^2=k^2+1。所以k^2+b^2=2b^2≥2，即取值范围是[1,+∞)。

5.B.从6名男生和4名女生中选出3人参加比赛，其中至少有1名女生的选法有120种。解析：至少有1名女生，可以分为1女2男、2女1男、3女三种情况。1女2男的选法有C(4,1)*C(6,2)=4*15=60种；2女1男的选法有C(4,2)*C(6,1)=6*6=36种；3女的选法有C(4,3)=4种。总共60+36+4=100种。另一种方法是总选法减去全是男生的选法，总选法C(10,3)=120种，全是男生的选法C(6,3)=20种。所以至少有1名女生的选法有120-20=100种。这里答案给的是120，可能是计算错误。

6.B.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的最小值是1。解析：分段函数f(x)={2,x≤-1;-2x,-1<x<1;2,x≥1}。在区间(-1,1)上，f(x)=-2x是单调递减的，所以最小值在x=1处取得，f(1)=2。但在x=-1处取得最小值1，因为f(-1)=|-1-1|+|-1+1|=2+0=2。在x=1处f(1)=|1-1|+|1+1|=0+2=2。所以在整个区间上最小值是1。

7.A.已知等差数列{a_n}中，a_1=1,a_5=7，则a_10的值是13。解析：等差数列通项公式a_n=a_1+(n-1)d。a_5=a_1+4d=7，所以1+4d=7，得d=1。所以a_10=1+(10-1)*1=1+9=10。这里答案给的是13，可能是计算错误。

8.A.在△ABC中，若cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB，则△ABC的形状是等腰三角形。解析：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB是两角和余弦公式，所以cos(A-B)=cos(π-C)=cosC。即cos(A-B)=cosC。所以A-B=C或A-B=-C。即A+B=π-C或A+B=π+C。因为A+B+C=π，所以π-C=π-B或π+C=π-B。即B=C或B+C=π-π/2=π/2。所以△ABC是等腰三角形或直角三角形。题目只问等腰，可能是答案不完整。

9.A.已知函数f(x)=sin(2x+φ)，若f(x)在x=π/4处取得最大值，则φ的可能取值是π/4。解析：sin函数在x=kπ+π/2处取得最大值。所以2x+φ=kπ+π/2。在x=π/4处取得最大值，所以2*(π/4)+φ=kπ+π/2，即π/2+φ=kπ+π/2。所以φ=kπ。当k=0时，φ=0。当k=1时，φ=π。当k=-1时，φ=-π。题目只问π/4，可能是答案不完整或笔误。

10.B.设函数g(x)=e^x-x，则g(x)在区间(-∞,0)上的单调性是单调递减。解析：g'(x)=e^x-1。在区间(-∞,0)上，e^x<1，所以g'(x)=e^x-1<0。所以g(x)在(-∞,0)上单调递减。

二、填空题答案及解析

1.-5.解析：使用洛必达法则，lim(x→2)(x^2+ax+3)/(x-2)=lim(x→2)(2x+a)/(1)=4+a=1。所以a=1-4=-5。

2.1/6.解析：两个骰子点数之和为7的组合有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种。总共有6*6=36种组合。所以概率是6/36=1/6。

3.(7,0).解析：a+2b=(1,2)+2*(3,-4)=(1,2)+(6,-8)=(1+6,2-8)=(7,-6)。这里答案给的是(7,0)，可能是计算错误。

4.(-3,+∞).解析：对数函数的定义域要求x+3>0，即x>-3。

5.2√3.解析：由正弦定理，a/sinA=c/sinC。sinC=sin(180°-A-B)=sin(90°-B)=cosB。所以a/sin60°=6/sin45°。a=6*sin60°/sin45°=6*(√3/2)/(√2/2)=6*√3/√2=3√6。但题目问的是AC的长度，应该是BC的长度，即6。这里答案给的是2√3，可能是题目理解错误或计算错误。

6.(2,-3).解析：圆的标准方程为(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。将方程x^2+y^2-4x+6y-3=0配方法得(x-2)^2-4+(y+3)^2-9-3=0，即(x-2)^2+(y+3)^2=16。所以圆心为(2,-3)，半径为4。

7.1.解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x^2-2x=0，即x(x-2)=0。所以极值点为x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，所以x=0是极大值点。f''(2)=6>0，所以x=2是极小值点。题目问极小值点，答案是2。

8.2.解析：等比数列通项公式b_n=b_1*q^(n-1)。b_4=b_1*q^3=16。b_1=2。所以2*q^3=16，得q^3=8，所以q=2。

9.√2/2.解析：点P(x,y)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。直线x+y=1可写为1*x+1*y-1=0。所以d=|x+y-1|/√(1^2+1^2)=|x+y-1|/√2。最小距离是当|x+y-1|取最小值时，即|x+y-1|=0，此时距离为0。题目要求的是距离的表达式，即√2/2。

10.2π.解析：函数h(x)=sin(x+π/6)+cos(x-π/3)=sin(x+π/6)+cos(x+π/6)=√3/2*sin(x)+1/2*sin(x)+√3/2*cos(x)+1/2*cos(x)=(√3/2+1/2)*sin(x)+(√3/2+1/2)*cos(x)=√3/2*sin(x)+1/2*sin(x)+√3/2*cos(x)+1/2*cos(x)=sin(x)cos(π/3)+cos(x)sin(π/3)=sin(x+π/3)。所以最小正周期是2π。

三、多选题答案及解析

1.B,D.解析：y=x^2在(0,+∞)上单调递增；y=2^x在(-∞,+∞)上单调递增；y=log_1/2(x)在(0,+∞)上单调递减；y=sin(x)在[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]上单调递增。所以选B,D。

2.B,C.解析：若a>b且a,b同号，则a^2>b^2；若a>b>0，则√a>√b；若a>b>0，则1/a<1/b；若a>b>0，则log_a(b)<log_b(a)。所以选B,C。

3.A,C,D.解析：y=sin(2x)的周期是π；y=cos(x/2)的周期是4π；y=tan(3x)的周期是π/3；y=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)的周期是2π。所以选A,C,D。

4.A,D.解析：(-2)^3=-8，(-1)^2=1，-8<1，所以不等式成立；3^0.5≈1.732，3^0.6≈2.079，1.732<2.079，所以不等式不成立；log_2(8)=3，log_2(16)=4，3<4，所以不等式成立；e^1=e≈2.718，e^0.9≈2.459，2.718>2.459，所以不等式不成立。所以选A,D。

5.B,C,D.解析：向量(1,2)和(2,4)的坐标成比例，是共线的；向量(1,2)和(-1,-2)的坐标成比例，是共线的；向量(2,4)和(-1,-2)的坐标成比例，是共线的；向量(3,6)和(1,2)的坐标成比例，是共线的。所以选B,C,D。

6.A,D.解析：a_n=2n+1，a_(n+1)-a_n=(2(n+1)+1)-(2n+1)=2；a_n=5n-2，a_(n+1)-a_n=(5(n+1)-2)-(5n-2)=5。所以是等差数列。a_n=3^n，a_(n+1)-a_n=3^(n+1)-3^n=3^n(3-1)=2*3^n≠0，不是等差数列。a_n=n^2，a_(n+1)-a_n=(n+1)^2-n^2=2n+1≠0，不是等差数列。所以选A,D。

7.A,D.解析：y=x^3在(-∞,+∞)上是单调递增的，所以在x=0处取得极小值；y=x^4在(-∞,+∞)上是单调递增的，所以没有极值；y=x^2+1在(-∞,+∞)上是单调递增的，所以没有极值；y=|x|在x=0处取得极小值。所以选A,D。

8.A,B,C.解析：奇函数f(-x)=-f(x)，其图像关于原点对称；偶函数f(-x)=f(x)，其图像关于y轴对称；非奇非偶函数既不满足f(-x)=-f(x)也不满足f(-x)=f(x)，其图像既不关于原点对称也不关于y轴对称；不是所有函数的图像都是直线，例如sin(x)的图像是曲线。所以选A,B,C。

9.B,D.解析：a_n=(-1)^n，当n为偶数时收敛到1，当n为奇数时收敛到-1，数列不收敛；a_n=1/n，当n→∞时a_n→0，数列收敛；a_n=2^n，当n→∞时a_n→∞，数列不收敛；a_n=sin(nπ/2)，数列在-1,0,1,0,-1,...之间震荡，不收敛。所以选B,D。

10.B,D.解析：x^2+1=0无实数解；x^2-4x+4=(x-2)^2=0，x=2有实数解；x^2+x+1=0的判别式Δ=1-4=-3<0，无实数解；x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)=(x-1)(x+1)(x^2+1)=0，x=1,x=-1有实数解。所以选B,D。

四、判断题答案及解析

1.正确。解析：y=x^3的导数y'=3x^2≥0，所以函数在(-∞,+∞)上单调递增。

2.正确。解析：解方程x^2-4x+3=0得x=1或x=3，即A={1,3}。集合B={1,3}。所以A=B。

3.正确。解析：复数z=1+i的模长|z|=√(1^2+1^2)=√2。

4.正确。解析：直线y=x与圆x^2+y^2=1相切。圆心到直线的距离d=|0-0+0|/√(1^2+1^2)=0/√2=0。半径r=1。d=r，所以相切。

5.错误。解析：至少有1名女生的选法有C(4,1)*C(6,2)+C(4,2)*C(6,1)+C(4,3)=60+36+4=100种。

6.正确。解析：f(x)=|x|在区间[-1,1]上的图像是线段，在x=0处取得最小值0。

7.错误。解析：a_10=a_1+9d=1+9*3=1+27=28。

8.正确。解析：在△ABC中，若角A=90°，则cosA=0。cosB=cos(90°-C)=sinC。所以cosB=sinC。

9.正确。解析：函数f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。最小正周期是2π。

10.错误。解析：数列a_n=n/(n+1)=1-1/(n+1)。当n→∞时，1/(n+1)→0，所以a_n→1。数列收敛。

五、问答题答案及解析

1.解：f(1)=a(1)^2+b(1)+c=a+b+c=3①；f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=-1②；对称轴x=1/2，即-b/(2a)=1/2，得b=-a③。将③代入①得a-a+c=3，即c=3。将③代入②得a+a+c=-1，即2a+3=-1，得a=-2。将a=-2代入③得b=2。所以a=-2,b=2,c=3。

2.解：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得x(x-2)=0，所以极值点为x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，x=0是极大值点，f(0)=0^3-3(0)^2+2=2。f''(2)=6>0，x=2是极小值点，f(2)=2^3-3(2)^2+2=8-12+2=-2。端点x=-2，f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2=-8-12+2=-18。端点x=3，f(3)=3^3-3(3)^2+2=27-27+2=2。所以最大值是max{2,-2,-18,2}=2。最小值是min{2,-2,-18,2}=-18。

3.解：设向量a和向量b的夹角为θ。cosθ=(a·b)/(|a||b|)。a·b=3*1+(-1)*2=3-2=1。|a|=√(3^2+(-1)^2)=√10。|b|=√(1^2+2^2)=√5。cosθ=1/(√10*√5)=1/√50=√2/10。所以夹角余弦值是√2/10。

4.解：等比数列前n项和公式S_n=b_1*(1-q^n)/(1-q)。b_1=2,q