2025-2026学年北京市平谷区高二（上期）期末考试数学试卷（含答案）

2026北京平谷高二（上）期末

数学

2026.1

注意事项:

1.本样卷共4页，包括两部分，满分150分，考试时间120分钟.

2.在答题卡上准确填写学校名称、班级和姓名.

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在样卷上作答无效.

4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.

5.考试结束，请将答题卡交回.

第I卷选择题（共40分）

一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，区有一个选

项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）

1.直线/经过点尸⑵8）和。（aT,则直线的斜率左=（）

A.—6B.-----C.----D.—2

62

2.抛物线y2=8x的焦点坐标

A.（⑫）B.（X?,）C.（4?,）D.（0?,）

3.己知数列｛〃/满足4=1,%+a，那么其前4项和S,等于（）

A.7B.10C.14D.15

4.若直线3x+4y+左=0与圆/+丁―6工+5=0相切，则女的值等于（）

A.1或一19B.10或一10C.-1或一19D.-1

5.“a=]”是“直线x+ay+1=0和（a+l）x+2y-2=0平行”的I）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.双曲线彳一方=1（。＞0力＞0）的一条渐近线方程为），二]工，则双曲线的离心率”（）

A石R-C6n2

A.o•------YJ•

2422

7.已知直线/：去一），一4二。与圆C：/+）,2一（+2），-1=。相交于A、8两点，则弦长最短

时直线/方程为（）

1111cccc

A.y=—x——B.y=——x+—C.y=2x-2D.y=-2x+2

2222

8.在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体A3CO砂为“刍（chiD薨（mCng）”.若底面

ABC。是边长为4的正方形，EFUAB,VAQE和VBb是等腰三角形，ZAED=/BFC=90。,且

平面F8C和平面AOE与平面ABCD所成角均为三，则多面体A8CO砂所有棱长之和为（）

4

EF

AB

A.18+6&B.18+872C.20+8&D・2（）+6&

9.已知等比数列｛q｝的前〃项和为S“，前〃项积为，，若首项为一生＜/＜（），则（）

A.S〃和7；既有最大值，又有最小值B.S.有最小值，7；无最大值

C.S”无最大值，，无最小值D.S“无最小值.（有最小值

10.某文创公司设计了一款纪念徽章，其平面轮廓曲线方程为：4|x—M+f+）/=24（单位：厘米），关

于该徽章的轮廓曲线分析正确的是（）

A.没有对称性B.徽章轮廓是一个圆

3?

C.最远的两点距离为46厘米D.平面面积是:兀平方厘米

第n卷非选择题（共no分）

二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

11.过点（-1,2）且与直线x+2），-1=0垂直的直线/的方程是.

12.已知抛物线V=4上上一点/，到准线的距离为6,贝ij|OP|=.

13.在棱长为1的正方体ABC。-44GR中，E为8。中点，则点E到平面的距离为

14.在VA8C中，ZA=45°,ZB=75°,c=2,则此三角形的最短边的长度是_________.

15.已知数列｛q｝的各项均为正数，其前〃项和5“满足％（S,-l）=2（〃eN"），给出下列四个结论:

①电=1；

②｛4｝为等比数列；

③数列｛q｝中存在大于2的项；

④数列｛%｝中无最小项.

其中所有正确结论的序号为.

三、解答题（本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16.已知圆C的圆心在。轴上,且经过点4（2,1）,8（0,3）.

（1）求圆C的标准方程；

（2）若圆C与直线%交于两点£,F，求尸的面积.

17.已知数列｛凡｝的前〃项和S.二2〃「l,等差数列｛〃｝满足"=%,%=%.

（1）求数列｛%｝,｛〃｝的通项公式；

（2）设数列也｝前〃项和为小求二的最大值.

18.如图，在三棱锥V—48C中，平面以C_L平面ABC,AB=BC=\,AC=VC=6,VA=2,

E是AB的中点，尸在V8上，且EF//平面0IC.

（1）求证：A8J_平面V8C；

（2）求证：产为V8的中点；

（3）求直线V8与平面ER7所成角的正弦值.

19.为提高学生的文化素养、兴趣爱好和整体的幸福感，某校图节馆对学生的借阅类别进行调直，从而优

先选择增加相应类别的数量.现从全校学生中采用分层抽样抽出150名学生进行借阅类别调查，调查结果如

下表：

高一高:高三

选择不选择选择不选择选择不选择

参考、工具类204025253010

文学类303030202515

自然、科学类402040102317

假设所有学生的选择相互独立，用频率估计概率

（1）假设全校共有1500名学生，根据样本数据估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数：

（2）分别从高一、高二、高三三个年级中各随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍

的概率；

（3）记样本中高三学生选择三类书籍的频率依次为为，x2,g，其方差为s：；样本中高三学生不选择三

类书籍的频率依次为H，%，为，其方差为门•写出I与门的大小关系.（结论不要求证明）

22

20.已知椭圆C：j+｝=l（4">0）的短半轴长为G，离心率为g.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设斜率为的直线/过左焦点，且与椭圆C交于朋、N两点，线段MN的垂直平分线交）’

轴于点尸，是否存在女，使得为等腰直角三角形，若有，求直线/方程；若没有，说明理由.

21.定义：对于数列｛%｝，若存在正整数A，使得对任意〃eN"都有%+火+4一.=24，（约定〃一Z40

时，4T=4-〃），则称｛。〃｝为“攵一对称等差数列”.

（1）已知数列｛%｝是“1一对称等差数列"，且q=l,%=3,求生，%的值，并写出数列｛q｝的一

个通项公式.

（2）若数列｛〃｝是“2-对称等差数列"，证明：｛&”｝与｛4R｝均是等差数列；

（3）设数列｛%｝是'"一对称等差数列"，且数列｛。加的前2A+I项和演八1=2/+3攵+1,求

GG+D+I的解析式.

参考答案

第I卷选择题（共40分）

一、选择题（本大题共10题，每题4分，共40分；在每题给出的四个选项中，区有一个选

项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）

题号12345678910

答案ABCAACBDAC

第n卷非选择题（共no分）

二、填空题（本大题共5题，每题5分，共25分，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）

11.【答案】2x-y+4=0

【分析】根据两直线垂直可得直线/的斜率为2,再由直线的点斜式方程可得结果.

【详解】易知直线犬+2>-1=0的斜率为一；,

由两直线垂直可知直线/的斜率为2,又直线过点（-1,2）,

所以直线/的方程是y-2=2（x+l）,即2.t-y+4=0.

故答案为：2x-y+4=0

12.【答案】3百

【分析］先求抛物线的准线方程，设点P的坐标为（毛,％），由条件列方程求为，再求）'°，利用两点距离

公式求结论即可.

【详解】抛物线丁=4丫的准线为x=—1,设点。的坐林为（垢,/）,

由抛物线丁=4x上的点P到准线的距离为6,可得6=%+1,解得%=5.

由y；=4/=4x5=20,

所以为=±2石，

所以|。"=收+必=,25+2（）=3&，即|。耳二3石，

故答案为：3不

13.【答案】立

2

【分析】建立坐标系，利用点面距的向量求解公式可得答案.

【详解】以。为坐标原点，D4,DC,OR所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则

1,0）,A（l,0,0）,片（1,1,1）,R（0,0,1）,EA=（g,-l,0）.AB|=（（M1）,BQ=（—l,T0）；设平面

AB]D]的一个法向量为〃=（x,y,z）,

AB.•/?=0y+z=0/、

则<.=>㈠-二。’令A'可得〃=（I』），

BQ1•n=。

；+1

EAn一直

设点E到平面的距离为d,则〃=

~2

故答案为：B

【分析】由NA=45。，/8=75。求出NC,判断得到。为最短边，利用正弦定理求出〃的值即可.

【详解】在VABC中，・・・ZA=45。，NB=75。，.•.NC=60"故。为最短边,

得"二22#

又c=2,由正弦定理,解得〃=

,sin45°sin60°~T~

故答案为：还.

3

15.【答案】①④

【分析】令〃=1和〃=2可判断①；令〃=3求出生结合等比数列定义可判断②；利用％和S”的关系得

出“"T=5方（〃22，〃EN,）,然后利用数列｛qj的各项均为正数可判断③；利用数列的单调性可判断

④.

【详解】令〃=1可得4（4-1）=2,解得q=2或—1（舍去），

令〃=2可得％区-1）=2,即%（6+2-1）=2,解得。2印或一2（舍去），故①正确；

令〃=3可得％（S3-1）=2，即%（4+2+1—1）=2,解得eq=—1+或—1一（舍去）,

,所以｛«,｝不是等比数列，故②错误;

生4

29

由〃〃(5；-1)=2(〃£>1，可变形为5”一1二一),5„.1-1=-一(/?>2,eN),

anan-\

22

—(/?>2,7?GN<),整理可得%一

两式相减得。“二一2-。八

a..>1-1

由5寸〉。可得0<%<J5（〃N2,〃GN）结合4=2可知数列｛%｝中不存在大于2的项，故③错

误；

222（a,-a）、

由〃〃=--------可得q~”n>（）,所以巴（。,1，所以数列｛（4｝单调递减无最小项.故④正

44"

确.

故答案为：①④

三、解答题（本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

16•【答案】【小问1详解】

因为圆。的圆心在）'轴上，

所以设圆心为。（0力），半径为

4+(1-/”2

\CA\2=r2b=\

则｛，即｛,解得《

|CB|2=r2(3叫2=产r=2

所以圆。的圆心为（0,1）,半径为2，

即圆C的标准方程为x2+（y-l）2=4；

【小问2详解】

设圆心C与直线）'=工的距离为d,

则八舁二立，

VPTF2

所以怛可=2/2_『=2x/—；二后,

所以SMLIEFIY/ULXEX正二五.

-211222

17.【答案】【小问1详解】

因为S〃=2a〃—1,所以当〃22时，S.T=24T—1,

两式作差得，an=2（4即a”=24T，

当〃=1时，，=q=2〃]-1,得q=1¥°,

则由以上递推关系可知为工0,故2=2,

%-1

故数列｛q｝是以1为首项，2为公比的等比数列，故勺=2"T；

5

设等差数列｛〃〃｝的公差为4,因为2=%=2,=64,b9=tz6=2=32,

.,Z?—432—6432

所KC以Id=，9--=------=---=-4,所以b“二瓦+（〃一l）d=64—4（«-1）=68—4/i.

888

【小问2详解】

由（1）可知：4=64也=68—4〃,

rl,〃（64+68—4〃）？“（33?1089

贝（JTtl=-------------=-2n~+66/7=-2n~2）+~T

当〃=16或〃=17时，7；取至I」最大值为（6=-2x16?+66x16=544.

18.【答案】【小问1详解】

因为例=2,AC=VC=0.

所以以2=4。2+心2,所以VC_LAC,

又平面L4C_L平面A8C,平面VAC。平面A8C=4C,VCu平面LAC,

所以VCJL平面A8C,A5u平面ABC,

所以VC_LA5,

因为AB=BC=1,AC=6，

所以AC?=AB2+3C2,所以ABJ_8C,

因为VC_LA5,ABA,BC,BCr\VC=C,8C,VCu平面VSC,

所以A8J_平面VBC；

【小问2详解】

因为EF〃平面0IC,斯u平面013,平面348。平面L4C=L4,

所以瓦7/%,

又E是AB的中点，尸在V8上，

所以尸为VB的中点；

【问3详解】

取4c的中点M，因为A5=BC=1,所以

由（1）VC_L平面ABC,AC,BMu平面ABC,

所以VC_L4C,VCIBM,

UUlllUUUlU

如图以点C为原点，C4,MB,CV为X，Xz轴的正方向建立空间直角坐标系，

则C（0,0,0）,>4（72,0,0）,B与，号,。,V（0,0,V2）,E当，与,0,F字亨为

^^44-I冬冬党快停村-也

设平面EFC的法向量为〃=(元其z),

小但"+交

y=0

44

所以《,取则

x=l,)=-3,Z=1

n-CF=—x+—y+—z=()

44-2

所以万一(1,—3,1)为平面EFC的一个法向量,

设直线丫及与平面E/C所成角为6,

2>/22痴

则sin0=cosVB,n=

网同V3XVH33

所以直线V8与平面EFC所成角的正弦值为空5.

33

30+30+2585

由题意可知，喜欢借阅文学类书籍的学生的频率为

150150

QC

因此估计全校喜欢借阅文学类书籍的学生人数为1500><石=85().

【小问2详解】

301

由题意可知，高一年级选择借阅文学类书籍的概率二二大

602

高二年级选择借阅文学类书籍的概率为30=]3

255

高三年级选择借阅文学类书籍的概率，二二,

408

因此估计这3人中至少有2人选择借阅文学类书籍的概率为

13x135xU"经

—X—x4

255J82J5825880

【小问3详解】

由题意可知，y\=l-xpy2=l-x2,y3=l-x3,

设了I，x2,占的平均值为1y,为，％的平均值为亍，

则工+刍)，》=；(1_%+1_%2+1_刍)=1_:("+%+刍)=1-亍，

而»%，%3的方差为H，%，必，%的方差为1,

22

则5；=(-1)51=sf.

20•【答案】【小问1详解】

已知短半轴长〃=百，离心率£=£=▲.

a2

由椭圆关系/=〃+c2,代入c.和〃=J§

得：/=3+(?，即/=4.

因此椭圆的标准方程为：—+^=1

43

【小问2详解】

由⑴可知左焦点为(—1,0),设直线/:y=k(x+l),代入椭圆方程得:

(3+4公卜2+8攵2H4/一12=0

设〃"，乂),/7(%,%),中点。(〜)，％),则

8公X.+X,3k

-^o=-Ly^=春K°”+i)=

3+4公

3kif4&2)

垂直平分线斜率为方程为J

K3+4Fk[3+4-1

令”。得尸点坐标为可°,一五y

因为-VPN为等腰直角三角形，尸在MV的垂直平分线上，所以FM=PN,且尸到