2026高考数学解答题专练 第二章 立体几何与平面向量（学生版）

第二章空间向量与立体几何

目录

题型1立体几何种平行关系的证明....................................2

题型2：立体几何中垂直关系的证明....................................4

题型3：立体几何中的线线角..........................................8

题型4：立体几何中的线面角..........................................11

题型5：立体几何中的面面角..........................................15

题型6：立体几何中点到线的距离.....................................20

题型7：立体几何中线到面的距离.....................................23

题型8：立体几何中的体积问题.......................................25

题型9：立体几何中的存在性问题.....................................28

题型10：立体几何中的截面问题......................................30

题型11：立体几何中的最值问题......................................33

必刷大题...........................................................37

题型1立体几何种平行关系的证明

1.（24・25高一下•湖南长沙•期末）如图，正四棱台力44GA中，上底面边长为4血，下

底面边长为8/，E为CG的中点，侧棱长为6.

（1）证明：月G〃平面8。七；

（2）求该正四棱台的表面积.

「藏画籁帝施还以襁旃工丽;1

，①在平面内找到或作出一条与己知直线平行的直线（常见方法：三角形中位线、平行四边形!

；的性质、线段成比例利用相似的性质）；!

I②证明已知直线平行于找到（作出的）直线；i

;③由判定定理得出结论；

!从而得证。I

■■■■■■MM-.«■■■■■MM・■W.W■MM■MM■■■■■■MMM■W.»■■■■■■W■■■■■■.«■■■■■MMB■MW■MM■

变式训练

1.(2024•四川遂宁•模拟预测)如图，在多面体力88夕中，四边形川?。。为菱形，AE=2BF,

BFHAE,BFLAD,且平面水法_L平面44CQ.

(1)在DE上确定一点M,使得KW//平面力3C。；

(2)若BF=BA=1,且N/3C=60°,求多面体力的体积.

2.(2024•全国•模拟预测)如图，已知四棱锥P-/BCD的底面为平行四边形，点瓦户分别为外力。

的中点.

(1)证明：EF〃平而尸/8；

⑵若平面8”将四棱锥P-/8CQ分成体积为匕和匕的两部分(其中匕,匕)，求?的值.

V1

题型2:立体几何中垂直关系的证明

1.(25-26高三上•广东•阶段练习)如图，在四棱锥尸中，PAA.AB,ABUCD,AB工BC,

上为NP的中点，PA=AB=BC=2,CD=CE=3,点尸在线段CO上.

(1)证明：尸力，平面48CQ；

(2)已知瓦4&C网点均在球。的球面上.

(i)证明：三点共线；

(ii)若直线。尸与平面心。所成角的正弦值为生丝，求。P.

85

2.(2025•宁夏吴忠•一模)如图，在四棱锥P-44c。中，4_L底面

ABCD,BC=CD=2,AC=4,ZACB=ZACD=60.

(1)求证：平面P8C_L平面P”；

(2)若尸为尸C的中点，且肝_1〃8;

(i)求证：四棱锥尸-/4CQ的各个顶点都在一个球的球面上，并求该球的半径;

(ii)求二面角8-4尸-。的正弦值.

r

1线面垂直.判定定理

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线与一个

线线垂直n线面垂平面内的两条/la,lib

aua，bua»

直直线垂直，那么该直线<7acb=P

与此平面垂直

I---------------------------------

；2.线面垂直性质定理

文字语言图形语言符号语言

一条直线垂直于一个平面，

线面垂直n线线垂a

akaVa<—L\—<hX

它就和平面内的______一>=>

bua

直1

条直线垂直

线面垂直二线线平垂直于同一个平面的两条ab//1

akaa//b

£ybla

行直线_______.r

3.面面垂直判定定理

文字语言图形语言符号语言

如果一个平面过另一个

线面垂直=>面面垂

/la]a工B

平面的_______,那么这■=>

直

两个平面垂直

4.面面垂直性质定理

文字语言图形语言符号语言

两个平面垂直，如果一个平a1B

ar\/3=l

w---------=>aL/3

面面垂直=线面垂面内有一直线垂直于这两a。ua

all

直个平面的_______.那么这

条直线与另一个平面垂直

在垂直问题中，通常通过构造直角三角形利用勾股定理，利用垂直本身的性质或者利用三垂

线定理得到垂直的直线，从而得证。

变式训练

1.(24-25高二上•上海静安•期中)如图，在正三棱柱"C-48G中，已知力8=加=2,D、

E分别是48、4分的中点.

⑴求正三棱柱"C-44G的表面积;

(2)求讦：平面CDB.1平面ABB、4：

(3)求证：直线彳G〃平面

2.(2025•广东•一模)如图，在四棱锥P-48CQ中，PQ1平面力BCD,ABHDC,BC=CD=AD=2,

AB=4.

(1)证明：PALBDx

(2)若四棱锥P-/18C。的外接球的表面积为25冗，求二面角。-力〃-尸的余弦值.

题型3：立体几何中的线线角

1.(2025・广西•模拟预测)如图，直四棱柱"CO-4用CQ的下底面/3。为菱形，M,N是

上底面44GA内两个不同的动点.

⑴若48GA为正方体，M为上底面力由£"的中心，求异面直线力加与8用所成角的余

弦值；

(2)若/4WC恰好是二面角力-MV-C的平面角.证明：在动点M运动过程中，三棱锥力-河⑷的

体积保持不变.

立体几何中异面直线所成的夹角：

L平移法：将异面直线〃，力平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形.

2.向量法：设异面直线4和〃所成角为。，其方向向量分别为人k则异面直线所成角向量求

法：①cos<W,V>=FL②cos9=|cos<w,v>|

变式训练

1.（2025•广西•模拟预测）如图，直四棱柱力8CO-48CQ的下底面/出C。为菱形，M,N是

上底面44GA内两个不同的动点.

⑴若"CO-44GA为正方体，M为上底面44G，的中心，求异面直线与84所成角的余

弦值：

⑵若恰好是二面角4-MV-C的平面角.证明：在动点”运动过程中，三棱锥的

体积保持不变.

2.(2025•海南•模拟预测)如图，在三棱台"C-44G中，44,1底面4MG，A力BC与△48©

都是等腰直角三角形，/8/lC=90。,48=2,44=/0=4,E、尸分别为四、4G的中点.

⑴证明：样〃平面力及。；

(2)求异面直线痔与叫夹角的余弦值.

题型4：立体几何中的线面角

1.(2025・湖南长沙•三模)妇图，在三棱柱ABC-A^C,中，底面AABC是正三角形,

4*18C,A.CVAB.

⑴求证:三棱锥AX-ABC是正三棱锥；

(2)若三棱柱48C-4qG的体积为66，AB=2£，求直线g与平面力力百8所成角的正弦

值.

r

立体几何中的线面角:

定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角.

常见求法:

1.常规法：过平面外一点8做88」平面a,交平面a于点"；连接力*,则/切*即为直线48

与平面a的夹角.接下来在必中解三角形.即sin/A49=BB'h（其中〃即点8到

AH斜线长

面a的距离，可以采用等体积法求力，斜线长即为线段"的长度）；

2.向量法：设/为平面。的斜线，）为/的方向向量，；；为平面。的法向量，。为/与。所成角的

大小，则sin"

I_________

变式训练

1.（2025•山东德州•三模）建筑学中常用体形系数S表示建筑物与室外大气接触的外表面积与

其所包围的体积的比值，即5=%，不为建筑物暴露在空气中的外表面积（不包括地面的面积）,

匕为建筑物所包闱的体积.某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面力/CG为等接梯形,

4C=24C=4,8为底面圆周上异于人C的点，且力4=HC.

（1）若4C_LC",求圆台形建筑的高;

Q)若求直线G8与平面力”8所成角的正弦值.

2.(2025•山东•模拟预测)妇图，48是G)O的直径，尸幺与。。所在的平面垂直，PA=AB=2,

C是。。上的一动点(不同于48),“为线段P8的中点，点N在线段PC上，且/1N_LPC.

(1)求证：ANtMN

(2)当/C=AC时，求直线尸C与直线AM所成角的余弦值

(3)当三棱锥P-4MV的体积最大时，求直线。。与平面以6所成角的正弦值.

3.(2025•山西・模拟预测)如图所示，在边长为2的正方体力BC。-48cB中，瓦F分别是棱

力艮8c上的点(异于端点)，且力EMC.

(1)证明：4E与GE相交旦交点在直线8A上.

(2)当直线力4与平面C/E所成角的正弦值为:时，求的值.

4.(2025•福建三明•模拟预测)如图，等腰梯形48C。中，ABHCD.CD=2AB=4,AE1CD,

垂足为E，将A/WE沿IE翻折，得至lj四枝锥/BCE.在四棱锥4CE中，点M,N分别

在线段出，力。上，且蔡=需=2.

(1)求证：MN//平面PCE；

(2)若二面角尸-力£-。为120%求直线MN与平面P/1E所成角的余弦值.

题型5：立体几何中的面面角

1.(2025・四川巴中•模拟预测)如图，矩形是圆柱。。的轴截面，==点

2

瓦户分别是上、下底面圆周上的点，且4E〃CF.

F

(1)求证：BE//DF；

(2)若四边形BEDF为正方形，求平面ADE与平面ABF夹角的正弦值.

2.(2025・湖南•模拟预测)如图，在四棱锥P-/18CQ中，平面P/1Q_L平面力8CQ,底面48c。为

梯形，/出//。。,/4=2£＞。=20,21=尸。,力。([8。=〃且448力为正三角形，E,尸分别为人。,总的

中点，PE(WF=G.

B

(1)证明：G"//平面POC.

(2)若三棱锥G-PCD的体积为4,求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

r

求立体几何中的面面角的求法：

1.定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平

面角，如图在二面角。_/_夕的棱上任取一点0,以0为垂足，分别在半平面夕和〃内作垂直于

极的射线04和O“，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可

以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）.

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的

角，就是二面角的平面角.

3.向量法

设是二面角夕的两个半平面的法向量，

若二面角为锐二面角（取正），则cos6=|cos<〃],〃2>1；

若二面角为顿二面角（取负），则co面=-|cosv%,W2>1；

（恃别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐

二面角还是钝二面角.）

4.三垂线法

在面a或面夕内找一合适的点力，作4OJ•夕于。，过力作"JLc于4,则为斜线加在面〃内

的射影，44。为二面角a-c-夕的平面角.如图1,具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点/,作4。，夕于0;

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过力作481c于8,连接80;

③计算：N"。为二面角a-c-尸的平面角，在阳△48。中解三角形.

图1图2图3

5.射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利

用射影面积公式（cos"&=^3,如图2）求出二面角的大小；

S斜S.ABC

6.补棱法

当沟成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线

（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时，也可直

接用射影面积法解题.

变式训练

1.（2025•广东广州•模拟预测）在三棱锥力-SCO中，/D_L平面8C。，〃是1。的中点，。是

的中点，点。在棱4C上，且力。=3。。.

（1）求证：AD±PQ；

⑵若△8CQ是边长为2的等边三角形，且三棱锥力-8CM的体积为正，求平面8cM与平面4CQ

夹角的余弦值.

2.(25-26高三上•安徽蚌埠•开学考试)如图，在四棱锥。-48co中，△力叱是正三角形,

DA=DC.PA=PC、BDLPA.

⑴求证：平面R4CJ■平面48CQ；

(2)设=2石，若点R4况C,D均在球0的球面上且点。在平面ABCD内.

(i)求四棱锥。-力4CQ的体积：

(ii)求平面P"与平面PC8的夹角的余弦值.

3.(2025•河南新乡•模拟预测)如图所示在直三棱柱中,AB=BC=2AA，ZJ^C=90S

M是BC的中点,

⑴求证：48〃平面AMCX,

(2)试问在棱4片上是否存在点N,使得力N与"G与所成角为1?若存在，请确定点N的位置;

若不存在，请说明理由，

(3)在(2)题设条件下，试求平面43C与平面4MC；所成角的余弦值.

题型6：立体几何中点到线的距离

1.（2024・青海•一模）如图，圆柱的轴截面43CD是边长为4的正方形，点/在底面圆O

上，8尸=2,点G在线段8尸上运动.

（1）当平面。%尸时，求线段QG的长度；

⑵设的=4而（0。川，当OG与平面所成角的正弦值为叵时，求2的值.

86

r

求立体几何中点到线的距离：

已知直线/的单位方向向量为11是直线/上的定点，。是直线/外一点.设万=2,则向量力

在直线/上的投影向量而=(7])「，在mzu。。中，由勾股定理得：

PQ=Ji函2T而『=HR."

变式训练

1.(24-25高三上•江苏南通•阶段练习)如图，在“8。中，点。在边8。上，且。0=28。，E

为边形的中点.S是平面48c外的一点，且有件+网•女=(方+玩)而=0.

(1)证明：SC1SD；

(2)已知Q£=l,SD=瓜,SE=3,直线8C与平面SZM所成角的正弦值为半.

(i)求VSDE的面积；

(ii)求三棱锥S-Z8C的体积.

2.(2024・全国・模拟预测)如图，在四棱锥188中，叫平面小,AB〃CDJABC=g

月8=2,BC=CD=4,M为棱PO的中点，直线CW与力。所成角的余弦值为画.求：

(1)点"到直线8c的距离；

(2)二面角尸-4C-〃的余弦值.

题型7:立体几何中线到面的距离

1.(2025•上海杨浦•三模)如图，在四棱锥P-48CZ)中，R1_L平面45C。，AD//BC,AD1CD,

点、E,F,G分别为P。，AB,4。的中点.

(2)若P4=4D=DC=；BC=2,

(i)求点尸到平面/EG的踉离.

(ii)画出四边形48CO的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积

求立体几何中线到面的距离：

如图，已知平面。的法向量为4是平面a内的定点，。是平面a外一点.过点尸作平面a的

垂线/,交平面a于点。，则［是直线/的方向向量，且点P到平面。的距离就是押在直线/上

的投影向量行的长度.尸。|=|丝*|=竺坦

变式训练

1.(2025•上海杨浦•三模)如图，在四棱锥尸中，PNJ.平面/BCQ,ADUBC,AD1CD,

点、E,F,G分别为PZ),AB,4c的中点.

(2)若PA=AD=DC=；BC=2,

(i)求点尸到平面4EG的距离.

(ii)画出四边形44co的斜二测直观图，并求斜二测直观图面积

2.(2025•广东惠州•模拟预测)如图，在四棱锥尸中，PD工平面4BCD,四边形45a)

为直角梯形，ZJDC=90°,AB=AD=PD=3,且配=2荔，CE=2EP.

(1)证明：4)_L平面POC;

(2)求平面BDE与平面PBC夹角的余弦值.

3.(2025•福建泉州•一模)如图，四棱台/BC'Q-fTP，中，底面力8C。是边长为4的菱形,

HD=HG=2,AE=2/，FA=FC.

(1)证明：平面/C尸；

(2)证明：〃。_1平面力86；

(3)若该四棱台的体积等于史史，且口＞初，求直线5c到平面力尸G的距离.

题型8:立体几何中的体积问题

1.(2024•全国•模拟预测)如图，在四棱锥尸-/也。。中，底面ABCD为梯形，平面P48_L平面ABCD,

AB/ICD,ABLAD,△〃河是等边三角形，。，M分别为线段力从P3的中点，且力。=。。=2,

AB=4.

(1)求证：。时//平面左。;

(2)求多面体的体积.

2.(2025•福建漳州•模拟预测)如图，在四棱锥尸-48CO中，AD//BC,AD=2,BC=3,E

是。。的中点，凡历分别在线段PC,PB上,且BM=gpB,.

33

(I)证明：多面体必为四棱锥;

⑵作出四棱锥P4M心的底面所在平面与平面神。的交线，写出画法，不必证明;

(3)若CO_L4。，4_L平面力3c。，O.PA=AD=CDf求四棱锥P4WFE的体积.

I-------------------------------------------

!立体几何中常见的求体积的方法:

i1.公式法

-2.割补法

i3.等体积法

变式训练

1.(2024・全国•模拟预测)在四棱柱"CO-4与G2中，平面44RQJL平面力4c。，44=4。,

底面为菱形，NBAD=gG,反尸分别为明,8C,C。的中点.

(1)证明：GE〃平面4。尸;

(2)若48=2,lan/44。=2,求三棱锥口-/F。的表面积.

2.(2025•陕西西安・模拟预测)如图，在四棱锥P-"CQ中，底面"C。是边长为4的菱形,

2TT

Z.BAD=—f4_L平面力8CQ,点、E为PC中点,点尸，G分别在棱PQ,力。上，且所=§尸。，

(1)证明：AD±EF；

(2)记三棱锥尸-PEG与四棱锥的体积分别为匕，匕，求3

V1

⑶若P4=2,求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.

题型9：立体几何中的存在性问题

1.（2025•甘肃甘南•模拟预测）如图，在四棱椎2-44c。中，底面4BCQ为平行四边形,

PA=PD=M,AB=BD=&BC=2,二面角尸一4。一C的大小为

（1）求线段PC的长.

Q）若DQI/AP,SLDQ=APf则在线段。。上是否存在点E,使得直线BE与平面0DC所成的

角的正弦值为叵？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

5

变式训练

1.(24-25高二上•河北张家口♦阶段练习)如图，已知四棱台力BCQ-44G。的上、下底面分

别是边长为2和4的正方形，44=3,且44•)•底面48CD,点P、0分别是棱航”DR的中点.

(1)在底面"C。内是否存在点"，满足CM,平面b。？若存在，请说明点”的位置，若不存

在，请说明理由；

⑵设平面CP。交棱“于点/平面CP70将四棱台北CD-44GR分成上，下两部分，求CT与

平面CDD©所成角的正弦值.

2.(24-25高三下•广东•开学考试)如图，在四棱锥〃-4"“卜，是等边三角形，四边

形48CO是直角梯形，AB1AD,BCHAD,AD=2AB=2BC,PC=41AB.

(1)证明：平面产力8平面48CD.

(2)线段PC上是否存在点心使得直线3E与平面田。所成角的正弦值为若存在，求等的值;

5AC

若不存在，请说明理由.

题型10：立体几何中的截面问题

1.(2025・湖南娄底•二模)妇图，长方体相€7)-44GA中，力8=4,8c=2四，CC,=2,E,

厂分别为棱43,44的中点.

(1)过点C,E,b的平面截该长方体所得的截面多边形记为S,求S的周长；

⑵设7为线段0G上一点，当平面CE/_L平面时，求平面7C户与平面CE/7夹角的余弦值.

2.(2024•河北•模拟预测)如图，四棱锥力-灰芯。中，平面力8cl平面

BCED,AB=AC,AD=AE、BC//DE,BD=CE,BC=IDE=4瓜NDAE=-ZBAC,AD=48sin/DAE.设

2

中点为〃，过点〃的平面a同时垂直于平面BAD与平面CAE.

⑴求sin/ZME

(2)求平面。与平面院花。夹角的正弦值;

⑶求平面。截四棱锥力-8C&D所得多边形的周长.

I-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

•作截面的几种方法

i1.直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找微面实际

;就是找交线的过程。

，2.廷长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点。

；3.平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过

!点我直线的平行线找到几何体的截面的交线。

变式训练

I.(2024高三・全国•专题练习)如图在正方体力此中，R。是所在棱上的中点.

(1)求平面力与平面ABCD夹角的余弦值

(2)补全截面，尸。

2.(2024•安徽合肥•模拟预测)如图所示，在长方体力8c。-44GA中，g=1,AAi=AB=2t

〃为棱的中点.

(1)若P是线段4M上的动点，试探究：丽•希是否为定值？若是，求出该定值；否则，请说

明理由.

(2)过4M作该长方体外接球的截面，求截面面积的取值范围.

3.(2025•陕西西安・一模)如图，正方体48CZ)-48cA的棱长为2,点£是棱C。上的动点.

(1)求三棱锥A-44E的体积;

(2)当E为CD中点时，求过点D且与4£垂直的平面截正方体的截面面积.

题型11:立体几何中的最值问题

1.（2025•辽宁•三模）如图，在高为6的直三棱柱为8C-44G中，底面48c的周长为12,

分别为棱CG，回上的动点.

⑴若4B=3,/C=5,证明：Z31平面BCCS.

(2)求BM+MN+NB、的最小值.

(3)若AB=AC=4,AN=2^,(0<2<\),CC}=3CM,求平面BMN与底面ABC夹角的余弦值的最大值.

变式训练

1.(2025•湖南邵阳•三模)如图，圆台GO?的下底面的内接正方形力。4c的边长为4,P是上

底面圆周上的一点，且满足P，4=PC=4,P8=4及.

D

(1)证明：BCx

(2)求三棱锥。-川的外接球的表面积；

(3)N是改:的中点，M是上底面圆周上的一点，求异面直线MN与N。所成角的余弦值的最大值.

2.(2025•辽宁•三模)如图，四棱锥产一”。。中，AB=AD=2BC=242.BC//AD,ABLAD.

(1)当4PBD为正三角形时，

(i)若PA=2网,证明：直线川"平面08C;

(ii)若力，B,D,尸四点在以卡为半径的球面上，则四棱锥P-48CO的体积是多少？

(2)当△P8O为等腰直角三角形时，且PQ=P8,求二面角八尸Q-C的余弦值的最小值.

3.(24-25高二下•江西景德镇•期中)在平面四边形为8c。中，AB=BC=CD=BD=2,AB上BD,

(i)讦明：平而APO:

(ii)求三棱锥P-48。的外接球体积；

(2)求直线AP与平面ABD所成角的正弦值的最大值.

必刷大题

模拟练

1.(2025•河北秦皇岛•模拟预测)如图，在边长为。的正方形彳8c。中，E,尸分别为边力8,

上的点，连接CE,CF,EF,将△钻/沿着折线房翱折，使点4到达点4位置，连接4。，

形成三棱锥4-。£工

(1)若E,尸分别为边48,力。上的中点，4E1CF,求此时三棱锥4-C即外接球的表面积;

Q)若EF=BE+DF,。是力。的中点.

(i)求/反尸的大小;

(ii)若正方形边长为及+1,当弘仪7••取最小值，〃一曲取最大值时，求此时直线4K与平面4。「

所成角的正弦值.

2.(2024・上海・一模)如图，在四棱锥P-"CQ中，AD〃BC,/ADC=/PAB=”C=CD=gAD.E

22

为棱的中点，异面直线P4与CD所成角的大小为.

AED

(1)求证：CD//平面PBE;

(2)若二面角P-CD-A的大小为§,求直线尸力与平面PCE所成角的正弦值.

3.(2024・上海嘉定•一-模)如图所示，在三棱柱ABC-48©中，力8=4C,侧面BB、C、C1底面ABC,

点E、尸分别为梭BC利4G的中点.

(1)若底面A/BC为边长为2的正三角形，且CG=4C,侧棱CG与底面力8c所成的角为60。求

三棱柱48C-48c的体积；

⑵