浙江省某中学2025-2026学年高二年级上册12月质量检测数学试题

浙江省余姚中学2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学

试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若3=(1,G)是直线/的方向向量，则直线/的倾斜角为()

A.3(/B.60，C.120°D.150，

2.双曲线的渐近线方程为()

4

A.y=±4xB.y=±-x

4

C.y=±2xD.y=±-x

,2

3.若后二(0,0,1)石;(1,0,。)忑=(1/,1)不能构成空间的一个基底，则^二()

A.-1B.0C.1D.2

__,___,2_____

4.四面体018C中，OA=a,OB=b,OC=c,OM=-04，点N为8c的中点，则诉=()

A2-Ir1-n2一11-

A.——a+—b+—cB.—a——bE——c

322322

〃1_1一n1_2七1_

C.—Q+—b—cD.-a——b+—c

232232

5.设等比数列｛%｝的首项为65,公比为记7；为数列｛%｝的前〃项积，若对于任意〃

都有〃成立，则正整数〃o=()

A.5B.6C.7D.8

、S,2〃+34

6.设等差数列应｝,也｝的前〃项和分别为S5,且才=*二与，则清=()

IIc31-35n37

A.—B.—C.—D.—

19536165

7.动点M在正方体力“CD-44GA从点4开始沿表面运动，且与平面4。^的距离，'呆持

不变，则动直线4M与平面4OG所成角正弦值的取值范围是()

试卷第1页，共4页

8.已知椭圆「:£+E=i（"〃〉o）的左、右焦点分别为小占过行的直线/与椭圆「交于

a~b'

48两点，与y轴交于c点.若耳C_L^416国=4,用外，则椭圆「的离心率为（）

A石口而「旧V10

A.——B.----C.——Dn.----

101055

二、多选题

9.已知圆0:/+/=4,且圆O上恰有三个点到直线/的距离等于1,则直线/的方程可能

是（）

A.x=\B.丁=一1

C..¥+^-1=0D.x-y+1=0

10.等差数列｛%｝是递增数列，公差为d,前〃项和为S“，满足。9=44,下列选项正确的

是（）

A.J<0

B.a,<0

C.S”取得最小值时，〃=4或5

D.S”>0时，〃的最小值为1（）

11.设正方体力5CO-4KGR的校长为2,点M在底面48CO内且满足性质P.若点、的

轨迹为抛物线的一部分，则性质P可以为（）

A.点M到直线AA.的距离与它到平面BBGC的距离相等；

B.点M到点力的距离与它到直线DD、的距离之和为4:

C.直线M4和4。夹角为45。；

D.直线加4和夹角为45。.

三、填空题

12.若抛物线歹2=4》上一点M到焦点的距离为3,则点M到y轴的距离为.

13.如图所示，两条异面直线。、人所成的角为三，在直线〃、。上分别取点彳、E和点4F,

试卷第2页，共4页

使得"_La且/1/_L6.己知|何卜府卜p7]=1,则同=.

的前〃项和为S”,若对任意〃€N*都有|pS“-2归1成立，则实数〃

的取值范围为.

四、解答题

15.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S”，且满足阴+。3=535=15.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛(3〃-1)2%｝的前”项和T„.

16.已知线段4?的端点4的坐标是(1,2),端点力在圆(..3)2+3-2)2=40上运动，线段4?

的中点M的轨迹为

(1)求「的方程：

⑵设「与圆。:/+/+23+8)，-8=0交于产,。两点，求线段P。的长度.

17.已知各项均为正数的数列｛4｝的前〃项和为S”，且满足25〃=%：+%.

⑴证明数列｛%｝是等差数列，并求出｛/｝的通项公式；

」一,〃为奇数，、

⑵若b“=/az，求数列也｝的前2〃项和4.

3%〃为偶数

18.如图，在三棱柱力AC—44G中，力〃=灰:=2,。为48的中点，4。=244=石，且

BCJ.平面力

试卷第3页，共4页

G氏

A

cy……十一斗

A

(1)求证：力。，平面力8C：

⑵若点M在线段CC上运动(包括端点)，

——1——

(i)当CN=]CG时，求直线/1M与平面力8c所成角的正弦值：

(ii)求平面48W与平面44c的夹角的余弦值的取值范围.

19.已知椭圆C:£+4=l(a>b>0)的左、右焦点分别为不乙，点42,3)是椭圆。上的

点，且/5_Lx轴.

(1)求椭圆C的方程：

(2)若点P是椭圆C的右顶点，过点力的直线/交椭圆。于另一点8,且=12,求直线/的

方程；

(3)设过点。((),石)的动直线(不与N轴重合)与椭圆C有两个交点A/，N,在V轴上是否存

在定点7,使得加•丽K0恒成立？若存在，求出点7纵坐标的取值范围；若不存在，请说

明理由.

试卷第4页，共4页

《浙江省余姚中学2025-2026学年高二上学期12月质量检测数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BCBACACDABBCD

题号11

答案AC

1.B

【分析】根据直线的方向向量和斜率、倾斜角的关系计算即得.

【详解】由题意，直线/的斜率为A=近=百，

1

设其倾斜角为。，则tana=V5，因0Wa<18。/,则a=6（X.

故选：B.

2.C

【分析】求出。、〃的值，即可求得双曲线的渐近线方程.

2

【详解】在双曲线匕--=1中，。=2"=1,因此，该双曲线的渐近线方程为y=±fx=±2x.

4n

故选：C.

3.B

【分析】根据空间向量基底的性质，结合向量共面的条件求解J的值.

【详解】因为向量2=（0,0』）1=（1,0,0）,"=。,乂1）不能构成空间的一个基底，所以这三个

向量共面，则存在实数〃?，〃使得工=〃启+小，

即（1,必1）=w（0,0,1）+w（1,0,0）=,

1m=1

所以］〃=1,即y=0.

，尸0

故选：B

4.A

【分析】根据向量的加减运算化简即可.

【详解】因为点N为8c的中点，所以诉ng而+好=/十¥，

____—―1—］一o_

因为OM=—OA,所以MN=ON-6M=-h+—c--a.

3223

故选：A

答案第1页，共14页

o

【分析】根据题意先求出等比数列｛〃”｝的通项公式，从而得到7；的表达式，将问题转化为求

取最大值时对应的〃的问题即可.

【详解】因为等比数列｛q｝的首项为65,公比为

所以a=65x/，,

因为对于任意〃el<,都有4成立，

所以Z,的最大值为

当I取最大值时，。”之1,且q川<1.

令65x(]>1,即6522°T,而26<65<2"

所以满足65>2M的最大整数〃-1为6,即〃=7,

所以当〃W7时，an>\,[单调递增；当〃之8时，。<凡<1,乙单调递减，

所以Z,在〃=7时取得最大值，即q=7,

故选：C.

6.A

【分析】根据条件，利用等差数列的前〃项和公式得到去=?9=普|,再利用等差数

/b\+44/7-3

列的性质，即可求解.

〃(♦+%)

【详解】因为⑷，也｝是等差数列,则>忌『寂=篝,

r

所以”=也=3±4=2x15+3=334

bs2瓦々+砥4x15-35719'

答案第2页，共14页

故选：A.

7.C

【分析】根据线面位置关系和余弦定理，结合三角函数的基本关系式即可求解.

【详解】连接4C,耳

因为44//CQ,%M=co,所以四边形44。。是平行四边形，

所以用。〃4。，又用ca平面/QG，4。＜=平面4。4，所以8c〃平面

同理，8/〃平面4QG，又，CnB/=4，BC，8/u平面8/C,

所以平面4。。//平面

则由M与平面4QG的距离保持不变，得点M的移动轨迹为三角形用力。的三条边,

当M为AB,中点时，直线4例与平面4。4所成角正弦值最大,

取G。的中点N,设正方体的棱长为2,

22

则AyM=^V2+2=V2,MN=AD=2,4N=J(4〃+(AN\=a,

所以4M2+""2=力声2,则“\MN为直角三角形，

所以直线4M与平面40G所成角正弦值为sinq=空=壬=£,

ANV63

答案第3页，共14页

当M为。点时，直线4M与平面所成角仇的正弦值最小,

此时4N=",NM=6，A、M=2g,

所以cos”（甸十（2"）一（垃）=2能,则sinOkJl-c。1"=：.

2xV6x2A/333

■•——

直线4M与平面43所成角正弦值的取值范围是；，半,

JJ

■■

故选：C.

8.D

【分析】设优H=/,由三角形面积关系得出比。=4/=恒。|,再由勾股定理及椭圆的定义

求出/,利用余弦定理及cosZJ^^+cosZCW=0求解即可.

【详解】设以4二/,由于△<?£工与△/!£乙等高»S4人~4s“月外»

所以内。=4/=闺。，

又户;C_L片力，|力。=夕，・••阳力=3/,

又|阳+|阳=2a=4/,.•"=],

在△C£O中，cosZC/sO=—,

2a

VcosZAF2Fi+COSZCF2O-0,

答案第4页，共14页

AcosZJF,^=-

|福『+忻用2c2-/

在△/1与£中，cos/力入耳

2区HM周

化简可得21=5°2,解得八标=号,

故选：D

9.AB

【分析】根据圆心到直线的距离d、圆的半径，・满足dr-1=2-1=1,逐项检验即可.

【详解】因为圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,

所以圆心到直线的距离d、圆的半径「满足d=r-\.

因为圆。：/+『=4,所以圆心(0,0),半径厂=2,

故"=2-1=1,

对A,圆心到直线的距离〃=|0-1|=1,满足要求，故A正确：

对B,圆心到直线的距离〃=|()-(-1)|=1,满足要求，故B正确：

对c,圆心到直线的距离"=母£』="，不满足要求，故C错误；

Vl2+122

对D,圆心到直线的距离d?,不满足要求，故D错误.

Vl2+122

故选:

10.BCD

【分析】对于A：因为等差数列｛%｝是递增数列，即可判断公差d的正负：

对于利用等差数列的通项公式，鱼=4恁可化简为4=-4d<0,即可判断4的正负：

对于C：利用J的公式，结合％=-4d可得：S0=,号明再结合数列的性质，即可得

S“取得最小值时，〃的取值;

对于D：令S“=%-苧>。，解得〃的取值范围，结合〃wN-即可得出S〃>0时，〃的

最小值；

答案第5页，共14页

【详解】对于A：因为等差数列｛%｝是递增数列，所以公差d>0,故A选项错误；

对于B：。9=44nq+8d=4(q+5d)nq=-4/,因为4>0,所以q=-4d<0,故B选

项正确：

对于C：鼠=叫+迎/”，将％=—4d代入得：S.=,一净,

乙NN

9

因为d>0,粮据二次函数的性质可知，当〃=]时，S.取得最小值，

又因为〃wN.,所以当〃=4或者〃=5时，S.取得最小值，故C选项正确；

对于D：因为d>0,令=—/J-工〃>0得〃<0或〃>9,

22

又因为〃wN-所以S,>。时，〃的最小值为10,故D正确.

故选：BCD

11.AC

【分析】根据几何体特征，建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标运算，逐项判断即可.

【详解】根据题意，以力为原点，以为x轴，以/。为y轴，以44为z轴，建立空间直

角坐标系，如图所示，

则4(0,0,0),0(020),4(0,0,2),设M(x,y,0)(0W”W2),

对于A选项，点历到直线力4的距离，即点用到点力的距离，所以|力陷="2+歹2,

点M到平面BBCC的距离，即点M到BC的距离，即2-x,

所以乒了=2-x，化简得「二-4(.”1),为开口向左，顶点为(1,0)的抛物线，

在底面内，xe[O,l]0'j,je[0,2],轨迹为抛物线的一部分，故A正确；

对于B选项，点M到点力的距离为14M=Jd+W,

答案第6页，共14页

点加到直线。。的距离，即点M到点。的距离，所以|。必=，/+（尸2）2,

所以7x2+/+7X2+（＞--2）2=4,两边平方化简得4/43（y-1『=12,

即E+04=],不符合抛物线要求，故B错误；

34

对于C选项，可二（一/-》2）,丽=（0,2,-2）,

|丽丽|_2y-4|五

所以cos450=।i-=/」「）

〔A/4H44y/x'+X+4•V4+42

化简得/=外，在底面齿，xe[0,2]时，y«（U],轨迹为抛物线的一部分，故C正确;

对于D选项,丽=（T,-R2）,14=（0,0,2）,

化简得/+/=4,此为圆心在原点，半径为2的圆，故D错误.

故选：AC

12.2

【详解】抛物线产=4x上一点M到焦点的距离为3,则抛物线jJ=4x上一点M到准线

x--1得距离为3,则点M到y轴的距离为3-1-2.

13.2或及

【分析】先将而分解为豆+方+万，再通过向量平方公式展开，对方与方的夹角进

行分类讨论，结合已知条件和向量数量积的计算公式，即可求解.

【详解】根据题意，可得丽=在？+菖+万，所以同卜口+”+才|,

两边平方，得

研=珂+血+珂=研+网+府]+针73+针犷+&引犷，

乂|弱=府卜p7[=l,所以向『=3+2•.蔺+2而，万+272.万，

又直线。、方上分别取点从月和点4/，使得4H1〃且

所以而.不i=0，蔺.万=0，所以府『=3+2而.而，

答案第7页，共14页

又两条异面直线a、b所成的角为三，所以"与您的夹角为冷或牛，

当丽与万的夹角为三时，|司二3+2|可•府|.COSA3+2X；=4,即网=2,

当而与方的夹角为当时，|研?=3+2|司羽.cos?=3+2x，；]=2,叫呼卜庭,

JJI//

综上所述，忸司的模为2或VL

故答案为：2或J2

14.[-6,-4]

【分析】先由题目得到w_(~2)7,并得至iJ-gwS.W-J,把不等式|/电一2区1恒成立

3=，4

”tt3

3(、(>

转化为对任意〃eN,，恒成立，则TT-P-T-即可求解

nnvn，maxxn/min

/,、向

1v]1i

【详解】因为I泊2J"=-51,所以数歹小--是首项为-T,公比为-g的等比数列，

乙)乙1L

2)

If1VI_11

因为—<1—<—»所以一3«504-工，

212,424

由心一2归1,得恒成立；

(3)(1)

所以r-p-~s

InzinaxIn)min

又因为—!，所乂一4K?K-2,所以一124号4一6

24SnSn

所以总=-6,y=-4

'n/maxxnznin

所以-6Wp<-4,

故答案为：卜6,-4]

答案第8页，共14页

15.(1)%=〃

⑵7；=8+(3〃-4)2"

【分析】(1)根据等差数列的通项公式和前〃项和公式，列出方程组，求出首项和公差即可;

(2)根据数列的类型，可选择错位相减法求其前〃项和.

i(a.+d)+(a,+2d)=5[a.=\

【详解】(1)由题意得?)，解得」।，

[5q+10d=15[d=\

:.an=q+(/?-l)t/=n；

(2)(3〃-1)2""=(3〃-1)：＜2"，

7；,=2x2'+5x22+8x234---4-(3/?-l)x2n

27；,=2x22+5x23+---+(3/7-4)x2fl+(3/7-l)x2n+l

两式相减得一.=4—(3〃-1)x2"+】+3x(22+23+24+…+2”)

,,22x(l-2n-')

=4-(3/?-l)x2n+,+3x—_L

=-8-(3/;-4)x2n+,

・・.7；=8+(3〃—4)・2川.

16.(1)(X-2)2+(^-2)2=10

⑵2石

【分析】设点M(xj),从而得力(2x-l,2y-2),再结合条件，即可求解；

(2)先求出两国的公共弦，再利用弦长公式，即可求解.

【详解】(1)设点因为〃是线段44的中点，点"的坐标是(1,2),所以

A(2x-\,2y-2).

因为点力在圆G:(x—3)2+(y—2)2=40上运动，

所以[(21)-37+[(2尸2)-21=40,

化简得(x—2月+(y—2)2=10,即「的方程为“一2f+3—2)2=10.

答案第9页，共14页

与圆。:』+/+2X+8y一2=0的方程相减，得直线尸。的方程为x+2y-l=0,

又圆「的圆心为（2,2）,半径为厂=而，

所以圆「的圆心到直线PQ的距离d==旧,

Vl2+22

所以|PQ|=2"/-d2=2,10-5=2后.

17.⑴证明见解析，an=n

【分析】（1）根据S,与知的关系运用作差法和等差数列的定义即可判定等差数列，求得其

通项公式；

（2）根据数列｛4｝的通项公式，对〃分奇偶两类分别求和，利用裂项相消法和公式法计算

即律

【详解】（1）因为2s0=〃；+*,所以2s“一尸。二+应7（»>2）.

相减得2an=a；+an-a；_x-an_x,即a；-an-a；t_x--=0.

所以（M-Mt-1）（凡+%）二0.

因为｛4｝是正项数列,所以凡

所以见一%即q=1（〃22）.

故｛%｝是等差数列.

令〃=1,得2q=a：+q,解得6=1,

答案第10页，共14页

所以q=《+(〃-1)=〃.

---，”为奇数，〃为奇数

(2)(2)因为a=•的"2，则a=<〃(〃+2)

3%，?为偶数3”,〃为偶数

11

〃为奇数

即a=2v?〃+2,

3",〃为偶数

1111]、n

所以金=4+&+…+&小=5

3352/7-12〃+1I2〃+1,27+1

9x(l-9")9"+]_9

金二5+a+…+打/32+34+-+32"=

1-9~匚~~S；

n9w+,-9

所以凡=得+7=----4----

2/2+18

18.(1)证明见解析

(2)(i)毡；(ii)1也

15?5

【分析】(1)利用线面垂直的性质定理得出4。，AC,再结合线面垂直的判定定理即可；

(2)(i)以O为原点建系，计算前7和平面48C的法向量方，最后利用线面角和向量夹角

之间的关系求得；

(ii)求两个平面的法向量，进而求出两个平面夹角余弦值，再结合0W/IW1求出.

【详解】(1)因为O是48的中点，AB=2,所以01=08=1.

在△4。力中，因为。力=1，4。=2,4/=石，

所以0才+4。=41，所以4OJ.O力

因为8CJ.平面力444,4。匚平面4444,所以4O14C,

又BCCA0=B,8CMOU平面/8C,所以力。，平面48C；

答案第11页，共14页

(2)以。为原点，为X轴，过O作平行于8。的直线为y轴，4。为Z轴，建立空间直

则J（l,0,0）,5（-l,0,0）,C|-i,2,0）,4（0,0,2）,则JC=（-2,2,0）,

又存=*=（一2,2,0）,则G（-2,2,2）,

设丽=/西=i（T,0,2）=（7,0,2力（0f）,所以必（-1-42,2/1）,

(i)当函」乙即义」时，必一力,。，所以说=(一三2,1

22I2；I2

因为平面/8C的法向量为无二(0,0,1),

所以直线力加与平面/8C所成角的正弦值为

1

|而料艇52~:~15:

1阳第25

(ii)设平面48M的一个法向量为所=(xj,z),

因为羽=（-1,0,-2）,丽=（一1一42,2/1-2）,

A}Bm=-x-2z=0

所以

丽•丽=（-1-小+2），+（22-2卜=0

令2=1,WJx--2,y--22,得而=（一2.—2九1）,

又平面力4。的法向量为方=(0,0/)，

所以平面4/M与平面力"的夹角的余弦值为|cos〈而㈤|=篇=,5,,

因为0<2这1,所以5£5+4/2£9,则/1,

V5+472i-<

答案第12页，共14页

故平面48M与平面的夹角的余弦值取值范围为

x2y2

19.())—+^-=1；

1612

⑵3x-2y=0或x-2y+4=0；

（3）存在，[-百,26].

【分析】（1）由题意知c=2,将点力（2,3）的坐标代入楙圆C的方程，列方程组即可求解;

（2）由点4P的坐标可得直线AP的方程及|力外,利用Sd.=12可得点B到直线AP的距离,

利用平行线之间的距离公式可得到过点8且平行于直线.4。的方程，联立直线与椭圆的方程

可得到点〃的坐标，利用两点式可得直线/的方程；

（3）设出动直线的方程y6及〃（再,凹）,N（&,