天津和平区2025-2026学年度高三年级一模数学+答案

第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，时间120分钟。

第I卷(选择题共45分)

监测注意事项：

1.答第I卷前，务必将自己的姓名、准考证号涂在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦净后，再选涂其他答案标号。

3.本卷共9小题，每小题5分，共45分。

参考公式：

·锥体的体积公式其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.

·柱体的体积公式V柱=Sh,其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.

·如果事件A、B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B).

·如果事件A、B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).

·任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).

一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

(1)已知集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-2},则C(AUB)=

(A){x|x>1}(B){x|x>1}(C){x|x≥-2}(D){x|x<-2}

(2)“a=2”是“函数f(x)=|x-a|在区间(-∞0,2)上为减函数”的

(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件

(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件

(3)已知函数是偶函数，则实数a=

(A)-1(B)(C)1(D)2

(4)已知下列三个命题：

①数据-2,-1,2,3,5,9的第60百分位数为3;

②若随机变量X服从二项分布,则

③若随机变量X服从正态分布N(2,σ²),且P(x>1)=0.8,则P(1<x<3)=0.3;

其中真命题的序号是

(A)①②(B)②③(C)①③(D)①②③

高三年级数学试卷第1页(共4页)

(5)若b=In11-1n10,,则a,b,c的大小关系为

(A)a<b<c(B)c<b<a(C)b<c<a(D)c<a<b

(6)在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M为BC的中点，则以下结论错误的是

(A)AM//面A₁B₁C₁(B)A₁M⊥BC

(C)AC//面AB₁M(D)BC₁⊥平面A₁B₁C

(7)已知双曲线(的上，下焦点分别为F₂,F₁,抛物线x²=4√3y

的准线I过点F,且1与C的一条渐近线交于点A,若直线AF₂的斜率为-√3,则双曲线

C的方程为

(A)(B)(C)(D)

(8)已知n∈N,各项均为正数的数列{an}的前n项和为S。,数列{S}的前n项积为G,

且,则a₆=

(A)(B)(C)(D)

(9)已知函数f(x)=cos(ax+4)(w>0,|φ|<π)的导函数y=f'(x)的部分图象如下图，记

h(x)=f(x)·f'(x),则函数h(x)在区间上的值域为

(A)(B)

(C)(D)[-√3,1]

第Ⅱ卷(非选择题共105分)

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2.本卷共11小题，共105分。

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个

的给3分，全部答对的给5分)

(10)i为虚数单位，复数的共轭复数为

(11)在的展开式中，的系数为..(用数字作答)

高三年级数学试卷第2页(共4页)

(12)已知圆x²+y²=8上到直线y=x+m的距离为√2的点有且仅有4个，则实数m

的取值范围为_

(13)甲、乙两队参加知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，

答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为4,

且各人正确与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分，则随机变量ξ的数学期望

为_;用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队

总得分大于乙队总得分”这一事件，则P(AB)=

(14)已知梯形ABCD面积为6√3,AB=3DC,E为DC上靠近点C

的四等分点，G为线段BE上一点，且满足(λ∈R),则λ=

|AG的最小值为

(15)已知(b∈R).若存在实数a,满足有且仅有三个不同的实数

b₁,b₂,b₃使得下列关于x的方程ab+bf(x)=|b²-3b|+1在b等于b,b₂,b₃时均无解，则a的

取值范围是

三、解答题(本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

(16)(本小题满分14分)

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

(I)求cosB的值；

(Ⅱ)已知acosC=ccosA.

(i)若△ABC的外接圆半径为√6b=4a,求b,c的值；

(ii)求的值.

(17)(本小题满分15分)

在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是平行四边形，且AB=2AD=4,

DD₁=2√3,AD⊥BD,Q,H分别为AA₁,D₁B的中点.

(I)求直线QH与平面HBC所成角的正弦值；

(Ⅱ)求平面QBH与平面HBC的夹角的余弦值；

(Ⅲ)求三棱锥Q-HBC的体积V.

高三年级数学试卷第3页(共4页)

(18)(本小题满分15分)

已知椭圆的离心率为,短轴长为4.

(I)求椭圆的方程；

(Ⅱ)过点(0,1)的直线l与椭圆交于M,N两点，若点P(-4,0),且点M关于x轴

的对称点在直线PN上，求直线l的方程.

(19)(本小题满分15分)

已知n∈N',等比数列{an}的前n项和为,正项等差数列{bn}的首项为5,

且b₁,b₃-1,b₆成等比数列.

(I)求数列{an}与数列{b,}的通项公式；

(Ⅱ)设pn=(b,-3n)·3”,(i,j∈N).求证:若m,r,s,t∈N',

满足m≤r,s≤t,且有序实数对(m,r)≠(s,t),则Tm≠T.

,求集合H的所有元素之和M.

(Ⅲ)设A={1,2,…n},H={=|a,-a|i,j∈A},

(20)(本小题满分16分)

已知函数h(x)=mlnx+e⁻×,(m∈R).

(I)若函数h(x)为增函数，求m的取值范围；

(Ⅱ)已知实数p,q∈(0,+∞),且p<q.

(i)证明：p(eP+¹-e+)>eP+9(p-q);

(ii)若p与q是函数h(x)的两个极值点，证明：0<h(p)-h(q)<1.

高三年级数学试卷第4页(共4页)

和平区2025-2026学年度高三年级第一次质量检测

数学参考答案及评分标准

一、选择题

(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)

BACABDDCB

二、填空题、

(10)2+i(11)(12)(-2,2)

(13)(14)(15)

三、解答题

(16)

解：(I)由余弦定

(Ⅱ)由正弦定,已知acosC=ccosA可变形为sinAcosC-sinCcosA=0,

即sin(A-C)=0,所以A=C,a=c.

(i)由B∈(0,π),由△ABC的外接圆半径为

由正弦定,故b=4,,故c=a=√6.

(ii)由A+B+C=π可知B=π-2A,9

所以，

(17)

解：由AD⊥BD,直四棱柱ABCD-AB₁C₁D₁,有DD₁⊥平面ABCD,故以点D为原点，

DA,DB,DD₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如下图所示的空间直角坐标系.易知

高三年级数学答案第1页(共5页)

D(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2√3,0),C(-2,2√3,0),D₁(0,0,2√3),A₁(2,0,2√3),由Q,H

分别为AĄ,D₁B的中点，故Q(2,0,√3)H(0,√3,√3).-

(I)易知QH=(-2,√3,0),BH=(0,-√3,√3),BC=(-2,0,0)

设平面HBC的法向量为n=(x,y,z),

则令y=1,则n₁=(0,1,1),-

设直线QH与平面HBC所成角为θ,

则直线QH与平面HBC所成角的正弦值为

(Ⅱ)设平面QBH的法向量为4

则令x=√3,则n2=(√3,2,2),

设平面QBH与平面HBC的夹角为θ₂,

则平面QBH与平面HBC的夹角的余弦值为

(Ⅲ)设点Ω到平面HBC的距离为d,

由BC·BH=0,有BC⊥BH,

高三年级数学答案第2页(共5页)

(18)

解：(I)依题意又a²+b²=c²,解得故椭圆方程为1.-5分

(Ⅱ)直线1斜率不存在时，直线1的方程为x=0,满足题意.-

直线I斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1,点M(x₁,y),点N(x₂,y₂),联立

整理得(3k²+2)x²+6kx-9=0,

直线PM的斜率为,直线PN的斜率为,由题意有kpM+kpN=0,

即,即,整理得2kx₁xz+(4k+1)(x₁+x2)+8=0,

故解得直线I的方程为

综上，直线1的方程为x=0或2x-3y+3=0.-

(19)

解：(I)设等比数列公比为q,a=S₁=3,a₂=S₂-S₁=9,,故an=3”.

设等差数列公差为d,b₁=5,b₃-1=4+2d,b₆=5+5d,由已知有(4+2d)²=5(5+5d),

解得4d²-9d-9=0,即(d-3)(4d+3)=0,则d=3或(舍),

则bn=b₁+(n-1)d=3n+2

(Ⅱ)证明：不妨先设m<r,s<t,Pn=2·3”,

,可知m=r,s=t时也成立，

假设Tm=T,即3”(3”-m+¹-1)=3³(3-s+¹-1)成立，

若m≠s,不妨设m<s,则3”(3'-m+¹-1)=35(3-s+1-1)等价于3-m+¹-1=35-"(3'-s+¹-1),

因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾，

所以假设不成立，此时Tm≠.T₁.同理m>s时，Tm≠Tπ;

高三年级数学答案第3页(共5页)

若m=s,则r≠t,不妨设r>t,因为pn=2·3”>0,Vn∈N,故

Tmr=(Pm+Pm+1+…+P₁)+P+1…+Pr=(P₅+Ps+1+…+P₁)+P+…+Pr

=T+P₁+1…+p,>T₃.同理r<t时，Tm<T₃.

综上当(m,r)≠(s,t)时，Tm²≠T,-

(Ⅲ)先证取不同的i,j,a-a的值各不相同，不妨设i>j≥1,

所以|a-a|=a-a,=(a-a-1)+(a-1-a-2)+…+(a+-a),

而a-a-1=3'-3⁻¹=2·3⁻¹=P-1,

所以a-a,=(q-a₋1)+(a-1-a1-2)+…+(a+1-a)=P₁-1+Pi-2+…+pj=T₁(-1)'

由(Ⅱ)可知，对不同的i,j取值，Tu-1)均不相同.

故M=(an-a₁)+(an-a2)+…+(an-an-1)+(an-1-a)+…+(a₂-a₁).

考虑M中含有n-1个an,n-3个an-1,n-5个an-2,……,

因此M=(n-1)an+(n-3)an-1+…+(1-n)a.

法(一)

M=(1-n)×3+(3-n)×3²+(5-n)×3³+…+(n-1)×3”,

3M=(1-n)×3²+(3-n)×3³+……+(n-3)×3”+(n-1)×37+¹,两式做差有

-2M=3×(1-n)+2×(3²+3³+…+3”)-(n-1)×37+1

所以，

法(二)

3Rₙ=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3"+¹,两式作差，

所以，

所以，

高三年级数学答案第4页(共5页)

(20)(

解：(I)

由h(x)为增函数，(x>0),整理有对任意x>0成立.

,则令φ'(x)>0,解得0<x<1;令φ'(x)<0,

解得x>1,则有φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，

,所以m的取值范围

(Ⅱ)(i)要证p(