第2课时分组分解法分解因式课件2025-2026学年沪科版七年级数学下册

沪科版数学7年级下册8.4.2第2课时

分组分解法分解因式

第8章

整式乘法与因式分解2026年4月6日沪科版七年级数学下册8.4.2第2课时

分组分解法分解因式

练习题班级：________姓名：________得分：________本套练习题围绕8.4.2第2课时分组分解法分解因式设计，核心知识点为：当多项式的项数多于3项时，将多项式适当分组，使分组后每组都能提取公因式或运用公式法分解，再对整体提取公因式，最终将多项式分解为几个因式乘积的形式，叫做分组分解法。核心分组思路：①分组后能提取公因式（“提公因式分组”）；②分组后能运用平方差、完全平方公式（“公式分组”），分组关键是“分组后能继续分解”。练习题涵盖分组思路辨析、直接分组分解、变式分组及易错点辨析，结合之前所学的提公因式法、公式法，难度由浅入深，贴合课堂重难点，旨在帮助巩固核心知识，提升因式分解综合能力，总字数约700字。一、选择题（每小题3分，共15分）1.下列多项式中，适合用分组分解法分解因式的是（

）

A.$$x^2-y^2$$B.$$x^2+2x+1$$C.$$x^2+3x+2$$D.$$ax+ay+bx+by$$2.将多项式$$ax-bx+ay-by$$分组，正确的是（

）

A.$$(ax-bx)+(ay-by)$$B.$$(ax+ay)-(bx-by)$$C.$$(ax-by)+(ay-bx)$$D.$$(ax-ay)+(bx-by)$$3.下列用分组分解法分解因式正确的是（

）

A.$$x^2+2x+1-y^2=(x+1)^2-y^2=(x+1+y)(x+1-y)$$B.$$ax+bx+a+b=x(a+b)+(a+b)=x(a+b+1)$$C.$$x^2-3x+2-xy+3y=(x^2-3x)+(2-xy+3y)$$（无法继续分解）

D.$$4a^2-4a+1-b^2=(4a^2-4a)+(1-b^2)=4a(a-1)+(1-b)(1+b)$$（无法继续分解）

4.分解因式$$x^2-y^2+x-y$$，正确的分组方式是（

）

A.$$(x^2-y^2)+(x-y)$$B.$$(x^2+x)-(y^2-y)$$C.$$(x^2-y^2+x)-y$$D.$$x^2-(y^2+x-y)$$5.分解因式$$a^2-2ab+b^2-c^2$$，结果正确的是（

）

A.$$(a-b)^2-c^2=(a-b+c)(a-b-c)$$B.$$(a^2-c^2)-(2ab-b^2)=(a+c)(a-c)-b(2a-b)$$C.$$(a^2-2ab)+(b^2-c^2)=a(a-2b)+(b-c)(b+c)$$D.$$(a-b-c)^2$$二、填空题（每小题3分，共15分）1.分组分解法：当多项式的项数多于3项时，将多项式______分组，使分组后每组都能______或______，再对整体提取公因式，最终将多项式分解为几个因式乘积的形式，叫做分组分解法。2.分解因式$$ax+ay+bx+by$$，分组后提取公因式得______；分解因式$$x^2-xy+x-y$$，结果为______。3.分解因式$$4a^2-b^2+2a-b$$，分组方式为______，最终结果为______。4.分解因式$$x^2-2x+1-y^2=\_\_\_\_\_\_$$；分解因式$$ab-ac+b-c=\_\_\_\_\_\_$$。5.分解因式$$m^2-n^2+2m+2n=\_\_\_\_\_\_$$；若$$x^2+ax+bx+ab$$分解因式为$$(x+a)(x+b)$$，则分组方式为______。三、解答题（共70分）1.（10分）判断下列分组分解因式的过程是否正确，若不正确，请指出错误并改正。

①$$ax+bx-ay-by=(ax+bx)-(ay+by)=x(a+b)-y(a+b)=(a+b)(x-y)$$；②$$x^2-4y^2+x-2y=(x^2-4y^2)+(x-2y)=(x+2y)(x-2y)+(x-2y)=(x-2y)(x+2y+1)$$；

③$$a^2-2ab+b^2-1=(a^2-2ab)+(b^2-1)=a(a-2b)+(b-1)(b+1)$$；

④$$2x^2+2xy-3x-3y=(2x^2+2xy)-(3x+3y)=2x(x+y)-3(x+y)=(x+y)(2x-3)$$；

⑤$$xy-x-y+1=(xy-x)-(y+1)=x(y-1)-(y+1)$$。

2.（15分）用分组分解法分解下列因式（需写出完整分组过程和运算步骤）。

（1）$$ax+bx+ay+by$$；（2）$$x^2-xy+x-y$$；（3）$$ab-ac+b-c$$；（4）$$m^2+mn+am+an$$；（5）$$2x^2+4x+x+2$$。

3.（15分）用分组分解法分解下列变式因式（需写出完整分组过程，可结合提公因式法、公式法）。

（1）$$x^2-y^2+x+y$$；（2）$$a^2-2ab+b^2-9$$；（3）$$4x^2-4x+1-y^2$$；（4）$$3x^2+6xy-3x-6y$$；（5）$$x^4-2x^3+x^2-1$$。

4.（15分）利用分组分解法解决下列问题（需写出完整运算步骤）。

（1）已知$$a+b=3$$，求$$a^2-b^2+2a+2b$$的值；（2）分解因式$$(x^2+2x)^2-(y^2+2y)^2$$；（3）分解因式$$x^2-4xy+4y^2-2x+4y$$；（4）已知$$ab=2$$，$$a+b=3$$，求$$a^2b+ab^2+a+b$$的值；（5）分解因式$$m^3-m^2n-mn^2+n^3$$。

5.（15分）应用题：一个长方形的面积可以表示为多项式$$x^2+5x+6$$平方厘米，另一个长方形的面积可以表示为多项式$$x^2+3x+2$$平方厘米，求两个长方形的面积差（结果用分组分解法分解因式，写出完整计算步骤）。参考答案提示：

一、1.D2.A3.A4.A5.A

二、15.适当，提取公因式，运用公式法16.$$(a+b)(x+y)$$，$$(x-y)(x+1)$$17.$$(4a^2-b^2)+(2a-b)$$，$$(2a-b)(2a+b+1)$$18.$$(x-1+y)(x-1-y)$$，$$(b-c)(a+1)$$19.$$(m+n)(m-n+2)$$，$$(x^2+ax)+(bx+ab)$$三、23.①正确；②正确；③不正确，分组不当，改正：$$(a^2-2ab+b^2)-1=(a-b)^2-1=(a-b+1)(a-b-1)$$；④正确；⑤不正确，分组不当，改正：$$(xy-x)-(y-1)=x(y-1)-(y-1)=(y-1)(x-1)$$24.（1）分组：$$(ax+bx)+(ay+by)$$，提取公因式：$$x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)$$；（2）分组：$$(x^2-xy)+(x-y)$$，提取公因式：$$x(x-y)+1(x-y)=(x-y)(x+1)$$；（3）分组：$$(ab-ac)+(b-c)$$，提取公因式：$$a(b-c)+1(b-c)=(b-c)(a+1)$$；（4）分组：$$(m^2+mn)+(am+an)$$，提取公因式：$$m(m+n)+a(m+n)=(m+n)(m+a)$$；（5）分组：$$(2x^2+4x)+(x+2)$$，提取公因式：$$2x(x+2)+1(x+2)=(x+2)(2x+1)$$25.（1）分组：$$(x^2-y^2)+(x+y)$$，用公式+提公因式：$$(x+y)(x-y)+(x+y)=(x+y)(x-y+1)$$；（2）分组：$$(a^2-2ab+b^2)-9$$，用公式+提公因式：$$(a-b)^2-3^2=(a-b+3)(a-b-3)$$；（3）分组：$$(4x^2-4x+1)-y^2$$，用公式+提公因式：$$(2x-1)^2-y^2=(2x-1+y)(2x-1-y)$$；（4）分组：$$(3x^2+6xy)-(3x+6y)$$，提公因式+再提公因式：$$3x(x+2y)-3(x+2y)=3(x+2y)(x-1)$$；（5）分组：$$(x^4-2x^3+x^2)-1$$，用公式+再用公式：$$x^2(x-1)^2-1=[x(x-1)+1][x(x-1)-1]=(x^2-x+1)(x^2-x-1)$$26.（1）分组分解：$$(a^2-b^2)+(2a+2b)=(a+b)(a-b)+2(a+b)=(a+b)(a-b+2)$$，代入得$$3(a-b+2)$$（或化简为$$3a-3b+6$$）；（2）用公式+分组分解：$$(x^2+2x+y^2+2y)(x^2+2x-y^2-2y)=[(x^2+2x)+(y^2+2y)][(x^2+2x)-(y^2+2y)]=(x+y)(x+y+2)(x-y)(x+y+2)$$；（3）分组分解：$$(x^2-4xy+4y^2)-(2x-4y)=(x-2y)^2-2(x-2y)=(x-2y)(x-2y-2)$$；（4）分组分解：$$(a^2b+ab^2)+(a+b)=ab(a+b)+(a+b)=(a+b)(ab+1)$$，代入得$$3\times(2+1)=9$$；（5）分组分解：$$(m^3-m^2n)-(mn^2-n^3)=m^2(m-n)-n^2(m-n)=(m-n)(m^2-n^2)=(m-n)^2(m+n)$$27.面积差：$$(x^2+5x+6)-(x^2+3x+2)=2x+4=2(x+2)$$；或分组分解原式后再求差：$$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$，$$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$$，面积差：$$(x+2)(x+3)-(x+1)(x+2)=(x+2)[(x+3)-(x+1)]=(x+2)\times2=2(x+2)$$平方厘米，即面积差为$$2(x+2)$$平方厘米

因式分解：思考：四项式

又如何分解？总结：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，再提取公因式，且分组没有固定格式.因式分解：法1

原式法2

原式

利用分组法因式分解1小结：分组后再用公式法.例1

分解因式：解：

典例精析解：

方法总结：因式分解有时需先分组，再利用提公因式法或公式法进行分解.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止.分解因式：a2－4b2－a－2b.针对训练＝(a＋2b)(a－2b－1).解：原式＝(a2－4b2)－(a＋2b)＝(a＋2b)(a－2b)－(a＋2b)你会把

x2+4x+3分解因式吗？完全平方公式x2+4x+4－14－1平方差公式合作探究分析：方法一

x2+4x+3=

(x2+4x+4)－1=

(x+2)2－1=

(x+2

+1)(x+2－1)=

(x+3)(x+1)你会把

x2+4x+3分解因式吗？分析：拆分成

3x+xx2+3x+x+3→提取公因式方法二

x2+4x+3=

x2+3x+x+3=

x(x+3)+(x+3)=

(x+3)(x+1)还有其他方法吗？分析：你会把x2+4x+3分解因式吗？多项式乘法法则：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

由等式性质可得：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)

(1+3)x

(1×3)方法三

x2+4x+3=

x2+(1+3)x+1×3=

(x+3)(x+1)例3

把下列各式分解因式：(1)

3ax2+6axy+3ay2；

(2)(a+b)2

-

12(a+b)+36.解：(1)原式

=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.分析：(1)中有公因式

3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将

a+b看成一个整体，则原式也是一个完全平方式.(2)原式

=(a+b)2

-

2(a+

b)·6+62

=(a+b-

6)2.选择合适的方法因式分解2因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.针对训练＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)＝－3a2(x－4)2.(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2＝(a＋2)2(a－2)2.有公因式的要先提公因式要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解多项式分解因式的一般思路：1.如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；2.如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；3.