教学材料《工程力学》-项目七

任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力一、压杆稳定的概念对受压杆件的研究是从强度的观点出发的，即认为只要满足压缩强度条件，就可以保证压杆的正常稳定工作。这样考虑，对于短粗的压杆来说是正确的，但对于细长的压杆就不适用了。由此可见，横截面和材料相同的压杆，由于杆的长度不同，其抵抗外力的性质将发生根本的改变;极短的压杆是强度问题，而细长的压杆则是稳定问题。现对压杆的稳定性概念再做进一步的解释。取一根下端固定、上端自由的理想细长杆，在上端严格按轴线施加压力F(见图7.2(a)]，则无论压力多大，在直线状态下总是满足静力平衡条件。下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力然而，该平衡状态视其压力的大小，却有稳定与不稳定之分，这可以通过对其施加横向干扰产生微弯[见图7.2(b)]，然后撤除来加以判断;实验发现，当压力F不超过某一临界值只r时，撤除干扰仍能恢复原状[见图7.2(c)]，这表明原有的直线平衡状态是稳定的;但若压力超过临界值Fer，撤除干扰后，将只能在一定弯曲变形程度下平衡[见图7.2(d)]，甚至弯曲而不恢复原状，这表明原有的直线平衡状态是不稳定的。由此不难看出，细长压杆的直线平衡状态是否稳定，与压力F大小有关。当压力F逐渐增大至Fer时，压杆将从稳定平衡过渡到不稳定平衡。也就是说，轴线压力的量变，将引起压杆原来直线平衡状态的质变。上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力因此，压力Fer称为压杆的临界压力，或称临界载荷。当外力达到此值时，压杆即开始丧失稳定〕在工程实际中，有许多受压的构件是需要考虑其稳定性的。例如，千斤顶的丝杠(见图7.4)、托架中的压杆(见图7.5)以及采矿工程中的钻杆等。如果这些构件过于细长，在轴向压力较大时，就有可能丧失稳定而破坏。而这种破坏是突然发生的，往往会给工程结构或机械带来极大的损害，历史上存在不少由于失稳而造成严重事故的事例。因此，在设计这类机构时，进行稳定计算是非常必要的。失稳的现象不仅限于压杆这一类构件，其他如截面窄而高的梁、受外力的薄壁容器等，当外力超过临界值时，都可能有失稳的现象发生，其失稳后的形状如图7.6和图7.7中虚线所示。上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力二、细长压杆的临界压力如前所述，对确定的压杆来说，判断其是否丧失稳定，主要取决于压力是否达到了临界压力值。因此，根据压杆的不同条件来确定相应的临界力，是解决压杆稳定问题的关键。现先讨论细长压杆的临界压力。临界压力也可认为是压杆处于微弯平衡状态，即当挠度趋于零时承受的压力。因此，对一般几何、载荷及支座情况下不复杂的细长压杆，可根据压杆处于微弯平衡状态下的挠曲线近似微分方程进行求解，这一方法也称为欧拉法，此外还有能量法等。(一)两端铰支压杆的临界力上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力设一细长压杆AB见[图7.8(a)]，两端铰支，在轴向压力F作用下处于微弯平衡状态，距杆下端x处截面的挠度为y，则该截面的弯矩[见图7.8(b)]为因为力F可以不考虑正负，在所选定的坐标内当y,为正值时，M(x)为负值，所以在式(a)右端加一负号，可以列出其挠曲线近似微分方程为若令:则式(b)可写成:上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力此方程的通解为根据杆端的约束情况，可有两个边界条件:(1)在x=0处，y=0;(2)在x=l处，y=0将第一个边界条件带入式(e)，得:则式(e)可改写成:式(f)表示挠曲线是一正弦曲线。再将第二个边界条件带入上式，得:上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力由此解得:满足这一条件的kl值为可由式(c)得:故得:取n=1，相应的压力F即所求的临界力:上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力式(7.1)一般称为两端铰支压杆临界力的欧拉公式。从式(7.1)可以看出，临界力Fcr与杆的抗弯刚度El成正比，而与杆长l的平方成反比。也就是说，杆越细长，其临界力越小，即越容易丧失稳定。将一代入式(f)得压杆的挠度方程为在处有最大挠度

(二)其他约束情况下压杆的临界力上面导出的是两端铰支压杆的临界力公式。当压杆的约束情况改变时，压杆的挠曲线近似微分方程和挠曲线边界条件也随之改变，因而临界力的数值也不同。上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力仿照前面的方法，也可求得各种情况下压杆的临界力公式。如果以两端铰支压杆的挠曲线(半波正弦曲线)为基本情况，且将其与其他约束情况下的挠曲线对比，则可以得到欧拉公式的一般形式为几种理想的杆端约束情况下的长度系数见表7.1。

1.柱形较约束如果连杆的两端为柱形铰连接，例如发动机的连杆连接，考虑连杆在大刚度平面内弯曲时，杆的两端可简化为铰支;考虑在小刚度平面内弯曲时，则根据两端的实际固结程度，杆的两端的连接应为固定端连接。上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力

2.焊接或铆接对于杆端与支撑处焊接或铆接的压杆，因为杆受力后连接处仍可能产生微小的波动，故可简化为铰支端，不能将其简化为固定端。3.螺母和丝杠连接螺母和丝杠连接的简化将随着支撑套(螺母)长度l0与支撑套(螺母)的螺纹平均直径d0的比值l0/d0而定。4.固定端对于与坚实的基础结成一体的柱脚，可简化为固定端，如浇铸与混凝土中的柱脚。理想的固定端和铰支端约束是不多见的，实际杆端的连接情况，往往是介于固定端与铰支端之间。上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力对应于各种实际的杆端约束情况，压杆的长度系数拜值在有关的设计手册或规范中另有规定。在实际计算中，为了简单起见，有时将有一定固结程度的杆端简化为铰支端。三、压杆的临界应力欧拉公式是以压杆的挠曲线微分方程为依据推导出来的，而这个微分方程只有在材料服从胡克定律的条件下才成立，即只有压杆内的应力不超过材料的比例极限时欧拉公式才能适用。(一)临界应力和柔度在临界力作用下，压杆横截面上的平均应力可以用临界力Fcr除以压杆的横截面面积A来求得，称为压杆的临界应力，并以σcr来表示，即:上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力式(a)中的I和A都是与截面有关的几何量，如将惯性矩表示为I=i2A，则可用另一个几何量来代替两者的组合，即令:以I=i2A代入式(a)，得:上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力令可得压杆临界应力的一般公式为显然，若入越大，即压杆比较细长，则临界应力就越小，压杆越容易丧失稳定;反之，若入越小，即压杆比较短粗，则临界应力就比较大，压杆就不太容易丧失稳定。所以柔度入是压杆稳定计算的一个重要参数。

(二)欧拉公式的适用范围上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力欧拉公式的适用条件为由此式可以求得对应于比例极限的柔度值为因此，欧拉公式的适用范围可以用压杆的柔度值λp来表示，即只有当压杆的实际柔度λ≥λp时，欧拉公式才适用。这一类压杆称为大柔度杆或细长杆。上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力由临界应力公式可见，压杆的临界应力是随柔度而变的，它们之间的关系可以用一个图形来表示。作一个坐标系，取临界应力σcr为纵坐标轴，柔度λ为横坐标轴，按式(7.5)可画出如图7.10所示的曲线AB，称为欧拉双曲线。欧拉公式的适用范围也可以在此图中标出。曲线上的实线部分BC是适用部分;虚线部分AC，由于应力已超过了比例极限，为无效。对应于C点的柔度为λp。(三)中小柔度杆的临界应力目前已有不少实验公式，如直线公式和抛物线公式等，其中直线公式比较简单，应用方便，其形式为上一页下一页返回任务一熟悉压杆稳定、压杆的临界压力和临界应力一些常用材料的a和b值见表7.2。最小柔度极限值为在图7.10中，对应于D点的柔度为λS。柔度小于λS的压杆，称为小柔度杆或短杆.上述三类压杆的临界应力与柔度间的关系图(见图7.10)称为压杆的临界应力图。从图7.10中可以明显看出，短杆的临界应力与λ无关，而中长杆的临界应力则随λ的增加而减小〕上一页返回任务二掌握压杆稳定的许用计算一、压杆稳定的许用计算压杆稳定的许用计算包括压杆截面的选择和压杆稳定性的校核。在机械设计中，往往根据构件的工作需要或其他方面的要求初步确定构件的截面，然后再校核其稳定性。因此，本任务只讨论压杆稳定性校核。对于工程实际中的压杆，要使其不丧失稳定，就必须使压杆所承受的轴向力P小于压杆的临界力。为了安全起见，还要考虑一定的安全系数，使压杆具有一定的稳定性。因此，压杆的稳定条件为下一页返回任务二掌握压杆稳定的许用计算或考虑到压杆存在的初曲率和不可避免的载荷偏心等不利影响，规定的安全系数一般都比强度安全系数大一些。在静载荷下的[nst]值见表7.3;结合具体构件，有关规范中还另有规定。其还应指出，有时也会碰到压杆在局部截面被削弱的情况(例如杆上开有小孔或沟槽)，由于压杆的临界力是由整个压杆的弯曲变形决定的，局部的截面削弱对临界力的影响很小，所以在稳定计算中不予考虑。但是对于这类压杆，必要时还应对削弱了的横截面进行强度校核。上一页下一页返回任务二掌握压杆稳定的许用计算二、提高压杆稳定性的措施如前所述，某一压杆的临界力和临界应力的大小，反映了此压杆稳定性的高低。因此，欲提高压杆的稳定性，关键在于提高压杆的临界力或临界应力。由压杆的临界应力图(见图7.10)可知，压杆的临界应力与材料的力学性能和压杆的柔度有关，而柔度(λ=µl/i)又综合了压杆的长度、约束情况和横截面的惯性半径等影响因素。因此，可以根据这些因素，采取适当的措施来提高压杆的稳定性。

(一)减小压杆的支撑长度根据欧拉公式，临界应力与柔度成反比，因此，压杆的柔度越小，相应的临界力或临界应力越大。上一页下一页返回任务二掌握压杆稳定的许用计算而减小压杆的支撑长度是降低压杆柔度的方法之一，可有效地提高压杆的稳定性。因此，在条件允许的情况下，应尽可能地减少压杆支撑长度的压力;或者在压杆的中间增加中间支座，也同样可以起到减小压杆支撑长度的作用。例如，场矿中架空管道的支柱(见图7.13),每根支柱都受轴向压力，若在两支柱间加上横向和斜向支撑，则相当于在每个支柱的中间增加了支座，减小了压杆的支撑长度，从而提高了支柱的稳定性。又如，钢铁厂无缝钢管车间的穿孔机(见图7.14)，原来轧制普通钢管，后改轧制合金钢管，要求顶杆的穿孔压力增大，为了提高顶杆的稳定性，在顶杆中段增加一个抱辊装置，这就达到了顶杆稳定性的目的。上一页下一页返回任务二掌握压杆稳定的许用计算

(二)选择合理的截面压杆的截面形状对临界力的数值有很大的影响。若截面形状选择合理，可以在不增加截面面积的情况下增加横截面的惯性矩I，从而增大惯性半径，减小压杆的柔度，起到提高压杆稳定性的作用。为此，应尽量使截面材料远离截面的中性轴，例如，空心圆管的临界力就要比截面面积相同的实心圆杆的临界力大得多。对在两个纵向平面内杆端约束相同的压杆，为使其在两个平面内的稳定性相同，应使横截面的最大和最小惯性矩相等，即Imax=Imin。例如，由两槽钢组合的压杆，若采用图7.15(b)所示的组合形式，其稳定性要比图7.15(a)所示的形式好;若两槽钢的距离a选取恰当，使Iy=Iz，则可使压杆在两个平面内的稳定性相等。上一页下一页返回任务二掌握压杆稳定的许用计算

1.改善杆端的约束情况从表7.1中可以看出，若杆端约束的刚性越强，则杆长额长度系数µ就越小，相应的，柔度λ就越低，临界力就越大，其中以固定端约束的刚性最好，铰支端次之，自由端最差。因此，应尽可能加强杆端的约束刚性，以使压杆的稳定性得到相应的提高。2.合理的选用材料上述各点都是通过降低压杆柔度的方法来提高压杆的稳定性;另一方面，合理的选用材料，对提高压杆稳定性也能起到一定的作用。对于大柔度杆，由式(7.2)可知，材料的弹性模量E越大，压杆的临界力就越高。故选用弹性模量较大的材料可以提高压杆的稳定性。上一页下一页返回任务二掌握压杆稳定的许用计算