掌握直线方程的基本类型 （学生版）

专题34掌握直线方程的基本类型

【考点预测】

一、基本概念

斜率与倾斜角

我们把直线），=丘+〃中〃的系数〃CkGR）叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，其斜率不存在.x

轴正方向与直线向上的方向所成的角叫这条直线的倾斜角.倾斜角ae［0,4），规定与x轴平行或重合的直

线的倾斜角为0,倾斜角不是匹的直线的倾斜角的正切值叫该直线的斜率，常用女表示，即女=tana.

2

当攵=0时，直线平行于轴或与轴重合；

当女＞0时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随上的增大而增大：

当左＜0时，，直线的倾斜角为钝角，倾斜角左随的增大而减小；

二、基本公式

1、々（演办）区区,打）两点间的距离公式।PR1="|-7）2+优--）2

2、P［（X］，）,P、（x,,y2）的直线斜率公式A=———=tanQ（X工々,。工—）

d2

3、直线方程的几种形式

（1）点斜式：直线的斜率々存在且过a。,）"），y-y（,=Hr-x0）

注：①当k=0时，y=.y0；②当〃不存在时，x=x0

（2）斜截式：直线的斜率上存在且过（0力），y=kx+b

（3）两点式：上二21=二;工，不能表示垂直于坐标轴的直线.

%与f

注：-=（%-/汹一X）可表示经过两点小。［，］）0（12，%）的所有直线

（4）截距式：工+上=1不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线.

ab

u

（5）一般式：Ax+«y+C=（XA2+^2*0）,能表示平面上任何一条直线（其中，向量〃=（48）是这

条直线的一个法向量）

三、两直线平行与垂直的判定

两条直线平行与垂直的判定.

两直线方程平行垂直

/1:A{x+居y+G=0A凡―&玛=0且

B£-B；C尸0

/,:A2X+C2=0

（斜率存在）

Z2:y=k^c+b2“I=&2也。々或勺丸=7或勺与%中有一个

为另一个不存在.

了“二入（斜率不存在）X=XpX=42百0Z0,

L:x=x,

四、三种距离

1、两点间的距离

平面上两点1（七,%）,22（/，为）的距离公式为|P乙|=-百+5）•

特别地，原点O（0，.0）与任一点P（x,＞＞）的距离|OP1=Ji+V.

2、点到直线的距离

点尸。（品，儿）到直线/：*+为+。=0的距离d=弋;f"

特别地，若直线为/：x=m,则点尸。（演）,打）到I的距离d=1fn-x0|；若直线为/：y=n,则点P0（x0,y（1）到

/的距离凡|

3、两条平行线间的距离

已知/I"，是两条平行线，I«b求/「/,间距离的方法：

（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离.

（2）设乙：人x+By+g=（）4：Ax+By+g=（）,则乙与之间的距离〃二黑寺^

注：两平行直线方程中，x,y前面对应系数要相等.

【典型例题】

例1.（2024.高二・湖南衡阳•期末）已知直线/的倾斜角。满足12。＜aK135,则/的斜率攵的取值范围是

)

A.B.r-A-il

c.1]D.（口,一网5-1，+8）

例2.（2024.安徽合肥.三模）已知直线/的一个方向向量为,则直线/的倾斜角为（）

兀4兀

A.B.-D.

633T

例3.（2024.高三•山东青岛.期末）对于直线/:工-6），-6=0,下列选项正确的为（）

A.直线/倾斜角为£

B.直线/在y轴上的截距为2右

C.直线/的一个方向向量为（3,6）

D.直线/经过第二象限

例4.（2024.高二・浙江丽水.期末）直线x+（/+l）F-1=0（。£阳的倾斜角的取值范围是（）

例5.（2024.高三•全国•专题练习）设点4（—2,3）,以3,2）,若直线依+y+2=0与线段48有交点，则。的取

值范围是（）

例6.（2024.全国.模拟预测）平行直线4：2x+y-5=0与4：x-勿+5=0之间的距离为（）

A.>/5B.2x/5C.3>/5D.5石

例7.（2024.高二.四川泸州.阶段练习）若直线y=x+2Z+l与宜线），=-；犬+2的交点在第一象限，则实

例8.（2024•全国•模拟预测）若正方形一边对角线所在直线的斜率为2,则两条邻边所在直线斜率分别

为，.

例9.（2024.陕西西安・二模）已知直线4过点（2,4）和点（3,7）,直线小3x+勿+2=0,若/他，则〃一

例10.（2024.高三•浙江•阶段练习）直线y=0x+l与直线），=（3-20）x+2所成夹角大小为.

例IL（2024・高三•重庆九龙坡•阶段练习）已知直线（1+幻x+y-"2=0恒过定点尸，则点尸关于直线

工-丁-2=。的对称点的坐标是.

例12,（2024・高三•黑龙江哈尔滨•开学考试）在数学史匕平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨

迹称为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系X。,,中，动点尸（乂），）到两个定点£（-1，0）心（1，0）的距离之积等于

1,化简得曲线/+），2+1=向二.则的最大值为.

例13.（2024.高二.全国•课时练习）过直线《：x-2.y+3=0与直线，2：2x+3），-8=。的交点，且到点P（0,4）

的距离为1的直线/的方程为.

例14.（2024・高二•江西新余•开学考试）若点/3,1）至IJ直线/:3x+4），+a=0（a>0）的距离为3,则〃=,

例15.（2024・高二・山东•阶段练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=4C=2,点尸是边A3上异于

A3的一点，光线从点P出发，经3CCA发射后又回到原点若光线QR经过d8C的重心：则8P长

为.

例16,（2024漓二•全国•单元测试）直线2x-y+3=0关于点A（5,3）的对称直线方程是.

例17.（2024•高二・上海浦东新•阶段练习）当点（0,7）到直线x-，，r+l=O（meR）距离最大时，，〃值

为•

例18.（2024•高二•江西南昌•阶段练习）过点P（3,0）有一条直线/,它夹在两条直线//：2x—2=0与

〃：x+），+3=0之间的线段恰被点。平分，则直线/的方程为.

例19.（2024・高三・全国•专题练习）已知直线4：x-y+3=O,直线1=0,若直线乙关于直线/的对

称直线为4,则直线〃的方程为.

【过关测试】

一、单选题

1.（2024・高二・福建漳州•期末）已知直线小区-3y+l=0,若直线4与4垂直，则《的倾斜角是（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

2.（2024•全国,模拟预测）“直线/的倾斜角为锐角”是“直线/的斜率不小于0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024・高三・全国・专题练习）已知直线x-2y+3=。的倾斜角为则8s26的值是（）

43卜3「4卜3

A.--B.-C.—D.—

5554

4.（2024.高三•山东聊城.期末）直线x+G），-7=0的倾斜角为（）

it八5兀八兀一2兀

A.-B.—C.-D.—

6633

5.（2024・高三・广东深圳•期末）双曲线［-£=1（“>0力>0）的一条渐近线的倾斜角为110。，则离心率为

（）

A.—!一B.—!—C.2sin70°D.2cos20°

cos70°sin70°

6.（2024•高二•安徽阜阳•阶段练习）图中的直线朵的斜率分别为《、&、&，则（）

B.

C.吊D.k}<<k2

7.（2024•高二•四川遂宁•期末）直线xsina+），+2=0的倾斜角的取值范围是（）

A.[0,71)

c/畤

8.（2024.高二.河北邯郸•阶段练习）设点P是函数〃力=/-6.1图象上的任意一点，点P处切线的倾斜

角为如则角〃的取值范围是（）

9.（2024.高二.山东临沂・期木）设直线/的方程为cos外—），+b=O（O€R）,贝U/的倾斜角。的取值范围是

()

八瓦713兀

A.B.0,—u

42"~4

\

兀3兀7171'冗3冗

C.D.

4,T4,2；5,7

10.（2024・高三・河南周口•阶段练习）下列说法正确的是（）

A.“直线曲:->+3=0与直线工-冲=0互相平行”是的充分不必要条件

IF

B.直线2cos。1-2），+3=0的倾斜角。的取值范围是0,-

4

C.过点（1,2）的直线分别与x轴，），轴的正半轴交于AB两点，若5%AB取最小值时，直线的方程为

），=-21+4

「33一

D.已知A（T2）,8（3,2）,若直线/：丘+），-4+1=0与线段A8有公共点，则丘一己］

11.（2024•高三•上海浦东新•期中）7=1”是“直线如-2），-2=0与直线x-（〃+l）y+l=0平行”的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

12.（2024.海南省直辖县级单位•一模）已知直线/：2x+3），-1=0的倾斜角为凡则

/\

cos（^+7i）-sin——0=（）

、2>

99人66

A.—B.——C.—D.——

13131313

13.（2024.高二.河北邢台•期末）已知经过点（3,1）的直线/的一个方向向量为（3,2）,则/的方程为（）

A.3x+2>'-ll=0B.2x-3y-3=（）

C.2x+3y-9=0D.3x-2y-7=0

14.（2024.高二.全国.课后作业）若直线4%丫+），-4=0与直线，2：x-），-2=。的交点位于第一象限，则实数

〃的取值范围是（）

A.（-1,2）B.（-l,+oo）C.（f,2）D.（-CO,-1）U（2,-H»）

15.（2024.高二•福建南平.阶段练习）两直线3x+y-3=0与64+年，+1=（）平行，则它们之间的距离为

（）

A.4B.迤C.巫D.还

132620

二、多选题

16.（2024.高三•全国.专题练习）下列说法是错误的为（）

A.直线的倾斜角越大，其斜率就越大

B.直线的斜率为tana,则其倾斜角为a

C.斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等

D.经过任意两个不同的点出与凶）避（号为）的直线都可以用方程（y—y）（w—x）=（xf）（%—y）表

示.

17.（2024.高三•全国•专题练习）已知点。（2,-3）,6（-3,-2）,斜率为）的直线/过点尸（U）,则下列斜率

々的取值范围能使直线/与线段A8相交的有（）

A.3+叼B.（-?,4UC.（TO）D.（）,1

18.（2024.高二•江苏.专题练习）已知直线R%-）—=。和直线/2：（女+1"+心叶攵=0（keR）,则下列结

论正确的是（）

A.存在实数上使得直线4的倾斜角为方

B.对任意的实数上直线4与直线（都有公共点

C.对任意的实数A,直线4与直线6都不重合

D.对任意的实数鼠直线4与直线4都不垂直

三、填空题

19.（2024.安徽滁州•二模）在平面直角坐标系屹丫中，将点A（75,l）绕原点。逆时针旋转90。到点3,那么

点6坐标为,若直线08的倾斜角为。，则其斜率为.

20.（2024•高二•四川遂宁•阶段练习）已知4,2两点的坐标分别是（-1,0）,（1,0）,直线AM,8历相交于点

",且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2,点例的轨迹是_________

21.（2024.广东.模拟预测）在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边/W所在直线斜率为2石，则边

AC所在直线斜率的一个可能值为.

22.（2024.高三.上海浦东新•期末）直线x-6y+2=0与直线瓜+2y=l所成夹角的余弦值等于

23.（2024.高二.全国.课后作业）等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+）」2=0与x-7y-4=。，原点

在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为.

24.（2024・高二•上海长宁・期末）直线51-），+2=。和直线3x+2y-7=0的夹角的大小为.

25.（2024・高三♦上海•阶段练习）直线3x+4.y-3=0与直线6工+2〃少+阳=0平行，则〃?=.

26.（2024.天津河东•一模）已知过点?（4,-3）的直线（不过原点）与圆+（），+5『=。相切，且在x轴、

轴上的截距相等，则。的值为.

27.（20