初中数学八年级下册：分式的乘除运算预习学案设计与实施

初中数学八年级下册：分式的乘除运算预习学案设计与实施

一、设计理念与依据

本预习学案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于发展学生的数学核心素养，特别是数学运算能力和抽象思维能力。设计聚焦于分式乘除运算这一关键节点，承前启后，既是对分数乘除运算与整式乘除运算的深化与迁移，又是后续学习分式加减、分式方程及函数关系的重要基石。

预习阶段不再是传统意义上的“提前看书做题”，而是转变为一种结构化、引导性、探究式的学习初始环节。本设计强调“先学后教，以学定教”的翻转课堂理念，通过精心设计的预习任务，引导学生主动建构分式乘除运算的法则，并理解其算理，为课堂上的深度对话、难点辨析与能力升华奠定坚实基础。设计融入跨学科视角，关注数学与物理、化学等学科在表达比例关系、解决实际问题时的共通模型，培养学生的模型观念与应用意识。

二、预习目标

1.知识与技能：

1.2.借助具体例子，类比分数乘除法的运算法则，自主归纳、表述分式乘除法的运算法则。

2.3.能准确运用分式乘除法则进行简单的分式乘除运算（分子、分母为单项式），并理解运算结果应化为最简分式或整式的要求。

3.4.初步了解分式乘方的意义及其与乘除运算的混合运算顺序。

5.过程与方法：

1.6.经历“观察—猜想—验证—归纳”的数学探究过程，体会类比、从特殊到一般、转化等数学思想方法。

2.7.通过完成结构化预习任务，提升自主阅读教材、提取关键信息、提出问题的能力。

3.8.尝试运用符号运算解决简单的跨学科情境问题，感受数学的工具性价值。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在自主探究中获得成功的体验，增强学习数学的信心。

2.11.初步养成严谨、规范的数学表达习惯。

3.12.感知数学内部（数与式）的统一性以及数学与外部的联系。

三、设计思路与结构

本预习学案采用“三阶递进”结构：

1.第一阶：情境感知与回顾关联。通过现实情境与已有知识（分数运算、整式运算）的激活，为新知学习搭建“脚手架”。

2.第二阶：核心探究与法则建构。这是预习的核心环节，通过引导性问题链，驱动学生自主推导、归纳分式的乘法法则和除法法则，并完成初步的符号化表述与简单应用。

3.第三阶：综合尝试与疑问生成。设置层次分明的巩固性练习和稍有挑战的综合性任务，帮助学生自我检测预习效果，并鼓励他们发现、记录困惑点，生成课堂学习的新起点。

学案嵌入了微课导读、思维导图构建指导、自我评价量表等工具，支持学生的个性化预习路径。

四、预习任务实施环节

（一）预习准备与知识唤醒（预计时间：15分钟）

任务一：记忆回廊——从分数到分式

1.请回顾并准确写出分数乘法和除法的运算法则。

1.2.乘法：$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=$______

2.3.除法：$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=$______（其中$b,d,c\neq0$）

4.计算下列分数运算，并总结运算的关键步骤：

1.5.$\frac{2}{3}\times\frac{9}{4}$

2.6.$\frac{5}{6}\div\frac{10}{3}$

3.7.关键步骤提示：先______，然后______，结果要______。

8.整式乘除运算回顾：

1.9.$3ab^2\cdot(-2a^2b)=$______

2.10.$12x^3y^2\div(4xy)=$______

11.分式概念确认：请写出三个形式为$\frac{A}{B}$（其中$A,B$为整式，且$B$中含有字母）的分式例子，并标出它们的分子和分母。

1.12.例子1：，分子：，分母：______。

2.13.例子2：，分子：，分母：______。

3.14.例子3：，分子：，分母：______。

（微课导读1：时长约3分钟）

画面提示：动画展示分数运算与分式形式上的对比。

讲解词：“同学你好，分数与分式有着惊人的相似结构。分数的分子分母是整数，分式的分子分母是整式。整数运算的律法，很多可以‘迁移’到整式运算中。那么，分数运算的法则，是否也能‘迁移’到分式运算呢？让我们带着这个核心猜想，开始今天的探索之旅。”

（二）核心法则探究与建构（预计时间：30分钟）

任务二：法则诞生——分式的乘法

1.问题情境：一个长方形试验田，长为$\frac{a}{b}$千米，宽为$\frac{c}{d}$千米（$b,d\neq0$）。其面积如何用代数式表示？

1.2.面积=______×______=______。

3.类比猜想：对比分数乘法法则，你认为分式$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}$应该等于什么？请写出你的猜想。

1.4.猜想：$\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=$______

5.验证你的猜想：让我们赋予字母具体的整式。

1.6.例1：设$a=2x,b=3,c=5y,d=7$（此时分式实为分数，用于建立信心）。计算$\frac{2x}{3}\cdot\frac{5y}{7}$。

按你的猜想计算：______=______。

按数字运算规则计算：$\frac{2x}{3}\cdot\frac{5y}{7}=\frac{(2x)\times(5y)}{3\times7}=$。结论：。

2.7.例2：设$a=m,b=n,c=p,d=q$（$n,q\neq0$）。$\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}=$______。（直接写出）

3.8.例3：设$a=2x,b=y,c=3y^2,d=4x^2$。$\frac{2x}{y}\cdot\frac{3y^2}{4x^2}=$______。

计算过程（展示约分步骤）：

$\frac{2x}{y}\cdot\frac{3y^2}{4x^2}=\frac{2x\cdot3y^2}{y\cdot4x^2}=\frac{6xy^2}{4x^2y}=$______（约分后）=______。

9.归纳法则：请用最准确、简洁的数学语言描述分式乘法法则。

分式乘法法则：分式相乘，把分子相乘的积作为积的______，把分母相乘的积作为积的______。用式子表示为：$\frac{A}{B}\cdot\frac{C}{D}=$______（其中______）。

运算要领：在运算过程中，可以先______，再进行乘法运算，使运算简化。最终结果必须化为______或______。

任务三：转化之道——分式的除法

1.回顾联系：分数的除法是如何转化为乘法的？其依据是什么？

1.2.转化方法：______。

2.3.依据：______。

4.大胆迁移：根据上述经验，你认为分式$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}$（$b,c,d\neq0$）可以怎样转化为乘法？请写出转化后的算式。

1.5.转化：$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot$______=______。

6.验证与理解：

1.7.例：计算$\frac{3m}{2n}\div\frac{6m^2}{5n}$。

解法一（转化为乘法）：$\frac{3m}{2n}\div\frac{6m^2}{5n}=\frac{3m}{2n}\cdot$______=______=______（约分后）=______。

解法二（利用除法本质）：$\frac{3m}{2n}\div\frac{6m^2}{5n}=\frac{\frac{3m}{2n}}{\frac{6m^2}{5n}}=\frac{3m}{2n}\times\frac{5n}{6m^2}=$______。与解法一结果一致。

思考

：解法二中，将两个分式的比写成分式线后，相当于用$\frac{3m}{2n}$除以$\frac{6m^2}{5n}$，根据“除以一个数等于乘以它的倒数”，本质上与解法一相同。

8.归纳法则：请用最准确、简洁的数学语言描述分式除法法则。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子和分母______后，再与被除式______。用式子表示为：$\frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\cdot$______=______（其中______）。

（思维导图构建指导）

请在下方空白处或用单独纸张，绘制“分式乘除运算”的核心知识图。中心主题为“分式乘除”，一级分支至少包括：法则（乘法、除法）、算理依据、运算步骤、注意事项、与分数运算的联系。你可以用关键词、图形和简单的例子来丰富它。

（三）基础应用与巩固（预计时间：20分钟）

任务四：小试牛刀——法则的直接应用

计算下列各式（要求写出关键步骤，并将结果化为最简形式）：

1.$\frac{4x}{3y}\cdot\frac{9y^2}{2x^2}$

1.2.我的解答：

2.3.步骤提示：先确定符号，分子相乘、分母相乘，然后约去公因式。

4.$\frac{ab^2}{2c^3}\div\frac{5a^2b}{4c}$

1.5.我的解答：

2.6.步骤提示：将除法转化为乘法（除式分子分母颠倒），再按乘法法则计算。

7.$(-3xy)\div\frac{2y^2}{3x}$

1.8.我的解答：

2.9.思考：整式可以看作分母为____的分式。故$(-3xy)=\frac{-3xy}{1}$。

10.$\frac{x^2-1}{x+2}\cdot\frac{4}{x-1}$

1.11.我的解答：

2.12.新情况提醒：分子$x^2-1$是一个多项式，它是______式。在相乘前，可以尝试对其进行______，看能否与分母进行约分。

（自我检查站）

完成以上计算后，请对照以下问题检查：

1.我是否将所有除法运算都正确地转化成了乘法？

2.在相乘前，我是否观察了分子分母，尝试了先分解因式再约分？

3.我的最终结果是否已经是最简分式或整式？

4.我是否注意了运算结果的符号？

（四）拓展思考与疑问生成（预计时间：25分钟）

任务五：更上一层楼——挑战与综合

1.混合运算初探：计算$\frac{2a}{b}\cdot(\frac{b}{2a})^2\div\frac{1}{a}$。

1.2.分析：本题包含______、、三种运算。运算顺序是：先算，再算，最后算______。

2.3.我的解答：

4.简单实际应用：

1.5.物理情境：速度$v=\frac{s}{t}$（路程除以时间）。若某物体以速度$\frac{a}{b}$米/秒匀速运动$\frac{c}{d}$秒，则它通过的路程$s=$______×______=______。

2.6.化学情境：溶液中溶质的质量分数$w=\frac{m_{\{质}}}{m_{\{液}}}$。现有$x$克质量分数为$\frac{p}{q}$的某溶液，其中含溶质______克。若将其蒸发掉$y$克水（假设无溶质析出），则新溶液的质量分数为______÷______=______。

3.7.请尝试：从物理、化学、生物或地理课本中，再找出一个可以用分式乘除模型描述的关系，并写下来。

8.探索与发现：观察下列计算过程，你能总结出分式乘方的规律吗？

1.9.$(\frac{a}{b})^2=\frac{a}{b}\cdot\frac{a}{b}=\frac{a\cdota}{b\cdotb}=$______。

2.10.$(\frac{a}{b})^3=$______=______。

3.11.猜想：$(\frac{A}{B})^n=$______（$n$为正整数）。

4.12.验证：利用乘方的意义和分式乘法法则证明你的猜想。

任务六：我的疑问与期待

预习过程中，我产生的主要疑问和希望课堂上重点探讨的问题有：（请至少提出两个问题）

1.法则理解类：例：当分子或分母是多项式时，如何更有效地进行因式分解和约分？约分时需要注意哪些陷阱？

1.2.我的问题：______

3.运算技巧类：例：在复杂的乘除混合运算中，如何确定最优的运算顺序？有没有通用的简化策略？

1.4.我的问题：______

5.应用延伸类：例：分式乘除运算在解决更复杂的实际问题（如工程问题、浓度变化问题）中，如何准确建立数学模型？

1.6.我的问题：______

五、预习成果评价与课堂衔接

预习自我评价量表（请在预习后如实勾选）

评价维度

评价等级与标准

自评

目标达成度

A.优秀：能独立归纳法则，准确完成基础应用和大部分挑战题。

□

B.良好：能理解法则推导过程，基本完成基础应用，挑战题有思路。

□

C.达标：能看懂法则，在提示下完成基础应用。

□

D.待努力：对法则理解有困难，基础应用完成度低。

□

过程与方法

A.优秀：熟练运用类比、转化思想，主动构建知识图，预习步骤清晰。

□

B.良好：能跟着学案引导思考，尝试使用思想方法，有梳理知识的意识