线段的垂直平分线课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册

1.4线段的垂直平分线

第1课时线段的垂直平分线(一)1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离

。符号语言:如图,∵PO垂直平分AB,∴PA=PB。2.到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的

上。

符号语言:如图,∵PA=PB,∴点P在AB垂直平分线上。注:线段的垂直平分线可以看成是与A,B两点的距离相等的点的集合。相等垂直平分线

如图所示,在△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,垂足分别为M,N。(1)若△ADE的周长为16,求BC的长;解:(1)∵DM和EN分别为AB,AC的垂直平分线,∴AD=BD,EA=EC。∵△ADE的周长为16,∴AD+DE+EA=16,∴BD+DE+EC=16,即BC=16。(2)若∠BAC=108°,求∠DAE的度数。(2)∵AD=BD,EA=EC,∴∠B=∠BAD,∠C=∠EAC。∵∠BAC=108°,∴∠B+∠C=180°-∠BAC=72°,∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=72°,∴∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠CAE)=36°。1.如图,在△ABC中,∠BAC=80°,如果MP和NO分别垂直平分AB和AC,那么∠PAO的度数为

。20°2.(2025·成都七中)在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D为AC上一点,DE⊥AB于点E。(1)如图1,若E为AB中点时,求证:AD=2CD;(1)证明:如图1,连接BD,∵DE⊥AB,E为AB中点,∴AD=BD,∴∠ABD=∠A=30°。∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,∴∠DBC=30°,∴BD=2CD,∴AD=2CD。(2)如图2,若CD=2,DE=1,求△ABC的面积。

“风筝飞满天,笑语乐无边”,由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形——筝形。如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫作筝形。初步认识筝形后,数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质,小明观察后认为AC垂直平分BD,请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质。已知:在四边形(筝形)ABCD中,

,

。

求证:

。

(请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成,并完成后续相应证明过程)证明:∵AB=AD,CB=CD,∴点A,C均在线段BD的垂直平分线上,∴AC垂直平分BD。AB=AD

CB=CD

AC垂直平分BD

3.如图,AB=AC,PB=PC,有下列结论:①EB=EC;②AD⊥BC;③AE平分∠BEC;④∠PBC=∠PCB。其中正确结论的个数为(

)A.1个B.2个C.3个 D.4个D4.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,E为AD上一点,求证:∠ABE=∠ACE。证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,即BD=CD,∴∠ABC=∠ACB,AD⊥BC,∴AD是BC的垂直平分线,∴BE=CE。∴∠EBC=∠ECB。∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB,即∠ABE=∠ACE。第2课时线段的垂直平分线(二)1.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离

。

注:锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形内部;直角三角形三条边的垂直平分线的交点在斜边中点;钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形外部。2.尺规作图(1)作已知线段的垂直平分线:相等(2)过一点作已知直线的垂线:已知点P在直线上时,如图1所示;已知点P在直线外时,如图2所示。(1)如图1,点P为△ABC三边垂直平分线的交点。若∠PAC=20°,∠PCB=30°,则∠PAB=

;

(2)如图2,在△ABC中,点O是边AB和AC的垂直平分线OD,OE的交点。若∠BOC=100°,则这两条垂直平分线相交所成锐角α的度数为

。40°50°1.如图是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭,要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等,凉亭应选的位置是(

)A.△ABC三条中线的交点B.△ABC三条角平分线的交点C.△ABC三边的垂直平分线的交点D.△ABC三条高所在直线的交点C2.如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP。若∠A=48°,则∠BPC=(

)A.100° B.96° C.90° D.50°B

已知三个汽车修理厂A,B,C的位置如图,现要建一个加油站,使加油站到三个汽车修理厂的距离相等,该加油站应建在何处?(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)解:分别作线段AB,BC的垂直平分线,两条垂直平分线相交于点P,则点P即为加油站的位置,如答案图。

164.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的平分线交BC于点D。(1)尺规作图:作AD的垂直平