天津市南开区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷（解析版）

天津市南开区2025-2026学年上学期八年级数学期末试卷

本试卷分为第I卷（选择题）、第n卷（非选择题）两部分.试卷满分io。分.考试时间io。

分钟.答卷前，请务必先将自己的姓名、准考证号填写在“答题卡”上，并在指定位置粘贴考

试用条形码.答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效.

第I卷（选择题共36分）

注意事项：

1.每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点.

2.本卷共12题，共36分.

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的）

1.下列图案中，是轴对称图形的是（）

ANBaCgDo

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【详解】解：选项D中的图形能找到这样的•条直线，使图形沿•条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，所以是轴对称图形，符合题意.

选项A、B、C中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，所以不是轴对称图形，不符合题意；

故选：D.

11

2.分式力■二与TF的最简公分母是（）

3xy~

A.12xyy6B./C.6x2ysD.12x2y3

【答案】D

【解析】

【分析】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，两个分式的最简公分母是各分母系数的最小公倍数与

各字母因式的最高次基的积，据此可得答案.

【详解】解：分式记T与工，的最简公分母是12/),3,

故选:D.

3.禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m,数据0.000000102用科学记数法表示为

()

A.0.102X10-6B.1.02乂10一7C.10.2xl0~8D.102xl0~9

【答案】B

【解析】

【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为4X10〃的形式，其中

14同＜10,〃为整数解答即可求解，解题的关键是正确确定。的值以及〃的值.

【详解】解：0.000000102=1.02X10-7，

故选：B.

4,下列由左到右的变形，属于因式;分解的是()

A.x(x-l)=x2-xB.x2-y+1=(x+}7)(x-59+1

C.x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2D.x2+6x+8=(x4-3)2-1

【答案】C

【解析】

【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，据此判断各选项

是否符合定义.

【详解】解：A、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；

B、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；

C、是因式分解，符合题意；

D、等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意；

故选：C.

5.若分式止2的值为0,那么〃的值为()

5-a

A.-5B.0C.5D.±5

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了分式值为。的条件，分式值为0的条件是分子为0,且分母不为0,据此求解即可.

【详解】解：•・•分式比2的值为o,

5-a

04-5=0

15-"0

故选：A.

6.如图，已知Z4Q3=48。，点C为射线04上一点，按如下步骤尺规作图:

①以点。为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点。，交03于点£

②以点C为圆心，以0。长为半径作弧，交OC于点F；

③以点尸为圆心，以力石长为半径作弧，交上一步所作的弧于点G；

④连接CG并延长交04于点H.则NAHC的度数为（）

A.96°B.90°C.66°D.48°

【答案】A

【解析】

【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，尺规作图一作与已知角相等的角，根据作图方法可得

ZHCO=ZHOC=4S°,再由三角形外角的性质可得答案.

【详解】解：由作图方法可知，NHCO=NHOC=48。,

・•・4AHC=ZHCO+ZHOC=96°，

故选：A.

7.若abb,则下列分式化简正确的是（）

4+3ana-3aa1G3aa

A,-B・-C.---=—D.3b='b

b+3bb—3bb2b

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，即分式的分子和分母都乘以或除以一个不为（）

的数或整式，分式的大小不变，逐项分析判断即可即可求解.

【详解】解：A.空是最简分式，不能化简，故A选项错误:

力+3

B.二是最简分式，不能化简，故B选项错误；

b-3

2

3是最简分式,

C.不能化简，故c选项错误;

D.—=y,分子分母同时除以3,等式成立，故D选项正确;

3bb

故选：D.

8.若。，b,。是三角形三边的长，则代数式卜/一2"+c?的值（）

A.小于等于零B.小于零C.等于零D.大于零

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了因式分解的应用,三角形三边关系,将代数式分解因式（〃一〃一。）（〃一〃+「），利用

三角形三边关系得〃+c>。，a-ic>b,然后判断符号即可，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：•••（。2-2,活+。2）一/

=（a-b）~-c2

=(々一Z?-+

又b,c•是二角形二边，

••b-\-c>aa+c>b,

：.〃一〃一c=a-0+c)<0,a-〃+c=(a+c)-〃>0,

/.（tz-Z7-c）（67-Z?4-c）<0,

（a~-2ab+）—c~<0,

即原代数式的值小于零，

故选：B.

9.两个连续奇数的平方差一定是（）

A.5的倍数B.6的倍数C.7的倍数D.8的倍数

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键.设两个连续奇数为2〃-1和

2〃+1（〃为整数），计算其平方差并化简，判断倍数关系.

【详解】解：设两个连续奇数2〃-1和2〃+1（〃为整数），则平方差为

（2«+l）2-（2n-l）2

=［（2Z?+1）+（2,2-1）］-［（27?4-1）-（2H-I）］

=4〃x2

=8〃.

Q〃为整数,

••・两个连续奇数的平方差•定是8的倍数.

故选：D.

10.甲工程队完成一项工程需。天，乙工程队要比甲工程队多用3天才能完成这项工程，那么两队共同工作

一天完成的工作量为（

11a1

A.一+-----B.-------C.----D.2。+3

a4+3。+3

【答案】A

U针斤】

【分析】本题考杳列代数式以及分式的加法，解题的关键是正确列出分式.

根据工作效率的定义，甲的工作效率为，乙的工作效率为不，两队合作一天的工作量是各自效率之机

【详解】解：因为甲工程队完成一项工程需。天，所以甲的工作效率为上，

a

因为乙工程队完成一项工程需（。+3）天，所以乙的工作效率为白，

所以两队共同工作一天完成的工伤量为2+

a。+3

故选：A.

11.如图，边长为〃的正方形，边长为匕的正方形，边长为仇C的长方形，边长为仇（。一人一。的长方形,

组成了边长为小（。+。）的长方形.其中边长为〃的大正方形面积为26,图中的阴影部分的总面积为8,

则边长为b的小正方形的面积为（）

A7B.1()C.11D.14

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考杳了多项式乘法在几何图形中的应用，单项式乘以多项式的应用，根据三角形面积公式

和正方形面积公式得到/=26,Jc(〃+〃)+；(a+/?)(a-b-c)=8,则可推出/一/二⑹据此可得

答案.

【详解】解：:边长为〃的大正方形面积为26,图中的阴影部分的总面积为8,

(i~=26，5c+/?)+—(tz+/?)(〃一/?-c)=8,

；・-ac+—bc+—(a2-b2-ac-be]=8，

222V7

/.-ac+-bc+—a2--Z?2--ac--bc=S，

222222

：,-a2--b2=S,

22

a2-b2=16»

・"2=10，

・•・边长为b的小正方形的面积为10,

故选:B.

12.如图，在锐角三角形中，AB=5,VABC的面积为15,BD平分/ABC.若M,N分别是

3D,3c上的动点,则CM十的最小值为()

A

Nc

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了角平分线，全等三角形的判定与性质，垂线段最短.明确和的最小值的情况是解题的关

键.

如图，在A8截取8N',使得BN'=BN,连接MV',证明△N'BM也△NBM（SAS）,则MM=A/N,

由CM+MN=CM+MN',可知当C、M、N'三点共线，且CN'_L4B时，CM+MV的值最小，如

图，作CF_LA3F尸，则CM+MN的最小值为由工m。='ASxC尸，计算求解即可.

【详解】解：如图，在截取用V',使得BN'=BN,连接MN',

•・•B。平分NA3C,

・•・41'BM=4NBM,

♦:BN'=BN,MBM=4NBM,BM=BM,

・•.AN'BMANBM（SAS）,

:,MN'=MN,

：・CM+MN=CM+MN',

・••当C、M.N'三点共线，且CM_LA3时，CM+MN的值最小，

如图，作_LAB于尸，则CM+MN的最小值为CF,

X解得二

S△/AiORVC=-ABCF,BP15=0-x5xCF,C/6,

・・・CM+MN的最小值为6,

故选：D.

第n卷（非选择题共64分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案直接填在答题纸中对应的横

线上）

13.计算252-23x27的结果为.

【答案】4

【解析】

【分析】本题主要考查了平方差公式，把原式变形为252—(25-2)x(25+2),再利用平方差公式求解即

可.

详解】解：252—23x27

=252-(25-2)x(25+2)

=252-(252-22)

=252-252+4

=4.

故答案为：4.

14.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,N84O=28。，则NO

【答案】380

【解析】

【分析】首先发现此图中有两个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等找到角之间的关系.结合三角

形的内角和定埋进行计算.

【详解】VAB=AD=DC,ZBAD=28°

/.ZB=ZADB=(180°-28°)4-2=76°.

・•・ZC=ZCAD=76°^2=38°.

故答案为38。.

【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；求得NADC=76。是正确解答本题的关键.

15.若(x-2)(x+3)=f+ar+b,则4+〃的值为.

【答案】-5

【解析】

【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，根据多项式乘以多项式的运算法则求出等式左边的结

果，比较多项式系数，求出。和〃的值，再计算〃+方即可.

【详解】解：:(x-2)(x+3)=x2+以+。.

x2—2x+3x—6=x2+ox+Z?»

x2+x-6=x2+ax+b，

a=Lb=-6.

〃+〃=1+(-6)=—5,

故答案为：-5.

16.已知"工0,化简(2厂护)，(〃-%「其结果为.

【答案】卜

2

【解析】

【分析】本题考查了昂的混合运算，零指数基和负整数指数基的运算，熟练掌握新的混合运算，零指数基和

负整数指数哥的运算是关键.先用积的乘方公式计算，然后用哥的乘方公式计算，再根据同底数第的乘法法

则计算，结合零指数制的计算，艮」可得到答案.

【详解】解：(247/)1.,-%丫

=2-.(X)，.)，(])3E

=­•674•Z?-3•〃一3•Z?3

0

」小7尸+3

°

」他。

1

=­a.

17.如图，过边长为4的等边VABC的边上一点。作DE44C,垂足为E点.

3——=:

AD

(2)点尸为8C延长线上一点，若">=CV,连接E0,线段也与AC相交于点G,则EG的长为

【答案】①.g②.2

【解析】

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角H勺直角三角形的性质，全等三角形的性质与

判定，熟知等边三角形的性质及其判定定理是解题的关键.

（1）由等边三角形的性质得到NA=60。，求出NAQE=30。得到据此可得答案；

（2）过点D作DH〃BC交AC于点H,证明是等边三角形，得到DH=4O，EH=^AH；再

证明△/CG乌△Q”G（ASA）,得到HG=CG=gc"，再由线段的和差关系可得答案.

【详解】解：（1）•・•VA8C为等边三角形，

AZA=60°,

•・•DE±AC,

・•・ZAED=90°,

AZADE=90o-ZA=30°,

AAE=-AD

2t

.AE1

■■™™,

AD2

故答案为：g；

（2）如图所示，过点、D作DH〃BC交AC于点H,

•・・VA/C为等边三角形，

AZA=ZACB=60°,

•・•DH//BC,

:.ZAHD=ZABC=^)°,

是等边三角形，

，DH=AD，

•・•DE±AC,

：.EH=-AH-

2

VAD=CF,

・•・DII-CFx

•・•DH//BC，

：.4F=/HDG,/FCG=4DHG,

.-.△FCG^ADHG(ASA),

:.HG=CG=-CH,

2

・•・EG=EH+HG=-AH+-CH=-(AH+CH)=-AC=2,

222V72

故答案：2.

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点.VA8C的顶点A,B,C均

在格点上.

(1)ZABC=度；

(2)取格点。，连接ADBD,请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段B力上画出点P，使得

ZAPD=2ZABD，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明).

【答案】①.45②.取格点E,连接CE并延长交3。于点P，则点户即为所求

【解析】

【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判

定，等边对等角等等，证明VABC是等腰直角三角形是解题的关键.

(I)利用勾股定理及其逆定理可证明VA3C是等腰直角三角形，据此可得答案；

(2)取格点&连接CE并延长，交BD于点P，则点尸即为所求：可证明斗笈八点，则CE垂直平分48,

则可得N/HB=NA8。，再由三角形外角的性质可得NAPD=2NA5D.

【详解】解：(1)由勾股定理和网格的特点可得====

AB=y/l2+32=V10>

.\AC=BC,AC2+BC2=(75)2+(>/5)2=5+5=10,AB2=(V10)2=10,

AAC2+BC2=AB2，

:.ZACB=9O°,

・•・VAZ7C是等腰直角二角形,

，ZABC=45%

故答案为:45；

(2)如图所示，取格点£,连接CE并延长交30于点P，则点P即为所求.

故答案为：取格点E,连接C£并延长交BO于点P，则点P即为所求.

三、解答题(本大题共6小题，共46分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

19.(1)因式分解：-(工+〃『；

(2)因式分解：-4/+32.2-64;

X—3x-3

(3)已知一■；

x-]x2+2x+1

①化简该代数式；

②从-3,-1,1,3中选取一个合适的数作为X的值，计算该代数式的值.你选取的数是,此时代

数式的值为.

【答案】(I)(2%+加+〃)(m—〃)：(2)-4(〃+2『(〃-2)2：(3)①化简结果是」一：②选取的数是一3・

X—1

此时代数式的值为-，

4

【解析】

【分析】本题考杳了因式分解和分式的化简求值，解题的关键是掌握因式分解的方法和分式的混合运算.

(1)用平方差公式分解即可；

(2)用完全平方公式分解即可；

(3)先化简分式，再代入合适的值计算即可.

【详解】解：(1)(x+w『一+

=(x+m+x+A?)(x+7??-x-/?)

=(2x+tn+〃)(〃?一〃)；

⑵-4/+32/—64

=T(/-8/+16)

=-4(/-4)一

=-4(^+2)12(3r/-2)2；

x—3x-3(1八

3)-；-^-―---------------+1

X—1X4-2.V4-1\X—1)

x-3x(x+l)(]+x-P

(x+l)(x-l)x-3\x-lx-l)

_X+lX

1

二,

x-l

由题意得，x2—10,x2+2JV+10,x—1w0,x—3w0,

解得x工±1且戈/3,

所以K取一3,

当人=一3时，原式=」一二一,，

x-\4

所以选取的数是-3,此时代数式的值为-

4

X9r

20.解分式方程：——=1+——.

x十13+3%

【答案】x=-J

2

【解析】

【分析】本题考查解分式方程，正确掌握解分式方程的方法是解题的关键.

先将原分式方程去分母化为一元一次方程，再解方程检验即可求解.

X2r

【详解】解：^=1+——

x+13+3x

方程左右两边同乘3(l+x)得，3x=3(l+x)+2x,

3

解得工二-二，

2

3

检验：当天=一5时，3(1+力。0,

3

故此分式方程的解为.

21.己知AO,A/分别是VA8C的中线和高，8七是△A8D的角平分线.

（1）如图，若NBED=55°,ZBAD=35°,求N84厂的度数；

（2）如图，若AB=12,AC=7,延长中线AD到点A,使得AO=A。，连接A'C.填空:

①由已知可证得△AbZ^dA'CD,其理由是（从SSS,SAS,AAS,ASA,HL中选个填空），

AC的长为：

②中线A。长的取值范围是.

【答案】（1）50°

⑵①SAS；12；②2.5<AO<9.5

【解析】

【分析】本题主要考查「全等二角形的性质与判定，构成二角形的条件，二角形外角的性质和二角形内角和

定理，熟知相关知识是解题的关键.

（1）根据三角形外角的性质求出/A的的度数，则由角平分线的定义可得力的度数，再根据三角形

内角和定理即可得到答案；

（2）①根据三角形中线的定义可得80=CD,则可利用SAS证明AABZ泾AACD得到A'C=AC；②根

据三角形三边的关系可得AC-AC<AAr<AC+AC,据此求解即可.

【小问1详解】

解：•・•NBED=55。,ZBAD=35°,/BED=/BAD+ZABE，

・•・乙ABE=20。，

•••BE是△ABO的角平分线，

・•・ZA8D=2ZAB£=40。,

•・・Ab是VA8c的高，

:.ZAfB=90°,

・•・NBA尸=180°-ZABF-ZAFD=180o-40°-90°=50°；

【小问2详解】

解：①•・•AD是V43C的中线，

:.BD=CD,

又・,・4)=ADZADB=ZADC,

・•・△A3。四△ACQ(SAS),

・•・AC=A8=12；

②在△AC4中，AC-AC<AA<AC+AC,

A12-7<2AD<12+7,

A2,5<AD<9,5

22.(1)如图，耳c2△△282c2，4A，分别是△A4G，△Age2的对应边上的高.

①求证：AQ=42；

②由①的证明我们可以得出结论：全等三角形对应边上的高_______：

（2）请用（1）中的结论解决下面的数学问题：如图，AABCgADEC,且对应边AB相交于点F,

连接CE.求证：FC平分NBFD.

【答案】（1）①见解析：②相等；（2）见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟知全等三角形的性质与判定定

理是解题的关键.

（1）①由全等三角形的性质可得4A=A2B2,NA4G=NA282G，再利用AAS证明

△AR4注△42层，即可证明结论；②根据①即可得到答案；

（2）过点C作CG_LA8F点G,CH上DE于点、H,由（1）可得CG=C"，再由角平分线的判定定理

可证明结论.

【详解】解：⑴①•••△A31G四△&4G，

=A2B2>NA/[G=N432c2；

•・•A2,4。,分别是AG,△A.BG的对应边上的高,

/.Z-\DXBX—^.A2D2B2,

・•・△AA4也△&D2B2(AAS),

:.%D\=A2D2；

②由①可得全等三角形对应边上的高相等；

（2）如图所示，过点。作CG_LA6丁点G,CH工DE丁点、H,

'：AABC^ADEC,CGA.AB,CHIDE,

:.CG=CH,

・•・FC平分乙BFD.

23.八年级学生去距学校30km的中国人民抗口战争纪念馆参观，一部分学生乘大巴先出发，过了'h,其

12

余学生乘中巴出发，结果他们同时到达.已知中巴的平均速度是大巴平均速度的1.2倍.

（1）设大巴的平均速度为Akm/h,列出关于x的分式方程，求大巴的平均速度；

（2）参观结束后学校安排所有学生一起乘汽车按原路返回学校，汽车司机准备了两种返程的方案.方案

A：前半段路程以akm/h的速度匀速行驶，后半段路程以〃km/h的速度匀速行驶；方案B：全程以

二2km/h的速度匀速行驶.如果aw/九则选择哪种方案能更早返回学校？请说明理由.

3()3()1

【答案】(1)所列方程为---------二一，大巴的平均速度为60km/h；

x1.2x12

(2)选择方案8能更早返回学校，理由见解析

【解析】

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，分式除法的应用，找掂等量关系，正确列出分式方程是解题的关

键.

(I)设大巴的平均速度为AknVh,则中巴的平均速度为1.2无km/h,根据一部分学生乘大巴先出发，过

r—h,其余学生乘中巴出发，结果他们同时到达列出方程求解即可;

12

(2)根据时间等于路程除以速度分别表示出两种方案的时间，再利用作商法比较两种方案的时间的大小即

可得到结论.

【小问1详解】

解：设大巴的平均速度为Rm/h.则中巴的平均速度为12tkm/h,

30301

由题意得,__________

x\.2x12

解得x=60,

经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，

・•・大巴的平均速度为60km小；

30301

答：所列方程为---------=—,大巴的平均速度为60km/h；

x\.2x12

【小问2详解】

解：选择方案8能更早返回学校，理由如下：

方案4需要的时间为30之30xg15151542+15/7..

abahah

30_60

方案4需要的时间为~a±b=/工，

F

6015a+15/?

a+bah

60ab

=-----------------------

a+b15(〃+。)

4ab

V(ci+by-4ab=a1+lab+b2-4ab=a2-lab+b2=(a—，且aw/九

(6/+/?)~-4ab>0，

/.(a+by>4ab，

4ab

<1,

60

又•:

a+bab

6015。+15〃

——<--------,

a+bab

・•・方案8需要的时间更少,

・••选择方案B能更早返回学校.

24.在平面直角坐标系中，A（-6,0）,0（0,0）,B（0,6）,y轴上的点C（0,c）,且0VCV6,连接八C.

①如图1,求点”的坐标;

②如图，延长。8到点£，连接AE,AC恰好平分/£4。，求线段AE的长;

（2）若尸为第二象限内一点，AC=FC,ZACF=90%线段叱与AB相交于点G.填空:

®/FBA=（度），点尸的坐标为.（用含c的式子表示）;

②若AC+CG=Ab,NACB二（度）.

【答案】（1）①（3,0）；②9

(2)①90；(-C,6+C)；②112.5

【解析】

【分析】（1）①证明R^AOCgRs8OD（HL）,可得OC=O£>,从而得到OC=OD=3,即可求解;

②延长AC与。E交于K,根据RsAOC丝氏力。£>，可得ZOAC=NOBD，从而得到/BKC=90°，

可证明AADK丝AAEK（ASA）.从而得到4E=A£）.即可求解:

（2）①过点/作FH±y轴于点H,证明△AOC会△。印